SON VH <>
Bài Giải một số bài tập trong giáo trình Đại Số Sơ Cấp
70 messages
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 9:12 AM
To:
Bài 8b, Chương 1, $1.
Đề: CMR nếu thì ta có
Giải:
Biến đổi vế trái ta được:
Biến đổi vế phải ta được:
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 10:21 AM
To:
Bài 9, Chương 1, $1
Đề: Cho , CMR
Giải:
Để dễ nhìn, ta đặt a = x rồi biến đổi vế trái như sau:
Vế trái là 1 đa thức bậc 3 với x, nhận 3 nghiệm là (b+c), (b-c), (c-b) nên:
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 10:54 AM
To:
Bài 11, Chương 1, $1
Đề: Cho
CMR:
Giải:
Ta biến đổi vế trái như sau:
Khi k = 5, ta có:
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 11:08 AM
To:
Bài 1b, Chương 1, $2
Đề: Rút gọn biểu thức
Giải:
Ta có:

Do đó:
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 11:18 AM
To:
Bài 1c, Chương 1, $2
Đề: Rút gọn biểu thức
Giải:
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 12:56 PM
To:
Bài 2a, Chương 1, $2
Đề: Rút gọn biểu thức
Giải:
Đặt

Khi đó ta có:
Khai triển và rút gọn phương trình (2) ta được:
Do điều kiện ban đầu dẫn đến nên ta chỉ nhận nghiệm:
Vậy

SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 2:46 PM
To:
Bài 2c, Chương 1, $2
Đề: Đơn giản biểu thức
Giải:
Đặt

Khi đó ta có
Với điều kiện ban đầu thì tam thức bậc hai trong phuong trình (1)
có nên từ (1) ta suy ra với . Trường hợp ta thay vào biểu thức của C
ban đầu ta cũng nhận được . Như vậy ta có với mọi .
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 3:23 PM

To:
Bài 3d, Chương 1, $2
Đề: Tính giá trị biểu thức
với và
Giải:
Ta có
Ta biến đổi D như sau:
Vậy
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 3:51 PM
To:
Bài 8, Chương 1, $2
Đề: Chứng minh số thực không thể viết dưới dạng với
Giải:
Giả sử tồn tại các số hữu tỉ sao cho , từ đó suy ra:
Nhận xét: Vế trái của (1) là số vô tỷ, còn vế phải hữu tỉ, số vô tỷ bằng số hữu tỷ là điều vô lý.
Vậy không tồn tại các số p,q thỏa mãn đề bài. (đpcm)
SON.VH <> Wed, May 15, 2013 at 9:17 PM
To:
Bài 10, Chương 1, $2
Đề: Chứng minh rằng nếu và thì
Giải:
Do nên ta có thể giả sử , trong đó và .
Thật vây, với một bộ số hữu tỉ tùy ý, ta luôn có thể quy đồng mẫu số các số hữu tỉ đó để được các số hữu tỉ mới có cùng mẫu số.
Thay vào phương trình đề cho ta được:
Bây giờ, từ (1) ta có:
Suy ra , thay vào phương trình trên ta được:
Suy ra , thay vào phương trình trên ta được:
Suy ra
Lập lại cách làm trên k lần, ta nhận thấy là các bội số của , trong đó k là một số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉ có thể xảy
ra khi hay (ĐPCM)

SON.VH <> Sat, May 18, 2013 at 2:02 PM
To:
Bài 2, Chương 1, $3
Đề: Cho . Hãy biểu diễn z theo y và ngược lại, y theo z.
Giải:
Ta có:
Từ đó ta suy ra z theo y:
SON.VH <> Sat, May 18, 2013 at 2:21 PM
To:
Bài 4c, Chương 1, $3
Đề: CMR nếu thì
Giải:
Đặt
Suy ra:
Tính toán tương tự ta cũng có:
Vậy: (đpcm)
SON.VH <> Sat, May 18, 2013 at 9:03 PM
To:
Bài 1f, Chương 1, $4
Đề: Cho A, B, C là 3 góc của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
Từ đó suy ra tổng 3 phân số có dạng bằng tích của chúng.
Giải:
Do A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nên ta có:
Ta biến đổi tương đương hai vế:
Chứng minh tổng bằng tích :
Đặt , ta có:
Do đó:
Mà nên theo chứng minh ở trên ta có:
Vậy:


SON.VH <> Sat, May 18, 2013 at 9:28 PM
To:
Bài 4, Chương 1, $4
Đề: Tính giá trị biểu thức

với là hai nghiệm của phương trình .
Giải:
Do là hai nghiệm của phương trình nên ta có:
Thay vào biểu thức S ta được:
Vậy .
SON.VH <> Sat, May 18, 2013 at 10:02 PM
To:
Bài 5a, Chương 1, $4
Đề: Tính
Giải:
Ta có:
Cho k chạy từ 0 đến n rồi lấy tổng, ta được:
Trường hợp ta thay vào biểu thức của , khi đó .
SON.VH <> Sat, May 18, 2013 at 10:31 PM
To:
Bài 5c, Chương 1, $4
Đề: Tính
Giải:
Ta có:
Từ đó ta tính như sau:
Vậy :
SON.VH <> Sun, May 19, 2013 at 7:49 PM
To:
Bài 6c, Chương 1, $4
Đề: Chứng minh rằng

Giải:
Bài này ta có thể giải bằng 2 cách như sau.
Cách 1:
Đặt

Vậy
Cách 2:
Ta có:
Ta lại có:
Vậy ta có phương trình:
Do nên ta chỉ nhận nghiệm => (đpcm).
SON.VH <> Sun, May 19, 2013 at 8:30 PM
To:
Bài 7c, Chương 1, $4
Đề: Chứng minh rằng

Giải:
Ta chứng minh bằng quy nạp.
Đặt vế trái của đẳng thức là
Với n=1, ta có:
Vậy đẳng thức đúng với n=1.
Giả sử đẳng thức đúng tới n=k, tức là ta có:
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1.
Ta có:
Vậy đẳng thức đúng với n=k+1. => (đpcm)
SON.VH <> Mon, May 20, 2013 at 8:23 PM
To:
Bài 8, Chương 1, $4
Đề: Tính tổng
trong đó lập thành cấp số cộng.

Giải:
Giả sử d là công sai của cấp số cộng , . .
Ta chứng minh
Bằng quy nạp, ta có:
Khi n=2, ta có: , => (*) đúng.
Giả sử (*) đúng tới n=k, tức là ta có:
Ta chứng minh (*) đúng với n=k+1.
Thật vậy, xét:
Do là cấp số cộng với công sai d nên ta có: , thay vào biểu thức trên và rút gọn lại ta được:
Vậy (*) đúng với n=k+1.
Từ đó suy ra tổng cần tính của đề bài là:
Trường hợp , ta có:
Từ đó ta dễ dàng tính được tổng .
Luận bàn:
Nếu đề bài yêu cầu chứng minh tổng vế trái bằng vế phải, ta dùng quy nạp chứng minh được dễ dàng. Tuy nhiên đề bài yêu cầu tính
tổng, nghĩa là ta phải tự tìm công thức của vế phải. Để tìm công thức vế phải, đòi hỏi phải chịu khó tính toán một số trường hợp đặc
biệt đầu tiên của tổng S khi n=2,3,4, và phải quan sát tốt các biểu thức đã tính đó để dự đoán công thức tổng quát.
Ta thử tính một số trường hợp đặc biệt trong tổng đề bài cho như sau:
Từ các biểu thức trên, ta dự đoán mẫu số của bằng với , xem như là đã có công thức tổng quát của mẫu số.
Còn tử số của thay đổi phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của i, ta phải quan sát kỹ các tử số của . Nếu giả sử tử số của
là , ta có biểu thức của như sau:
nếu i chẳn
nếu i lẻ.
Ta xét từng trường hợp i chẳn và lẻ để tính . Tính toán dựa vào công thức:
Lần lượt cho k = 1,3,5, vào công thức (1) ta tính được với i lẻ.
Lần lượt cho k = 2,4,6, vào công thức (1) ta tính được với i chẳn.
Cả 2 trường hợp đều dẫn đến cùng kết quả là:
Từ đó ta tìm được công thức của . Sau đó thử quy nạp lại thấy đúng. Nếu thử quy nạp lại mà không đúng nghĩa là ta đã dự đoán
công thức sai và phải dự đoán lại ./.
SON.VH <> Mon, May 20, 2013 at 9:02 PM

To:
Bài 2, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Tìm điều kiện để đa thức là lập phương của một đa thức bậc nhất.
Giải:
Giả sử f(x) là lập phương của đa thức bậc nhất, khi đó . Do đó đa thức f(x) có 3
nghiệm. Theo định lý Bezout, f(x) có thể viết lại thành: . Từ đó suy ra nghiệm của f(x) có
dạng .
Áp đụng định lý Viét trong cho phương trình bậc 3, ta có:
Khử q từ hệ trên ta được:
Thử lại ta thấy điều kiện trên thỏa yêu cầu đề bài.
Vậy
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 11:22 AM
To:
Bài 4, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Cho .
Chứng minh:
Giải:
Ta thay vào vế trái của đẳng thức trên, ta được:
Sau khi nhân khai triển và rút gọn lại, ta được:
Ta xem vế trái là một đa thức bậc 4 với ẩn a, hệ số bậc cao nhất là . Dễ dàng kiểm tra được các giá trị sau đây là nghiệm:
Đo đó đa thức P(a) (vế trái) có thể viết lại thành:
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 4:30 PM
To:
Bài 6, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Đơn giản biểu thức:
Giải:
A1 có thể viết lại thành:
Vậy
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 4:46 PM
To:

Bài 7b, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Rút gọn
Giải:
Vậy
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 5:02 PM
To:
Bài 7c, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Rút gọn
Giải:
Đến đây coi như đã gọn. Nếu muốn gọn hơn nữa thì ta tiếp tục xét dấu các biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối và kết quả như sau:
hay
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 5:16 PM
To:
Bài 7f, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Rút gọn
Giải:
Điều kiện để F xác định là
Với điều kiện xác định trên, ta biến đổi F như sau:
Vậy
Lưu ý: Nếu không ghi rõ điều kiện thì sẽ thiếu vì nếu hay ., vì khi đó F không xác định còn thì luôn
xác định với mọi x.
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 6:00 PM
To:
Bài 8a, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Tính giá trị biểu thức với và .
Giải:
Biến đổi công thức của x, ta được:
Ta trục căn thức ở mẫu của A, sau đó biến đổi như sau:
Vậy .
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 7:01 PM

To:
Bài 9b, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Chứng minh rằng
Giải:
Ta có:
Như vậy nếu ta đặt Vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A thì ta có .
Ta có:
Suy ra:
Vì A>1 nên ta chỉ nhận nghiệm A=3. (đpcm)
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 7:37 PM
To:
Bài 9c, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Chứng minh rằng
nếu và
Giải:
Đặt ,
Ta có: , thay vào Vế trái của (*), ta được:
Cũng từ ta suy ra:
Khi đó Vế phải của (*) sẽ trở thành:
Vậy
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 7:58 PM
To:
Bài 9d, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Chứng minh rằng
nếu x, y cùng dấu.
Giải:
Do x, y cùng dấu nên x, y cùng âm hoặc cùng dương. Ta xét 2 trường hợp.
Trường hợp 1: .
Ta có: , vế phải của (*) sẽ là:
Xét vế trái của (*):

Do nên ta có (Bất đẳng thức Cauchy). Khi đó:
Vậy ta thấy (*) đúng khi .
Trường hợp 2: ,
Ta đặt , với . Thay vào biểu thức 2 vế của (*), ta được:
Ta thấy (**) chính là trường hợp 1 đã được chứng minh, với u đóng vai trò của x, v đóng vai trò của y. Suy ra (**) đúng, suy ra (*) đúng.
Tổng hợp cả 2 trường hợp, ta có (đpcm).
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 8:17 PM
To:
Bài 10, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Đơn giản biểu thức
Giải:
Điều kiện để A xác định là :
Ta biến đổi A như sau:
Vậy với điều kiện hoặc .
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 8:55 PM
To:
Bài 14b, Chương 1, Phần làm thêm
Đề: Tìm điều kiện xác định và đơn giản biểu thức:
Giải:
Điều kiện để B xác định:


Ta rút gọn B như sau:
Vậy
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 9:40 PM
To:
Bài 1, Chương 2, $1
Đề:
Cho hai phương trình f(x)=0 (1), và f(x)g(x)=0 (2). Hãy nêu ví dụ cho các trường hợp:
a) (2) là hệ quả của (1) nhưng (1) không là hệ quả của (2).

b) (1) là hệ quả của (2) nhưng (2) không là hệ quả của (1)
c) (1) và (2) tương đương nhau
d) Hai phương trình không có nghiệm chung.
Giải:
Ta cần nhớ rằng một phương trình là hệ quả của phương trình kia nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình kia.
Như vậy ta giải quyết bài toán như sau:
Câu a)
Ta cho trước tập nghiệm của (2), ví dụ tập đó là B={1,2,3}. Giả sử tập nghiệm của (1) là A={3} thì ta suy ra (2) là hệ quả của (1) nhưng
(1) không là hệ quả của (2).
Ta tìm các biểu thức f(x) và g(x) sao cho khi g(x)=0 thì f(x) không xác định (nghĩa là ta loại bớt nghiệm của (2) để được nghiệm của (1)
là con của (2).
Ví dụ:
Phương trình (1):
Phương trình (2):
Câu b)
Ta làm tương tự câu a, cho tập nghiệm của (1) là A={1,2,3} chứa tập nghiệm của (2),là B={3}, sao cho tại 1 vài nghiệm thì g(x) không
xác định.
Ví dụ:
Phương trình (1):
Phương trình (2):
Câu c):
Cho tập nghiệm của (1), A={1,2,3} bằng với tập nghiệm của (2) là B={1,2,3}. Ta chỉ cần tìm g(x) sao cho g(x) xác định tại các nghiệm
và g(x)=0 vô nghiệm.
Ví dụ:
Phương trình (1):
Phương trình (2):
Câu d)
Để 2 phương trình không có nghiệm chung, ta cho f(x) =0 trước, cần tìm g(x) sao cho mọi nghiệm của g(x)=0 làm cho f(x) không xác
định.
Ví dụ:

Phương trình (1):
Phương trình (2):
Rõ ràng (1) và (2) không có nghiệm nào chung.
SON.VH <> Tue, May 21, 2013 at 10:05 PM
To:
Bài 3, Chương 2, $1
Đề:
Biết rằng hai phương trình và là tương đương nhau. Chứng
minh rằng khi đó ta có và .
Giải:
Do phương trình (1) và (2) tương đương nhau nên mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (1). Ta xét vài nghiệm đặc biệt của (2) như
sau:
Khi (x,y)=(1,0), thay vào (1) ta được:
Khi (x,y)=(0,1) thay vào (1) ta được:
Bây giờ, ta lại thay vào (1), khi đó: .
Lấy một nghiệm khác 0 nào đó thay vào (1a) ta suy ra được . Khi đó:
Đến đây ta đã chứng minh được . Bây giờ giả sử nếu , khi đó phương trình (1) trở thành phương
trình đồng nhất có vô số nghiệm (mặt phẳng Oxy), tập nghiệm này lớn hơn nhiều so với tập nghiệm của phương trình (2) (chỉ là
đường tròn tâm O, bán kính r=1). Do đó (1) và (2) không tương đương, mâu thuẫn giả thiết, nên .
Thử lại, với , ta có
(đpcm)
SON.VH <> Wed, May 22, 2013 at 8:31 PM
To:
Bài 1, Chương 2, $2
Đề:
Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỉ nếu p, q là các số nguyên lẻ.
Giải:
Giả sử (*) có nghiệm hữu tỉ
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m, n là các số không cùng chẵn và UCLN(m,n)=1.
Thật vậy, nếu m, n cùng chẵn hay UCLN(m,n)>1 ta đều có thể rút gọn số hữu tỉ để được số hữu tỉ tối giản bằng với .

Khi đó ta có:

Do p, q lẻ nên ta đặt thay vào phương trình trên ta được:
Vế trái và vế phải của (1) là các số nguyên, mà vế phải chia hết cho 2, nên vế trái cũng chia hết cho 2. Từ đó ta suy ra:
. Suy ra là số chẵn. Với mỗi số nguyên m, n biểu thức chỉ nhận giá trị
chẵn khi m và n cùng chẵn => mâu thuẫn giả thiết m và n không cùng chẵn.
Như vậy (*) không có nghiệm hữu tỉ nếu p, q là các số nguyên lẻ. => (đpcm)
SON.VH <> Wed, May 22, 2013 at 9:20 PM
To:
Bài 2, Chương 2, $2
Đề:
Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình là số thực với mọi p nếu a<b<c<d.
Giải:
Ta có
Trường hợp 1: p=-1. Khi đó ta có (**) chính là phương trình bậc nhất 1 ẩn, có nghiệm thực là
Trường hợp 2:
Ta tính như sau:
Để xét dấu của , ta xem là một tam thức bậc 2 với ẩn p. Khi đó ta có:
Ta thấy
do đó (**) luôn luôn có 2 nghiệm thực phân biệt => (*) luôn luôn có 2 nghiệm thực với
Tổng hợp cả 2 trường hợp ta có (*) luôn luôn có nghiệm thực với mọi p nếu a<b<c<d (đpcm).
SON.VH <> Wed, May 22, 2013 at 9:37 PM
To:
Bài 3, Chương 2, $2
Đề:
Giả sử . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình và có
nghiệm thực.
Giải:
Ta có:


(do giả thiết )
Do nên có ít nhất hoặc . Suy ra trong hai phương trình (1) và (2) có ít nhất một phương trình có
nghiệm thực (đpcm).
SON.VH <> Thu, May 23, 2013 at 8:24 AM
To:
Bài 4, Chương 2, $2
Đề:
Chứng minh rằng nếu hai phương trình và phương trình có một nghiệm
chung thì ta có :
Giải:
Gọi là nghiệm chung của (1) và (2). Khi đó ta có: và . Lần lượt thay các giá trị c và c'
vừa tìm được vào vế trái và vế phải của (*), ta tính được: