Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia



PHẦN 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THUẦN TÚY
A. Kiến thức cần nhớ:
I. QUAN HỆ SONG SONG
Đường thẳng song song
+ Hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
.
+ Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song.
+ Đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (P) nếu trong mặt
phẳng có ít nhất một đường song song với đường thẳng đó
+ Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) khi đó bất kỳ mặt phẳng nào qua a cắt (P) theo giao
tuyến sẽ song song với a
+ Hai mặt phẳng song song nếu trong mặt phẳng này có hai đường cắt nhau cùng song song với hai
đường cắt nhau của mặt phẳng kia
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
a/. Góc
+ Góc giữa hai đường thẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lầ lượt song
song với hai đường thẳng đó.
+ Góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng là góc hợp bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng.
+ Góc hợp bởi hai mặt phẳng là góc hợp bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng.
b/.Quan hệ vuông góc
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong mặt
phẳng đó.
+ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và b nằm trong (P).Điều kiện cần và đủ
để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên mặt phẳng (P).
+ Đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba.

+ Hai mặt phẳng vuông góc nếu trong mặt phẳng này có một đường vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao
tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của nó vuông góc với mặt
phẳng đó.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì nó song song.
Trường THPT Quốc Thái Trang 1
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
c/. Khoảng cách
+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là đoạn
MH với H là hình chiếu của M lên đường thẳng a.
+ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đoạn
MH với H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).
+ Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
+ Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
+ Định lý cosin: Tam giác ABC có ba cạnh tương ứng là a,b,c
+ Định lý sin:

IV: Các công thức diện tích ,thể tích:
• Thể tích khối chóp : V =
.
3
1
Bh
( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
• Thể tích khối lăng trụ : V = Bh . ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
• Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c là : V = abc
• Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a

3
Trường THPT Quốc Thái Trang 2
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
 Chú ý :
*
* Nếu mp(P) cắt ba cạnh SA;SB;SC của tứ diện
S.ABClần lượt tại A’B’C’ Thì

Công thức về hình nón : Gọi l là độ dài đường sinh của hình
nón, h là đường cao, r là bán kính đáy.
a/ Diện tích xung quanh:
S = rl
xq
π
b/ Diện tích toàn phần :
tp xq
S = S +
S
đáy.
c/ Thể tích khối nón:
1
2
V = r h
3
π
Công thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.
a/ Diện tích xung quanh:
xq
S = 2 rl
π

b/ Diện tích toàn phần :
tp xq
S = S +
2S
đáy.
c/ Thể tích khối trụ:
2
V = r h
π
; (h = l)
Công thức của hình cầu:
+ Mặt cầu S(O;R) là tập hợp . Khối cầu S(O;R) là tập hợp .
+ Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay xung quanh đường kính của nó.
+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mp(P).
• Nếu d > R mp(P) không cắt mặt cầu.
• Nếu d = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu.
• Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính .
a/ Diện tích mặt cầu:
2
4S r
π
=
.
b/ Thể tích khối cầu:
3
4
V =
3
r
π

.
 Chú ý :
+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện.
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu có
1./ Là điểm mà cách đều các đỉnh của khối đa diện.
2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà các đỉnh nhìn đoạn thẳng đó dưới một góc vuông.
3./ Là giao điểm của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện.
4./ Là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện.
……….
B. Các bài toán:
Trường THPT Quốc Thái Trang 3
S
B
A
C
A'
B'
C'
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.Tính
thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 2: (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc
0
120=BAC
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60

0
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành với AB = a , BC = 2a
và
·
ABC 60
=
o
, SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy góc 60
0
.
a) Tính độ dài của cạnh AC .
b) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a
3
, hình chiếu vuông
góc của A
/
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A
/
A hợp với mặt đáy
(ABC) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 6: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a,
chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.Tính thể tích
của khối lăng trụ.
Bài 7: Cho hình nón,mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra thiết diện là tam giác đều
cạnh 2a. Tính diện tích x/quanh của hình nón và thể tích của khối nón.
Bài 8: Một hình trụ có khoảng cách hai đáy bằng 7a .Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song
song với trục và cách trục một đoạn d = 3a theo một thiết diện có diện tích S=56a
2
.Tính diện tích
xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và
AB=a; AD=b; SA=c Lấy các điểm B’;D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’⊥SB, AD’ ⊥SD.
Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) CMR AB’⊥(SBC).
b) CMR SC⊥ (AB’D’).
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 10: ( Tìm giao các trục đường tròn)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SAB là tam giác đều và mp(SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 11*: Cho hình chóp đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 45
0
.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 12*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn là AD với AD =
2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với mặt đáy một
góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mp (SCD) theo a .

Bài 13*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, đường chéo BD = a
và SB = SC = SD; M là trung điểm của đoạn SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = 2CN và
góc tạo bởi MN với mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Trường THPT Quốc Thái Trang 4
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
Bài 14*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai mặt phẳng (SAC) và
(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC =
, BD = 2a. Biết góc giữa SA và mặt đáy là 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ
O đến mp (SAB) theo a .
Bài 15*: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là
trung điểm của AA’. . Tính thể tích tứ diện BMB’C’ và chứng minh BM vuông góc với B’C.
Bài 16*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, BC = a,
SA=SB = SC=SD =.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
b/ Tính khoảng cách từ M đến mp (SBC), biết M là trung điểm của AD.
Bài 17*: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường
sinh, biết SO = 2a, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng a, diện tích tam giác SAB bằng
3a
2
. Tính diện thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Bài 18: Cho hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD có cạnh bằng a có hai đỉnh lien tiếp A,
B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45
0
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của
hình trụ.

PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ:( Giáo viên tự soạn và nhắc lại cho HS)
B. PHẦN BÀI TẬP :
I ) CÁC BÀI TẬP VỀ TỌA ĐỘ
BÀI 1 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho :
kjiu 32
+−=
;
kjv 32
+=
;
jir 2
−=
1) Tìm tọa độ các vecto đó
2) Tính các tích vô hướng :
vu.
;
ru.
;
vr.
3) Tính coossin của các góc :
( )
vu;
;
( )
ru;
;
( )
vr;
4) Tính tọa độ các vecto:

rvua
+−=
32
;
rvub 2
+−=
5) Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
1;cos;cos;cos
222
=++
kujuiu
6) Tìm tọa độ vecto
c
; để sao cho :
rvuc
+=+
32
BÀI 2 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm M ( 1;2 ;3)
1) Tìm tọa độ các hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ và các mặt phẳng
tọa độ
2) Tìm tọa độ các điểm đối xứng của điểm M qua các trục tọa độ
3) Tính các khoảng cách từ điểm M đến các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ
Trường THPT Quốc Thái Trang 5
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
BÀI 3 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm các điểm: A ( -3;-2 ;0) ;
B (3;-3;1) ; C ( 5;0;2)
1) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành . Tìm tọa độ tâm I của hình bình
hành đó
2) Tính góc giữa hai vecto:

AC
và
BD
3) Tính diện tích của hình bình ABCD
BÀI 4 > Trong không gian tọa độ Oxyz . Tìm
1) Tọa độ điểm M thuộc trục Ox; sao cho M cách đều hai điểm A( 1;2;-3) và B( 0;2;-1).
2) Tọa độ điểm N thuộc trục Oy; sao cho tam giác NOC vuông tại O; với C(1;2;-3).
BÀI 5 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 1;0;0) ; B ( 0;0;1) ; C (2;1;1)
1) Chứng minh rằng ba điểm A; B ; C là ba đỉnh của một tam giác
2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
3) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẽ từ đỉnh A
4) Tính các góc của tam giác ABC
5) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tính các khoảng cách từ G đến các đỉnh A;
B ; C của tam giác ABC
BÀI 6 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 1;0;0) ; B (0;1;0) ; C (0;0;1) ; D( -2;1;-2).
1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ; D là bốn đỉnh của tứ diện
2)Tính các góc tạo bỡi các cạnh đối diện của tứ diện
3) Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao của tứ diện kẽ từ đỉnh A
BÀI 7 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 5;3;-1) ; B(2;3;-4) ; C(1;2;0) ; D( 3;1;-2).
1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ;D không đồng phẳng
2) Chúng minh các cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau
3) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều
4) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC
5) Tính thể tích hình chóp D.ABC
II ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
BÀI 1 > Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Nhận MN làm đường kính ; với M ( 1;2;5) và N (3;0;1)
2) Có tâm I ( 1;2;0) và đi qua điểm A ( 1;0;-3 )
3) Có bán kính bằng 2 ; tiếp xúc mặt phẳng ( Oyz) và có tâm nằm trên trục Ox
4) Có tâm I ( 1;2;3) và tiếp xúc với mạt phẳng ( Oyz )

5) Đi qua ba điểm A ( 0;8;0 ) ; B ( 4;6;2) ; C ( 0;12;4) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( Oyz )
BÀI 2 > Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau :
1)
0128
222
=++−++ yxzyx
2)
021536333
222
=−+−+++ zyxzyx
III ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG
BÀI 1 > Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1) Đi qua ba điểm : A ( 1;2;0) ; B ( -2;3;1) ; C (0;0;1)
2) Đi qua hai điểm A (1;-1;2) và B ( 0;1;0) và song song với trục Oz
3) Đi qua điểm A ( 3;2;-1) và song song với mặt phẳng ( P ) : x -5y +z = 0
Trường THPT Quốc Thái Trang 6
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
4) Đi qua hai điểm A ( 0;1;1) và B (-1; 0; 2)và vuông góc với mặt phẳng ( P ):x –y + z+ 1 = 0.
5) Đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của điểm M ( 1; 2; 3 )lên các trục tọa độ
6) Song song với mặt phẳng ( Q ) : 4x + 3y -12z + 1 = 0vaf tiếp xúc với mặt cầu
( S ) :
02642
222
=−−−−++
zyxzyx
BÀI 2 >
1) Tìm điểm M trên trục Oz ; sao cho cách đều điểm A (2;3;4 ) và mặt phẳng ( R):
2x +3y +z - 17 = 0
2) M cách đều hai mặt phẳng x +y –z +1 = 0 và x-y+ z + 5 = 0
IV) CÁC BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG

BÀI 1> Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua M(2;0;–3) và nhận
(2; 3;5)a
→
= −
làm vecto chỉ phương.
b/ d đi qua M(–2; 6; –3) và song song với trục Oy.
c/ d đi qua A(1; 0; –3) và B(3, –1; 0).
d/ d đi qua M(–2; 3;1) và song song với d :
2 1 2
2 4 3
x y z− + +
= =
e/ d đi qua điểm M (–2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z = 0.
BÀI 2> Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương trình:
7 3
1 2 5
: ; ': 2 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t
z t
= +

− + −

∆ = = ∆ = +


−

= −

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và (∆’) cắt nhau.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) chứa (∆) và (∆’).
c) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường thẳng (∆) và (∆’).
CÁC ĐỀ TRONG KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2002 – 2014
Bài 1 : (Khối B 2003)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và
điểm C sao cho
( )
0;6;0=
uuuur
AC
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
ĐS: d = 5
Bài 2 : (Khối B 2004)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(−4;−2;4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4





= − +
= −
= − +
x t

d y t
z t
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đthẳng d.
Trường THPT Quốc Thái Trang 7
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
ĐS:
2
4 4
:
3 2 1
+
+ −
∆ = =
−
y
x z
Bài 3 : (Khối B 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4).
a. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCB

1
C
1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A
,
M và
song song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạnMN.
ĐS:
17
2
=MN
Bài 4 : (Khối B 2006)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường
thẳng
1
1
:
1
2 1 1
−

+
= =
−
y
x z
d
,
1
: 1 2
2
2





= +
= − −
= +
x t
d y t
z t
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
, d
2
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
1

, N thuộc d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.
ĐS: a. (P): x+3y+5z−13=0, b. M(0;1;−1), N(0;1;1).
Bài 5 : (Khối B 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
x
2
+y
2
+z
2
−2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
bằng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn
nhất.
ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3).
Bài 6 : (Khối B 2008)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1),
C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao choMA=MB=MC.
ĐS:a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
Bài 7 : (Khối B 2009) Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3),
C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến
(P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài 8 : Nâng cao:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai
điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. ĐS: Chuẩn (P):
2x+3z−5=0, Nâng cao

3 1
:
26 11 2
+ −
∆ = =
−
y
x z
.
Trường THPT Quốc Thái Trang 8
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
Bài 9 : (Khối B 2010)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0),
C(0;0;c) trong đó b,c dương và mp (P): y-z+1= 0. Xác định b,c biết mp(ABC) vuông góc mp(P) và
khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) =
1
3
ĐS:
1
b = c =
2
Bài 10: Khối B - 2011
1. (Chuẩn) Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
2 1
1 2 1
x y z− +
= =
− −
và mặt phẳng
(P) : x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI
vuông góc với ∆ và MI =

4 14
.
Đs: M (4; -7; 6);M (5; 9; -11)
2. Nâng cao: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
2 1 5
1 3 2
x y z+ − +
= =
−
và hai
điểm A (-2; 1; 1); B (-3; -1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có
diện tích bằng
3 5
.
Đs M (-2; 1; -5) hay M (-14; -35; 19)
Bài 11: Khối B – 2012
1.(Chuẩn). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1 2
x y z−
= =
−
và hai
điểm A (2; 1; 0); B (-2; 3; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d.
2.(Nâng cao). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 0; 3), M(1; 2; 0). Viết ptmp (P)
qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường
thẳng AM.
Hướng dẫn:
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng với Ox, B(b;0;0).
C là giao điểm của mặt phẳng với Oy, C(0;c;0).

Vậy pt mặt phẳng có dạng :
1
3
x y z
b c
+ + =
và trọng tâm tam giác ABC là :
; ;1
3 3
b c
G
 
 ÷
 
(1;2; 3)AM = −
uuuv
. Pt đường thẳng AM :
3
1 2 3
x y z −
= =
−
Vì
G AM
∈
nên
2
3 6 3
b c −
= =

2, 4b c⇒ = − = −
Vậy pt mặt phẳng (P) là
6 3 4 12 0x y z
+ − + =
Bài 12: Khối B – 2013
1.(Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y – z – 7 = 0 và
điểm A(3; 5; 0). Viết ptđt đi qua A và vuông góc mp (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P).
Trường THPT Quốc Thái Trang 9
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
2(Nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;1), B(-1; 2; 3) và đường
thẳng ∆ :
1 2 3
2 1 3
x y z+ − −
= =
−

. Viết ptđt đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆.
Bài 13: Khối B – 2014
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :
1 1
2 2 1
x y z− +
= =
−
và điểm A(1; 0; -1).
Viết ptmp qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Bài 14 :(CĐ Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường
thẳng d có phương trình
1

1 1 2
−
= =
−
y
x z
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
ĐS: a. x−y+2z−6=0
Bài 15 : (Khối A 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
2
:
1
2 3 4
+
∆ = =
y
x z
và
1
: 2
2
1 2





= +

∆ = +
= +
x t
y t
z t
a.Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song vớiđường thẳng ∆
2
.
b.Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao chođoạn thẳng MH có độ dài
nhỏ nhất. ĐS: a. 2x−z=0, b. H(2;3;4)
Bài 16: (Khối A 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),
( )
0;0;2 2S
. Gọi M là
trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tíchkhối chóp S.ABMN.
ĐS: a.
( )
2 6
d SA,BM
3
=
, b.
V 2(ñvtt)

S.AMN
=
.
Bài 17 : (Khối A 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
− + −
= =
−
x y z
và mặt phẳng (P): 2x+y−2z+9=0.
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phươngtrình tham số của đường
thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A vàvuông góc với d.
ĐS: a. I
1
(−3;5;7), I
2
(3;−7;1)
Bài 18 : (Khối A 2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN.
Trường THPT Quốc Thái Trang 10
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết
1
cosα=
6
ĐS: a.

( )
1
d A'C,MN
2 2
=
, (Q
1
): 2x−y+z−1=0, (Q
2
): x−2y−z+1=0.
Bài 19 : (Khối A 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
2
:
1
2 1 1
−
+
= =
−
y
x z
d
và
1 2
: 1
2
3






= − +
= +
=
x t
d y t
z
. a)Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
b)Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0và cắt cả hai đường
thẳng d
1
, d
2
. ĐS:
y
x-2 z+1
d: = =
7 1 -4
Bài 20 : (Khối A 2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
-1 - 2
d:
2 1 2
x y z

= =
.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (α) lớn nhất.
ĐS: a. H(3;1;4), (α): x−4y+z−3=0.
Bài 21 : (Khối A 2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
2x−2y−z−4=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
−2x−4y−6z−11=0. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S)
theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 22: Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−1=0 và hai
đường thẳng
y
x+1 z+9
Δ : = =
1
1 1 6
,
y-3
x-1 z+1
Δ : = =
2
2 1 -2
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆

2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: Chuẩn : H(3;0;2), r = 4. Nâng cao : M
1
(0;1;−3),
18 53 3
M ; ;
2
35 35 35
 
 ÷
 
Bài 23 :.(Khối A 2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
2 -1
y
x-1 z+2
Δ: = =
1

và mp (P) : x-2y+z = 0 . Gọi C là giao điểm của
Δ
với (P) ,M là điểm thuộc
Δ
.Tính khoảng cách
từ M đến (P) biết MC =
6
ĐS:
1
d(M,(P))
6

=
.
Bài 24 : Khối A-2011.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB=BC=2a ; hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng
qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a .
Trường THPT Quốc Thái Trang 11
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
Đáp số : V=
3
3a
; Kẻ d qua N //AB ;hạ AD
⊥
d , hạ AH
SD⊥
suy ra d(AB;SN)=AH=
2 39
13
a
Bài 25: A - 2011
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và mặt phẳng
(P):
2x - y - z + 4 = 0.
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
ĐS: M (0; 1; 3) hay M
6 4 12
; ;

7 7 7
 
−
 ÷
 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
–4x–4y– 4z=0 và điểm A (4;
4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
ĐS: (OAB) : x – y + z = 0 hoặc : (OAB) : x – y – z = 0
Bài 26: A-2012-Chuẩn
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 2
1 2 1
x y z+ −
= =
và điểm I (0; 0; 3). Viết phương
trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Hướng dẫn:
Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi
d
u
uur
= (1; 2; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
[ , ]
2

( , )
2 2
d
d
MI u
AB R
IH d I d
u
= = = =
uuur uur
uur
⇒
[ , ] ( 2;0; 2)
d
MI u = − −
uuur uur
⇒ IH =
8 2
6 3
=
2 2
2
3
R
=
⇒ R =
2 6
3
⇒ phương trình mặt cầu (S) là :
2 2

8
( 3)
3
x y z+ − =
.
Bài 27: A-2012- Nâng Cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 2
2 1 1
x y z+ −
= =
, mặt phẳng
(P) : x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần
lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Hướng dẫn:
( 1 2 ; ;2 )( )M d M t t t t R
∈ ⇒ − + + ∈
; A là trung điểm MN
(3 2 ; 2 ;2 )N t t t
⇒ − − − −

( )N P
∈
2t
⇒ =
( 1; 4;0)N
⇒ − −
;
∆
đi qua A và N nên phương trình có dạng :

1 4
2 3 2
x y z+ +
= =

Bài 28: A-2013 1.(Chuẩn)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
6 1 2
3 2 1
x y z− + +
= =
− −
và điểm A(1; 7; 3).
Viết ptmp (P) đi qua A và vuông góc với ∆. Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho .
2.(Nâng Cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp (P): và mặt cầu (S): . Chứng
minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điếm của (P) và (S).
Bài 29: A 2014
Trường THPT Quốc Thái Trang 12
Tổ bộ môn: Toán Chuyên đề ôn tậpThi – THPT Quốc Gia
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp (P): và đường thẳng d: . Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P). Viết ptmp chứa d và vuông góc với (P).
Bài 30: D-2012-Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3).
Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Bài 31: D-2012-Nâng Cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 1
2 1 1
x y z− +
= =

−
và hai điểm A (1; -1; 2),
B (2; -1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Bài 32: D-2013
1.( Chuẩn )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và điểm A (-1;- 1; -2),
B(0; 1; 1). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết ptmp đi qua A, B và vuông góc
với (P).
2.(Nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và điểm A (-1; 3; -2).
Tính khoảng cách từ A đến mp (P). Viết ptmp đi qua A và song song với (P).
Bài 33: D-2014 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp (P): và mặt cầu (S) : . Chứng
minh (P) cắt (S) theo đường tròn giao tuyến (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
Trường THPT Quốc Thái Trang 13