Bài giải đề thi hsg lớp 11, tỉnh bình định 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (105.59 KB, 1 trang )
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11
( BÌNH ĐỊNH NGÀY 18-03-2011)
Bài 1 : Giải phương trình :
3
sin ( ) 2 sinx
4
x
π
− =
HD : Đặt
4
x y
π
= +
, phương trình trở thành :
3
sin 2 sin( )
4
y y
π
= +
3
sin sin cosy y y= +
2
sin (1 sin ) cos 0y y y− + =
(sin cos 1)cos 0y y y+ =
cosy=0
,
2
y k k Z
π
π
= + ∈
Nghiệm của phương trình :
3
,
4
x k k Z
π
π
= + ∈
Bài 2 : Cho P(x) , Q(x) là các đa thức với hệ số nguyên , thoã mãn P(x
3
)+xQ(x
3
) chia hết cho
x
2
+x+1 , d = UCLN (P(2011),Q(2011)) , CMR : d chia hết cho 2010
HD: Theo giả thiết ta có : P(x
3
)+xQ(x
3
) = (P(x
3
)-P(1))+x(Q(x
3
)-Q(1))+P(1)+xQ(1) chia hết cho
x
2
+x+1 , mà P(x
3
)-P(1) , Q(x
3
)-Q(1) chia hết cho x
3
-1 nên P(1) +xQ(1) chia hết cho x
2
+x+1
=> P(1)+xQ(1)=0 mọi x thuộc R => P(1)=Q(1)=0
=> P(x), Q(x) chia hết cho x-1 => đpcm
Bài 3 : Cho f(x) khả vi trên [0,1] , f(0)=0,f(1)=1 .Chứng minh rằng tồn tại hai số a,b phân biệt
thuộc (0,1) sao cho f’(a).f’(b)=1
HD :Đặt g(x)=f(x)+x-1 liên tục trên [0,1] , ta có g(0)=f(0)+0-1 =-1 , g(1)=f(1)+1-1 =1 =>g(0).g(1)<0
g(x
0
)=0 , x
0
thuộc (0,1) => f(x
0
)=1-x
0
x
0
thuộc (0,1)
Khi đó :
a∃ ∈
(0,x
0
) ,
b∃ ∈
(x
0,
1) : f’(a)=
0 0
0 0
( ) (0) 1
0
f x f x
x x
− −
=
−
, f’(b)=
0 0
0 0
(1) ( )
1 1
f f x x
x x
−
=
− −
f’(a)f’(b)=1 (đpcm)
Bài 4 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một , hạ OH vuông góc
với (ABC) , Gọi
, ,
α β γ
lần lượt là số đo góc hợp bởi OA,OB,OC với OH và ,A,B,C là các góc
trong tam giác ABC , CMR :
2 2 2
sin sin sin
sin 2 sin 2 sin 2A B C
α β γ
= =
HD : Theo giả thiết => H là trực tâm của tam giác ABC ,Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC , M là trung điểm của BC .Khi đó : AH=2IM , góc CAB=gócMBI
sin2A=2sinAcosA=
2
.
2. . 2. .
2 2 2R
MB IM BC AH BC AH
IB IB BI BI
= =
Gọi A’ là giao điểm của AH và BC => tam giác AOA’ vuông tại O => OA
2
=AH.OA’
=>
2
2
2
sin
'
AH AH
OA AA
α
= =
Khi đó :
2 2 2
sin 2R
sin 2A AA'.
ABC
R
BC S
α
= =
,
tương tự ta có :
2 2 2
sin sin
sin 2 sin 2
ABC
R
B C S
β γ
= =
đpcm
Bài 5 : Cho a,b,c>0 , chứng minh rằng :
2
1 1 1
( )
a b c
a b c
b c a a b c
+ + ≥ + + + +
÷ ÷
HD :
Ta có :
2 2 2 2
a b c a b c a c b a c b
b c a b c a c b a c b a
+ + = + + + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Mà
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
,
3
a c b
c b a
+ + ≥
÷
Nên
2
1 1 1
3 ( )
a b c a b c a c b
a b c
b c a b c a c b a a b c
+ + ≥ + + + + + + = + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra a=b=c
Lê quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát
