giáo án điện tử toán a2 chương 3 3 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (215.3 KB, 27 trang )
TÍCH PHÂN KÉP
Chương 3
3.1. TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
3.1.1. Khái niệm tích phân kép
1) Bài toán thể tích của vật thể hình trụ
a
b
c
r
h
V = V =
2
rh
π
= Chiều cao x diện tích đáy
a.b.c
y
x
z
a
b
dc
i
M
)(
i
Mf
i
V
∆
i
S∆
f(x,y)
S = (b-a)(d-c)
h = ?
)(
ii
Mfh
=
2) Định nghĩa
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
3) Các tính chất
[ ]
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy
+ = +
∫∫ ∫∫ ∫∫
( , ) ( , )
D D
Cf x y dxdy C f x y dxdy
=
∫∫ ∫∫
a)
b)
c) Nếu D được chia thành hai miền
1 2
,D D
không có điểm trong chung thì
1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
= +
∫∫ ∫∫ ∫∫
( )
D
S D dxdy
=
∫∫
d) Diện tích của miền phẳng D:
e) Nếu M, m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x,y)
trên D thì
. ( ) ( , ) . ( )
D
m S D f x y dxdy M S D
≤ ≤
∫∫
f) Nếu hàm f(x,y) liên tục trên miền đóng, bị chặn, liên thông D
( , )x y D
∃ ∈
thì
sao cho
( , ) ( , ). ( )
D
f x y dxdy f x y S D
=
∫∫
1
( , )
( )
D
f x y dxdy
S D
α
=
∫∫
đgl giá trị trung bình của f(x,y) trên D
1) Miền lấy tích phân D là hình chữ nhật có các cạnh
song song với các trục tọa độ
3.1.2. Quy tắc tính tích phân
{ }
2
( , ) | ,D x y a x b c y d
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
¡
được ký hiệu là
[ , ] [ , ]D a b c d
= ×
y
x
z
d
c
a
b
D
z = f(x,y)
S(x)
x
S(x)
z = f(x,y)
z
y
c
d
( , ) ( , )
b d
D a c
f x y dxdy f x y dy dx
=
÷
∫∫ ∫ ∫
( , ) ( , )
d b
D c a
f x y dxdy f x y dx dy
=
÷
∫∫ ∫ ∫
Hoặc
( , ) : ( , )
b d b d
a c a c
dx f x y dy f x y dy dx
=
÷
∫ ∫ ∫ ∫
tích phân lặp
Cách tính tích phân kép trên hình chữ nhật:
Lần đầu khi chọn tính theo biến nào thì biến còn lại ta coi như hằng số.
Tính 2 lần liên tiếp tích phân xác định
Ví dụ 1: Tính
( )
D
x y dxdy
+
∫∫
trong đó
[0,1] [0,1]D
= ×
ln
D
x ydxdy
∫∫
≤≤
≤≤
ey
x
1
40
trong đó D:
Ví dụ 2: Tính
2) Miền lấy tích phân là miền giới hạn bên trái bởi đường x = a,
giới hạn phải bởi x = b, giới hạn dưới và giới hạn trên bởi các
đường liên tục
1
( ),y x
ϕ
=
2
( )y x
ϕ
=
{ }
2
1 2
( , ) | , ( ) ( )D x y a x b x y x
ϕ ϕ
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
¡
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
x
b
D a x
f x y dxdy f x y dy dx
ϕ
ϕ
=
÷
÷
∫∫ ∫ ∫
Khi đó
{ }
2
1 2
( , ) | , ( ) ( )D x y c y d y x y
ψ ψ
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
¡
3) Miền lấy tích phân là miền giới hạn dưới bởi đường y = c,
giới hạn trên bởi y = d, giới hạn trái và giới hạn phải bởi các
đường liên tục
1
( ),x y
ψ
=
2
( )x y
ψ
=
Khi đó
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
y
d
D c y
f x y dxdy f x y dx dy
ψ
ψ
=
÷
÷
∫∫ ∫ ∫
Các bước tính tích phân kép:
-
Bước 1: Biểu diễn miền lấy tích phân D lên mặt phẳng Oxy
(nếu D là hình chữ nhật có các cạnh song song với
các trục tọa độ thì không cần vẽ hình).
- Bước 2: Từ hình vẽ xác định cận lấy tích phân.
- Bước 3: Tính hai lần tích phân xác định.
Chú ý:
- Nếu tính theo y trước mà đường nằm dưới hoặc trên không
duy nhất một phương trình thì ta phải chia thành nhiều miền
và tích phân ban đầu bằng tổng các tích phân trên các miền
tương ứng đó.
-
Cũng chia thành nhiều miền nếu trong trường hợp tính theo
x trước mà đường bên trái hoặc phải không duy nhất.
-
Nói chung độ phức tạp tính toán phụ thuộc vào việc chọn theo
thứ tự nào trước (trừ trường hợp miền D là hình chữ nhật).
Vì vậy, cần phải xác định được nên tính theo thứ tự nào trước.
Ví dụ 1: Tính
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
y
D
I xe dxdy
=
∫∫
1 ,y x
= −
1y x
= −
0x
=
và
{ }
2
( , ) | 0 1, 1 1D x y x x y x
= ∈ ≤ ≤ − ≤ ≤ −
¡
Ví dụ 2: Tính
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
và
2
D
y
I dxdy
x
=
∫∫
,y x
=
1
y
x
=
2y
=
2
1
( , ) |1 2,D x y x x y
y
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
¡
Ví dụ 3: Tính
Trong đó D là tam giác với các đỉnh
2
D
y
I dxdy
x
=
∫∫
(0,0); (1,0); (0,1)O A B
Tính theo y trước
Phương trình của AB:
1y x
= −
{ }
2
( , ) | 0 1,0 1D x y x y x
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −
¡
Ví dụ 4: Tính
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
và
2
D
dxdy
I
x
=
+
∫∫
2
1y x
= − +
1y x
= − −
{ }
2 2
( , ) | 1 2, 1 1D x y x x y x
= ∈ − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −
¡
,y x
= −
Ví dụ 5: Tính
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
D
I xydxdy
=
∫∫
2y x
= +
0y
=
và
cos
D
I x ydxdy
=
∫∫
0,x
=
Ví dụ 6: Tính
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
y x
=
và
2
y
π
=
, 2y x y x
= =
Ví dụ 7: Tính
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
D
I xdxdy
=
∫∫
và
6x y
+ =
{ }
2
1
( , ) |0 2, 2D x y x x y x
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
¡
{ }
2
2
( , ) |2 3, 6D x y x x y x
= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −
¡
2.1.3. Đổi thứ tự lấy tích phân
2
1
( )
( )
( , )
x
b
a x
dx f x y dy
ϕ
ϕ
∫ ∫
Cách giải quyết:
B1: Tìm lại miền lấy tích phân D
B2: Từ D đó ta lấy cận theo thứ tự ngược lại
(y trước, x sau)
2
1
( )
( )
( , )
y
d
c y
dy f x y dx
ψ
ψ
∫ ∫
(x trước, y sau)
hay
