THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm
và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị;
tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số;
tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương
giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường
thẳng);
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0), y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠
0),
và y =
ax b
cx d
+
+
(ac ≠ 0), trong đó a, b, c, d là những số cho
trước.
Trình bày lời giải cho khảo sát hàm số.
Học sinh phải trình bày đủ 5 bước:
Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Trình bày các giới hạn của hàm số: giới hạn bên phải, giới
hạn bên trái tại điểm gián đoạn (nếu có), giới hạn khi x
dần đến +∞, -∞ đồng thời chỉ ra tiệm cận (nếu có).
Bước 3: y’=? ; y’=0  x=? => y=?
Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.
Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số
Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thì với trục tung, trục hoành (nếu
có), tính điểm phụ rồi vẽ đồ thị hàm số.
Lưu ý: Trong phần này, nếu học sinh gộp chung các bước 2,3,4
thì sẽ bị mất điểm.
2. Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phương
trình.
PP: Cho y = F(x,m)
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
1
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
•
Đưa phương trình về dạng f(x) =g(m) (1)
(C ): y=f(x) ; (D) : y=g(m)
•
Số điểm chung của (C ) và (D) là số nghiệm của (1)
Chú ý : phân chia các trường hợp biện luận theo y
cd
, y
ct

3. Biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = mx +
n .
•

Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với đường
thẳng.
•
Biến đổi dẫn đến phương trình dạng
2
0Ax Bx C+ + =
, (1).
•
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị với đường
thẳng
Chú ý :
•
Khi
A
có chứa tham số ta phải xét hai trường hợp
0A
=
,
0A
≠
.
•
Khi gặp đồ thị dạng
ax b
y
cx d
+
=
+
, học sinh cần đặt thêm điều

kiện
0cx d+ ≠
vào phương trình (1).
BÀI TẬP
1:Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − + +
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3
nghiệm phân biệt
3 2
3 0x x k− + =
.
2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình
sau theo m: x3 + 3x2 + 1 =
2
m
3: Cho hàm số
3
3 1y x x= - +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )

C
hàm số trên.
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
2
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
b. Dựa vào đồ thị
( )
C
biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
3
3 1 0.x x m- + - =
4: Cho hs
= − −
3
y (x / 3) x m
, (C).
a. Khảo vẽ đồ thị ( C ) khi m=0
b.Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm.
5: Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
trình: x
4
– 4x

2
– 2m + 4 = 0
6: Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thieân và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b. Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:
|x4 – 2x2 + 1| = m .
7: Cho hàm số y =
2 1
2
x
x
+
+
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Chứng tỏ đường thẳng (d): y = – x + m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A,B với mọi m. Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất
8 : Cho hàm số y =
4
4
−x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m. Tìm
m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (tại một
điểm thuộc đồ thị hàm số, đi qua một điểm cho trước, biết

hệ số góc).
 PP: Tiếp tuyến: ptrình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
, y
0
) thuộc
(C)
Dùng công thức y = f’(x
0
).(x – x
0
) + y
0
;
 Tiếp tuyến của đồ thị qua điểm A(x
1
,y
1
).
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
3
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
Cho (C): y = f(x). Gọi k là hsg của tiếp tuyến, A(x
1
,y
1
) là
điểm mà tiếp tuyến đi qua, thì ph trình có dạng (d): y =
k(x - x

1
) + y
1

Để (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), thì hệ tiếp xúc
sau có nghiệm:
⇔

1 1
( ) ( ) ,(1)
'( ) ,(2)
= − +


=

f x k x x y
f x k
, có nghiệm
⇒
k = ?
•
Tiếp tuyến của đồ thị được cho trước hệ số góc.
Ptrình tiếp tuyến (d) có dạng y = kx + b. Sau đó sử dụng hệ tiếp
xúc.
Lưu ý:
Nếu (d) // (d’): y = k
1
x + d


k = k
1
.
Nếu (d)
⊥
(d'): y = k
1
x + d

k. k
1
= -1
1: Cho hàm số
2x 3
y
3 x
−
=
−
( C )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
b. Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung. Tìm phương
trình tiếp tuyến của ( C ) tại A.
2: Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − + −
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phuơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(-1;3)
3: Cho hàm số số y = - x

3
+ 3x
2

– 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Viết ptrình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là
nghiệm của phương trình y” = 0.
4: Cho hàm số
( )
1
1
1
+
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát hàm số (1)
b. Viết ptrình tt của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
5: Cho hàm số y = x
3
+(m -1) x
2
–(m +2)x -1 (1)
a. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường
thẳng y = x/3 và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
4
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
6: Cho hàm số
2 1
1
− +
=
−
x
y
x
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Viết pttt của (C), biết nó song song với dt y= x+4
7: Cho hàm số
4 2
6y x x= − − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x= −
(D-2010)
4. Tìm những điểm trên đồ thị thỏa tính chất cho trước :
1: cho hàm số
2

3
+
=
−
x
y
x
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường
tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
2: Cho hàm số
2 1
1
− +
=
−
x
y
x
a. Khảo vẽ (C )
b.Tìm điểm M∈Ox sao cho từ M ta kẻ được đúng 2 tiếp tuyến
của (C )
3: Cho hàm số y=
2
1
x
x +
(C )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M
cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
¼
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
5
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
4: Cho hàm số :
3 2
1 1
y x mx 2x 2m
3 3
= + − − −
(1) (m là tham số).
a. Khảo vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Tìm m ∈(0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số (1) và các đ thẳng x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4.
5: Cho hàm số:
2 4
1
x
y
x
−
=
+
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
MN, biếtM(-3;0) và N(-1;1).

5. Một số bài toán nâng cao:
Câu 1 Cho hàm số y = 2x
4
– 4x
2
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình
2 2
x x 2 m− =
có
đúng 6 nghiệm thực phân biệt? (B-2009)
Câu 2 Cho hàm số y =
2x 1
x 1
+
+
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đ thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho t-giác OAB có diện tích bằng
3
.(B-
2010).
Câu 3 Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m (1), m là số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị của hs (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ x1, x2, x3 thỏa điều kiện :
2 2 2
1 2 3
x x x 4+ + <
(A-2010)
Câu 4 Cho hàm số y=x
4
-(3m+2)x
2
+3m có đồ thị (C
m
)m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
m =0
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
6
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
2. Tìm m để đường thẳng y= - 1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm
phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. (D-2009)
Câu 5: Cho hàm số
2
(1)
2 3
x
y
x
+
=

+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân
biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O (A-2009)
Câu 6: Cho hàm số
)1(
1
1
−
+
=
x
x
y
Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
Tìm m để đường thẳng D:y=2x+m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt
A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau
Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M
đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất
Câu 7: Cho hàm số
)1(12
224
+−= xmxy
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của
một tam giác vuông cân
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
1.GTLN GTNN
* Cách tìm GTLN-NN liên tục trên (a;b)
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a;b)
- Dựa vào BBT để kết luận
* Cách tìm GTLN-NN của hàm số f liên tục trên [a,b].
+ Tìm các điểm x
1
,x
2
, , x
n
thuộc (a;b) tại đó đạo
hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
7
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
+ Tính f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(a )và f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên
[ , ]
[ , ]

max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
Bài tập :
1Tìm GTNN của hàm số y =
2
4 16 2x x− + +
.
2Tìm GTLN của hàm số y =
4 2
4 6 6x x+ −
.
3:Tìm GTNN của hàm số y =
4 3
6 8x x− +
.
4:Tìm GTLN - NN của hàm số y =
3 2
3 4x x− −
trên nửa đoạn [3;5)
.
5:Tìm GTLN - NN của hàm số y = x +
1
x
trên nửa đoạn (
1
2
;2] .
6:Tìm GTLN – NN của hàm số y =

5 3
5
4
5 3
x x
x− +
. Trên đoạn
[0;3].
7:Tìm GTNN của hàm số y = x
2
.e
x
trên đoạn [-1;1] .
8:Tìm GTLN của hàm số y =
2
ln
x
x
trên đoạn [e;e
3
] .
9:Tìm GTLN, GTNN của y= ln(x
2
+x - 2) trên đoạn [ 3; 6]
Bài tập nâng cao:
1.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
4 21 3 10y x x x x= − + + − − + +
2. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn x + y = 1.
Tìm GTLN.GTNN của biểu thức S = (4x

2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy
HD. Đặt t=xy t
∈
[0;1/4]
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
8
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
3. Tìm GTNN của hàm số:
( ) ( )
2 2
2 2
x y x y
f x, y 3 8 , x 0, y 0
y x y x
 
 
= + − + ≠ ≠
 ÷
 ÷
 
 
4. Cho hai số thực x, y thoả mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A = x
4
+ y
4

HD.đưa về hàm số theo biến x
5. Tìm GTLN- NN của hàm số
2
4y x x= + −
(B-2003)
6. tìm GTLN,NN của
2 2
( )(1 )

(1 ) (1 )
x y xy
P
x y
− +
=
+ +
với x, y không âm ( D-
2008)
HD: AD Cauchy cho 2 số
12 15
5 4
x x
   
+
 ÷  ÷
   
2.HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT MŨ , LÔGARIT.
Công thức
baa
b

aa
a
===
log
;1log;01log

cbcb
aaa
loglog).(log +=

“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
9
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12

cb
c
b
aaa
logloglog −=







bb
aa
log.log

α
α
=
ccb
b
c
c
aba
a
a
b
loglog.log
log
log
log =⇒=
Đặc biệt :
1
log ; log log
log
a a
a
b
b b b
a
α
β
β
α
= =


cbcba
cbcba
aa
aa
<<⇔><<
>>⇔>>
0loglog:10
0loglog:1
Bảng đạo hàm:
xx
ee =)'(
aaa
xx
ln.)'( =
x
x
1
)'(ln =
aa
x
x
a
ln
1
)'(log =
)0,0(.)'(
1
>≠=
−
xxx

αα
αα
n
n
n
xn
x
1
1
)'(
−
=
uu
eue '.)'( =
aaua
uu
ln.'.)'( =
u
u
u
'
)'(ln =
au
u
u
a
ln.
'
)'(log =
'.)'(

1
uuu
−
=
αα
α
n
n
n
un
u
u
1
.
'
)'(
−
=
A. LUỸ THỪA:
1. Tính:
a.
?8.2
5532
=
−
b.
?9:3
33
2221
=

+

2. Rút gọn các biểu thức sau: ( với a, b là những số dương )
a.
( )








−++
3
3
2
3
2
33
abbaba
b.









++−








−
33
3
1
3
1
2:
a
b
b
a
ba

“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
10
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
B. LÔGARIT
1: Tính:
a)
125log

5
1
b)
15log
8
2
c)
5log
81
3
1






d)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−

2: a) Cho
a=5log
2
,
b=3log
2
. Tính
135log
3
theo a, b.
b) Cho
15log
3
=a
. Tính
15log
25
c) Cho biết
3 5
log 15 ; log 10a b= =
tính
3
log 50
3. CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = e
sinx
; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2

x
= 0
C. PT, BPT MŨ VÀ LÔGARIT :
I. PT, BPT MŨ
1. PT MŨ :
Cách 1: Đưa về cùng cơ số.
a. (1,5)
5x – 7
=
1x
)
3
2
(
+
b. 7
x – 1
= 2
x
c. 2
x+4
+ 2
x+2
= 5
x+1
+3.5
x
d. 5
2x
– 7

x
– 16.7
x
+
7
x
.17 = 0
e. 3
x +4
+ 3.5
x + 3
= 5
x+4
+ 3
x+3
Cách 2 : Đặt ẩn phụ
a.
2505.55.
5
1
xx2
=+
b. e
6x

= 3e
3x
+2



= 0
c. e
2x
– 3
ex

- 4 + 12e
-x

= 0 d. 4.9
x
+12
x
– 3.16
x
= 0
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
11
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
BT tự luyện:
1.1. 1. 25
x

- 6.5
x
+ 5 = 0 2. (3
x
+ 2
x

) (3
x
+ 3.2
x
) = 8.6
x
3. 64
x
– 8
x
– 56 = 0 4. 3.4
x
– 2.6
x
= 9
x
5. -8
x
+ 2.4
x
+2
x
– 2 = 0 6. 6.4
x

- 13 .6
x
+ 6.9
x
= 0

7. 4
x+1
– 6 . 2
x+1
+ 8 = 0 8. 3
4x+8
– 4.3
2x+1
+8 = 0
9. 3.25
x
+ 2.49
x
= 5.35
x
10. 3
2x+4
+ 45.6
x
– 9.2
2x+2
=0
11. 8
x+1
8.(0,5)
3x
+3.2
x+3
= 125 – 24 .(0,5)
x

12. 3
x+1
+18.3
-x
= 29 13.
x
27
+12
x
=2.8
x
14. 9
1+x
-4.3
1+x
-45 = 0 15. 9
x
– 3
x
+2 = 0
16. x
2

= (2-2
x
)x+1 – 2
x

= 0, (t = 2-2
x

)
1.2 Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:
a)
1032
+=
−
x
x
b)
52
3
1
+−=






−
x
x
2 BPT MŨ
Bài 1: Giải các bpt mũ sau
a.
255
2
<
+
xx

b. 9
x
+ 6.3
x
– 7 > 0
c. 4
x
+3.6
x
– 4.9
x
< 0 d.
1
(0,4) (2,5) 1,5
x x
+
− >
(4)
BT tự luyện: Giải các bpt mũ sau
a.
93
2
<
−
x
b.
9
7
9
7

32
2
≥






−
xx
c.
42
3
2
<
+−
xx
d.
06416
≤−−
xx
e.
3
23
3
<
−
x
x

f.
xx
1111
6
≥
+
II. PT, BPT LÔGARIT:
1. PT LÔGARIT :
Bài 1: Giải phương trình lôgarit sau:
a) log
2
x + log
4
x + log
8
x = 11 b.
+
1 2
=1
5+log x 1+log x
3 3
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
12
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
b) log
2
(5 – 2
x
) = 2 – x

Bài 2: Giải các phương trình lôgarit sau:
a)
2 1
8
1 1
log ( 2) log 3 5
6 3
x x
− − = −
b)
lg lg lg
4.4 6 18.9 0
x x x
− − =
c)
8
2
4 16
log 4
log
log 2 log 8
x
x
x x
=

2.1. Giải các phương trình sau:
a.
5)4(loglog
24

=+
xx
b.
3
log (4.3 1) 2 1
x
x− = +
c.
2 7
log ( 2) log ( 1) 2x x
+ + − =
d.
34
log24loglog xxx
+=+
e.
( )( )
[ ]
0
3
2
log32log
44
=
+
−
+++
x
x
xx

f.
)2(log5log21
52
+=+
+
x
x
g.
)2(log2log)2(log
35
3
−=−
xxx
2.2. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:a) a.
xx 3log
3
1
=
b)
11log
3
+−=
xx
2. BPT LÔGARIT:
Bài 1: Giải bất phương trình lôgarit sau:
a) log
0,2
(5x +10) < log
0,2
(x

2
+ 6x +8 )
b)
2
1 3
3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥
c)
1)1(loglog
2
2
13
<−
x
d)
4)82(log
2
2
1
−≥−+
xx
2.1 Giải các bpt lôgarit sau
a)
( )
0,2 5 0,2
log log 5 log 3x x
− − <
b)
2
3 3

(log ) 4log 3 0x x
− + ≤
c)
1)5(log)3(log
33
<−+−
xx
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
13
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
d)
0loglog
2
2
3
1
>
x
e)
1
log1
2
log5
1
<
+
+
−
xx

f.
14log33log4
4
≤−
x
x
g.
2
0,1 0,1
log ( 2) log ( 3)x x x
+ − > +
Bài tập nâng cao :
1. Giải pt
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2 ( )
x x x x x x
x
+ + + + + −
+ = + ∈ ¡
(D-
2010)
2. Giải pt
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =

(A-
2008)
3. Giải pt 3.8
x
+ 4.12
x
- 18
x
- 27
x
= 0 (A-2006)
4. Giải pt
( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
x x
− + + − =
(B-2007)
5. Cho phương trình
01m21xlogxlog
2
3
2
3
=−−++
(2) (m là
tham số).
1. Giải phương trình (2) khi m = 2.
2.Tìm m để pt (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
1,
3
3

 
 
.
HD: đặt t=
2
3
log 1x +
≥
1 (A-2002)
6.Giải hệ
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
− +

+ = +


=


(A-2009)
7.Giải hệ
log log
2 2 3
y x

x y
xy y

=


+ =



HD: đặt t=
log
x
y
8.Giải BPT
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
(D-2008)
9.Giải BPT
2
0.7 6
log (log ) 0
4

x x
x
+
<
+
(B-2008)
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
14
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
10. Giải BPT
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2x x− + + ≤
(A-2007)
11.Giải BPT
2
5 5 5
log (4 144) 4.log 2 1 log (2 1)
x x−
+ − < + +
(B-
2006)
12.Giải
2 3 4 2 2
2 2
5 6 .log ( )log 5 6x x x x x x x x x x+ + − > − + + −
HD đưa về tích số và chú ý điều kiện của BPT
13. Giải BPT
3

log (log (9 72)) 1
x
x
− ≤
(B-2002)
III. Nguyên hàm và tích phân
1. Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
1
x
x dx C
1
α+
α
= +
α +
∫
( )
( )
1
ax b
1
ax b .dx . C
a 1
α+
α
+
+ = +

α +
∫
dx
ln x C,(x 0)
x
= + ≠
∫
dx 1
.ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
ax b ax b
1
e .dx .e C
a
+ +
= +
∫
x
x
a
a dx C
ln a
= +
∫

x b
x b
1 a
a .dx . C
lna
α +
α +
= +
α
∫
cos xdx sin x C= +
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
sin xdx cos x C= − +
∫
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫
2
dx
tan x C
cos x
= +
∫

2
dx 1
tan(ax b) C
a
cos (ax b)
= + +
+
∫
2
dx
cot x C
sin x
= − +
∫
2
dx 1
cot(ax b) C
a
sin (ax b)
= − + +
+
∫
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
15
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
1. Tìm nguyên hàm
1. Tìm nguyên hàm
a. b. c. d.
2. a) Tìm nguyên hàm của f(x) = (2x-1)

2
biết F(0)=3
b) Tìm nguyên hàm của f(x) = 2sinx+ . x biết F( = 1
3. Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x
= +
;
( )
2
cosf x x=
.
a. Chứng minh rằng F(x) là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm G(x) biết rằng G(π/4)=0.
4: Tính đạo hàm của
2
1
f(x) ln
x x a
=
+ +
, a là hằng số. Từ đó suy
ra nguyên hàm của
2

1
x 4−
5 Tính đạo hàm của hàm số
2
x
g(x)
x 1
=
+
. Từ đó suy ra nguyên
hàm của hàm
( )
3
2
1
f(x)
x 1
=
+
2. Tích phân
2.1. Tính tích phân
1.
2
1
1x dx+
∫
2.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx

π
π
+ +
∫
3.
1
0
( )
x
e x dx+
∫
4.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
∫
5.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
16
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
2.2. Đổi biến số :Học sinh chú ý các dạng đổi biến số thường
gặp :
1

( ).
n n
f x x dx
+
∫
(đặt
1n
t x
+
=
),
(cos ).sinf x xdx
∫
(đặt
cost x=
),
(sin )cosf x xdx
∫
(đặt
sint x=
),
2
1
(tan ).
cos
f x dx
x
∫
(đặt
tant x=

),
1
(ln ).f x dx
x
∫
(đặt
lnt x=
)…
1.
4
0
tgxdx
π
∫
2.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
3.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
4.
1

2
0
1x x dx+
∫
5.
1
2
0
1x x dx−
∫
6.
1
3 2
0
1x x dx+
∫

7.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
8.
1
3 2

0
1x x dx−
∫
9.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
10.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
11.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
12.

1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
13.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
14.
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x


2.3. Tích phân từng phần:
 Phương pháp tích phân từng phần:
Công thức nguyên hàm từng phần:
b b
b
a
a a
udv [uv] vdu= −
∫ ∫
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
17
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
Các dạng hàm số dưới dấu tích phân thường dùng tích phân từng
phần:
•
P(x).sin ax  P(x).cos ax
•
P(x).Lnx  P(x).e
ax
•
e
ax
.sin bx  e
ax
.Cosbx.
1.
2
0

cos
x
e xdx
π
∫
2.
∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
3.
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx

4.
∫
−
e
dxxx
1
2
.ln).1(

5.
∫
3
1
.ln.4 dxxx
6.
∫
+
1
0
2
).3ln(. dxxx

2.4. Tích phân hàm hữu tỉ:
1.
∫
+−
−
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.
∫
+
2

0
2
4
1
dx
x
3.
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x
4.
dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
5.
∫
+
2

1
4
)1(
1
dx
xx
2.5. Tích phân hàm lượng giác:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin
∫
π
2.
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
3.
∫
−
2
0
cos2

π
x
dx
4.
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx
x
5
∫
−
2
2
2sin.7sin
π
π
xdxx
6.
2
4 4
0
cos (sin cos )
+
∫
x x x dx

π
Bài tập nâng cao:
Tính tích phân :
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
18
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
1.
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
I dx
1 2e
+ +
=
+
∫
(A-2010)
2. I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
∫

(B-2010)
3.
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
 
= −
 ÷
 
∫
(D-2010)
4.
( )
2
3 2
0
cos 1 cosI x xdx
π
= −
∫
(A-2009)
5.
3
2
1
3 ln
( 1)

x
I dx
x
+
=
+
∫
(B-2009)
6.
3
1
1
x
dx
I
e
=
−
∫
(D-2009)
Câu III (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của
hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối
lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay;
diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
A. Công thức
Khối chóp:
1
V = Bh
3

Lăng trụ:
V =Bh
Khối nón:
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
19
C
B
A
H
A
B
C
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
π
2
1 1
V = Bh= r h
3 3
;
π
xq
S = rl
Khối trụ:
π
2
V = Bh = r h

π
xq

S =2 rl
Khối cầu:
3
π
4
V = r
3
,
2
π
S= 4 r
B. Một số kết quả cần nhớ
Tam giác đều ABC:
* Độ dài đường cao
AB 3
AH=
2
.
* Diện tích:
2
AB 3
S=
4
.
Tam ABC vuông tại A:
1
S= AB.AC
2
.
Hình vuông ABCD: * Đường chéo

AC = AB 2
.
* S=AB
2
.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc
30
0
. Tính thể tích khối chóp .
2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Biết SA = BC = a . Mặt
bên SBC tạo với đáy góc 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
3. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau
từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính
bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu
và thể tích của khối cầu đó .
4. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục
MN ta được hình trụ tròn xoay . Hãy tính thể tích của khối trụ tròn
xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
5. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20,bán kính đáy r=25.
aTính diện tích xung quanh hình nón.
bTính thể tích khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
20
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12

6.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh
đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt
cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a .
7. (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng
a
3a
.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: 1) V =
3
1
2
3
a
. 2) IB = IC =
ID = IS.
8. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC
= a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
ĐS: V =a
3
/6 .( TN 2007–pb)
9. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết ˆBAC = 1200 ,
tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
ĐS: V =
3
2

36
a
(TNPT 2009)
Câu IV.a (2 điểm):
Nội dung kiến thức: Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
21
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
A. KHOÂNG GIAN VEC TÔ
* Qui tắc ba điểm :
BAOBOA
OBABOA
=−
=+
* Trung điểm I của đoạn AB:
OIOBOA 2=+
* Trọng tâm G của tam giác ABC :
0
3
=++
=++
GCGBGA
OGOCOBOA
* Trọng tâm G của tam giác ABCD :

0
4
=+++
=+++
GDGCGBGA
OGODOCOBOA
* Điều kiện đồng phẳng :
cba ,,
đồng phẳng ∃! (m,n,p ) ≠ (0,0,0) sao cho
0=++ cpbnam
B. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Toạ độ của điểm và vec tơ
a. Tọa độ của điểm và vec tơ:
* Toạ độ điểm : M(x,y,z)=
xi y j zk+ +
r r r
* Toạ độ vec tơ:
kajaiaaaaaa
321321
),,( ++=⇔=
* Toạ độ
);;(
ABABAB
zzyyxxAB −−−=
* Độ dài AB=
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx −+−+−
*

2 2 2
1 2 3
| |a a a a= + +
r

(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)i j k= = =
r r r
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
22
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
b. Các phép toán vectơ:
Cho
1 2 3 1 2 3
( , , ); ( , , )a a a a b b b b= =
r r
Ta có :
*
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±
r r
*
1 2 3
( , , )ka ka ka ka=
r
* Tích vơ hướng
.a b
r r
=(a
1

b
1
+ a
2
b
2
+a
3
b
3
)
*
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a
a b
b b b b
b b
 
 
=
 ÷
 
 
r r
*

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
a b a b a b
a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r r
c. Điều kiện vuông góc :
*
1 1 2 2 3 3
. 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
r r
d. Điều kiện cùng phương
*
, 0a b
 
=
 
r r r
e. Điều kiện đồng phẳng:
ADACAB ,,
đồng phẳng 
, 0AB AC AD
 
=
 

uuur uuur uuur
f. Các công thức khác:
* Trung điểm I của đoạn AB: I(
, , )
2 2 2
A b
A B A B
x x
y y z z
+
+ +
* Trọng tâm G của tam giác ABC :
G
( )
, ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z+ + + + + +
* Diện tích tam giác ABC:
1
| , |
2
S AB AC
 
=
 
uuuruuur
* ABCD lập thành tứ diện :
< = >
, ,A B AC AD

uuuruuuruuur
không đồng phẳng 
, 0AB AC AD
 
≠
 
uuur uuur uuur
* Thể tích tứ diệnABCD: V=
1
| , |
6
AB AC AD
 
 
uuuruuur uuur
* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
23
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
V=
| , '|AB AC AA
 
 
uuuruuur uuur
2. Mặt Phẳng:
a.Pháp véc tơ vec tơ chỉ phương
vtcp :
b
a

=> vtpt
],[ ban =
b. Pt mặt phẳng a qua M
0
(x
0
,y
0
) pháp vectơ
),( BAn =
* (a) : A(x-x
0
) + B(y-y
0
) +C (z-z
0
) = 0
* Ax +By+Cz+D=0
* (a) qua A(a,0,0) ; B(0,b,0) ; C(0,0 c) :
1=++
c
z
b
y
a
x
3.Vị Trí Tương Đối Của 2 Mặt Phẳng:
( ) ( )
: Ax+By+Cz+D=0, n A,B,C
α

α =
r
( ) ( )
: A x+B y+C z+D =0, n A ,B,C
′
α
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
α =
r
1/
( )
α
cắt
( )
′
α

n
α
⇔
r
không cùng phương với
n
′
α
r
<= > A:B:C ≠ A’:B’:C’
2/
( ) ( )
//

′
α α ⇔

= = ≠
′ ′ ′ ′
A B C D

A B C D
.
4 Đường thẳng: Qua M(x
0,
y
0,
z
0
) vtcp
1 2 3
( ; ; )u u u u=
r
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
24
a
b
n
THPT Châu Văn Liêm .GV Đoàn Khoa Thọ
Ôn Thi toán 12
a. Phương trình tham số :
0 1
0 2
0 3

x x tu
y y tu
z z tu
= +


= +


= +

b. Phương trình chính tắc :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
u u u
− − −
= =
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng d :
0 1
0 2
0 3
x x tu
y y tu
z z tu
= +


= +



= +

và mp (P)
Ax+By+Cz+D=0
=>t(Au
1
+Bu
2
+Cu
3
)+Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0 (1) số nghiệm của
(1) là số điểm chung của d và (P)
6. Vị trí tương đối giừa 2 đường thẳng:
d qua M1(x0,y0,z0) có vec tơ chỉ phương
1
u
ur
a

d’ qua M2(x0’,y0’,z0’) và có vec tơ chỉ phương
2
u

uur
*d chéo d’ <=>
1
2 1 2
[ , ] 0u u M M ≠
r uur uuuuuur
*D ≡ D’ 
1 2
1 1 2
[ , ] 0
[ , ] 0
u u
u M M

=


=


ur uur r
ur uuuuuur r
* D cắt D’ 
1 2 1 2
1 2
[ , ] 0
[ , ] 0
u u M M
u u


=


≠


ur uur uuuuuur
ur uur r
* D // D’ 
1 2
1 1 2
[ , ] 0
[ , ] 0
u u
u M M

=


≠


ur uur r
ur uuuuuur r
7. Góc và khoảng cách
a. Góc giữa 2 mp :
“Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng”
25