Hình học không gian cổ

ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
3
2
a
SD =
. Hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ñáy (ABCD) là trung ñiểm của cạnh AB. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD).
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra
( )
SH ABCD⊥
.
Do ñó:
SH HD⊥
. Ta có
( )
2 2 2 2 2
SH SD DH SD AH AD a= − = − + =

Suy ra
3
.

1
. .
3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S= =

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên BD và E
là hình chiếu vuông góc của H lên SK. Ta có
( )
BD HK
BH SHK
BD SH
⊥

⇒
⊥

⊥


Suy ra
BD HE
⊥
mà
( )
HE SK HE SBD
⊥ ⇒ ⊥



Ta có:

2
.sin
4
a
HK HB KBH= =
. Suy ra
2 2
.
3
HS HK a
HE
HS HK
= =
+

Do ñó:
( )
( )
( )
( )
2
; 2 ; 3
3
a
d A SBD d H SBD HE= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của

A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh AB, góc giữa ñường thẳng A’C và
mặt phẳng ñáy bằng 60
0
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (ACC’A’).
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Gọi H là trung ñiểm của AB,
( )
'A H ABC⊥
và

0
' 60A CH =

Do ñó

3
' .tan '
2
a
A H CH A CH= =
. Do ñó thể tích khối lăng
trụ là

3
. ' ' '
3 3
8
ABC A B C
a
V =

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình
chiếu vuông góc của H lên A’I. Suy ra
( )
( )
, ' '
HK d H ACC A
=


Ta có:

3
.sin
4
a
HI AH IAH= =
;
2 2 2 2
1 1 1 52 3 13
' 9 26
a
HK

HK HI HA a
= + =
⇒
=




Do ñó:
( )
( )
( )
( )
3 13
; ' ' 2 ; ' ' 2
13
a
d B ACC A d H ACC A HK= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là
tam giác ñều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BC.
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra
2 2
BC a
AH = =


( )
3
,
2
a
SH ABC SH⊥ =
và
2
1
.
2 4
ABC
a
S BC AH
∆
= =

Thể tích của khối chóp là
3
.
1 3
.
3 24
S ABC ABC
a
V SH S
∆
= =

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA, Suy

ra
HK SA
⊥
.


Ta có
( )
BC SAH BC HK
⊥ ⇒ ⊥

Do ñó: HK là ñường vuông góc chung của BC và SA.
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 16
3
HK SH AH a
= + =
. Do ñó:
( )
3
;
4
a
d BC SA HK= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013
Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại A,

0

30
ABC =
, SBC là tam giác ñều cạnh a và
mặt bên SBC vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
ñiểm C ñến mặt phẳng (SAB)
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i




Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra
SH BC⊥
. Mà
( )
SBC

vuông góc với
( )
ABC
theo giao tuyến BC, nên
( )
SH ABC⊥

Ta có:

0
0
3
; sin30 ;
2 2
3
.cos30
2
a a
BC a SH AC BC
a
AB BC
= ⇒ = = =
= =

Do ñó:
3
.
1
. .
6 16
S ABC
a
V SH AB AC= =

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung ñiểm của BC nên
HA HB
=
. Mà
( )

SH ABC⊥
, suy ra
.
SA SB a= =
Gọi I là trung ñiểm của AB, suy ra
SI AB⊥




Do ñó:
2
2
13
4 4
AB a
SI SB= − =
. Suy ra :
( )
( )
. .
3 6 39
;
. 13
S ABC S ABC
SAB
V V a
d C SAB
S SI AB
∆

= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác ñều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng
cách từ A ñến mặt phẳng (SCD) theo a.
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH vuông góc với AB
và
3
2
a
SH =
.
Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
theo giao tuyến AB, nên
( )
SH ABCD⊥
.
Do ñó:
3
.
1 3
.
3 6
S ABCD ABCD
a
V SH S= =


Do AB song song với CD và H thuộc AB nên
( )
( )
( )
( )
, ,d A SCD d H SCD=

Gọi K là trung ñiểm của CD và I là hình chiếu vuông góc
của H trên SK. Ta có:
HK CD
⊥
.
Mà
SH CD⊥
( )
CD SHK⇒ ⊥

CD HI⊥
. Do ñó:
( )
HI SCD
⊥

Suy ra:
( )
( )
,d A SCD
2 2
. 21
7

SH HK a
HI
SH KH
= = =
+

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy,

0
120BAD =
, M là trung ñiểm của cạnh BC và

0
45SMA =
. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SBC)
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i




0
120

BAD ABC ABC
=
⇒ ⇒
∆
ñều
3
3 3
2 2
ABCD
a a
AM S⇒ = ⇒ =

SAM∆
vuông tại A có

0
45SMA SAM= ⇒ ∆
vuông tại
A
3
2
a
SA AM= =

Do ñó:
3
.
1
.
3 4

S ABCD ABCD
a
V SA S= =

Do AD song song với BC nên
( )
( )
( )
( )
, ,d D SBC d A SBC=

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
Ta có:
( )
AM BC
BC SAM
SA BC
⊥

⇒ ⊥

⊥


( ) ( )
( )
,
BC AH AH SBC d A SBC AH
⇒
⊥

⇒
⊥
⇒
=

Ta có:
( )
( )
2 6 6
,
2 4 4
AM a a
AH d D SBC= = ⇒ =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2013
Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AB = a và ñường thẳng A’B tạo với ñáy một góc bằng



60
0
. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và ñộ dài MN
Hướng dẫn giải

( )

' 'AA ABC A BA⊥ ⇒
là góc giữa A’B với ñáy.
Suy ra:



0
' 60 ' .tan ' 3A BA AA AB A BA a= ⇒ = =

Do ñó
3
. ' ' '
3
'.
4
ABC A B C ABC
a
V AA S
∆
= =

Gọi K là trung ñiểm của cạnh BC.
Suy ra
MNK
∆
vuông tại K, có
, ' 3
2 2
AB a
MK NK AA a
= = = =

Do ñó:
2 2

13
2
a
MN MK NK= + =


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012
Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho
2
HA HB
=
. Góc giữa hai ñường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai
ñường thẳng SA và BC theo a
Hướng dẫn giải

Ta có:

SCH
là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). Suy ra

0
60
SCH =

Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB. Ta có:

3
,
6 2
a a
HD CD= =

2 2 0
7 21
, .tan 60
3 3
a a
HC HD CD SH HC= + = = =


2 3
.
1 1 21 3 7
. . .
3 3 3 4 12
S ABC ABC
a a a
V SH S
∆
= = =

Kẻ Ax song song với BC, gọi N và K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt
phẳng (SAN) và
3
2

BA HA
=

Nên
( ) ( )
( )
( )
( )
3
, , .
2
d SA BC d B SAN d H SAN= =

Ta cũng có:
( )
Ax SHN Ax HK⊥ ⇒ ⊥
. Do ñó:
( ) ( )
( )
,
HK SAN d H SAN HK
⊥ ⇒ =

0
2 2
2 3 . 42
, .sin60 ,
3 3 12
a a SH HN a
AH HN AH HK

SH HN
= = = = =
+
vậy
( )
42
,
8
a
d SA BC =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012
Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với
2
SA a=
,
AB a=
. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng
( )
ABH
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABH theo a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i




Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác
ABC. Ta có
AB CD
AB SO
⊥


⊥

nên
( )
,AB SCD⊥
Do ñó
AB SC⊥

Mặt khác
SC AH⊥
, Suy ra
( )
SC ABH⊥

Ta có:
3
2
a
CD =
,

3
3
a
OC =
nên
2 2
33
3
a
SO SC OC= − =

Do ñó:
2
. 11 1 11
.
4 2 8
ABH
SO CD a a
DH S AB DH
SC
∆
= = ⇒ = =



Ta có:
2 2
7
4
a

SH SC HC SC CD DH= − = − − =
. Do ñó:
3
.
1 7 11
.
3 96
S ABH ABH
a
V SH S
∆
= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012
Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân
'
A C a=
. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng
(BCD’) theo a
Hướng dẫn giải

Tam giác A’AC vuông cân tại A và
'
A C a=
nên
'
2
a
A A AC= =
. Do ñó:

' '
2
a
AB B C= =

3
' ' '
1 1 2
' '. ' '. . '
3 6 48
ABB C ABB
a
V B C S B C AB BB
∆
= = =

Gọi H là chân ñường cao kẻ từ A của tam giác A’AB. Ta
có
( )
'
'
AH A B
AH A BC
AB BC
⊥

⇒
⊥

⊥


. Nghĩa là :
( ) ( )
( )
' , 'AH BCD AH d A BCD⊥ ⇒ =

Ta có:
2 2 2
1 1 1
'AH AB AA
= +
Do ñó:
( )
( )
6
, '
6
a
d a BCD AH= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2012
Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2,AB a SA SB SC= = =
.
Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a.
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của BC
HA HB HC
⇒
= =

Kết hợp với giả thiết
,SA SB SC SH BC SHA SHB SHC= = ⇒ ⊥ ∆ = ∆ =

( )

0
60
SH ABC
SAH
⊥


=



Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
2 2AC AB a BC a AH a= = ⇒ = ⇒ =

Tam giác SHA vuông
3
0
.
1 1 3
tan60 3 . . .

3 2 3
S ABC
a
SH AH a V AB AC SH= × =
⇒ = =





Gọi O;R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Suy ra O
thuộc ñường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do ñó: R là bán kính ñường tròn
ngoại tiếp tam giác SBC. Xét tam giác
SHA
ta có:
0
2
sin 60
SH
SA a SBC= = ⇒ ∆
là tam giác ñều
có ñộ dài cạnh bằng 2a. Suy ra :
0
2 2 3
2sin 60 3
a a
R = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

2 ;AB BC a= =
hai mặt
phẳng
( )
SAB
và
( )
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm của
AM; mặt phẳng qua SM và song song với B, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai
ñường thẳng AB và SN theo a
Hướng dẫn giải
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông
góc với (ABC)
( )
SA ABC⇒ ⊥
.

AB BC SB BC SBA⊥ ⇒ ⊥ ⇒
là góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
(ABC)


0
60 .tan 2 3SBA SA AB SBA a⇒ = ⇒ = =


Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt
AC tại N.
//
MN BC
⇒
và N là trung ñiểm của
AC.
;
2 2
BC AB
MN a BM a
= = = =

Diện tích :
( )
2
3
2 2
BCNM
BC MN BM
a
S
+
= =
.
Thể tích
3
.
1

. 3
3
S BCNM BCNM
V S SA a= =




Kẻ ñường thẳng
∆
ñi qua N, song song với AB. Hạ
( ) ( )
//AD D AB SND⊥ ∆ ∈∆ ⇒

( ) ( )
( )
( )
( )
; , ,d AB SN d AB SND d A SND⇒ = =
.
Hạ
( ) ( ) ( )
( )
,AH SD H SD AH SND d A SND AH⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ =

Tam giác SAD vuông tại A:
AH SD
AD MN a
⊥



= =


( )
2 2
. 2 39
,
13
SA AD a
d AB SN AH
SA AD
⇒ = = =
+

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình chữ nhật,
, 3AB A AD a= =
. Hình
chiếu vuông góc của ñiểm A
1
lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao ñiểm của AC và BD.
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
1 1
ADD A
và (ABCD) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ ñã

cho và khoảng cách từ ñiển
1
B
ñến mặt phẳng
( )
1
A BD
theo a.
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao ñiểm của AC và BD.
( )
1
AO ABCD⇒ ⊥

Gọi E là trung ñiểm của AD
1
OE AD
A E AD
⊥

⇒

⊥


Suy ra

1
A EO
là góc giữa hai mặt phẳng

( )
1 1
ADD A
và (ABCD)

0
1
60
A EO⇒ =





Suy ra:
 
1 1 1
3
.tan tan
2 2
AB a
AO OE A EO A EO= = =

Diện tích ñáy
2
. 3
ABCD
S AB AD a= =

Thể tích

3
. ' ' ' ' 1
3
2
ABCD A B C D ABCD
a
V S AO= × =

Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
1 1 1
// //
, ,
B C A D B C A BD
d B A BD d C ABD CH
⇒
⇒ = =

Suy ra
( )
( )
1 1
2 2
. 3
2

CD CB a
d B ABD CH
CD CB
= = =
+

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B,
3 , 4
BA a BC a
= =
, mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
2 3SB a=
và

0
30 .SBC =
Tính thể
tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (SAC) theo a.
Hướng dẫn giải

Hạ
( ) ( )

; .sin 3
SH BC SBC ABC
SH BC SH SB SBC a
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⊥ = =


Diện tích:
2
12
. 6
ABC
S BA BC a= =

Thể tích
3
.
1
. 2 3
3
S ABC ABC
V S SH a= =

Hạ
( ) ( )
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
,
, .
.cos 3 4
, 4 ,
HD AC D AC HK SD K SD

HK SAC HK d H SAC
BH SB SBC a BC HC
d B SAC d H SAC
⊥ ∈ ⊥ ∈
⇒
⊥
⇒
=
= =
⇒
=
⇒
=

Ta có
2 2
3
5 ; .
5
HC a
AC BA BC a HC BC BH a HD BA
AC
= + = = − = ⇒ = =

2 2
. 3 7
14
SH HD a
HK
SH HD

= =
+
.
Vậy
( )
( )
6 7
, 4
7
a
d B SAC HK= =


Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
0
30
. Gọi M là trung ñiểm
của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i




Ta có
SA BC
SB BC
AB BC
⊥

⇒
⊥

⊥


Do ñó: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng

0
30SBA =

. .
1 1
. .
2 12
S ABM S ABC
V V SA AB BC= =

0
3
; .tan30
3
a

BC AB a SA AB= = = =

Vậy
3
.
3
36
S ABM
a
V =


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của N và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và
3SH a=
. Tính thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai ñường
thằng DM và SC theo a.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Thể tích của khối chóp S.CDNM
2
2 2 2
2

1 1
. .
2 2
5
8 4 8
CDNM ABCD AMN
S S S SBC
AB AM AN BC BM
a a a
a
= − −
= − −
= − − =



Vậy
3
1 5 3
.
3 24
SCDNM CDNM
a
V S SH= =

Khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC.


ADM DCN ADM DCN DM CN∆ = ∆
⇒

=
⇒
⊥
kết hợp với ñiều kiện
( )
DM SH DM SHC
⊥ ⇒ ⊥

Hạ
( )
HK SC K SC HK
⊥ ∈ ⇒
là ñoạn vuông góc chung của DM và SC.
Do ñó:
( )
,d DM SC HK=

Ta có :
( )
2
2 2
2
5
2 3
,
19
. 2 3
19
CD a
HC

CN
a
d DM SC
SH HC a
HK
SH HC

= =


⇒ =


= =

+


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010:
Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có
AB a=
, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng
0
60
. Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ ñã
cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Hướng dẫn giải




Thể tích khối lăng trụ.
Gọi D là trung ñiểm của BC ta có:

0
' ' 60BC AD BC A D ADA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có:

2
3 3
' .tan ' ;
2 4
ABC
a a
AA AD ADA S= = =

Do ñó:
3
. ' ' '
3 3
'
8
ABC A B C ABC
a
V S AA= × =

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra:
( )

// ' //GH AA GH ABC⇒

Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC, ta có I là giao ñiểm của GH với ñường
trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH.
Gọi E là trung ñiểm của AG, ta có:
2
.
2
GE GA GA
R GI
GH GH
= = =

Ta có
2
2 2 2
' 3 7
; ;
3 2 3 12
AA a a a
GH AH GA GH AH= = = = + =

Do ñó:
2
7 2 7
2.12 12
a a
R
a

= × =


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu
vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn AC,
4
AC
AH =
. Gọi
CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung ñiểm của SA và tính thể tích
của khối tứ diện SMBC theo a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Chứng minh M là trung ñiểm của SA.
2 2
2 14
;
4 4
a a
AH SH SA AH= = − =

2 2
3 2

; 2
4
a
HC SC SH HC a SC AC
= = + =
⇒
=

Do ñó: tam giác SAC cân tại C, Suy ra M là trung ñiểm
của SA
Tính thể tích của khối tứ diện SBCM.
M là trung ñiểm của SA suy ra
. .
1 1
2 2
SCM SCA SBCM B SCA S ABC
S S V V V= ⇒ = =

3
1 14
6 48
SBCM ABC
a
V S SH⇒ = × =


Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng ñáy, SA = SB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng ñáy bằng
0

45
. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.



Hướng dẫn giải
Gọi I là trung ñiểm của AB. Ta có
.SA SB SI AB= ⇒ ⊥
Mà hai mặt phẳng
(SAB) và mặt phẳng (ABCD) vuông góc
với nhau nên suy ra
( )
SI ABCD⊥

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD bằng

0
45
SCI =
, Suy ra
2 2
5
2
a
SI IC IB BC= = + =

Thể tích của khối chóp là
3
.

1 5
.
3 6
S ABCD ABCD
a
V SI S= =
(ñơn vị thể tích)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
2AB AD a= =
,
CD a=
;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
0
60
. Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD theo a
Hướng dẫn giải

( ) ( )
( ) ( )
( )
SIB ABCD
SI ABCD
SIC ABCD
⊥



⇒
⊥

⊥



Kẻ
( ) ( )

0
60IK BC K BC BC SIK SKI⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ =

Diện tích hình thang ABCD :
2
3
ABCD
S a=

Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI
bằng
2
3
2
a
, suy ra
2
3
2

IBC
a
S
∆
=

( )

2
2
2 3 5 3 15
5 .tan
5 5
IBC
S a a
BC AB CD AD a IK SI IK SKI
BC
∆
= − + =
⇒
= =
⇒
= =

Thể tích của khối chóp S.ABCD:
3
1 3 15
.
3 5
ABCD

a
V S SI= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009:
Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
'
BB a
=
, góc giữa ñường thẳng BB’ và mặt phẳng
(ABC) bằng
0
60
; tam giác ABC vuông tại C và

0
60BAC =
. Hình chiếu vuông góc của B’ lên
mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC
theo a
Hướng dẫn giải



Gọi D là trung ñiểm của AC và G là trọng
tâm của tam giác ABC ta có
( )

0
' ' 60B G ABC B BG⊥ ⇒ =



3
' '.sin '
3
2
4
2
a
B G BB B BG
a
BD
a
BG

= =


⇒ =


=



Tam giác ABC có:
3
,
2 2 4
B AB AB
BC AC CD

Α
= = ⇒ =


Ta lại có:
2 2 2 2
2 2 2
3 9 3 13 9 3
;
4 16 16 26 104
ABC
AB AB a a a
BC CD BD AB S
∆
+ = ⇒ + = ⇒ = =

Thể tích của khối tứ diện A’ABC:
3
' '
1 9
' .
3 208
A ABC B ABC ABC
a
V V B G S
∆
= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009:
Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B,

; ' 2 ; ' 3AB a AA a A C a= = =
. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng
(IBC)
Hướng dẫn giải
Hạ
( ) ( )
IH AC H AC IH ABC
⊥ ∈ ⇒ ⊥
; IH là ñường
cao của tứ diện IABC.
Suy ra
2 2 4
// ' '
' ' 3 3 3
IH CI a
IH AA IH AA
AA CA
⇒ = = ⇒ = =

2 2 2
' ' 5; 2AC A C A A a BC AC AB a= − = = − =

Diện tích tam giác ABC:
2
1
.
2
ABC
S AB BC a

∆
= =

Vậy thể tích của khối tứ diện IABC:
3
1 4
.
3 9
ABC
a
V IH S
∆
= =


Hạ
( )
' 'AK A B K A B⊥ ∈
. Vì
( )
' '
BC ABB A
⊥
nên
AK BC⊥
Suy ra
( )
AK IBC⊥

Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (IBC) là AK

'
2 2
2 '. 2 5
' 5
'
AA B
S AA AB a
AK
A B
A A AB
∆
= = =
+

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2009:
Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có
, 2.AB a SA a= =
Gọi M, N và P lần lượt là trung ñiểm
của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng ñường thẳng MN vuông góc với ñường thẳng
SP. Thính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP
Hướng dẫn giải




Ta có MN song song với CD và SP vuông góc với
CD suy ra MN vuông góc với SP
Gọi O là tâm của ñáy ABCD. Ta có :
2 2
6

2
a
SO SA OA= − =

3
2
.
1 1 1 1 6
. .
4 8 8 3 48
AMNP ABSP S ABCD
a
V V V SO AB= = = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại
A,
, 3AB a AC a= =
và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm
của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai ñường
thẳng AA’, B’C’

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra
( )
2 2
'
1 1
3

2 2
A H ABC
AH BC a a a
⊥


= = + =



Do ñó:
2 2 2 2 2
' ' 3 3 ' 3A H A A AH a a A H a= − = = ⇒ =

Vậy
3
'.
1
'
3 2
A ABC ABC
a
V A H S
∆
= × =
(ñơn vị thể tích)
Trong tam giác vuông A’B’H có:
2 2
' ' ' ' 2
HB A B A H a

= + =
nên tam giác B’BH cân tại
B’
ðặt
ϕ
là góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’ thì

'
B BH
ϕ
=
. Vậy
1
cos
2.2 4
a
a
ϕ
= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA a=
,
3
SB a=
và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và
DN.

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra
( )
SH ABCD⊥
. Do ñó, SH là ñường cao
của hình chóp S.BMDN
Ta có:
2 2 2 2 2
3SA SB a a AB+ = + =
nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S. Suy ra
.
2
AB
SM a= =
Do ñó tam giác SAM là tam giác ñều, suy ra
3
2
a
SH =

Diện tích của tứ giác BMDN là
2
1
2

2
BMDN ABCD
S S a= =

Thể tích của khối chóp S.BMDN là
3
1 3
3 3
BMDN
a
V SH S= × =
(ñvtt)



Kẻ ME song song với DN
( )
E AD
∈

Suy ra
2
a
AE =
. ðặt
α
là góc giữa hai ñường thẳng
SM và DN. Ta có
( )


,SM ME
α
=
. Theo ñịnh lý ba
ñường vuông góc ta có :
SA AE⊥

Suy ra:
2 2
5
,
2
a
SE SA AE= + =
2 2
5
2
a
ME AM AE= + =


Tam giác SME là tam giác cân tại E nên

5
2
cos
5
5
2
SME

a
a
α
α

=




= =





Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008:
Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a= =
, cạnh
bên
' 2AA a=
. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B
Thể tích của khối lăng trụ là
2 3
. ' ' '
1 2

' 2. .
2 2
ABC A B C
V AA BC a a a= × = =
(ñvtt)

Gọi E là trung ñiểm của BB’. Khi ñó mặt phẳng (AME)
song song với B’C nên khoảng cách giữa hai ñường thẳng
AM, B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng
(AME)
Nhận thấy, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME) bằng
khoảng cách từ C ñến mặt phẳng (AME)
Gọi h là khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME). Do ñó
tứ diện BAME có BA, BM,BE ñôi một vuông góc với
nhau nên:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 2 7 7
7
a
h
h BA BM BE h a a a a
= + +
⇒
= + + =
⇒
=

Vậy: khoảng cách giữa hai ñường thẳng B’C và AM bằng
7
7

a

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2008:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang,


0
90 ;
BAD ABC AB BC a
= = = =
,
2
AD a=
,
SA vuông góc với ñáy và
2
SA a=
. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SD. Chứng minh
rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có: MN là ñường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN song song với AD và
1
2
MN AD

=
//
MN BC
BCNM
MN BC

⇒ ⇒

=

là hình bình hành (1)



Mặt khác
( )
{
( )
2
BC AB
BC SAB BC BM
BC SA
⊥

⇒
⊥ ⇒ ⊥

⊥



Từ (1) và (2) ta suy ra BCNM là hình chữ nhật
Ta có:
. .
2 2
BCNM BCM S BCNM S BCM
S S V V
∆
= ⇒ =

3
. .
1 1 1 1
. . . .
3 6 6 2 6
S BCM C SBM SBM SAB
a
V V CB S CB S CB SA AB
∆ ∆
= = = = =

Vậy
3
.
3
s BCNM
a
V =
(ñvtt)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học A-2007

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD .
Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AD. Do tam giác SAD là
tam giác ñều nên SH vuông góc với AD.
Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SH vuông góc với BP (1).
Xét hình vuông ABCD ta có:
( )
2CDH BCP CH BP∆ = ∆ ⇒ ⊥

Từ (1) và (2) ta suy ra
( )
BP SHC
⊥

Vì
( ) ( )
( )
//
//
//
MN SC
AMN SHC
AN CH
BP AMN BP AM

⇒



⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Kẻ MK vuông góc với mặt phẳng (ABCD), (K
thuộc vào mặt phẳng (ABCD)). Ta có:
1
.
3
CMNP CNP
V MK S=
.
Vì
2 3
1 3 1 3
;
2 4 2 8 96
CNP CMNP
a a a
MK SH S CN CP V= = = × = ⇒ =
(ñvtt)
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học B-2007
Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a E là ñiểm ñối xứng
của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC
H
ướ
ng d
ẫ
n gi

ả
i
Gọi P là trung ñiểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song với mặt
phẳng (SAC). Mặt khác, BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên BD vuông góc với MN



Vì MN song song với mặt phẳng (SAC)
nên
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,
1 1 2
;
2 4 4
d MN AC d N SAC
a
d B SAC BD
=
= = =

Vậy
( )
2
;
4
a
d MN AC =




Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học D-2007
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang


0
90 ,ABC BAD= =

; 2
BA BC a AD a
= = =
. Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy và
2SA a=
. Gọi H là hình chóp vuông góc của A lên
SB. Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính theo a khoảng cách tứ H ñến mặt
phẳng (SCD)
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung ñiểm của AD. Ta có:
IA ID IC a CD AC
= = = ⇒ ⊥
. Mặt khác,
CD SA⊥
, Suy ra
CD vuông góc SC nên tam giác SCD là tam giác vuông tại C.

Trong tam giác vuông SAB ta có:
2 2 2

2 2 2 2 2
2 2
2 3
SH SA SA a
SB SB SA AB a a
= = = =
+ +

Gọi
1 2
,d d
lần lượt là khoảng cách từ B và
H ñến mặt phẳng (SCD) thì
2
2 1
1
2 2
3 3
d SH
d d
d SB
= =
⇒
=

Ta có:
.
1
2
3

1 1
.
2 2
B SCD BCD
SCD SCD
BCD
V SA S
d
S S
S AB BC a
×
= =
= =

2 2 2 2 2 2
1 1
. . 2
2 2
SCD
S SC CD SA AB BC IC ID a= = + + + =

Suy ra
1
2
a
d =
. Vậy khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (SCD) là
2 1
2
3 3

a
d d= =

ỉ




ỉ

ỉ