Thi HSG truong THPT Binh lieu lop 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (106.3 KB, 3 trang )
TRƯỜNG THPT BÌNH LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Tổ Toán-Lý-Tin-CN NĂM HỌC 2010-2011.
Môn: TOÁN 10
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu I: ( 3 điểm )
Giải phương trình sau:
4 4
( 4) ( 6) 2x x
+ + + =
Câu II: ( 5 điểm )
Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
+ =
+ =
Câu III: ( 3 điểm )
Chứng minh rằng mọi ∆ ABC với A, B, C là các góc trong tam giác , S là
diện tích tam giác ABC và a = BC, b = AC, c = AB ta luôn có:
2 2 2
cot
4
b c a
A
S
+ −
=
Câu IV: ( 5 điểm )
1.Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi
đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Chứng minh
.MA MB
uuuuruuur
là một số
không đổi.
2. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M. Trên đường thẳng a lấy hai điểm
phân biệt A và B, trên đường thẳng b lấy hai điểm phân biệt C và D.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ
khi
. .MA MB MC MD
=
uuur uuur uuuur uuuur
.
Câu V: ( 4 điểm )
Cho a, b, c là những số dương và
1a b c
+ + =
. Chứng minh rằng:
1 1 1
(1 )(1 )(1 ) 64.
a b c
+ + + ≥
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN 10
Câu Đáp án Biểu điểm
I(3đ )
Đặt
4 6
5 5
2
y x y x x y
+
= + ⇔ = + ⇔ = −
Pt trở thành
4 4
4 2
2 2
( 1) ( 1) 2
2 12 0
2 .( 6) 0 0
y y
y y
y y y
− + + =
⇔ + =
⇔ + = ⇔ =
Vậy pt có nghiệm duy nhất
5x = −
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
II(5đ)
Hệ pt II
⇔
( ) 30xy x y+ =
2 2
( )( ) 35x y x xy y+ − + =
Đặt
,x y S xy P+ = =
ta được hệ
. 30S P =
2
.( 3 ) 35S S P− =
Giải hệ được
5S
=
6P
=
Thay lại ta có nghiệm của hệ là
3x
=
hoặc
2x
=
2y =
3y =
0,5
1,0
1,5
2,0
III(3đ)
Áp dụng định lý hàm số cosin ta có
2 2 2
b
osA=
2
c a
c
bc
+ −
Vì A là góc trong tam giác nên
sin 0A
≠
.chia hai vế cho sinA
Ta có
2 2 2
cot
4
b c a
A
S
+ −
=
với
1
sin
2
S bc A=
.
1,0
1,0
1,0
IV(5đ) 1
Kẻ đường kính BB’ thì B’A ⊥ MB
Nên
MA
uuur
là hình chiếu của
'MB
uuuur
lên đường thẳng MB
. '.MA MB MB MB=
uuur uuur uuuur uuur
( ').( )MO OB MO OB= + +
uuuur uuuur uuuur uuur
( ).( )MO OB MO OB= − +
uuuur uuur uuuur uuur
2 2
MO OB= −
uuuur uuur
trong đó M, O cố định nên
MO d
=
không đổi
Vậy
2 2
.MA MB d R= −
uuur uuur
không đổi.
0,5
1,0
1,0
0,5
2 Nếu tứ giác ABCD nội tiếp
Giả sử đường tròn ngoại tiếp ABCD có tâm O, bán kính R và
MO = d. Theo chứng minh trên ( ý 1) ta có
2 2
.MA MB d R= −
uuur uuur
tương tự
2 2
.MC MD d R= −
uuuuruuuur
0,5
Vậy
. .MA MB MC MD
=
uuur uuur uuuur uuuur
Nếu
. .MA MB MC MD
=
uuur uuur uuuur uuuur
Gọi (C) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C nó cắt b tại điểm
thứ hai E. khi đó theo cm ý 1. ta có
. .MA MB MC ME
=
uuur uuur uuuur uuur
Mà theo giả thiết thì
. .MA MB MC MD
=
uuur uuur uuuuruuuur
vậy
. .MA MB MC MD
=
uuur uuur uuuur uuuur
suy ra
ME MD
=
uuur uuuur
vì vậy E trùng với D hay tứ giác ABCD nội tiếp trong đtròn
0,5
0,5
0,5
V(4đ)
Từ giả thiết
1a b c
+ + =
ta có
1
1 1 1 1
a b c b c
a a a a
+ +
+ = + = + + +
Áp dụng Cô-si cho 4 số dương 1, 1,
,
b c
a a
ta có
4
2
1 1 4
b c bc
a a a
+ + + ≥
(1)
Tương tự
1
1 1 1 1
a b c a c
b b b b
+ +
+ = + = + + +
4
2
ac
1 1 4
b
a c
b b
+ + + ≥
(2)
4
2
ab
1 1 4
a b
c c c
+ + + ≥
(3)
Nhân vế với vế của BĐT (1)(2)(3) ta được
1 1 1
(1 )(1 )(1 ) 64.
a b c
+ + + ≥
Dấu bằng xảy ra khi
1
3
a b c= = =
0,5
1,0
1,0
0,5
1,0
Lưu ý: Học sinh có thể làm theo cách khác, giám khảo chấm theo biểu điểm tương
ứng với hướng dẫn chấm ở trên.
