1


Dãy số có qui luật
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a
1
+ a
2
+ a
n
(1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết
quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc .
Ví dụ 1 : Tính tổng S
n
=1+3+5 + + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S
1
= 1
S
2
= 1 + 3 =2
2

S
3

= 1+ 3+ 5 = 9 = 3
2


Ta dự đoán Sn = n
2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k ( k

1) ta có S
k
= k
2
(2)
ta cần phải chứng minh S
k
+ 1 = ( k +1 )
2
( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 + + (2k 1) + ( 2k +1) = k
2
+ (2k +1)
vì k
2
+ ( 2k +1) = ( k +1)
2
nên ta có (3) tức là S
k+1

= ( k +1)
2

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n
2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + + n =
2
)1(

nn

2, 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
6
)12)(1(


nnn

3, 1
3
+2
3

+ + n
3
=
2
2
)1(






nn

4, 1
5
+ 2
5
+ + n
5
=
12
1
.n
2
(n + 1)
2
( 2n
2
+ 2n 1 )

II > Phơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a
i
, i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp
của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a
1
= b
1
- b
2

a
2
= b
2
- b
3



2




a
n
= b
n
– b

n+ 1

khi ®ã ta cã ngay : S
n
= ( b
1
– b
2
) + ( b
2
– b
3
) + + ( b
n
– b
n + 1
) = b
1
– b
n + 1

VÝ dô 2 : tÝnh tæng : S =
100.99
1

13.12
1
12.11
1
11.10

1

Ta cã :
11
1
10
1
11
.
10
1
 ,
12
1
11
1
12
.
11
1
 ,
100
1
99
1
100
.
99
1


Do ®ã : S =
100
9
100
1
10
1
100
1
99
1

12
1
11
1
11
1
10
1

 D¹ng tæng qu¸t S
n
=
)1(
1

3.2
1
2.1

1


nn
( n > 1 ) = 1-
1
1
1



n
n
n

VÝ dô 3 : tÝnh tæng S
n
=
)2)(1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1


nnn


Ta cã S
n
=



























)2)(1(
1
)1(
1
2
1

4.3
1
3.2
1
2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn

S
n
=













)2)(1(
1
)1(
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn

S
n
=
)2)(1(4
)3(
)2)(1(
1

2.1
1
2
1













nn
nn
nn

VÝ dô 4 : tÝnh tæng S
n
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! ( n! = 1.2.3 n )
Ta cã : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!

n.n! = (n + 1) –n!
VËy S

n
= 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
VÝ dô 5 : tÝnh tæng S
n
=
 
222
)1(
12

)3.2(
5
)2.1(
3



nn
n

Ta cã :
 
;
)1(
11
)1(
12
222





ii
ii
i
i = 1 ; 2 ; 3; ; n
Do ®ã S
n
= ( 1-

















22222
)1(
11


3
1
2
1
)
2
1
nn
= 1-
22
)1(
)2(
)1(
1



 n
nn
n




3


III > Phơng pháp giải phơng trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+2
2

+ + 2
100
( 4)
ta viết lại S nh sau : S = 1+2 (1+2+2
2
+ + 2
99
)
S = 1+2 ( 1 +2+2
2
+ + 2
99
+ 2
100
- 2
100
) => S= 1+2 ( S -2
100
) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2
101
. Vậy S = 2
101
-1
Ví dụ 7 : tính tổng S
n
= 1+ p + p
2
+ p
3

+ + p
n
( p

1)
Ta viết lại S
n
dới dạng sau : S
n
= 1+p ( 1+p+p
2
+ + p
n-1
)
S
n
= 1 + p ( 1+p +p
2
+ + p
n-1
+ p
n
p
n
) =>S
n
= 1+p ( S
n
p
n

)
S
n
= 1 +p.S
n
p
n+1
=>S
n
( p -1 ) = p
n+1
-1 =>S
n
=
1
1
1



p
P
n

Ví dụ 8 : Tính tổng S
n
= 1+ 2p +3p
2
+ + ( n+1 ) p
n

, ( p

1)
Ta có : p.S
n

= p + 2p
2
+ 3p
3
+ + ( n+ 1) p
n +1


= 2p p +3p
2
p
2
+ 4p
3
p
3
+ + (n+1) p
n
- p
n
+ (n+1)p
n
p
n

+ ( n+1) p
n+1

= ( 2p + 3p
2
+4p
3
+ +(n+1) p
n
) ( p +p + p + p
n
) + ( n+1) p
n+1
= ( 1+ 2p+ 3p
2
+4p
3
+ + ( n+1) p
n
) ( 1 + p+ p
2
+ + p
n
) + ( n +1 ) p
n+1
p
.
S
n
=S

n
-

1
1
)1(
1
1





n
n
Pn
P
P
( theo VD 7 )

Lại có (p-1)S
n
= (n+1)p
n+1


-
1
1
1




P
p
n
=>S
n
=
2
11
)1(
1
1
)1(






P
p
p
Pn
nn

IV > Phơng pháp tính qua các tổng đã biết
Các kí hiệu :
n

n
i
i
aaaaa



321
1

Các tính chất : 1,



n
i
n
i
n
i
iiii
baba
1 1 1
)( ; 2,



n
i
i

n
i
i
aaaa
11
.
Ví dụ 9 : Tính tổng : S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)
Ta có : S
n
=



n
i
n
i
n
i
n
i
iiiiii
11 1
22
1
)()1(
Vì :
6

)12)(1(
2
)1(
321
1
2
1








nnn
i
nn
ni
n
i
n
i
(Theo I )
cho nên : S
n
=
3
)2)(1(
6

)12)(1(
2
)1(







nnnnnnnn




4


Ví dụ 10 : Tính tổng : S
n
=1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)
ta có : S
n
=



n
i
n

i
iiii
1 1
2
)3()13( =



n
i
n
i
ii
11
2
3
Theo (I) ta có : S
n
= )1(
2
)1(
6
)12)(1(3
2





nn

nnnnn

Ví dụ 11 . Tính tổng S
n
= 1
3+
+2
3
+5
3
+ + (2n +1 )
3

ta có : S
n
= [( 1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+ +(2n+1)
3
] [2
3
+4
3
+6

3
+ +(2n)
3
]
= [1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+ + (2n +1 )
3
] -8 (1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+ + n
3
)
S
n
=
4
)1(8

4
)22()12(
2222


nnnn
( theo (I) 3 )=( n+1)
2
(2n+1)
2
2n
2
(n+1)
2

= (n +1 )
2
(2n
2
+4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 )
Cơ sở lý thuyết :
+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối số đầu 0) : ( khoảng cách ) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng công thức: Tổng = ( số đầu số cuối ) .( số số hạng ) :2
Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132
Số số hạng của A là : ( 132 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009
số số hạng của B là ( 2009 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm toán
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) (k-1) k(k+1) = k( k+1)


)1()2( kk
= k (k+1) .3 = 3k(k+1)
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1).
3
)1()2(



kk
=
3
)1)(1(
3
)2)(1(





kkkkkk
*

3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) (k-1) k(k+1)



5


=> 1.2 =
1.2.3 0.1.2
3 3


2.3.4 1.2.3
2.3
3 3

( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)
3 3
n n n n n n
n n




S =
1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3 3
n n n n n n



Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2)


)1()3( kk = k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) =
4
)2)(1()1(
4
)3)(2)(1(







kkkkkkkk

áp dụng : 1.2.3 =
4
3.2.1.0
4
4.3.2.1

2.3.4 =
4
4.3.2.1

4
5.4.3.2


n(n+1) (n+2) =
4
)2)(1()1(
4
)3)(2)(1(







nnnnnnnn

Cộng vế với vế ta đợc S =
4
)3n)(2n)(1n(n




* Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202
2, a, A = 1+2 +2
2
+2

3
+ + 2
6.2
+ 2
6 3

b, S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
99

+ 5
100

c, C = 7 + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,
5, S =
100
.
99
1

4
.
3
1
3

.
2
1
2
.
1
1

6, S =
61
.
59
4

9
.
7
4
7
.
5
4




6


7, A =

66
.
61
5

26
.
21
5
21
.
16
5
16
.
11
5

8, M =
2005210
3
1

3
1
3
1
3
1


9, S
n
=
)2)(1(
1

4.3.2
1
.3.2.1
1


nnn

10, S
n
=
100
.
99
.
98
2

4
.
3
.
2
2

3
.
2
.
1
2

11, S
n
=
)3)(2)(1(
1

5.4.3.2
1
4.3.2.1
1


nnnn

12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9
50 chữ số 9
13, Cho: S
1
= 1+2 S
3
= 6+7+8+9
S
2

= 3+4+5 S
4
= 10 +11 +12 +13 + 14
Tính S
100
=?
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng
tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
c, 1 +
1991
1989
1
)1(
2

10
1
6
1
3
1



xx

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15, Chứng minh : a, A = 4+ 2

2
+2
3
+2
4
+ + 2
20
là luỹ thừa của 2
b, B =2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
60
3 ; 7; 15
c, C = 3 + 3
3
+3
5
+ + 3
1991
13 ; 41
d, D = 11
9
+ 11
8
+11
7
+ + 11 +1 5
















7


Chuyên đề 1: dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n






- - - Chứng minh - - -
naanaa
a
naa
na
naa
ana
naa
n












11
).().().(
)(
).(


Bài 1.1: Tính
a)
2009

.
2006
3

14
.
11
3
11
.
8
3
8
.
5
3
A b)
406
.
402
1

18
.
14
1
14
.
10
1

10
.
6
1
B
c)
507
.
502
10

22
.
17
10
17
.
12
10
12
.
7
10
C d)
258
.
253
4

23

.
18
4
18
.
13
4
13
.
8
4
D
Bài 1.2: Tính:
a)
509
.
252
1

19
.
7
1
7
.
9
1
9
.
2

1
A b)
405
.
802
1

17
.
26
1
13
.
18
1
9
.
10
1
B
c)
405
.
401
3
304
.
301
2


13
.
9
3
10
.
7
2
9
.
5
3
7
.
4
2
C
Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5
120
1

21
1
15
1
10
1

2008

x
b)
45
29
45
.
41
4

17
.
13
4
13
.
9
4
9
.
5
47

x

c)
93
15
)32)(12(

1

9.7
1
7.5
1
5.3
1



xx

Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1

11.8
1
8.5
1
5.2
1




n
n

nn

b)
34
5
)34)(14(
5

15.11
5
11.7
5
7.3
5




n
n
nn

Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi 2;


nNn ta có:
15
1
)45)(15(
3


24.19
3
19.14
3
14.9
3



nn

Bài 1.6: Cho
403
.
399
4

23
.
19
4
19
.
15
4
A chứng minh:
80
16
81

16
A
Bài 1.7: Cho dãy số : ;
25
.
18
2
;
18
.
11
2
;
11
.
4
2

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8: Cho
2222
9
1

4
1
3
1
2

1
A . Chứng minh
9
8
5
2
A



8


Bµi 1.9: Cho
2222
2007
2

7
2
5
2
3
2
A . Chøng minh:
2008
1003
A
Bµi 1.10: Cho
2222

2006
1

8
1
6
1
4
1
B . Chøng minh:
2007
334
B
Bµi 1.11: Cho
222
409
1

9
1
5
1
S . Chøng minh:
12
1
S
Bµi 1.12: Cho
2222
305
9


17
9
11
9
5
9
A . Chøng minh:
4
3
A
Bµi 1.13: Cho
2
201
202.200

49
48
25
24
9
8
B . Chøng minh: 75,99

B
Bµi 1.14: Cho
1764
1766

25

27
16
18
9
11
A . Chøng minh:
21
20
40
43
20
40  A
Bµi 1.15: Cho
100
.
98
99

6
.
4
5
5
.
3
4
4
.
2
3

3
.
1
2
22222
B . T×m phÇn nguyªn cña B.
Bµi 1.16: Cho
2500
2499

16
15
9
8
4
3
C . Chøng minh C > 48
Bµi 1.17: Cho
59

3
2
1
1

4
3
2
1
1

3
2
1
1





M . Chøng minh
3
2
M
Bµi1.18: Cho
100
.
99
101.98

5
.
4
6.3
4
.
3
5.2
3
.
2

4.1
N . Chøng minh 97 < N < 98.
 Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:
)2)((
1
)(
1
)2)((
2
nananaananaa
n






Chøng minh:
)2)((
1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2
nananaananaa
a

nanaa
na
nanaa
ana
nanaa
n














)3)(2)((
1
)2)((
1
)3)(2)((
3
nananananaanananaa
n







Bµi 1.19: TÝnh
39
.
38
.
37
2

4
.
3
.
2
2
3
.
2
.
1
2
S
Bµi 1.20: Cho
20
.
19
.

18
1

4
.
3
.
2
1
3
.
2
.
1
1
A . Chøng minh
4
1
A
Bµi 1.21: Cho
29
.
27
.
25
36

7
.
5

.
3
36
5
.
3
.
1
36
B . Chøng minh B < 3
Bµi 1.22: Cho
308
.
305
.
302
5

14
.
11
.
8
5
11
.
8
.
5
5

C . Chøng minh
48
1
C



9


Bài 1.23: Chứng minh với mọi n

N; n > 1 ta có:
4
11

4
1
3
1
2
1
3333

n
A
Bài 1.24: Tính
30
.
29

.
28
.
27
1

5
.
4
.
3
.
2
1
4
.
3
.
2
.
1
1
M
Bài 1.25: Tính
100.99
1

6.5
1
4.3

1
2.1
1
100
1

52
1
51
1


P

Bài 1.26: Tính:
2007.2005
1004.1002

)12)(12(
)1)(1(

9.7
5.3
7.5
4.2
5.3
3.1






nn
nn
Q

Bài 1. 27: Tính:
2007
.
2005
2006

5
.
3
4
4
.
2
3
3
.
1
2
2222
R
Bài 1.28: Cho
12005
2


12005
2

12005
2
12005
2
12005
2
20052
2
2006
2
1
2
3
2
2











n

n
S
So sánh S với
1002
1

Hng dn:
1
k
m2
1k
m
1k
m
1
k
m2
)1k)(1k(
mmkmmk
1k
m
1k
m
22


















p dng vo bi toỏn vi m {2; 2
2

, ., 2
2006

} v
k { 2005, 2005
2

,
2006
2
2005
} ta cú:
1
2005
2
12005

2
12005
2
2
2






1
2005
2
12005
2
12005
2
2
2
3
2
2
2
2








(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa






n
a
1
với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính :
10032
2
1

2
1
2
1
2
1
A



10



Bµi 2.2: TÝnh:
10099432
2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
B
Bµi 2.3: TÝnh:
9953
2
1

2
1
2
1
2
1
C
Bµi 2.4: TÝnh:

581074
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
D
Bµi 2.5: Cho
n
n
A
3
13

27
26
9
8
3
2 
 . Chøng minh
2
1
 nA

Bµi 2.6: Cho
98
98
3
13

27
28
9
10
3
4 
B . Chøng minh B < 100.
Bµi 2.7: Cho
9932
4
5

4
5
4
5
4
5
C . Chøng minh:
3
5
C
Bµi 2.8: Cho
22222222

10
.
9
19

4
.
3
7
3
.
2
5
2
.
1
3
D . Chøng minh: D < 1.
Bµi 2.9: Cho
10032
3
100

3
3
3
2
3
1
E . Chøng minh:

4
3
E
Bµi 2.10: Cho
n
n
F
3
13

3
10
3
7
3
4
32

 víi n

N
*
. Chøng minh:
4
11
F
Bµi 2.11: Cho
10032
3
302


3
11
3
8
3
5
G . Chøng minh:
2
1
3
9
5
2  G
Bµi 2.12: Cho
10032
3
601

3
19
3
13
3
7
H . Chøng minh: 5
9
7
3  H
Bµi 2.13: Cho

10032
3
605

3
23
3
17
3
11
I . Chøng minh: I < 7
Bµi 2.14: Cho
10132
3
904

3
22
3
13
3
4
K . Chøng minh:
4
17
K
Bµi 2.15: Cho
10032
3
403


3
15
3
11
3
7
L . Chøng minh: L < 4,5.
(3). D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt:
Bµi 3.1: TÝnh:
2500
2499

25
24
.
16
15
.
9
8
A .
Bµi 3.2: Cho d·y sè: ,
35
1
1,
24
1
1,
15

1
1,
8
1
1,
3
1
1



11


a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính:




































780
1
1
15
1
1
10
1

1
6
1
1
3
1
1B .
Bài 3.4: Cho
200
199

6
5
.
4
3
.
2
1
C . Chứng minh:
201
1
2
C
Bài 3.5: Cho
100
99

6
5

.
4
3
.
2
1
D . Chứng minh:
10
1
15
1
D
Bài 3.6: Tính:




























1
99
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
E
Bài 3.7: Tính:




























1
100
1
1
4
1
1
3
1

1
2
1
F .
Bài 3.8: Tính:
2222
30
899

4
15
.
3
8
.
2
3
G .
Bài 3.9: Tính:
64
31
.
62
30

10
4
.
8
3

.
6
2
.
4
1
H .
Bài 3.10: Tính: 1000 001 100000001.10001.101
/12

sc
n
I


Bài 3.11: Cho




























1
100
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
2222
K . So sánh K với
2
1



Bài 3.12: So sánh





























20
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1L với
21
1

Bài 3.13: So sánh





























100
1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1M với
19
11

Bài 3.14: Tính:

51
.
49
50

5
.
3
4
.
4
.
2
3
.
3
.
1
2
2222
N
Bài 3.15: Tính





























7
10
1
7
3
1
7
2
1
7

1
1P .
Bài 3.16: Tính:





























2007
2
1
7
2
1
5
2
1
3
2
1Q
Bài 3.17: Tính:





























99
1
2
1

7
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2
1
T




12


Bài 3.18: So sánh:
40

23
.
22
.
21
39 7.5.3.1
U và
1
2
1
20

V
Bài 3.19: Cho





























101.99
1
1
5.3
1
1
4.2
1
1

3.1
1
1V . Chứng minh V < 2.
Bài 3.20: Cho
199
200

5
6
.
3
4
.
1
2
S . Chứng minh: 400201
2
S
Bài 3.21: Cho
210
208

12
10
.
9
7
.
6
4

.
3
1
A . Chứng minh:
25
1
A
Bài 3.22: Tính:
101
.
100
100

4
.
3
3
.
3
.
2
2
.
2
.
1
1
2222
B
Bài 3.23: Tính:



























































1999
1000
1

3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
C
Bài 3.24: Tính:
































2
)12(
1
1
25
4

1
9
4
1
1
4
1
n
D
, với n

N,
1

n

Bài 3.25: Cho

























n
E
321
1
1
321
1
1
21
1
1
và
n
n
F
2

với n


N
*
. Tính
F
E

Bài 3.26: Cho




































1024
2
1
1
256
1
1
16
1
1
4
1
1
2
1
1G và
2047
2

1
H . Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho
n
nn
I
2
22
2
2)12)(12(

65536
2257.255
.
256
217.15
.
16
25.3
.
4
23.1
với n

N.
Chứng minh:
3
4
I
Bài 3.28: Cho dãy số: ;

3
1
1;
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1;
3
1
1
16842

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh
A
2
3
1

là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
2
3

3





13


Bµi 3.29: Cho
n
nn
A
2
22
42
6
23

6
97
.
6
13
.
6
5 
 vµ
12
1

6
1



n
B
víi n

N
a) Chøng minh :
B
A
M  lµ sè tù nhiªn ; b) T×m n ®Ó M lµ sè nguyªn tè.
Bµi 3.30: Cho
n
n
A
2
2
42
3
16

3
1297
.
3
37
.

3
7 






































n
B
2
842
3
1
1
3
1
1.
3
1
1
3
1
1
3
1
1
víi n


N
a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn.
b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0 th× 5A – 2B chia hÕt cho 45.
Bµi 3.31: Cho
n
nn
A
2
22
42
3
23

3
97
.
3
13
.
3
5 
 .( víi n

N ) Chøng minh: A < 3.
(4). TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p:
Bµi 4.1: TÝnh:
99
.
98


4
.
3
3
.
2
2
.
1
)98 321( )321()21(1















A

Bµi 4.2: TÝnh:
99
.

98

4
.
3
3
.
2
2
.
1
1.98 96.397.298.1





B

Bµi 4.3: TÝnh:
400.299
1

104.3
1
103.2
1
102.1
1
400.101

1

302.3
1
301.2
1
300.1
1


C

Bµi 4.4: TÝnh:
100
99

4
3
3
2
2
1
100
1

3
1
2
1
1100









D

Bµi 4.5: TÝnh:
100.99
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1

53
1
52
1
51
1



E

Bµi 4.6: TÝnh
121
16
11
16
16
121
15
11
15
15
:
27
8
9
8
3
8
8
27
5
9
5
3
5
5





F




14


Bµi 4.7: TÝnh
25
2
32,0
4
1
1.
5
1
1:2,1
56
43
4:
4
1
2
7
3
5

2
1
2:
5
1
15
2
3























G
Bµi 4.8: TÝnh
500
1

55
1
50
1
45
1
100
92

11
3
10
2
9
1
92
:
100
1

4
1
3
1
2

1
1
99
2
98

97
3
98
2
99
1




H

Bµi 4.9: TÝnh
2941
5
41
5
29
5
5
2941
4
41
4

29
4
4
:
1943
3
43
3
19
3
3
1943
2
43
2
19
2
2




I

Bµi 4.10: TÝnh
91
7
169
7
13

7
7
91
3
169
3
13
3
3
:
85
4
289
4
7
4
4
85
12
289
12
7
12
12




K


Bµi 4.11: TÝnh
20
.
15
16
.
12
12
.
9
8
.
6
4
.
3
10.58.46.34.22.1





L
Bµi 4.12: TÝnh
5
2
:5,0.6,0
17
2
2.

4
1
2
9
5
5
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1.
5
3
1:6,1
























M
Bµi 4.13: TÝnh
43
11
8:
1517
38
6
1591
94
11
5
1
8







N
Bµi 4.14: TÝnh







37.13.11.7.3
4
222222
5
111111
5
.10101P
Bµi 4.15: TÝnh
1.99
1
3.97
1

95.5
1
97.3
1
99.1
1

99
1

7
1
5
1
3
1
1


Q

Bµi 4.16: TÝnh
1
199
2
198

197
3
198
2
199
1
200
1

4

1
3
1
2
1


R