ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
MA VĨNH HUY
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
FREDHOLM LOẠI II
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
i
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 1
1 Phương trình tích phân với nhân suy biến 3
1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Khái niệm về phương trình Fredholm . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Phương trình tích phân với nhân suy biến . . . . . . . . . . 6
2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp và xấp xỉ đều 15
2.1 Phương pháp thay thế liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Phương pháp xấp xỉ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Các định lý Fredholm 33
3.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Định lý Fredholm thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Định lý Fredholm thứ tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Định lý Fredholm thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Định lý Fredholm thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49
ii
Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng
dẫn và giúp đỡ của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Thầy đã dành nhiều thời gian
chỉ bảo rất tận tình, hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong
suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến Thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên, Viện Toán học và quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp
cao học khóa 6 (2012 - 2014) đã quan tâm, giúp đỡ và mang đến cho tôi
nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em học viên lớp
cao học toán K6 và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn
cao học.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Tác giả
Ma Vĩnh Huy
1
Mở đầu
Toán học là một môn học gắn liền với thực tiễn, bởi toán học bắt nguồn
từ nhu cầu giải quyết các vấn đề có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng với thời
gian, toán học ngày càng phát triển và được chia làm hai lĩnh vực: Toán
học lý thuyết và toán học ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán dẫn
đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tích phân.
Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Đây được
xem như là một công cụ toán học hữu ích có ứng dụng rộng rãi không chỉ

trong toán học mà còn trong nhiều ngành như vật lí, cơ học và các ngành
khoa học kĩ thuật khác ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân nhằm
giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định hay giải quyết
một số vấn đề vật lí như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, . . . Vì
vậy việc nghiên cứu các phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng
trong toán học.
Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và
phát triển vào những năm đầu của thế kỷ 20 là phương trình tích phân
Fredholm loại II và phương trình tích phân Volterra. Luận văn này trình
bày môt số vấn đề lý thuyết của phương trình tích phân Fredholm loại
II. Với đề tài "Phương trình tích phân Fredholm loại II", tác giả trình bày
các khái niệm cơ bản về phương trình Fredholm, các định lý Fredholm, sự
tồn tại nghiệm của phương trình phương trình tích phân Fredholm loại II
trong trường hợp nhân suy biến, sử dụng phương pháp thay thế liên tiếp,
xấp xỉ liên tiếp, xấp xỉ đều cho phương trình này.
Luận văn gồm có phần Mở đầu, Ba chương, Kết luận và Danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Phương trình tích phân với nhân suy biến . Chương này trình
2
bày các không gian hàm khả tổng cơ bản, các khái niệm cơ bản về phương
trình Fredholm. Nội dung chính của chương này là trình bày cách giải
phương trình Fredholm (loại II) với nhân suy biến (tách biến).
Chương 2: Phương pháp xấp xỉ liên tiếp và xấp xỉ đều. Mục đích của
chương này là trình bày một số phương pháp giải các phương trình tích
phân Fredholm loại II, là phương pháp thế liên tiếp, phương pháp xấp xỉ
liên tiếp, phương pháp xấp xỉ đều và các ví dụ minh họa.
Chương 3: Các định lý Fredholm. Chương này là cơ sở lý thuyết quan
trọng của phương trình Fredholm loại II. Trong chương này đã trình bày
bốn định lý Fredholm tính tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm của các
phương trình Fredholm loại II với nhân tổng quát.

Luận văn này chưa đề cập tới lớp phương trình tích phân Fredholm loại
II đối với nhân Hermitian (nhân đối xứng). Nội dung của luận văn chủ yếu
được hình thành từ các tài liệu [3] và [4].
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Mặc dù,
tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do thời gian có hạn và kinh nghiệm
nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận
được sự góp ý của các thầy cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Tác giả
Ma Vĩnh Huy
3
Chương 1
Phương trình tích phân với nhân
suy biến
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về
không gian hàm, phương trình tích phân Fredholm.
1.1 Một số không gian hàm
Ký hiệu C [a, b] là không gian các hàm liên tục trên khoảng hữu hạn
[a, b] với chuẩn
||f||
C
= max
axb
|f(x)|.
Ký hiệu L
p
(a, b) (0 < p < +∞) là không gian các hàm khả tổng trên
(a, b), sao cho

f
p
=


b
a
|f (x)|
p
dx

1
/
p
< ∞.
Các trường hợp riêng đặc biệt quan trọng là p = 1 và p = 2. L
2
(a, b) là
một không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g) =

b
a
f(x)g(x)dx.
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng
|(f, g)|  ||f||
2
||g||
2
.

4
hay, một cách cụ thể hơn





b
a
f (x)g (x)dx




≤


b
a
|f (x)|
2
dx

1
/
2


b
a




g (x)



2
dx

1
/
2
.
Một chuẩn khác được nhắc đến là chuẩn vô cùng được định nghĩa như
sau
f
∞
= sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]}.
Hoàn toàn tương tự, chuẩn có thể được định nghĩa theo tập hợp các hàm
nhận giá trị phức liên tục được định nghĩa trên hình vuông Q(a, b). Ký hiệu
L
2
(Q(a, b)) là không gian của các hàm hai biến K(x, y), (x, y) ∈ Q(a, b),
sao cho
K
2
=



b
a

b
a
|K (x, t)|
2
dxdt

1
/
2
< ∞,
và
K
∞
= sup {|K (x, t)| : (x, t) ∈ Q (a, b)},
sẽ được quan tâm đặc biệt trong chương này.
Hội tụ đều của dãy hàm vô tận: Dãy vô hạn {f
n
(x)} của hàm hội tụ đều
trên [a, b] tới hàm f (x) nếu: Với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên N = N (ε)
sao cho |f
n
(x) −f (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b] và với mọi n ≥ N (ε).
Chuỗi vô hạn

∞
1
f

n
(x) hội tụ đều trên [a, b] nếu tổng của các dãy con
hội tụ đều trên [a, b].
Tiêu chuẩn Cauchy được dùng để thiết lập hội tụ đều. Chúng ta nói
rằng dãy vô hạn {f
n
(x)} được định nghĩa hội tụ đều trên [a, b] khi và chỉ
khi với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên N (ε) sao cho |f
n
(x) −f
m
(x)| < ε
với mọi x ∈ [a, b] và với mọi n, m ≥ N (ε).
Hội tụ đều là điều kiện cần trong nhiều định lý. Ví dụ, nếu {f
n
(x)} là
một dãy vô hạn của hàm liên tục trên [a, b] và nếu dãy {f
n
(x)} hội tụ đều
đến hàm giới hạn f (x) thì f (x) liên tục trên [a, b].
5
Hội tụ đều cũng cần để chứng minh phép lấy tích phân. Nếu {f
n
(x)}
là một dãy các hàm khả tích hội tụ đều đến f (x) trên [a, b], thì f (x) khả
tích và

b
a
f (x) dx = lim

n→∞

b
a
f
n
(x) dx.
Như một hệ quả tức thời, ta có thể nói rằng nếu
f (x) =
∞

n=1
f
n
(x),
và hội tụ đều trên [a, b] thì

b
a
f (x) dx =
∞

n=1

b
a
f
n
(x) dx.
1.2 Khái niệm về phương trình Fredholm

Khái niệm 1.1. Kí hiệu (a, b) là khoảng hữu hạn hay vô hạn của trục
thực. Giả sử f (x) (a < x < b), K (x, y) (a < x, y < b) là các hàm đã cho,
u (x) (a < x < b) là hàm cần tìm. Các phương trình sau đây được gọi là
các phương trình tích phân đối với ẩn hàm u(x) :

b
a
K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b, (1.1)
u (x) −

b
a
K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b. (1.2)
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương
trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, hàm f (x) được gọi
là vế phải, hay số hạng tự do, còn hàm K (x, y) được gọi là nhân hay hạch
của phương trình. Nếu vế phải f (x) ≡ 0, thì phương trình được gọi là
phương trình thuần nhất, còn nếu f (x) = 0, thì phương trình được gọi là
phương trình không thuần nhất.
Thông thường người ta không chỉ xét một phương trình mà xét cho một
họ các phương trình dạng
u (x) − λ

b
a
K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b, (1.3)
6
trong đó λ (là số thực hay phức) được gọi là tham số của phương trình
(1.3).
Phương trình Fredholm: Xét phương trình (1.2). Phương trình (1.2)

được gọi là phương trình Fredholm nếu

b
a
|f (x)|
2
dx < ∞,

b
a

b
a
|K (x, y)|
2
dxdy < ∞. (1.4)
Nếu điều kiện thứ 2 trong (1.4) được thỏa mãn thì, theo định lí Fubini,
tích phân

b
a
|K (x, y)|
2
dy,
tồn tại hầu khắp nơi với x ∈ (a, b). Trong nhiều trường hợp chúng ta giả
thiết thêm rằng: Tồn tại hằng số A sao cho

b
a
|K (x, y)|

2
dx ≤ A, a < x < b. (1.5)
Nếu khoảng (a, b) hữu hạn, thì từ điều kiện (1.5) suy ra điều kiện thứ
hai trong (1.4).
Nghiệm u (x) của phương trình tích phân cũng được tìm trong lớp hàm
bình phương khả tích

b
a
|u (x)|
2
dx < ∞.
1.3 Phương trình tích phân với nhân suy biến
Nhân suy biến của một phương trình tích phân là nhân có dạng
K (x, s) =
n

i=1
a
k
(x) b
k
(s). (1.6)
Chúng ta sẽ giả thiết rằng, các hàm a
k
(x) và b
k
(s) là bình phương khả
tích trên khoảng (a, b).
Đặt (1.6) vào phương trình

u (x) − λ

b
a
K (x, s) u (s) ds = f (x) , a < x < b, (1.7)
7
ta được
u (x) − λ
n

k=1
a
k
(x)

b
a
b
k
(s) u (s) ds = f (x). (1.8)
Giả sử phương trình (1.8) có nghiệm. Ký hiệu

b
a
b
k
(s) u (s) ds = C
k
. (1.9)
Từ (1.8) và (1.9) suy ra

u (x) = λ
n

k=1
C
k
a
k
(x) + f (x) , a < x < b. (1.10)
Nhân hai vế của (1.10) với b
m
(x), tích phân theo x trên (a, b), sử dụng
ký hiệu (1.9), ta được hệ phương trình đại số tuyến tính
C
m
− λ
n

k=1
a
mk
C
k
= f
m
, m = 1, 2, , n, (1.11)
trong đó
a
mk
=


b
a
a
k
(x) b
m
(x) dx, f
m
=

b
a
f (x) b
m
(x) dx.
Nếu hệ đại số tuyến tính (1.11) không có nghiệm thì rõ ràng phương
trình (1.7) cũng không có nghiệm. Giả sử hệ (1.11) có nghiệm C
1
, C
2
, , C
n
.
Khi đó hàm u (x), được xác định bởi công thức (1.10) sẽ là nghiệm của
phương trình (1.8).
Định thức của hệ (1.11) là
D (λ) =









1 −λa
11
−λa
12
··· −λa
1n
−λa
21
1 −λa
22
··· −λa
2n
.
.
.
−λa
n1
.
.
.
−λa
n2
.
.

.
··· −λa
nn








.
Rõ ràng D (λ) là đa thức bậc n và D (0) = 1. Hệ (1.11) được viết dưới
dạng
(I −λA)c = f , (1.12)
8
trong đó I là ma trận cấp n×n, A = (a
ij
) là ma trận vuông cấp n của các
phần tử a
ij
được xác điịnh ở trên, f = (f
1
, f
2
, , f
n
)
T
là véc tơ đã biết,

c = (C
1
, C
2
, , C
n
)
T
là các hệ số phải tìm.
Trường hợp D(λ) = 0. Trong trường hợp này λ được gọi là giá trị
chính quy của nhân K(x, y). Khi đó hệ tuyến tính (1.12) có nghiệm duy
nhất
c = (I − λA)
−1
f ,
hay
c =
1
D(λ)
adj(I −λA)f ,
trong đó adj(I − λA) là ma trận phụ hợp của ma trận (I − λA). Do đó
mỗi hệ số C
i
có biểu diễn
C
i
=
1
D(λ)
n


j=1
D
ji
(λ)f
j
.
Thay biểu diễn của C
i
và f
i
vào phương trình (1.10) ta được
u(x) = f(x) + λ

b
a

1
D(λ)
n

i=1
n

j=1
D
ji
(λ)a
i
(x)b

j
(t)

f(t)dt.
Ký hiệu
R(x, t; λ) =
1
D(λ)
n

i=1
n

j=1
D
ji
(λ)a
i
(x)b
j
(t), (1.13)
và gọi nó là giải thức (nhân giải) của phương trình tích phân đã cho. Khi
đó nghiệm u(x) được cho bởi công thức
u(x) = f(x) + λ

b
a
R(x, t; λ)f(t)dt. (1.14)
Trường hợp D(λ) = 0. Trong trường hợp này λ được gọi là trị riêng
của toán tử tích phân (hay của nhân). Giả sử λ

k
là một trị riêng, nghĩa là
D(λ
k
) = 0.
Xét trường hợp f = 0. Khi đó ta có hệ phương trình
(I −λ
k
A)c = 0.
9
Vì D(λ
k
) = 0, nên hệ trên đây có p
k
nghiệm độc lập tuyến tính được
biểu diễn bởi
c
(j)
(λ
k
) = (C
(j)
1
(λ
k
), C
(j)
2
(λ
k

), , C
(j)
n
(λ
k
))
T
, j = 1, 2, , p
k
.
Thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thu được các nghiệm
u
j
(x; λ
k
) = f(x) + λ
k
n

i=1
C
(j)
i
(λ
k
))a
i
(x).
Nếu f(x) ≡ 0 trên (a, b) thì mỗi hàm
u

j
(x; λ
k
) = λ
k
n

i=1
C
(j)
i
(λ
k
))a
i
(x),
là một nghiệm không tầm thường và là hàm riêng tương ứng với trị riêng
λ
k
của phương trình tích phân thuần nhất
u(x) = λ
k

b
a
K(x, t)u(t)dt, K(x, t) =
n

i=1
a

i
(x)b
i
(t).
Xét trường hợp f = 0. Ta cần Bổ để sau đây
Bổ đề 1.1. Cho các ma trận B = (b
ij
)
n×n
, B
∗
= b
ji
n×n
. Khi đó, nếu
det B = 0 thì hệ không thuần nhất Bx = f có nghiệm nếu và chỉ nếu
f trực giao với tất các các nghiệm của phương trình liên hợp thuần nhất
B
∗
y = O.
Như vậy, theo Bổ đề 1.1, hệ tuyến tính (I − λ
k
A)c = f có nghiệm khi
và chỉ khi f trực giao với tất các các nghiệm của phương trình
(I −λ
k
A)
∗
d = O. (1.15)
Vì các ma trận (I − λ

k
A), (I − λ
k
A)
∗
có cùng hạng và số khuyết, nên
phương trình (1.15) cũng có p
k
nghiệm độc lập tuyến tính. Lại có
(I −λ
k
A)
∗
d = (I − λ
k
A
T
)d=O.
Vì thế, nếu
d
(j)
(λ
k
) = (d
(j)
1
(λ
k
), d
(j)

2
(λ
k
), , d
(j)
n
(λ
k
))
T
,
10
là một trong p
k
của hệ (1.15) thì
d
(j)
m
− λ
k
n

i=1
a
im
d
(j)
i
(λ
k

) = 0, m = 1, 2, , n. (1.16)
Mặt khác, xét phương trình tích phân thuần nhất liên hợp tương ứng
với phương trình đã cho với λ = λ
k
v(x) = λ
k

b
a
K(t, x)v(t)dt. (1.17)
Vì K(t, x) =

n
i=1
a
i
(t) b
i
(x), nên tương tự như trên, phương trình
(1.17) có thể được viết dưới dạng
d
m
− λ
k
n

i=1
a
im
d

i
= 0, m = 1, 2, , n, (1.18)
trong đó
d
i
=

b
a
a
i
(t)v(t)dt, a
im
=

b
a
a
m
(t) b
i
(t)dt.
Ta có
(d, f ) =
n

i=1
d
i
f

i
=

b
a
v(t)dt

n

i=1
a
i
(t)f
i

=

b
a
v(t)dt

n

i=1
a
i
(t)

b
a

b
i
(s)f(s)ds

=

b
a
v(t)dt


b
a
K(t, s) f(s)ds

=

b
a
f(s)ds


b
a
K(t, s)v(t)dt

=
1
λ
k


b
a
v(s)f(s)ds. (1.19)
Theo Bổ đề 1.1, thì (d, f ) = 0 là điều kiện cần và đủ để phương trình
(1.7) có nghiệm. Từ (1.19) suy ra

b
a
v(s)f(s)ds = 0, (1.20)
11
trong đó v(x) là nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất
liên hợp (1.17), là điều kiện cần và đủ để phương trình (1.8) giải được
trong trường hợp D(λ
k
) = 0.
Từ đó ta có kết quả sau đây.
Định lý 1.1. ( Định lý Fredholm đối với trường hợp nhân suy biến). Xét
phương trình Fredholm loại hai
u(x) = f(x) + λ

b
a
K(x, t)u(t)dt,
trong đó λ là tham số phức, f(x) ∈ L
2
(a, b), K(x, t) =

n
i=1

a
i
(x)b
i
(t),
a
i
(x)b
i
(t) ∈ L
2
((a, b) × (a, b)). Khi đó:
(i) Nếu λ là giá trị chính quy thì phương trình (1.7) có nghiệm duy nhất
được cho bởi công thức
u(x) = f(x) + λ

b
a
R(x, t; λ)f(t)dt,
trong đó R(x, t; λ) được xác định theo công thức (1.13).
(ii) Nếu λ là trị riêng thì phương trình thuần nhất
u(x) = λ

b
a
K(x, t)u(t)dt,
có nghiệm không tầm thường. Trong trường hợp này phương trình không
thuần nhất có nghiệm khi và chỉ khi hàm f(x) trực giao với tất cả các hàm
riêng là nghiệm của phương trình liên hợp thuần nhất
v(x) = λ


b
a
K(t, x)v(t)dt.
Định lý 1.1 trên đây sẽ được mở rộng cho trường hợp nhân tổng quát
và phân thành bốn định lý Fredholm nổi tiếng sẽ được trình bày trong
chương 3 của luận văn này.
Ví dụ 1.1. Xét phương trình
u (x) − λ

π
0
sin (x + s) u (s) ds = f (x), 0 < x < π.
12
Ta có
sin (x + s) = sinxcoss + cosxsins,
n = 2, a
1
(x) =sinx, b
1
(s) = coss, a
2
(x) = cosx, b
2
(s) = sins,
α
11
=

π

0
sinxcosxdx = 0, α
12
=

π
0
sin
2
xdx =
π
2
,
α
21
=

π
0
cos
2
xdx =
π
2
, α
22
=

π
0

cosxsinxdx = 0,
f
1
=

π
0
f (x) cosxdx, f
2
=

π
0
f (x) sinxdx.
Trong trường hợp này hệ (1.11) có dạng





C
1
−
λπ
2
C
2
= f
1
,

−
λπ
2
C
1
+ C
2
= f
2.
(1.21)
Định thức của hệ (1.21) là
D (λ) = 1 −
λ
2
π
2
4
,
và có các nghiệm
λ
1
= −
2
π
, λ
2
=
2
π
.

Vậy, nếu λ = ±
2
π
, thì hệ có nghiệm duy nhất C
1
, C
2
và khi đó nghiệm
duy nhất của phương trình đã cho là
u (x) = f (x) + λ (C
1
s
inx + C
2
cosx) .
Ví dụ 1.2. Tìm tất cả các số đặc trưng và các hàm riêng tương ứng của
phương trình
u (x) = λ

2π
0

sin (x + y) +
1
2

u (y) dy.
Ta có
K (x, y) = sin (x + y) +
1

2
=
s
inx.cosy + cosx.siny + 1.
1
2
.
13
Như vậy phương trình đã cho thuộc loại nhân suy biến và là phương
trình thuần nhất. Trong trường hợp này ta có
a
1
(x) =
s
inx, a
2
(x) = cosx, a
3
(x) = 1,
b
1
(y) = cosy, b
2
(y) = sin y, b
3
(y) =
1
2
,
α

11
=

2π
0
b
1
(x)a
1
(x) dx =

2π
0
s
inxcosxdx =
1
2

2π
0
sin 2xdx = 0,
α
12
=

2π
0
b
1
(x)a

2
(x) dx =

2π
0
cosx.cosxdx =
1
2

2π
0
1 + cos2x
2
dx = π,
α
13
=

2π
0
b
1
(x)a
3
(x) dx =

2π
0
cosxdx =0,
α

21
=

2π
0
b
2
(x)a
1
(x) dx =

2π
0
sinx.sinxdx =

2π
0
1 −cos2x
2
dx =π,
α
22
=

2π
0
b
2
(x)a
2

(x) dx =

2π
0
s
inx.cosxdx = 0,
α
23
=

2π
0
b
2
(x)a
3
(x) dx =

2π
0
s
inx.1dx = 0,
α
31
=

2π
0
b
3

(x)a
1
(x) dx =

2π
0
1
2
s
inxdx = 0,
α
32
=

2π
0
b
3
(x)a
2
(x) dx =

2π
0
1
2
cosxdx = 0,
α
33
=


2π
0
b
3
(x)a
3
(x) dx =

2π
0
1
2
.1dx = π.
Theo (1.11) ta có hệ
C
m
− λ
3

k=1
α
mk
C
k
= 0. (1.22)
Định thức của hệ là
D (λ) =






1 −λπ 0
−λπ 1 0
0 0 1 −λπ





= (1 −λπ)
2
(1 + λπ) . (1.23)
Hệ (1.22) là thuần nhất, nên để hệ có nghiệm không tầm thường thì
định thức của hệ phải bằng không. Từ (1.23) suy ra nghiệm của phương
trình D (λ) = 0 là λ
1
= 1/π và λ
2
= −1/π.
14
1) Với λ
1
= 1/π ta có C
1
= C
2
= 1, C
3

= 0, do đó hàm riêng sẽ là
u
1
(x) = sin x + cos x.
2) Với λ
2
= −1/π ta có C
1
= −1, C
2
= 1, C
3
= 0, do đó hàm riêng sẽ
là
u
2
(x) = cos x − sin x.
Vậy, ta có các tri riêng và hàm riêng tương ứng sau đây:
λ
1
=
1
π
, u
1
(x) = cos x − sin x, (1.24)
λ
2
= −
1

π
, u
2
(x) = cos x − sin x. (1.25)
15
Chương 2
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp và
xấp xỉ đều
Trong chương này chúng tôi trình bày các phương pháp thay thế liên
tiếp, xấp xỉ liên tiếp và xấp xỉ đều. Các kiến thức của chương này được
tổng hợp từ các tài liệu trong [4].
2.1 Phương pháp thay thế liên tiếp
Xét phương trình tích phân
φ (x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t)φ (t) dt,
trong đó, ta giả thiết hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm K (x, t)
nhận giá trị phức và liên tục trên hình vuông Q [a, b]. Nếu phương trình
này có một nghiệm φ (x), thì phương trình cung cấp một đại diện cho nó.
Nếu không có thêm bất kỳ điều kiện nào ngoài điều kiện khả tích, thì φ (x)
có thể thế vào hàm lấy tích phân, do đó tạo thêm một, mặc dù phức tạp
hơn, đại diện cho φ (x). Chính xác hơn, nếu ta thay x bởi t và t bởi s trong
phương trình tích phân, sau đó thay thế trực tiếp ta được:
φ (x) = f (x) + λ

b
t=a
K (x, t)


f (t) + λ

b
s=a
K (t, s) φ (s) ds

dt
= f (x) + λ

b
a
K (x, t) f (t) dt
+ λ
2

b
t=a

b
s=a
K (x, t) K (t, s) φ (s) dsdt.
16
Sau khi hoán đổi thứ tự của phép lấy tích phân trong tích phân cuối
cùng và thay biến s bằng t, ta có
φ (x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t) f (t) dt + λ

2

b
a
K
2
(x, t)φ (t) dt,
trong đó
K
2
(x, t) =

b
a
K (x, s) K (s, t) ds.
Có vẻ như vô nghĩa khi ta lặp lại quá trình này, vì nghiệm φ (x) sẽ luôn
luôn là đại diện cho dù ta có lặp lại nó bao nhiêu lần. Tuy nhiên, trong
thực tế sự thay thế liên tiếp được chứng minh là khá hiệu quả. Không chỉ
tiếp tục lặp đi lặp lại quá trình này để tìm ra các nghiệm cho phương trình
mà còn tạo ra một đại diện mới mà không liên quan đến φ (x). Tiếp tục
lặp lại quá trình ta đi đến dạng tổng quát sau:
φ (x) = f (x) +
n

m=1
λ
m


b

a
K
m
(x, t) f (t) dt

+ λ
n+1

b
a
K
n+1
(x, t) φ (t) dt,
với mọi số nguyên n bất kỳ, ở đây K
1
(x, t) = K (x, t), và
K
m
(x, t) =

b
a
K
m−1
(x, s) K (s, t) ds, (2.1)
với m = 2, ··· , n. Dạng tổng quát này có giá trị với mọi λ.
Hàm K
m
(x, t) gọi là nhân lặp. Mỗi hàm K
m

(x, t) nhận giá trị phức và
liên tục trên Q (a, b). Vì hàm K
m
(x, t) bị chặn với mọi m ≥ 2, nên nếu
|K (x, t)| ≤ M thì |K
m
(x, t)| ≤ M
m
(b −a)
m−1
.
Bây giờ giả sử
σ
n
(x) =
n

m=1
λ
m−1


b
a
K
m
(x, t) f (t) dt

, (2.2)
và

ρ
n
(x) = λ
n+1

b
a
K
n+1
(x, t) φ (t) dt,
17
suy ra
φ (x) = f (x) + λσ
n
(x) + ρ
n
(x) .
Dễ thấy được dãy {σ
n
(x)} của hàm liên tục hội tụ đều đến hàm giới
hạn liên tục σ (x) trên đoạn [a, b] và do đó φ (x) = f (x) + λσ (x).
Vì hàm K
m
(x, t) bị chặn nên mỗi số hạng của tổng σ
n
(x) thỏa mãn
bất đẳng thức





λ
m−1


b
a
K
m
(x, t) f (t) dt





≤ (|λ|M (b −a))
m−1
M f
1
.
Nếu |λ|M (b − a) < 1, thì dãy {σ
n
(x)} của tổng riêng là dãy Cauchy.
Với mỗi ε > 0 bé tùy ý ta có
|σ
n
(x) −σ
p
(x)| ≤



n

m=p+1
(|λ|M (b − a))
m−1


M f
1
≤ (|λ|M (b −a))
p
M f
1
1 −|λ|M (b − a)
< ε,
với p đủ lớn. Nếu thêm điều kiện phần dư ρ
n
(x) → 0 đều trên [a, b] khi
n → +∞, thì ta có đánh giá |ρ
n
(x)| ≤ |λ|M φ
1
(|λ|M (b − a))
n
.
Ta có dãy {σ
n
(x)} của hàm liên tục hội tụ tuyệt đối và đều trên [a, b]
đến hàm giới hạn liên tục

σ
n
(x) =
∞

m=1
λ
m−1


b
a
K
m
(x, t) f (t) dt

,
với điều kiện |λ|M (b − a) < 1. Ngoài ra, ta có
σ (x) =

b
a

∞

m=1
λ
m−1
K
m

(x, t)

f (t) dt =

b
a
R (x, t; λ) f (t) dt,
trong đó R (x, t; λ) biểu thị chuỗi vô hạn. Chuỗi này được biết đến là chuỗi
Neumann, và nó là nhân của phương trình tích phân. Bán bán kính hội tụ
của nó ít nhất là 1/ (M (b − a)).
Nhắc lại rằng hàm φ (x) là nghiệm của phương trình tích phân nếu
phương trình tích phân trở thành đồng nhất thức khi ta thay φ (x) vào
phương trình đó.
18
Ta sẽ chỉ ra rằng f (x) + λσ (x) là nghiệm của phương trình tích phân:
f (x) + λσ (x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t) (f (t) + λσ (t)) dt.
Bằng cách thay thế mở rộng cho σ (x) vào vế phải của tích phân trên
ta nhận được
λ

b
a
K (x, t) [f (t) + λσ (t)] dt
= λ

b

a
K (x, t)f (t) dt
+ λ
2

b
t=a
K (x, t)


b
s=a

∞

m=1
λ
m−1
K
m
(t, s)

f (s) ds

dt
= λ

b
a
K (x, t)f (t) dt

+ λ
2

b
s=a
∞

m=1
λ
m−1


b
t=a
(K
m
(x, t) K (t, s)) dt

f (s) ds
= λ

b
a
K (x, t)f (t) dt
+ λ

b
a

∞


m=1
λ
m
K
m+1
(x, s)

f (s) ds
= λσ (x) .
Bây giờ ta có thể khẳng định φ (x) = f (x) + λσ (x). Vì f (x) được giả
thiết liên tục trên [a, b] và ta đã chứng minh σ (x) cũng liên tục trên đoạn
đó, nên φ (x) là liên tục và tiêu chuẩn φ
1
là hữu hạn.
Những phân tích trên cho ta kết quả sau đây:
Định lý 2.1. (Thay thế liên tiếp)
Giả sử f (x) là một hàm nhận giá trị phức, xác định và liên tục trên
đoạn [a, b], K (x, t) là nhân nhận giá trị phức, xác định và liên tục trên
hình vuông Q (a, b) và bị chặn bởi M. Giả sử λ là một tham số phức.
Nếu |λ|M (b − a) < 1, thì nghiệm duy nhất của phương trình tích phân
Fredholm
φ (x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t)φ (t) dt,
19
được cho bởi
φ (x) = f (x) + λ


b
a
R (x, t; λ)f (t) dt,
ở đây R (x, t; λ) là nhân giải thức
R (x, t; λ) =
∞

m=1
λ
m−1
K
m
(x, t).
2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp đệ quy khác để
giải phương trình Fredholm loại 2. Những ưu điểm của phương pháp này:
có được cái nhìn sâu hơn về quá trình đệ quy, sử dụng một cách chứng
minh khác về sự hội tụ và thu được kết quả tốt hơn.
Xét phương trình tích phân Fredholm
φ (x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t) φ (t) dt. (2.3)
Nếu λ = 0 thì φ (x) = f (x) là nghiệm duy nhất của phương trình.
Theo quan điểm này nếu |λ| ≈ 0 thì φ (x) ≈ f (x), số hạng tự do f (x)
thỏa mãn xấp xỉ bậc không φ
0
(x) tới φ (x). Tuy nhiên, vì các lí do tính

toán, f (x) không phải là sự lựa chọn tốt nhất cho các giá trị lớn hơn λ.
Dựa vào dạng của nhân, chọn φ
0
(x) = 1 hay φ
0
(x) = e
x
hay các phương
án khác hợp lí hơn theo quan điểm tính khả tích.
Sau khi φ
0
(x) được chọn, xấp xỉ bậc nhất φ
1
(x) tới φ (x) được xây
dựng bằng cách thế φ
0
(t) vào φ (t) ta được
φ
1
(x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t)φ
0
(t) dt.
Nếu φ
1
(x) = φ
0

(x) thì φ (x) = φ
1
(x) và nghiệm của phương trình đã
tìm được. Nếu tích phân triệt tiêu thì φ
1
(x) = f (x). Tại điểm này, quá
trình lặp lại tiếp diễn nếu ta chọn φ
0
(x) = f (x).
Nếu φ
1
(x) = φ
0
(x) thì ta tiếp tục thế φ
1
(t) vào miền tích phân xấp xỉ
bậc hai
φ
2
(x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t)φ
1
(t) dt.
20
Nếu φ
2
(x) = φ

1
(x) thì φ (x) = φ
2
(x) và nghiệm của phương trình đã
được tìm. Nếu tích phân triệt tiêu thì φ
2
(x) = f (x). Tiếp tục như vậy,
quá trình lặp tiếp diễn nếu ta chọn φ
0
(x) = f (x). Nếu φ
2
(x) = φ
0
(x) ,
sau đó tiếp tục quá trình lặp, điều này tạo ra hai dãy liên tục
φ
0
(x) = φ
2
(x) = φ
4
(x) = ··· ,
và
φ
1
(x) = φ
3
(x) = φ
5
(x) = ··· .

Nếu điều này xảy ra, nghiệm duy nhất của phương trình tích phân
không tồn tại.
Nếu φ
2
(x) = φ
1
(x) hoặc φ
0
(x) ta thế φ
2
(t) vào miền tích phân xấp xỉ
bậc ba
φ
3
(x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t)φ
2
(t) dt,
và thực hiện tương tự như hai lần lặp trước.
Giả sử φ
n
(x) = φ
j
(x) với j = 0, ··· , n − 1 và φ (x) = f (x), sau đó
thế φ
n
(t) vào miền tích phận bậc (n + 1)

φ
n+1
(x) = f (x) + λ

b
a
K (x, t)φ
n
(t) dt.
Mỗi giá trị xấp xỉ φ
n
(x) có một dạng biến đổi. Trong phần 2.1, ta thế
phương trình tích phân vào chính nó lặp đi lặp lại nhiều lần; Tại đây, ta
thế mỗi giá trị xấp xỉ φ
j
(x) vào biểu thức xấp xỉ kế tiếp φ
j+1
(x) ta có
φ
n+1
(x) = f (x) +
n

m=1
λ
m


b
a

K
m
(x, t) f (t) dt

+ λ
n+1

b
a
K
n+1
(x, t) φ
0
(t) dt.
(2.4)
Viết ngắn gọn, ta có
φ
n+1
(x) = f (x) + λσ
n
(x) + ω
n+1
(x) ,
trong đó σ
n
(x) được xác định trong phần 2.1, ta có
ω
n+1
(x) = λ
n+1


b
a
K
n+1
(x, t)φ
0
(t) dt.
21
Trong phần 2.1, ta chỉ ra rằng dãy σ
n
(x) hộ tụ đều trên hàm σ (x)
trong [a, b], với điều kiện |λ| đủ nhỏ so với dạng của nhân. Tại đây, ta
kiểm tra lại kết quả này với các điều kiện khác nhau của λ.
Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào định nghĩa cho nhân
lặp
|K
m
(x, t)|
2
≤


b
a
|K
m−1
(x, s)|
2
ds



b
a
|K (s, t)|
2
ds

.
Lấy tích phân bất đẳng thức này với t

b
a
|K
m
(x, t)|
2
dt ≤


b
a
|K
m−1
(x, s)|
2
ds


b

a

b
a
|K (s, t)|
2
dsdt

,
với mỗi giá trị xác định x ∈ [a, b], hoặc đơn giản hơn
κ
m
(x) ≤ κ
m−1
(x) K
2
2
,
trong đó ta đặt
κ
m
(x) =

b
a
|K
m
(x, t)|
2
dt,

và
K
2
=


b
a

b
a
|K (x, t)|
2
dxdt

1
/
2
.
Áp dụng đệ quy, ta dễ dàng đánh giá
κ
m
(x) ≤ κ
1
(x) K
2m−2
2
.
Một ứng dụng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào tính tích
phân cho tổng σ

n
(x) để ước tính





b
a
K
m
(x, t) f (t) dt




2
≤


b
a
|K
m
(x, t)|
2
dt


b

a
|f (t)|
2
dt

= κ
m
(x) f
2
2
≤ κ
1
(x) f
2
2
K
2m−2
2
.
22
Suy ra, mỗi hạng tử trong tổng σ
n
(x) có thể đánh giá theo bất phương
trình




λ
m


b
a
K
m
(x, t) f (t) dt




≤

κ
1
(x) f
2
K
2
(|λ|K
2
)
m
,
với mỗi x ∈ [a, b] cố định.
Do đó, dãy σ
n
(x) hội tụ tuyệt đối và đồng nhất tới một giới hạn duy
nhất σ (x) trong [a, b] khi |λ|K
2
< 1, nó được xác định bởi một chuỗi

hội tụ hình học của các hạng tử dương.
Sử dụng cách đánh giá tương tự, chúng ta có
|ω
n+1
(x)| ≤

κ
1
(x) φ
0

2
K
2
(|λ|K
2
)
n+1
→ 0,
với n → +∞.
Kết quả cả hai phần trên chỉ ra rằng φ (x) = f (x) + λσ (x).
Chứng minh rằng φ (x) là duy nhất. Giả sử rằng có hai nghiệm riêng
biệt của phương trình (2.3) là φ (x) và
˜
φ (x). Ta đặt δ (x) = φ (x) −
˜
φ (x)
và δ (x) thỏa mãn phương trình tích phân
δ (x) = λ


b
a
K (x, t)δ (t) dt.
Nếu δ (x) = 0 thì đó là hàm riêng của nhân tương ứng với giá trị riêng
λ. Do đó, δ (x) ≡ 0, suy ra không chỉ φ (x) là duy nhất mà ta còn thấy
rằng nhân không có giá trị riêng nhỏ hơn 1/K
2
. Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz được
|δ (x)|
2
≤ |λ|
2


b
a
|K (x, t)|
2
dt


b
a
|δ (t)|
2
dt

,
trong đó, lấy tích phân theo biến x


1 −|λ|
2
K
2
2


b
a
|δ (x)|
2
dx ≤ 0.
Giới hạn |λ|K
2
< 1 giả định rằng

b
a



δ (x)
2



dx = 0.
Từ đây chúng ta có định lý sau: