con lắc đơn
Bài 11: Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tơng ứng là T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc
trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l
1
+ l
2
, chu kì dao động 1,8s và con
lắc đơn có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T
1
, T
2
, l
1

, l
2
.
Lời giảI + Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
1
2 .
l
g

l
1
=
g.
4
T
2
2
1

(1)
+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
2

2 .
l
g

l
1
=
g.
4
T
2
2
2

(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T
3
= 2.
g
ll
21
+
l
1
+ l
2

=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=

=

(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì T
'
= 2.
g
ll
21

l
1
- l
2

=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=

=

(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2
42,1
10
51,0
=
(s)
T

2
= 2
1,1
10
3,0
=
(s)
Bài 12: Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lợng m, kéo con lắc ra
khỏi VTCB một góc
0
rồi thả không vận tốc đầu. 1. Lập BT vận tốc tơng ứng
với li độ góc suy ra BT vận tốc cực đại. 2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ
góc . Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g,
0
= 6
0
; g = 10(m/s
2
);

2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tơng ứng với li độ
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của con lắc
tại VT li giác bất kì bằng thế năng của con lắc tại VT biên.
mgh
0
= mgh +

2
1
(mv
2
) v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos) với h
0
= l(1 - cos)
I

h
0
- h
h = l(1 - cos) v
2
= 2gl (cos - cos
0
) Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0

Vì cos = 1- 2sin
2


2

khi << cos =
2
1
2


Tơng tự cos
0
=
2
1
2
0


| v | =
)(gl
22
0

+ Vận tốc cực đại khi

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl

0

+ áp dụng số: | v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=

(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc
+ Định luật 2 N
maTPF =+=
Chiều lên phơng dây treo
F
th
= -mg.cos +T = m
aht
T = mgcos + m.
l
v
2
= m (gcos +
l
v
2
)
v
2
= 2gl (

2
-
2
) ta đợc
T = mg (3cos - 2 cos
0
) = mg (
2
0
-
2
3

2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, vật ở VTCB
T
max
= mg (
2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1

150
6
2
=+=








+







(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2
1


2
0
)
Thay số
T
min
= 0,1.10
99,0
150
6
2
1
1
2
=

















(N)
Bài 13: Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có
khối lợng m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, ngời ta truyền cho vật nặng vận
I

h
l
l
0
v
l
tốc ban đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng
của dây treo theo li độ góc .
Xét trờng hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tơng ứng với li góc
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác
Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1

=+
v
2
= v
2
0
- 2gh v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cos)
| v | =
)cos1(gl2v
2
0

Khi góc << thì 1 - cos = 2sin
2
2

=
2
2

| v | =
22
0
gl2v
+ Vận tốc cực đại khi = 0 | v

max
| = v
0
, vật ở VTCB
Thay số | v
max
| = 1m/s + Vận tốc cực tiểu khi =
0
v
0
=
0

gk
v
min
= 0
* Lực căng dây
amTPF =+=
= mgcos + T = m
aht
T = mgcos + m
l
v
2
= m(gcos +
l
v
2
)

Thay v
2
ở trên T = mg
2cos3
gl
v
2
0
+








+ Khi nhỏ: cos = 1 -2sin
2
2


= 1 -
2
2

T = mg
)
2
3

1
gl
v
(
2
2
0
+
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, con lắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
=
0
gl

2
0
=
gl
v

2
0
T
min
= mg
)
gl2
v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
=+
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1

1
1.1,0
2
=
T
min
= 0,1 . 10
)
1.10.2
1
1(
2

= 0,95 (N)
Bài 14: Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào khi đa nó
vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lợt là 9,7926 m/s
2
9,7867 m/s
2
. Bỏ qua sự ảnh h-
ởng của nhiệt độ. Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc nh thế nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T
1
= 2
1
g
l
.

= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2
1
g
l
.
0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
==
T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)
+ Vì T
2
>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy chậm là:
t = 24.60.60.

26
T
TT
1
21
=

(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
T
'
2
= 2
2
'
g
l
.
= 2 (s)
VT T
1
= T
'
2

2
'
g
l
=

2
1
'
2
g
g
l
l
g
l
=
Thay số:
l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lợng là
l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4
T.g

nên l = 0,0006.
2
2
11

4
T.g

Thay số
l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=

(m) = 0,6 mm
Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối lợng m =
100 (g), đợc treo tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8 (m/s
2
).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dơng q = 2,5.10
-4
tạo ra đờng trờng đều có cờng độ E
= 1000 (v/m).
Hãy xác định phơng của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ của con lắc
trong các trờng hợp.
a) Véctơ
E
hớng thẳng xuống dới
b) Véctơ
E
có phơng nằm ngang.

Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T
0
= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
.
= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrờng đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP =
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trờng
+ Coi con lắc dao động trong trờng trọng lực hiệu dụng g
'
d
'
EPP +=
= m
'
g
Khi CB dây treo con lắc có phơng của

'
P
và chu kì dao động nhỏ đợc tính theo công thức:
T
'
= 2
'
g
1
.
a)
E
thẳng đứng xuống dới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hớng với
E
, tức là thẳng đứng xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phơng thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
mg
'
= mg + qE
g
'
= g +

m
qE
+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc






VTCB
+

T
d
F
'
P
P
T
'
= 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'

+
=
Thay số
T
'
= 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34
+
= 1,8 (s)
b) Trờng hợp E nằm ngang
+)
d
E
có phơng với
P
Khi CB, dây treo lệch góc

so với phơng thẳng đứng, theo chiều của lực điện trờng.
tg

=
mg
qE
P
F
d

=
tg

=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34




~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l

Từ hình vẽ:
P
'
=
g
cos
g
g

cos
P
'
>

=

Do đó: T

= 2
=

cosT
g
cosl
.
0
T
'
= T
0
97,114cos2cos
0
=

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga = 10m/s

2
. Treo
con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đờng ngang thì dây treo
hợp với phơng thẳng đứng 1 góc
0
= 9
0
a) Hãy giải thích hiện tợng và tính gia tốc a của xe.
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc theo T
0
.
Lời giải
a) Giải thích hiện tợng:
Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3 lực tác dụng.
+ Trọng lực
gmP =
+ Lực căng dây T
+ Lực quán tính
0
amF =
Khi con lắc ở VTCB
0FTP
q
=++
q
F
ngợc chiều với
0
a
nên ngợc chiều với

0
v
Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc về phía ngợc với chiều chuyển động của xe.
tg =
g
a
mg
ma
P
F
at
==
<< tg

do đó
a

g = 10.
9.
180

~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T

Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP =+=
(Coi con lắc dao động trong trờng gia tốc ghd = g
'
)
Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>

=

=

Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức
T = 2
'
g

l
.
Lại có T
0
= 2
g
l
.

=

== cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
Vậy T = T
0
cos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lợng m = 0,5kg.
Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc
0
= 6
0
rồi thả nhẹ cho dao động. Khi dao động

con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi nh không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại
+

F
'
P
P
0
a
0
v
của con lắc là = 3
0
coi chu kỳ dao động của con lắc nh khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lợng không đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma sát tối thiểu
là len. (g = 10m/s
2
,
2
= 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lợng không đổi
+ Lúc đầu, li giác cực đại là
0
, cơ năng của con lắc là:
E
0
= mgh
0

= mgl(1 - cos)
1 - cos = sin
2
2
2
0



E
0
=
2
0
mgl
2
1

+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là
1
, cơ năng của con lắc là:
E
1
=
2
0
mgl
2
1


E
0
- E
1
=
mgl
2
1
(
2
0
-
2
1
)
+ Sau nửa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại
2
, cơ năng của con lắc là:
E
2
=
mgl
2
1

2
2
E
1
- E

2
=
mgl
2
1
(
2
1
-
2
2
)
Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm E
E = (E
0
- E
1
) + (E
1
- E
2
) =
mgl
2
1
(
2
0
-
2

2
)
E =
mgl
2
1
(
0
-
2
)(
0
+
2
) = mgl
0
.
+ Công của lực cản:
A
C
= (S
0
+ 2S
1
+ S
2
)F
c
~ 7S
0

R
c
~4
0
kF
c
mgl
0
. = 4
0
lF
c
=
mg
F4
c
= const
Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lợng không đổi (đpcm).
2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2
10
1
.2
g
l
. =
= 2 (s)
+ Độ giảm năng lợng trong N chu kì là
E =

mgl
2
1

2
0
-
mgl
2
1

2
=
mgl
2
1
(
2
0
-
2
)
E =
222
2
2
10.08,2)36(
180
.10.5,0.
2

1

=

(J)
+ Công suất của động cơ là
2.100
10.08,2
T.N
E
t
E
12
===
= 1,04.10
-5
W
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nớc biển, ở nhiệt độ 10
0
C, một đồng hồ quả lắc trong một
ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ nh 1 con lắc đơn thanh treo con lắc có hệ số
nở dài = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t
0
là 6

0
C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ. Giải thích
hiện tợng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nớc biển. Coi trái đất là hình cầu có bán
kính R = 6400 km.
Lời giải
1. Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ
Giả sử đồng hồ chạy đúng ở t
0
C với chu kì
T = 2
g
)t1(l
2
g
l
10
+
=
ở t
1
= 100
0
, chu kì là T
1
= 2
g
)t1(l
10
+



2
1
t1
t1
T
T
11

+
+
+
=
(t
1
- t
x
)
(VT t
1
<< 1; t
1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh T
1
<T t
1
< t
+ Độ l
0

t chu kì theo t
0
T
1
= T
1
- T ~
)tt(
2
T
1

Thời gian mà đồng hồ chạy sai trong 1 ngày đêm là
t = 24.60.60.
)tt(.43200
T
T
1
1

Theo biên độ t = 6,48 (s) t ~ 17,5
0
C
2 - Khi đồng hồ ở trên đỉnh núi
Chu kì của quả lắc hoat động thay đổi do
+ Nhiệt độ giảm làm chiều dài con lắc giảm -> T giảm
+ Độ cao tăng dần tới gia tốc trọng trờng giảm -> T tăng
Hai nguyên nhân đó bù trừ lẫn nhau -> đồng hồ chạy đúng ở độ cao h:
g
h

=
2
)
hR
R
(g
+
Kí hiệu: T
h
: Chu kì ở độ cao h
t
h
: t
0
ở độ cao h
Độ biến thiên chu kì t
h
theo độ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t = t
h
)
R
h
g
g
T
T
h
n
+== 1
t

h
= t
h
- T = T
R
h
lại có T
t
=
2
T
t
h

(t
h
- t) (t
1
: độ biến thiên theo nhiệt độ)
Vì con lắc đồng hồ chạy đúng nên t
t
+ t
h
= 0

0
R
h
T)tt(
2

T
h
=+
h =
2
R).tt(
h

Thay số ta đợc h = 0,736 km = 736 m
Bài 19:
Một quả cầu A có kích thớc nhỏ, khối lợng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh, không
dãn, chiều dài l = 1m. ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một khoảng 0,8m. Đa
quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với phơng thẳng đứng 1 góc
0
= 60
0
rồi buông cho
nó chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua lực cản môi trờng (g = 10m/s
2
).
1. Tính lực căng T khi A ở VTCB.
2. Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phơng trình quỹ đạo
chuyển động của nó sau đó.
3. Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.
Lời giải
1. Lực căng dây
Định luật bảo toàn cơ nang mgh +
2
1
mv

2
= mgh
0
v
2
= 2g(h
0
- h) = 2gl(cos - cos
0
)
Định luật 2 N:
amTPF =+=
T = mgcos = ma
ht
T = m (gcos +
l
v
2
)
áp dụng (1) với VT quả cầu từ A đến 0
v
2
o
= 2gl(1 - cos
0
) | v
0
| =
10
m/s

T = m [g + 2g (1 - cos
0
)] = mg (3 - 2 cos
0
)
Thay số: T = 0,5.10.(3 - 2cos60
0
) = 10N
2. Chuyển động của quả cầu sau khi dây đứt
+ Khi đến VTCB, vận tốc quả cầu là
0
v
có phơng nắm ngang.
+ Nếu tại VT0 dây bị đứt thì chuyên động của m sau khi dây đứt là chuyên động ném ngang.
+ Chọn hệ trục oxy nh hình vẽ ta đợc: quả cầu chuyên dộng theo
phơng 0x : chuyển động thẳng đều: x = v
0
t =
t10
(1)
phơng oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0
y =
2
1
gt
2
= 5t
2
(2)
Từ (1) t=

10
x
thay vào (2) y =
2
1
x
2
(x; y >0)
Vậy quỹ đạo chuyển động của vật là 1 nhánh của parabol
3. Qủa cầu chạm đất ở M với y
M
= H = 0,8 cm
Thay vào PT quỹ đạo: x - 1,3 (cm)
Định luật bảo toàn cơ năng:
2
0
2
M
mv
2
1
mHmV
2
1
=+
v
2
m - v
2
0

= 2gH
|V
M
| =
1,5268,0.10.210 =+
(m/s)
Bài 20:
Con lắc đơn gồm 1 quả cầu khối lợng m
1
=
100g và sợi dây không giãn chiều dài l = 1m. Con
lắc lò xo gồm 1 lò xo có khối lợng không đáng kể
l
0
v
G
m
A

0
H
y
M
x
k m
2
m
1
l
độ cứng k = 25 (N/m) và 1 quả cầu khối lợng m

2
=
m
1
= m = 100g
1. Tìm chu kì dao động riêng của mỗi con lắc.
2. Bố trí hai con lắc sao cho khi hệ CB (hình vẽ) kéo m
1
lệnh khỏi VTCB 1 góc = 0,1
(Rad) rồi buông tay.
a) Tìm vận tốc quả cầu m
1
ngay trớc lúc va chạm vào quả cầu (<<).
b) Tìm vận tốc của quả cầu m
2
sau khi va chạm với m
1
và độ nén cực đại của lò xo ngay
sau khi va chạm.
c) Tìm chu kì dao động của hệ
Coi va chạm là đàn hồi ** bỏ qua ma sát.
Lời giải
1. Tìm chu kì dao động
+ Con lắc đơn: T
1
= 2
4,0
25
5,0
2

k
m
. ==
(s)
+ Con lắc lò xo T
2
= 2
2
10
1
2
g
m
. ==
2. a) Vận tốc m
1
ngay sau va chạm:
m
1
gh = m
1
gl(1 - cos) =
2
1
m
1
v
2
0
góc nhỏ 1 - cos = 2sin

2
22
2

=

V
0
=
101,0gl =
= 0,316 (m/s)
b) Tìm vận tốc v
2
của m
2
ngay sau khi va chạm với m
1
và độ nén cực đại của lò xo sau khi va chạm.
+ Gọi v
1
, v
2
là vận tốc của m
1
, m
2
ngay sau khi va chạm
áp dụng định luật bảo toàn động lợng và định luật bảo toàn cơ năng:
m
1

v
0
= m
1.
v
1
+ m
2
.v
2
(1)
2
1
m
1
v
2
0
=
2
1
m
1
v
1
2
+
2
1
m

2
v
2
2
(2)
VT m
1
= m
2
nên từ (1) (2) ta có v
0
= v
1
+ v
2
(3)
v
2
0
= v
2
1
+ v
2
2
(4)
Từ (3) suy ra: v
0
2
= (v

1
+ v
2
)
2
= v
2
1
+ v
2
2
= 2v
1
v
2
So sánh với (4) suy ra: v
1
= 0; v
2
=v
0
~ 0,316 (m/s)
+ Nh vậy, sau va chạm, quả cầu m
1
đứng yên, quả cầu m
2
chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của
quả cầu m
1
trớc khi va chạm.

+ §é nÐn cùc ®¹i cña lß xo
2
1
k∆l
2
=
2
1
m
2
v
2
2
→ ∆l = v
2
02,0
25
1,0
316,0
k
m
2
≈≈

(m) = 2 (cm)
c) Chu k× dao ®éng T =
2
1
(T
1

+ T
2
) =
2
1
(2 + 0,4) = 1,4 (s)