Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO


T
ổ Toán Trường THPT Phong Điền

CÁC Đ
Ề TÍCH PHÂN TUYỂN CHỌN TỪ TẠP CHÍ:

“
TOÁN H
ỌC TUỔI TRẺ
”


Đề 1:
(
Sách 2010
) Tính di
ện tích của hình phẳng, giới hạn bởi hai đường có phương trình:

2
3 2 0
y x- + =
và

2
3 2 0
x y- + =
.
Gợi ý:


2 2
2
1 1
2 1
3 2d d
3 9
x
S x x x
+
= - - =
ò ò
(đ.v.d.t)

Đề 2:
(
Sách 2010) Tính tích phân:
2
0
1 sin
d
1 cos
π
x

x
I e x
x
+
æ ö
=
ç ÷
+
è ø
ò

G
ợi ý:


2
2
2
0
1
.tan d .tan
2
2 2
cos
0
2
π
π
x x x
π

x x
I e e x e e
x
æ ö
ç ÷
æ ö
= + = =
ç ÷
ç ÷
è ø
ç ÷
è ø
ò

Đề 3:
(
Sách 2010) Tính tích phân:
(
)
2
3
0
sin
d
sin 3 cos
π
x
I x
x x
=

+
ò

Gợi ý:

Ta có
sin 3 cos 2sin
3
π
x x x
æ ö
+ = +
ç ÷
è ø

Phân tích:
1 3
sin sin cos
2 2 2 3
π π
x x x
æ ö æ ö
= + - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
nên ta có
:
2 2
2 3
0 0

cos d
1 d 3 3 3 3
3
16 16 12 12 6
sin sin
3 3
π π
π
x x
x
I
π π
x x
æ ö
+
ç ÷
è ø
= - = + =
æ ö æ ö
+ +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò

Đề 4:
( Sách 2010) Tính tích phân:
1
3
3
4

1
3
d
x x
I x
x
-
=
ò

G
ợi ý:

1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 . dI x
x x
æ ö
= -
ç ÷
è ø
ò
. Đ
ặt
2

1
1t
x
= -
. Đáp s
ố:
6I =
.
Đề 5:
( Sách 2010) Tính tích phân:
2
3
0
d
8
x
I
x
=
+
ò

Gợi ý:

(
)
2 2 2 2
3 2 2
0 0 0 0
2 2 d

d 1 d 1 1 d 1
ln 2
12 2 24 4 12
8 2 4 2 4
12 3
x x
x x x π
I
x
x x x x x
-
= = - + = +
+
+ - + - +
ò ò ò ò

Hoặc: Đặt
2tanx t=

Chuyờn TCH PHN_NG DNG

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B B
O


T
Toỏn Trng THPT Phong in


6:
( Sỏch 2010) Tớnh tớch phõn:
1
3 1
0
d
x
I e x
+
=
ũ

Gi ý: t
3 1t x= +
ta cú
2
1 2
d d
3 3
t
x x t t
-
= ị =
.

1: 2
0 : 1
x t
x t

= =
= =
. Khi ú
2
2
1
2 2
d
3 3
t
e
I te t= = =
ũ
( Tớch phõn tng phn)

7:
(
Sỏch 2010) Tớnh tớch phõn:
2
1
1
d
5
x x
I x
x
-
=
-
ũ


Gi ý: t
2
1 1 d 2 d
t x x t x t t= - ị = + ị =

2 : 1
1: 0
x t
x t
= =
= =
. Khi ú:
1
4 2
2
0
2 2 32
10ln3
3
4
t t
I
t
+
= = = -
-
ũ



8:
(Sỏch 2010
) Cho hỡnh phng (H) gii hn bi ba ng:

2
4 3 0; 0; 0x y y x y- + - = = =
.
Tớnh th tớch ca khi trũn xoay to thnh khi quay hỡnh (H) mt vũng xung quanh trc honh.

Gi ý:

Giao im ca cỏc ng ti
(0;0), (3;0), (0;1)
O A B
.
T
2
4 3 0 2 1
x y y y x- + - = ị = - +
.
Do ú:
(
)
3
2
0
5
2 1 d
6


V x x= - + = =
ũ
(.v.t.t)

9:
(
Sỏch 2010) Tớnh tớch phõn:
(
)
1
3
3
2
0
d
1
x
I x
x
=
+
ũ

G
i ý: t
tant

=

Lỳc ú:


(
)
(
)
(
)
3
4 4 4
3
2 2 2
2 2
0 0 0
tan tan tan 1
d d cos cos dcos
16
1 tan
1 tan 1 tan


I


ổ ử
ỗ ữ
= = - = - + =
ỗ ữ
+
ỗ ữ
+ +

ố ứ
ũ ũ ũ


10:
(
Sỏch 2010) Tớnh tớch phõn:
0
2
1
d
1
x
I
x x
-
=
+ +
ũ

G
i ý:

t
2
2
d 2d
1
2 1
1

x t
t x x x
t
x x
= + + + ị =
+
+ +

0 : 1
1: 0
x t
x t
= =
= - =
. Khi ú:
1
0
2d
ln3
2 1
t
I
t
= = =
+
ũ

11
: ( THTT 400) Tớnh tớch phõn:
(

)
1 cos
2
0
1 sin
ln d
1 cos

x
x
I x
x
+
+
=
+
ũ

Gi ý:

Chuyờn TCH PHN_NG DNG

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B B
O


T

Toỏn Trng THPT Phong in

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 cos
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 2
0 0
1 sin
ln cos ln 1 sin ln 1 sin ln 1 cos
1 cos

2
sin ln 1 cos ln 1 cos ln 1 sin
sin ln 1 cos ln 1 cos ln 1

x


x
I x x x x x x x x
x

x t x t
I t t t t t t t
I x x x x x
+
+
= = + + + - +
+
= - ị = -
= + + + - +
= + + + -
ũ ũ ũ ũ
ũ ũ ũ
ũ ũ
d d d d (1)
Đặt d d
Suy ra: d d d
Hay d d
( )
( ) ( )

( )
( )
2
0
2 2
0 0
2
0
2
0
sin
cos ln 1 sin sin ln 1 cos
cos ln 1 sin
sin ln 1 cos


J K


x x
I x x x x x x
J x x x
K x x x
+
= + + +
= + = -
= + =
ũ
ũ ũ
ũ

ũ

d (2)
Cộng (1) với (2): 2 d d
* Với d (tích phân từng phần) =2ln2 1
* Với d (tích phân từng p
I I
-
= - - ị = -
hần) =2ln2 1
Suy ra: 2 2ln2 1+2ln2 1 2ln2 1

12
: ( THTT 401) Tớnh tớch phõn:
(
)
5
0
cos sin d

I x x x x= +
ũ

Gi ý:

(
)
(
)
(

)
5 5
0 0 0
2 4
0 0
0
2 4
0
cos sin cos sin
cos 1 2cos cos sin
* cos 2
* 1 2cos cos sin .


J K


I x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
J x x x
K x x x x x
= + = +
= + - +
= = -
= - +
ũ ũ ũ
ũ ũ
ũ
ũ


Ta có: d d d
d d
Tính d (tích phân từng phần) =
Tính d

( )
3 5
2 4
2cos cos
1 2cos cos sin cos
3 5
u x u x
x x
x x x x v v x
= ị =
ỡ
ù
ớ
- + = = - +
ù
ợ
d d
Đặt
d d chọn

Chuyờn TCH PHN_NG DNG

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:

Lấ B B
O


T
Toỏn Trng THPT Phong in

8
.
15
8
2
15

K

I
=
= -
Tính ta đợc
Suy ra:

13
: ( THTT 402)
Cho hm s

( ) .3
x
f x A B
= +

. Tỡm cỏc s
,
A B
sao
/
(0) 2
f =
v
2
1
( ) 12f x x =
ũ
d

Gi ý:

/
/
2
2
1
2
( ) .3 .ln3
( ) .3
.3
( )
ln3
2
(0) 2
.ln3 2

ln3
6
12
12
( ) 12
12
ln3
ln 3
2
ln3
12
12
ln 3
x
x
x
f x A
f x A B
A
f x x Bx C
f
A A
A
B
f x x
B
A
B
ỡ
=

ù
= + ị
ớ
= + +
ù
ợ
ỡ
ỡ
=
= =
ỡ
ù
ù
ù ù
ị ị
ớ ớ ớ
+ =
=
ù ù ù
= -
ợ
ợ
ù
ợ
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù

= -
ù
ợ
ũ
ũ
d
Ta có:
d
Vậy

14
: ( THTT 403) Tớnh tớch phõn:
2 2
0
sin d

x
I e x x=
ũ

Gi ý:

Tớnh tớch phõn tng phn 2 ln v phi hp.

Kt qu:
2
1
8

e

I
-
=

1
5
: ( THTT 10-2010) Tớnh tớch phõn:
8
3
ln
d
1
x
I x
x
=
+
ũ

G
i ý:

(
)
(
)
(
)
(
)

2
2
3 3 3 3
2
2 2 2 2
1 1 2
ln 1
2 2 ln 1 2 ln 1 2 ln 1
t x t x t t x
t
I t t t t t t t t
t
= + ị = + =
-
ị = = - = - + +
ũ ũ ũ ũ
Đặt d d
d d d d
Tích phân từng phần

16
: ( THTT 11-2010) Tớnh
din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc th hm s:



2
2
4 ; 4
2

x
y x y= - = +

Gi ý:




Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO


T
ổ Toán Trường THPT Phong Điền

Đề 17
: (
Đề 02
- 2009) Tính tích phân:
2
0
1 sin
d
1 cos
π

x
x
I e x
x
+
æ ö
=
ç ÷
+
è ø
ò

Gợi ý:

Đáp số:
2
π
I e=

Đề 18
: (
Đề 03
- 2009) Tính tích phân:
(
)
2
3
0
sin
d

sin cos
π
x
I x
x x
=
+
ò

Gợi ý:

Đáp s
ố:
1
2
I
=

Đề 19
: (
Đề 01
- 2003) Tính tích phân:
(
)
2
4
4 2
4
sin
d

cos tan 2tan 5
π
π
x
I x
x x x
-
=
- +
ò

G
ợi ý:

Đáp s
ố:
3
2 ln 2
8
π
I = - -

Đ
ề 20
: (
Đề 02
- 2003) Tính tích phân:
1
4
6

0
1
d
1
x
I x
x
æ ö
+
=
ç ÷
+
è ø
ò

Gợi ý:

Đá
p số:
3
π
I =

Đề 21
:
(
Đ
ề 03
-
2003) Tính tích phân:

(
)
1
2
0
ln 1
d
1
x
I x
x
+
=
+
ò

G
ợi ý:

Đáp số:
.ln 2
8
π
I =

Đề 22
: (
Đề 04
- 2003)
Với

*
n Î
, tính:
4
4
0
tan
π
n
n
I x x=
ò
d

Gợi ý:

Xét hiệu
1
.
k k
I I
-
-

Suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 4 3 4 5 4 7 4 9 4 11 3 1 4
n
π

I
n n n n n n
= - + - + - + + - +
- - - - - -

Đ
ề 23
: (
Đề 05
- 2011) Tính:
(
)
(
)
1
3
0
1
1 3
dI x
x x
=
+ +
ò

G
ợi ý:

Bi
ến đổi

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
1 1 1 1
1 1 3
1 4 3
1 3 1 2 1
x x x
x x x
x x x x
= = =
+ + +
+ + +
+ + + + -

Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG


Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO


T
ổ Toán Trường THPT Phong Điền


Đ
ề 24
:
(
Đ
ề 03
-
2004) Tìm
0x >
sao cho:
(
)
2
2
0
1
2
d

x
t
t e
t
t
=
+
ò

Gợi ý:

Đáp số:
2x =
.
Đề 2
5
: (
Đ
ề 0
3
- 2004)
Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tròn
(
)
2
2
2 1
x y- + £
. Tính th

ể
tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay hình tròn đó một vòng quanh trục Oy.

G
ợi ý:

Đáp số:
2
4V π=
.
Đề 26
:
(
Đ
ề 04
-
2004)
Gi
ải phương trình:
0
sin 2 . 1 0
2
cos d
x
t t t+ =
ò

G
ợi ý:


Đáp số:
x k
π
=
.
Đề 27
: (
Đề 05
- 2004)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
4 2
1
( )
3 1
x
f x
x x
+
=
- +

Gợi ý:

Đáp số:
1 1
ln
2 1
u
I C

u
-
= +
+
với
1
u x
x
= -
.
Đề 28
: (
Đề 01
- 2005) Tính:
1
2 2
0
4 3 dI x x x= -
ò

Gợi ý:

Đặt
3 2sinx t=
.
Đáp số
2 1
12
9 3
π

I
= +

Đề 2
9
: (
Đ
ề 0
2
- 2005) Tính
di
ện tích hình phẳng giới hạn bởi
(
)
2
2
: ( )
3
x x
C f x
x
- -
=
-
và trục Ox.

Gợi ý:

Đáp số:
15

8ln 2
2
I = -
.
Đề 30
: (
Đề 0
3- 2005) Tính:
(
)
1
2 2
1
ln dI x a x x
-
= + +
ò

G
ợi ý:

Đặt
x t= -
.
Sau khi thế vào, nhân lượng liên hợp.

Đáp số
2
lnI a=
.


Đề 31
: (
Đề 04
- 2005) Tính:
(
)
2
0
1 sin
1 cos
d
π
x
x
I x
x e
-
=
+
ò

Gợi ý:

Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ B

ẢO


T
ổ Toán Trường THPT Phong Điền

Biên đổi
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 2
0 0 0
1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 cos
d d d
π π π
x x x
x x
I x x x I I
x e x e x e
-
= = - = -
+ + +
ò ò ò

Đáp số

2
1
π
I
e
=
.

Đề 32
:
(
Đ
ề 01
-
2006) Tính:
1
2
0
4 5
3 2
d
x
I x
x x
+
=
+ +
ò

G

ợi ý:

Đáp s
ố
27
ln .
4
I =

Đề 3
3: (
Đề 02
- 2006) Tính:
1
3 1
0
d
x
I e x
+
=
ò

Gợi
ý:
Đáp số
2
2
3
e

I
=
.

Đề 3
4
: (
Đ
ề 0
3
- 2006) Tính:
1
2
2
0
d
4
x
I x
x
=
+
ò

G
ợi ý:

Đáp s
ố
5 1 5

2ln
2 2
I
+
= -
.

Đề 35
:
(
Đ
ề 04
-
2006) Tính:
2
1
ln
ln d
1 ln
e
x
I x x
x x
æ ö
= +
ç ÷
+
è ø
ò


G
ợi ý:

Đáp số
(
)
3
1 2
2
I e= - + +
.
Đề 36
: (
Đề 05
- 2006) Tính:
3
2
4 2
0
cos
d
cos 3cos 3
π
x
I x
x x
=
- +
ò


Gợi ý:

Đáp số
ln 3I =
.
Đ
ề 37
:
(
Đ
ề 01
-
2007) Cho
2
2
0
sin
d
2cos 3sin
π
x
I x
x x
=
+
ò
và
2
2
0

cos
d
2cos 3sin
π
x
J x
x x
=
+
ò
.
a) Tính
9 4I J-
và
I J+
.

b) Từ đó suy ra kết quả của
I
và
J
.
Gợi ý:

Đặt
tan
2
x
t
=

. Ta tính đư
ợc:
9 4 1
1 13 1 13 3
ln
13 13 1 13 3
I J
I J
- =
ì
ï
æ ö
- -
í
+ = -
ç ÷
ï
+ +
è ø
î

Chuyờn TCH PHN_NG DNG

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B B
O



T
Toỏn Trng THPT Phong in

38
: (
02
- 2007) Tớnh:
3
2
4
tan
d
cos 1 cos


x
I x
x x
=
+
ũ

G
i ý:

t
2
2
tan
2 tan

2 tan
2
d
d
cos
x x
t x t
x x
= + ị =
+

ỏp s
:
5
3
5 3.dI t= = -
ũ

39
:
(

03
-
2007) Tớnh tớch phõn:
(
)
1
3
3

2
0
d
1
x
I x
x
=
+
ũ

Gi ý: t
tant

=

Lỳc ú:

(
)
(
)
(
)
3
4 4 4
3
2 2 2
2 2
0 0 0

tan tan tan 1
d d cos cos dcos
16
1 tan
1 tan 1 tan


I


ổ ử
ỗ ữ
= = - = - + =
ỗ ữ
+
ỗ ữ
+ +
ố ứ
ũ ũ ũ


40
:
(

04
-
2007) Tớnh tớch phõn:
1
2

0
3 6 1dI x x x= - + +
ũ

G
i ý:

Bin i
:
(
)
1
2
0
4 3 1 dI x x= - -
ũ
.

t
2
1 sin , ;
2 2
3


x t t
ộ ự
- = ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ

. Khi ú:
(
)
0
2 2 1
1 2
2
3 3 3
cos d


I t t= + = +
ũ

41
: (
01
- 2008) Tớnh cỏc tớch phõn sau:
2
2
3
1 0
1
1
4
d sin2
và d
cos

x x

I J x
x
x x
= =
+
+
ũ ũ

Gi ý:

ỏp s
:
1 3 2 2
ln ; .
3 2 4


I J
ổ ử
+
= =
ỗ ữ
ố ứ

42
: (
02
- 2008) Tớnh tớch phõn:
(
)

1
3
3
1
4
1
3
d
x x
I x
x
-
=
ũ

Gi ý:

ỏp s
6.I =

43
: (
03
- 2008) Tớnh tớch phõn:
1
2 2
3
4
2tan d
cos


x

e x
I x x x
x x
ộ ự
ờ ỳ
ổ ử
= + +
ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ

G
i ý:

Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO


T

ổ Toán Trường THPT Phong Điền

Đáp s
ố
4 1
2
3
9
.
4
π π
π
I e e= + -

Đề 44
:
(
Đ
ề 04
-
2008) Tính tích phân:
2
2 sin
0
2cos cos d
2
π
x
x
I x x e x

æ ö
= +
ç ÷
è ø
ò

G
ợi ý:

Đá
p số
1
2
π
I e e= - +
.
Đề 45
: (
Đề 01
- 2009) Tính tích phân:
(
)
2
3
0
sin
d
sin 3 cos
π
x

I x
x x
=
+
ò

Gợi ý:

Đáp số
3
6
I =
.
Đề 46
: (
Đề 02
- 2009 Tính tích phân:
2
0
1 sin
d
1 cos
π
x
x
I e x
x
+
æ ö
=

ç ÷
+
è ø
ò

Gợi ý:


2
2
2
0
1
.tan d .tan
2
2 2
cos
0
2
π
π
x x x
π
x x
I e e x e e
x
æ ö
ç ÷
æ ö
= + = =

ç ÷
ç ÷
è ø
ç ÷
è ø
ò

Đề 47
: (
Đề 03
- 2009 Tính tích phân:
(
)
2
3
0
sin
d
sin cos
π
x
I x
x x
=
+
ò

Gợi ý:

Đáp s

ố
1
2
I
=
.


















Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ B

ẢO


T
ổ Toán Trường THPT Phong Điền