Chứng minh các hệ thức tổ hợp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.25 KB, 2 trang )
Bài 1: Chứng minh các hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP
Bài 1: Chứng minh rằng với
, ; 2
∈ ≤ ≤
ℕ
k n k n
luôn có:
1 2 3 4
4
4 6 4
− − − −
+
+ + + + =
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
Giải:
(
)
(
)
( )
1 1 2 2 3 3 4
1 2 3 1 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3
ó : 3 3
3 3 2
2
− − − − − − −
− − − − − − − −
+ + + + + + + + + +
− − − − − −
+ + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + = + + + + +
= + + = + + + = +
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c VT C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C
1
4+
= =
⇒
k
n
C VP
DPCM
Bài 2: Chứng minh rằng:
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
+ + + + +
+ +
+ + + = +
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
Giải:
( )
1 2 1 1 2 1 2 2
1 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3
1 2 3 1 2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2 2
ó : 2
3 3 2
2
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + = + + + = + =
+ + + = + + + + +
= + + = + + + = + =
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
3
3
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
+
+
+ + + + +
+ +
⇒ + + + = +
k
n
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau:
0 2009 1 2008 2010 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1
−
−
= + + + + +
k k
k
S C C C C C C C C
Giải:
( )
(
)
( ) ( )
( )
2009
2010 2010
2009
0 1 2009 2009 2010
2009 2009 2009 2009
2010 !
2010! 2010! 2010.2009!
ó : .
! 2010 ! (2009 )! ! 2009 ! ! 2009 !
2010
2010 2010(1 1) 1005.2
−
−
−
= = =
− − − −
=
⇒ = + + + + + = + =
k k
k
k
k
k
Ta c C C
k k k k k k k
C
S C C C C
Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và
1
≤ ≤
k n
. Chứng minh rằng:
0 1 1 2 2
1 2 0
( 1) 0
− − −
− −
− + − + − =
k k k k n k
n n n n n n n
C C C C C C C C
Giải:
Bài 1: Chứng minh các hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
!
! ! !
. .
! ! ! ! ! ! ! !
1
0 1 2 2
1
ó : .
.
0 1 1 2 2 2
1
1 2 0
0 1 1 2 2
( 1)
1 2 0
−
=
− − − − −
=
⇒
= − ⇒
+ = + + + +
=
−
−
− − −
+ = + + + +
− −
− −
− + − + −
− −
n m
k n n
m k m k n k m n m k m n k
Thay x
k
k k
x C C x C x C x
k k k k
m k
Ta c C C
n
k
m k m
C C
n n m
k
k k k k k n k k
C x C C C C x C C x C C x
n n n n n n
n n
k k k k n
C C C C C C C C
n n n n n
n n
0
−
= ⇒
k
DPCM
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
