NGUYỄN XUÂN LỰU








PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN



















.

NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI
HÀ NỘI
-
2007



PPPTHH
3







LỜI NÓI ðẦU

Trong những phương pháp tính toán kết cấu hiện nay, các phương pháp số,
ñặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi. Ở
các trường ñại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñã ñược ñưa
vào chương trình giảng dạy.
ðể ñáp ứng yêu cầu học tập và nghiên cứu của sinh viên, chúng tôi biên soạn
cuốn sách này nhằm cung cấp cho người ñọc những kiến thức cơ bản nhất của
môn học, biết sử dụng phương pháp này ñể giải những dạng bài toán ñiển hình
ñơn giản, từ ñó có cơ sở ñể vận dụng vào công tác tính toán, thiết kế công trình
trong thực tế. Sách cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học,
các kỹ sư thiết kế cơ khí và công trình.
ðể nắm vững môn học này người ñọc cần ôn lại hoặc bổ túc thêm các kiến
thức về Cơ học vật rắn, Lý thuyết ñàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình ñạo

hàm riêng. Vì vậy ở cuối cuốn sách chúng tôi giới thiệu thêm về ðại cương Lý
thuyết ñàn hồi như là Phần phụ lục của cuốn sách.
Trong quá trình biên soạn cuốn sách, tác giả ñã nhận ñược nhiều ý kién ñóng
góp quí báu của các bạn ñồng nghiệp, nhân ñây chúng tôi xin tỏ lòng cám ơn chân
thành.
Tác giả
Chương 1

KHÁI NIỆM CHUNG
VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1. Mô hình rời rạc hóa kết cấu
Trong mấy chục năm gần ñây, kỹ thuật tính toán kết cấu ñã có những bước phát
triển mới do việc ứng dụng rộng rãi máy tính ñiện tử. Một trong những phương pháp
tính toán ñang ñược sử dụng ngày càng nhiều và có hiệu quả là phương pháp phần tử
hữu hạn (sau ñây viết tắt là PTHH).
Phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là tổng hợp của nhiều bộ môn, vì nó
liên quan ñến kiến thức trong ba lĩnh vực sau ñây:
- Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết ñàn hồi, lý thuyết dẻo, ñộng
lực học…
- Giải tích số: các phương pháp gần ñúng, giải hệ phương trình tuyến tính, bài
toán trị riêng…
- Tin học ứng dụng.
Ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là coi vật thể liên
tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các ñiểm, gọi
là nút. Các phần nhỏ ñược hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (gọi tắt là phần tử).
Hình dạng và kích thước các phần tử có thể khác nhau, tạo thành các mạng lưới khác
nhau. Trên hình 1.1 giới thiệu một số sơ ñồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới
PTHH.
Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa như vậy chỉ là gần ñúng. Khi thay thế kết cấu

thực (hệ liên tục) bằng tổ hợp các phần tử như trên, người ta thừa nhận rằng, năng lượng
bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực. Trong mỗi phần
tử, các ñại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) ñược lấy xấp xỉ theo một dạng
hàm ñơn giản gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa
mãn ñiều kiện liên tục trên biên các phần tử tiếp xúc với nhau. Trong một số trường
hợp, các ñiều kiện tương thích này chỉ thỏa mãn một cách gần ñúng.
Người ta căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực của kết cấu ñể chọn loại phần
tử thích hợp. ðối với hệ thanh, lấy ñoạn dầm và thanh làm PTHH. Với kết cấu tấm
phẳng thường sử dụng các phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ
giác có cạnh thẳng hoặc cong. ðối với kết cấu vỏ, ngoài các loại phần tử tấm phẳng còn
sử dụng phần tử vỏ. ðối với vật thể khối, thường dùng các loại phần tử hình tứ diện,
hình lập phương, hình lục diện. Còn ñối với vật thể ñối xứng trục, thường dùng phần tử
hình vành khăn. Hình 1.2a giới thiệu một số loại phần tử thường dùng.

PPPTHH
5












Hình 1.1
Tùy theo số lượng nút và cách bố trí nút trong mỗi PTHH, người ta phân biệt các

loại phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao, tương ứng với các dạng hàm chuyển vị tuyến
tính và dạng hàm chuyển vị bậc cao. Hình 1.2b giới thiệu 3 loại phần tử bậc cao.



a)




b)




Hình 1.2
Khi phân tích các kết cấu có thể sử dụng các mô hình tính như sau:
1. Mô hình chuyển vị chọn chuyển vị ở các nút làm ẩn. Các ẩn này ñược xác ñịnh
từ hệ phương trình cân bằng thành lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng.
Nguyên lý này phát biểu như sau:
Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các ñiều kiện tương thích và ñiều kiện
biên ñộng học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể sẽ làm cho
thế năng toàn phần
π
ñạt giá trị dừng (ñạt giá trị cực tiểu).

0
U V
δπ δ δ
= + =


(1.1)
trong ñó:
U V
π
= +
là hàm của các chuyển vị.
U
– thế năng biến dạng ñàn hồi của vật thể, biểu diễn bằng phần diện
tích vẽ trên hình 1.3.
V
– công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật
thể bị biến dạng.
Nếu hệ ở trạng thái ổn ñịnh, thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu.
Như vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ ñiều kiện
dừng của phiếm hàm
π
ta sẽ nhận ñược một hệ phương trình cân bằng trong khi các
ñiều kiện liên tục ñã ñược thỏa mãn.







Hình 1.3
2. Mô hình cân bằng
chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm ẩn. Các ẩn này
ñược xác ñịnh từ hệ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu

của thế năng bù toàn phần. Nguyên lý này phát biểu như sau:
Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện cân bằng và ñiều kiện biên
tĩnh học, thì trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện tương thích sẽ làm cho thế năng bù
toàn phần
π
∗
ñạt giá trị dừng.

0
U V
δπ δ δ
∗ ∗ ∗
= + =
(1.2)
trong ñó:
U V
π
∗ ∗ ∗
= +
là hàm của các ứng suất.
U
∗
- thế năng bù của biến dạng, biểu diễn bằng phần diện tích phía trên
vẽ trên hình 1.3.

V
∗
- công bù của ngoại lực.

PPPTHH


7

Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị vì nó thuận lợi hơn cho
việc tự ñộng hóa tính toán trên máy tính. Do ñó trong tài liệu này chỉ ñề cập ñến mô
hình chuyển vị của phương pháp PTHH.
1.2. Hàm chuyển vị. Hàm dạng
1.2.1. ða thức xấp xỉ. Hàm chuyển vị
Nếu sử dụng mô hình chuyển vị trong phương pháp PTHH thì hàm xấp xỉ của ñại
lượng cần tìm là hàm chuyển vị. Hàm này mô tả gần ñúng chuyển vị của các ñiểm trong
phần tử. Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dưới dạng ña thức, bởi vì ở dạng
ña thức dễ ñạo hàm, tích phân, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình cơ
bản của phương pháp PTHH. Bậc của ña thức và số lượng số hạng trong ña thức phụ
thuộc vào bậc tự do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử. ðiều
này sẽ nói kỹ hơn khi phân tích những kết cấu cụ thể trong những phần sau.
Các ña thức xấp xỉ phải thỏa mãn ñiều kiện hội tụ, tức là khi kích thước phần tử
nhỏ dần thì kết quả sẽ hội tụ ñến lời giải chính xác. Muốn vậy trong ña thức ñược chọn
phải tồn tại số hạng tự do (hằng số) và tồn tại ñạo hàm riêng ñến bậc cao nhất trong
phiếm hàm năng lượng.
Thí dụ, ñối với bài toán một chiều có thể chọn:

1 2
( )
f x x
α α
= +
(xấp xỉ tuyến tính)

2
1 2 3

( )
f x x x
α α α
= + + (xấp xỉ bậc hai)

1
1
1
( )
n
i
i
f x x
α
+
−
=
∑
(xấp xỉ bậc n)
ðối với bài toán hai chiều có thể chọn:

1 2 3
( , )
f x y x y
α α α
= + + (xấp xỉ tuyến tính)

2 2
1 2 3 4 5 6
( , )

f x y x y x xy y
α α α α α α
= + + + + + (xấp xỉ bậc hai)
1.2.2. Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút. Hàm dạng








Hình 1.4
Ta xem xét một PTHH hình tam giác trong bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi.
Phần tử có 3 nút là 3 ñỉnh của tam giác, nối khớp với các phần tử khác (hình 1.4). Mỗi
nút có 2 bậc tự do, tức là có thể chuyển dịch theo 2 phương x và y. Như vậy phần tử có
6 bậc tự do, chúng ñược biểu diễn bằng 6 chuyển vị ở các nút là
, , , , ,
i i j j m m
u v u v u v
. Ta
gọi ñó là các chuyển vị nút. Chúng hợp thành
vectơ

chuyển vị nút
của phần tử:

{ }
i
i

j
j
m
m
u
v
u
v
u
v
δ
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
(1.3)
Các chuyển vị nút này là ẩn của bài toán tính kết cấu theo mô hình chuyển vị của
phương pháp PTHH. Trong nhiều trường hợp, các thành phần trong vectơ chuyển vị nút
không chỉ bao gồm các giá trị hàm chuyển vị tại các nút, mà còn có cả giá trị ñạo hàm
của hàm chuyển vị nữa (thí dụ trong bài toán uốn thanh, bài toán tấm
…
).

Như ñã thấy, hàm chuyển vị (ña thức xấp xỉ) là hàm của các tọa ñộ, cho phép xác
ñịnh chuyển vị tại một ñiểm bất kỳ trong phần tử. Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hàm
chuyển vị theo các chuyển vị nút.
Thí dụ hàm chuyển vị của phần tử tam giác có dạng:

1 2 3
4 5 6
( , )
( , )
u x y x y
v x y x y
α α α
α α α
= + +
= + +
(1.4)
hay
{ }
( )
( )
1
2
3
4
5
6
1 0 0 0
0 0 0 1
x y
f

x y
α
α
α
α
α
α
 
 
 
 
 
 
   
= =
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u x, y
v x, y
(1.5)
hoặc
{

}
[
]
{
}
α
f = Q
(1.6)
trong ñó:
{
}
f
là vectơ chuyển vị

[
]
Q
là ma trận các ñơn thức

{
}
α
là vectơ các tham số
Chuyển vị tại các nút, theo (1.6) ta có

{
}
[
]
{

}
C
δ α
=
(1.7)
trong ñó:
[
]
C
là giá trị
[
]
Q
tại các nút, tức là ma trận tọa ñộ nút.

PPPTHH

9

Có thể xác ñịnh
{
}
α
theo
[
]
C
, ta có từ (1.7)

{ }

[
]
{ }
1
C
α δ
−
=
(1.8)
Do ñó theo (1.6):
{ }
[
]
[
]
{ }
1
f Q C
δ
−
=
(1.9)
hay
{
}
[
]
{
}
f N

δ
=
(1.10)
trong ñó:
[
]
[
]
[
]
1
N Q C
−
=
(1.11)
Ma trận
[
]
N
gọi là ma trận các
hàm dạng
, còn gọi là ma trận các hàm nội suy, vì
có thể từ chuyển vị các nút nội suy ra chuyển vị của ñiểm bất kỳ. Các hàm dạng có một
ý nghĩa rất quan trọng khi phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH.
1.2.3. Lực nút
Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra các nội lực. Phương pháp PTHH
giả thiết rằng các nội lực này ñều truyền qua nút. Các lực tác dụng lên nút gọi là lực nút,
ñó là lực tương tác giữa các phần tử liên kết với nhau tại nút do các chuyển vị nút sinh
ra. ðương nhiên tại các nút còn có thể có các ngoại lực (tải trọng). Nếu tải trọng không
ñặt tại nút thì phải dời về nút theo phép biến ñổi tương ñương.

Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành vectơ lực nút
{ }
e
F
. Vectơ này có số
thành phần bằng số thành phần của vectơ chuyển vị nút, ñược sắp xếp tương ứng với
vectơ chuyển vị nút. Thí dụ ñối với phần tử tam giác phẳng ở hình 1.4, ta có vectơ lực
nút (hình 1.5a) là:

{ }
T
e
i i j j m m
F U V U V U V
 
=
 

Hay thí dụ ñối với phần tử thanh chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ
chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng và góc quay)

{ }
T
i i j j
v v
δ θ θ
 
=
 


là vectơ lực nút

{ }
T
e
i i j j
F V M V M
 
=
 







a) b)
Hình 1.5

1.3. Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH
1.3.1. Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử
Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, ñại lượng cần tìm ñầu tiên là
chuyển vị ở các nút. Sau khi chọn hàm xấp xỉ của chuyển vị, ta xác ñịnh ñược trường
chuyển vị theo chuyển vị nút:

{
}
[
]

{
}
f N
δ
=
(1.12)
Sử dụng phương trình biến dạng Cauchy trong Lý thuyết ñàn hồi

{
}
[
]
{
}
f
ε
= ∂
(1.13)
trong ñó:
[
]
∂
là toán tử vi phân

[ ]
0 0
0 0
0 0
0
0

0
x
y
z
x x
y y
z z
∂
 
 
∂
 
∂
 
 
∂
 
∂
 
 
∂
∂ =
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 

∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
(1.14)
ta có
vectơ biến dạng
:

{
}
[
]
[
]
{
}
N
ε δ
= ∂

hay
{
}
[
]

{
}
δε
B=
(1.15)
trong ñó:
[
]
[
]
[
]
B N
= ∂
(1.16)
gọi là
ma trận tính biến dạng
.
Ứng suất tại một ñiểm trong phần tử xác ñịnh theo ñịnh luật Hooke:

{
}
[
]
{
}
D
σ ε
=
(1.17)

trong ñó:
[
]
D
gọi là
ma trận ñàn hồi
.
Từ ñó theo (1.15) ta có
vectơ ứng suất
:

{
}
[
]
[
]
{
}
D B
σ δ
=
(1.18)

PPPTHH

11

hay
{

}
[
]
{
}
S
σ δ
=
(1.19)
trong ñó:
[
]
[
]
[
]
S D B
=
(1.20)
gọi là
ma trận tính ứng suất
.
1.3.2. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Ma trận ñộ cứng
phần tử. Vectơ tải phần tử
Sau ñây ta sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần ñể thiết lập phương
trình cơ bản của phương pháp PTHH.
Giả sử một PTHH có thể tích
e
V
chịu tác dụng của lực thể tích

p
và lực bề mặt
q

trên diện tích
e
S
. Thế năng toàn phần của phần tử là
e
U
có thể viết dưới dạng:

[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
1
2
e e e
T T T
e
V V S
U dV f p dV f q dS
ε σ
= − −
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
(1.21)
ðể ý tới (1.12), (1.15), (1.19) ta có

[ ] [ ] [ ][ ]
{ } { }
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
1
2
e e e
T T T T T
V V S
B D B dV N p dV N q dS
δ δ δ δ
− −
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
(1.22)
hay
[ ] [ ] [ ][ ]
{ } { }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
1
2
e e e
T T T T T
e
V V S
U B D B dV N p dV N q dS

δ δ δ
 
= − +
 
 
 
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

(1.23)
ðặt
[
]
[
]
[
]
[
]
e
T
V
k B D B dV
=
∫∫∫
(1.24)
và
{ }
[
]
{ }

[
]
{ }
e e
e T T
V S
P N p dV N q dS
= +
∫∫∫ ∫∫
(1.25)
ta có
[ ] [ ]
{ }
[ ]
{ }
1
2
T T e
e
U k P
δ δ δ
= − (1.26)
Ma trận
[
]
k
gọi là
ma trận ñộ cứng phần tử
, còn vectơ
{ }

e
P
là
vectơ tải

phần tử

bao gồm các thành phần lực ñặt tại nút, các lực này ñược quy ñổi sau khi dời các tải
trọng P và q về nút, do ñó
{ }
e
P
còn gọi là
lực nút tương ñương
.
Trong trường hợp ở nút có tồn tại lực tập trung

{ }
1
2
e
n
R
R
R
R
 
 
 
=

 
 
 
 
M

thì phải cộng thêm các lực tập trung này vào vectơ tải
{ }
e
P
.
Theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần, ñiều kiện cân bằng tại các nút của
phần tử là:

{ }
0
e
U
δ
∂
=
∂
(1.27)
tức là
{ } { } { }
1 2
0 , 0 , , 0
e e e
n
U U U

δ δ δ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
(1.28)
Sau khi lấy cực tiểu từ (1.26) ta ñược

[
]
{ } { }
e
k P
δ
= (1.29)
ðây là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn tính theo mô hình
chuyển vị. ðiều ñó có nghĩa là tại từng nút, lực nút do chuyển vị nút gây ra
{ }
[
]
{ }
e
F k
δ
δ
= phải cân bằng với tải trọng ñặt ở nút.

{ } { }
e e
F P
δ

=
Trong trường hợp PTHH có biến dạng ban ñầu
0
ε
và ứng suất ban ñầu
0
σ
thì
quan hệ (1.18) ñổi thành:

{
}
[
]
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
0 0
D B D
σ δ ε σ
= − +
(1.30)
Do ñó vectơ tải phần tử (1.25) có thêm thành phần do

0
ε
và
0
σ
gây ra:
{ }
[
]
{ }
[
]
{ }
[
]
[
]
{ }
[
]
{ }
0 0
e e e e
e T T T T
V S V V
P N p dV N q dS B D dV B dV
ε σ
= + − +
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫


(1.31)
1.3.3. Ma trận ñộ cứng tổng thể. Vectơ tải tổng thể. Phương trình cơ bản của hệ
Sau khi thiết lập ñược các ma trận ñộ cứng phần tử và vectơ tải phần tử của tất cả
các phần tử trong mạng lưới kết cấu, ta cần phải tổ hợp tất cả chúng lại thành ma trận ñộ
cứng tổng thể
[
]
K
và vectơ tải tổng thể
[
]
P
của kết cấu, từ ñó xây dựng phương trình
cơ bản ñối với toàn bộ kết cấu.
Việc tổ hợp này có nghĩa là phải sắp xếp các thành phần trong các ma trận
[
]
k
của
các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận
[
]
K
, và các thành phần trong các ma
trận
{ }
e
P
của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong
{

}
P
. Sự sắp xếp này ñược mô tả
bằng ma trận ñịnh vị của các phần tử.
Gọi vectơ chuyển vị nút của phần tử là
{
}
δ
và vectơ chuyển vị nút tổng thể của
toàn bộ kết cấu là
{
}
∆
, thì quan hệ giữa chúng có thể biểu diễn dưới dạng:

{
}
[
]
{
}
1
e
nd
nd n
L
δ
×
×
= ∆

(1.32)

PPPTHH

13

trong ñó:
[
]
e
L
là ma trận ñịnh vị của phần tử, nd là số chuyển vị nút trong mỗi
phần tử, n là số chuyển vị nút trong toàn bộ kết cấu. Thí dụ có thanh
chịu kéo như hình 1.6.




Hình 1.6
Chia thanh thành 4 phần tử, 5 nút ñánh số như hình vẽ. Vectơ chuy
ển vị nút
tổng thể:

{
}
[
]
T
54321
∆∆∆∆∆=∆

(1.33)
Vectơ chuyển vị nút của các phần tử:

{ } { }
[ ]
{ }
{ } { }
[ ]
{ }
1
1
1
2
2
2
2
3
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
L
L
δ
δ
∆
 
 
= = ∆ = ∆
 

 
∆
 
 
∆
 
 
= = ∆ = ∆
 
 
∆
 
 


{ } { }
[ ]
{ }
{ } { }
[ ]
{ }
3
3
3
4
4
4
4
5
0 0 1 0 0

0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
L
L
δ
δ
∆
 
 
= = ∆ = ∆
 
 
∆
 
 
∆
 
 
= = ∆ = ∆
 
 
∆
 
 
(1.34)
Căn cứ vào (1.26) ta có thể viết ñược biểu thức thế năng toàn phần của toàn bộ
kết cấu:

[ ] [ ]

{ }
[ ]
{ }
1 1 1
1
2
e e e
n n n
T T e
e
e e e
U U k P
δ δ δ
= = =
= = −
∑ ∑ ∑
(1.35)
ðể ý ñến (1.32) ta có

[ ] [ ] [ ][ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ] [ ][ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
1 1
1 1
1

2
1
2
e e
e e
n n
T T T T e
e e e
e e
n n
T T T T e
e e e
e e
U L k L L P
L k L L P
= =
= =
= ∆ ∆ − ∆
   
= ∆ ∆ − ∆
   
   
∑ ∑
∑ ∑

hay
[ ] [ ]
{ }
[ ]
{ }

1
2
T T
U K P
= ∆ ∆ − ∆ (1.36)
với
[ ] [ ] [ ][ ]
1
e
n
T
e e
e
K L k L
=
=
∑
(1.37)
là
ma trận ñộ cứng tổng thể
của toàn bộ kết cấu,
và
{ }
[ ]
{ }
1
e
n
T e
e

e
P L P
=
=
∑
(1.38)
là
vectơ tải tổng thể.

Sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng ñối với toàn bộ kết cấu, ta có ñiều kiện cân
bằng của toàn hệ là

0
U
∂
=
∂∆
(1.39)
Từ ñó ñược hệ phương trình cơ bản của toàn bộ kết cấu:

[
]
{
}
{
}
K P
∆ =
(1.40)
Trong thực tế tính toán người ta không sử dụng các công thức (1.37) và (1.38) ñể

thiết lập
[
]
K
và
{
}
P
, mà sử dụng phương pháp ñơn giản và nhanh chóng hơn, ñó là
phương pháp chỉ số. ðiều này sẽ trình bày ở những phần sau.
1.4. Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn
Quá trình giải bài toán tính kết cấu theo phương pháp PTHH bao gồm các bước
sau ñây:
(1) Rời rạc hóa kết cấu, tức là chia kết cấu thành mạng lưới các PTHH. Việc chọn
loại phần tử và số lượng phần tử tùy thuộc vào tính chất và ñộ chính xác yêu cầu của
bài toán.
(2) Chọn hàm xấp xỉ chuyển vị mô tả chuyển vị của các ñiểm trong PTHH.
(3) Thiết lập ma trận ñộ cứng của từng PTHH. Nếu hệ tọa ñộ phần tử và hệ tọa ñộ
kết cấu không trùng nhau thì phải thực hiện phép biến ñổi tọa ñộ.
(4) Thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể của toàn bộ kết cấu.
(5) Thành lập hệ phương trình cơ bản của kết cấu có dạng:

[
]
{
}
{
}
K P
∆ =


Cần chú ý là ma trận ñộ cứng
[
]
K
là ma trận suy biến vì ta ñã coi phần tử có
chuyển ñộng tự do (chuyển ñộng cố thể). Do ñó cần sử dụng các ñiều kiện biên ñộng
học ñể thành lập vectơ chuyển vị nút
{
}
∗
∆
chỉ chứa các chuyển vị nút là ẩn, và tương
ứng có các ma trận ñộ cứng
K
∗
 
 
và vectơ tải tổng thể
{
}
*
P . Từ ñó có phương trình:

{
}
{
}
K P
∗ ∗ ∗

 
∆ =
 
(1.41)
Giải hệ phương trình này tìm ñược vectơ chuyển vị nút tổng thể trong hệ tọa ñộ
tổng quát.
(6) Xác ñịnh vectơ chuyển vị nút của từng PTHH trong hệ tọa ñộ ñịa phương của
từng phần tử. Từ ñó xác ñịnh biến dạng, ứng suất trong từng phần tử.

PPPTHH

15

Câu hỏi ôn tập

Chương I
1. Trình bày cơ sở lý thuyết ñể thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp
phần tử hữu hạn.
2. Có mối liên hệ gì giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp biến
phân trong Cơ học kết cấu?
3. Trình bày cách chọn hàm xấp xỉ. Phân biệt phần tử tuyến tính và phần tử bậc
cao.
4. Ý nghĩa của ma trận ñộ cứng của phần tử. Giải thích ý nghĩa các thành phần
trong ma trận ñộ cứng phần tử.
5. Ý nghĩa hàm dạng của phần tử hữu hạn khi tính theo mô hình chuyển vị.
6. Nêu các tính chất chủ yếu và cách thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và cách
thiết lập vectơ tải tổng thể.
7. Trình bày trình tự giải một bài toán tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu
hạn.


Chương 2
TÍNH HỆ THANH
2.1. Phần tử hữu hạn trong hệ thanh
Trong các hệ thanh như kết cấu giàn, kết cấu khung, các ñoạn thanh hình lăng trụ
ñược coi là các PTHH.
Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của một biến,
tức là chỉ thay ñổi dọc theo trục thanh, do ñó bài toán hệ thanh là bài toán một chiều. Ở
kết cấu giàn, các phần tử chịu biến dạng kéo hoặc nén, còn ở kết cấu khung phẳng các
phần tử còn chịu thêm biến dạng uốn. Nếu là khung không gian còn có thể có thêm biến
dạng xoắn. Vì vậy ñể dễ dàng nghiên cứu và tổng hợp, ta lần lượt phân tích ba loại phần
tử nói trên.
2.1.1. Phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục
Có một phần tử thanh hình lăng trụ có tiết diện không ñổi A, chiều dài a, chịu kéo
hoặc nén dọc trục dưới tác
dụng của tải trọng phân bố
dọc trục q(x) (hình 2.1).




Hình 2.1
Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ. Phần tử thanh có 2 nút là hai ñầu thanh, nút ñầu là i,
nút cuối là j, với các chuyển vị nút là
i
δ
và
j
δ
. Vì các chuyển vị nút ñều có phương
trùng với trục x nên ta có thể viết vectơ chuyển vị nút:


{ }
i i
j j
u
u
δ
δ
δ
   
= =
   
   
(2.1)
Tương ứng với vectơ chuyển vị nút ta có vectơ lực nút của phần tử:

{ }
 
 
 
e
i
j
U
F =
U

Chọn hàm chuyển vị có dạng:

1 2

( )
u x x
α α
= + (2.2)
ðây là hàm bậc nhất chứa 2 hệ số, ñúng bằng số bậc tự do (số chuyển vị nút) của
phần tử. ðiều này ñảm bảo ñiều kiện tương thích của hàm chuyển vị trên các biên
chung giữa các phần tử lân cận.
Chuyển vị tại nút
i (x = 0)
là
i
u
, tại nút
j (x = a)
là
j
u
, thay vào (2.2) ñược

1
1 2
i
j
u
u a
α
α α
=
= +
(2.3)

Viết dưới dạng ma trận:

1
2
1 0
1
i
j
u
u
a
α
α
 
 
 
=
   
 
 
 
 
(2.4)
hay
{
}
[
]
{
}

C
δ α
=
(2.5)
Từ ñó có
{ }
[
]
{ }
1
C
α δ
−
= (2.6)
trong ñó:
[
]
1
C
−
là ma trận nghịch ñảo của
[
]
C


[ ]
1
1 0
1 1

C
a a
−
 
 
=
 
−
 
 
(2.7)
Biểu diễn (2.2) dưới dạng ma trận và ñể ý tới (2.6) ta có

PPPTHH
17


[ ]
[ ]
{ }
[ ][ ]
{ }
1
2
1
1u x
Q Q C
α
α
α δ

−
 
=
 
 
= =

hay
[
]
{
}
u N
δ
=
(2.8)
trong ñó
[
]
[
]
[
]
1
N Q C
−
= (2.9)
Từ ñó ta có

[ ]

1
x x
N
a a
 
= −
 
 
(2.10)
[
]
N
gọi là ma trận các hàm dạng (còn gọi là hàm nội suy Lagrange
bậc 1)
[
]
[
]
1 2
N N N
=
(2.11)
với các hàm dạng:

1 2
1 ,
x x
N N
a a
= − =

(2.12)
Biểu thức (2.8) biểu diễn quan hệ giữa hàm chuyển vị với các chuyển vị nút. Hàm
dạng là hàm của tọa ñộ, biểu diễn sự phân bố của chuyển vị trong phần tử khi chuyển vị
nút bằng ñơn vị.
Trên hình 2.2 là biểu ñồ của các hàm dạng
1 2
( ), ( )
N x N x
và biểu ñồ của chuyển
vị
( )
u x
.





Hình 2.2
Bây giờ ta xét biến dạng và ứng suất trong phần tử.
Phương trình biến dạng Cauchy biểu diễn quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
trong bài toán một chiều có dạng

x
u
x
ε
∂
=
∂

(2.13)
Theo (2.2) ta có

2
x
ε α
=

j
i
hay viết dưới ma trận

{ }
[ ]
1
2
0 1
α
ε
α
 
=
 
 

ðể ý tới (2.6) ta có

{ }
[ ][ ]
{ }

[ ]
{ }
{ }
1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 1
C
a a
a a
ε δ
δ
δ
−
=
 
 
=
 
−
 
 
 
= −
 
 

hay

{
}
[
]
{
}
B
ε δ
=
(2.14)
trong ñó
[ ]
1 1
B
a a
 
= −
 
 
(2.15)
Ma trận
[
]
B
gọi là ma trận tính biến dạng.
Như vậy biến dạng phần tử có thể biểu diễn qua chuyển vị nút. Trong trường hợp
này
[
]
B

là hằng số, chứng tỏ biến dạng trong phần tử chịu kéo (nén) là hằng số.
Ứng suất pháp tại một ñiểm trong phần tử theo phương dọc trục ñối với vật liệu
ñàn hồi tuyến tính ñược xác ñịnh dựa vào ñịnh luật Hooke:

E
σ ε
=
(2.16)
trong ñó:
E
là mô ñun ñàn hồi Young của vật liệu. Viết (2.16) một cách tổng
quát dưới dạng ma trận:

{
}
[
]
{
}
D
σ ε
=
(2.17)
trong ñó:
[
]
D
là ma trận ñàn hồi. Trong trường hợp bài toán một chiều có biến
dạng dọc trục thì


[
]
D =E

Ta có thể biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút

{
}
[
]
[
]
{
}
D B
σ δ
=
(2.18)
hay
{
}
[
]
{
}
S
σ δ
=
(2.19)
trong ñó

[
]
[
]
[
]
S D B
=
(2.20)
gọi là
ma trận tính ứng suất
.

PPPTHH
19

Ta nhận thấy, do biến dạng là hằng số nên ứng suất trong phần tử cũng là hằng số.
Ma trận ñộ cứng phần tử ñược thiết lập dựa vào công thức (1.24):

[ ] [ ] [ ][ ]
0
1
1 1
1
e
T
V
a
k B D B dV
a

E Adx
a a
a
=
 
−
 
 
= −
 
 
 
 
 
 
∫∫∫
∫
(2.21)
Sau khi tích phân ñược

[ ]
EA EA
a a
k
EA EA
a a
 
−
 
=

 
 
−
 
 
(2.22)
ðó là một ma trận vuông ñối xứng.
Vectơ tải phần tử, ở ñây là vectơ lực nút tương ñương, theo (1.25) ta có

{ }
[ ]
{ }
0
0
1
( )
T
a
e
a
P N q dx
x
a
q x dx
x
a
=
 
−
 

 
=
 
 
 
 
∫
∫

Trong
trường hợp tải trọng phân bố ñều

0
( )
q x q const
= = thì

{ }
0
0
2
2
e
q a
P
q a
 
 
 
=

 
 
 
 
(2.23)
tức là phân bố theo sơ ñồ sau:




Hình 2.3
Trường hợp có
tải

trọng tập trung P
ñặt tại ñiểm có tọa ñộ x thì

{ }
[
]
.
e T
P N P
=

Trường hợp phần tử có biến thiên nhiệt ñộ

∆
T
với hệ số dãn nhiệt

α
thì

{
}
[
]
[
]
{
}
{ }
0
0
1
1
1
1
e
e T
V
a
P B D dV
a
E T Adx
a
EA T
ε
α
α

=
 
−
 
 
= ∆
 
 
 
 
−
 
= ∆
 
 
∫∫∫
∫
(2.24)
2.1.2. Phần tử thanh chịu uốn
Phần tử thanh có tiết diện không ñổi
A
, chiều dài
a
. Chọn trục x là trục thanh,
trục y là một trục quán tính chính trung tâm của tiết diện thanh (hình 2.4).
Tại 2 nút i và j có các thành phần chuyển vị thẳng theo phương y là
,
i j
v v
và các

thành phần chuyển vị góc (góc quay quanh trục z) là
zjzi
θθ
, . Trên hình vẽ các chuyển vị
có dấu dương. Ta có vectơ chuyển vị nút

{ }
i
zi
j
zj
v
v
θ
δ
θ
 
 
 
=
 
 
 
 
(2.25)









Hình 2.4
Tương ứng với các thành phần chuyển vị nút là các lực nút. Ta có vectơ lực nút
của phần tử

PPPTHH

21


{ }
i
e
zi
j
zj
V
M
F
V
M
 
 
 
=
 
 
 

 
(2.26)
Vectơ chuyển vị nút gồm 4 thành phần, do ñó ta chọn hàm chuyển vị là một ña
thức bậc ba chứa 4 thông số ñộc lập:

2 3
1 2 3 4
( )
v x x x x
α α α α
= + + +
(2.27)
Vì giữa chuyển vị thẳng
( )
v x
và chuyển vị góc
z
( )
x
θ
có quan hệ ñạo hàm

z
v
x
θ
∂
=
∂


do ñó chỉ cần chọn hàm xấp xỉ ñối với
( )
v x
là ñủ.
Viết (2.27) dưới dạng ma trận:

1
2
2 3
3
4
1v x x x
α
α
α
α
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
(2.28)
hay
[
]

{
}
v Q
α
=
(2.29)
trong ñó:
[
]
2 3
1
Q x x x
 
=
 
(2.30)
Các thành phần chuyển vị tại nút i
( 0)
x
=
và nút j
( )
x a
=
tính ñược

1
2
0
2 3

1 2 3 4
2
2 3 4
2 3
i
zi
x
j
zj
x a
v
v
x
v a a a
v
a a
x
α
θ α
α α α α
θ α α α
=
=
=
∂
 
= =
 
∂
 

= + + +
∂
 
= = + +
 
∂
 

Viết dưới dạng ma trận:

1
2
2 3
3
2
4
1 0 0 0
0 1 0 0
1
0 1 2 3
i
zi
j
zj
v
v
a a a
a a
α
θ

α
α
θ
α
 
 
 
 
 
 
   
 
=
   
 
   
 
   
 
 
 
(2.31)
hay
{
}
[
]
{
}
C

δ α
=
(2.32)
Từ ñó ta có

{ }
[
]
{ }
1
C
α δ
−
=
(2.33)
trong ñó:
[ ]
1
2 2
3 2 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
3/ 2 / 3/ 1/
2 / 1/ 2 / 1/
C
a a a a
a a a a
−
 
 

 
=
 
− − −
 
−
 
(2.34)
Kết hợp (2.29) và (2.33) ta ñược

[
]
[
]
{ }
1
( )
v x Q C
δ
−
=
(2.35)
hay
[
]
{
}
( )
v x N
δ

=
(2.36)
trong ñó ma trận các hàm dạng

[
]
[
]
[
]
1
N Q C
−
=
(2.37)

[ ]
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 2
1
x x x x x x x x
N x
a a a a a a a a
 
= − + − + − − +
 
 
(2.38)
Ta cũng có thể viết


[
]
[
]
1 2 3 4
N N N N N
=
(2.39)
trong ñó các hàm dạng là

2 3
1
2 3
2 3
2
2
2 3
3
2 3
2 3
4
2
3 2
1
2
3 2
x x
N
a a

x x
N x
a a
x x
N
a a
x x
N
a a
= − +
= − +
= −
= − +
(2.40)
Các hàm dạng này còn gọi là hàm nội suy Hermite.
Theo lý thuyết uốn của dầm, nếu trên phần tử thanh không có lực phân bố tác
dụng (ñiều này phù hợp với giả thiết của phương pháp PTHH là ñưa tải trong trên phần
tử về các nút) thì ñộ võng của thanh phải thỏa mãn phương trình vi phân

4
4
0
d v
EJ
dx
=
(2.41)
Chuyển vị tính theo (2.27) rõ ràng có thể thỏa mãn phương trình (2.41). ðồ thị các
hàm dạng và ñồ thị của chuyển vị (xấp xỉ) ñược biểu diễn trên hình 2.5.


PPPTHH

23













i zi j zj
v x N u N N u N
1 2 3 4
( )
= + θ + + θ

Hình 2.5
Bây giờ ta xét biến dạng và ứng suất trong từng phần tử.
Theo lý thuyết dầm ta có công thức tính biến dạng (ở ñây là ñộ cong):

{ }
2
2
x

v
x
ε
∂
= −
∂
(2.42)
ðể ý tới (2.27) và (2.42) ñược

3 4
(2 6 )
x
y x
ε α α
= − +

hay
{ }
[ ] [ ][ ]
{ }
1
1
2
3
4
0 0 2 6 0 0 2 6
x
y x y x C
α
α

ε δ
α
α
−
 
 
 
= − = −
 
 
 
 


{
}
[
]
{
}
B
ε δ
=
(2.43)
trong ñó:

[ ]
2 3 2 2 3 2
6 12 4 6 6 12 2 6
x x x x

B y
a a a a a a a a
 
= − − + − + − − +
 
 
(2.44)
Ứng suất trong phần tử thanh chịu uốn cũng ñược xác ñịnh bằng quan hệ

{
}
[
]
{
}
D
σ ε
=

Trường hợp này ta cũng có

[
]
D E
=
(2.45)
Sau ñây ta thiết lập
ma trận ñộ cứng phần tử.
Vẫn sử dụng công thức (1.24), trong ñó
[

]
B
lấy theo (2.44) và
[
]
D
lấy theo (2.45).
Khi tích phân cần chú ý rằng, tích phân

2
z
A
y dydz J
=
∫∫
(2.46)
là mô men quán tính của tiết diện thanh ñối với trục z. Sau khi tích phân ta ñược kết
quả sau:

[ ]
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
z z z z
z z z z

z z z z
z z z z
EJ EJ EJ EJ
a a a a
EJ EJ EJ EJ
a a a a
k
EJ EJ EJ EJ
a a a a
EJ EJ EJ EJ
a a a a
 
−
 
 
 
−
 
=
 
 
− − −
 
 
 
−
 
 
(2.47)
Vectơ lực nút tương ñương theo (1.25) ta có:

Trường hợp tải trọng q(x) phân bố trên toàn bộ chiều dài phần tử:

{ }
[ ]
0
( )
T
a
e
P N q x dx
=
∫
(2.48)
Trường hợp tải trọng phân bố trên một ñoạn từ
1
x a
=
ñến
2
x a
=
thì

{ }
[ ]
2
1
( )
T
a

e
a
P N q x dx
=
∫
(2.49)
Trường hợp có lực tập trung
P ñặt tại ñiểm có tọa ñộ
x
thì

{ }
[
]
.
e T
P N P
= (2.50)
Trường hợp có mô men tập trung

M
ñặt tại ñiểm có tọa ñộ
x
thì

{ }
.
T
e
dN

P M
dx
 
=
 
 
(2.51)
Thí dụ khi tải trọng
q
phân bố ñều trên toàn bộ chiều dài phần tử, ta có (hình
2.6 a,b)

{ }
2 2
2 12 2 12
T
e
qa qa qa qa
P
 
= − − −
 
 
(2.52)

a)

Hình 2.6



PPPTHH

25

b)


2.1.3. Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy
Phần tử chịu ngẫu lực xoắn phân bố
( )
m x
dọc trục thanh. Chuyển vị của thanh
ñược ñặc trưng bởi góc xoắn
( )
x
θ
(hình 2.7).






Hình 2.7
Vectơ chuyển vị nút có dạng

{ }
xi
xj
θ

δ
θ
 
=
 
 
(2.53)
Vectơ lực nút là

{ }
e
xi
xj
M
F
M
 
=
 
 
(2.54)
Hàm chuyển vị chọn dạng ña thức bậc nhất

1 2
( )
x
x x
θ α α
= + (2.55)
Bằng cách lập luận tương tự như trường hợp thanh chịu lực dọc trục, ta có ñược

công thức ma trận ñộ cứng phần tử của thanh chịu xoắn thuần túy:

[ ]
x x
x x
GJ GJ
a a
k
GJ GJ
a a
 
−
 
=
 
 
−
 
 
(2.56)
trong ñó:
G
- mô ñun ñàn hồi trượt của vật liệu.

x
J
- mô men quán tính cực của tiết diện.
Ta cũng có công thức tính hàm dạng

[ ]

1
x x
N
a a
 
= −
 
 
(2.57)
Lực nút tương ñương xác ñịnh từ công thức

{ }
[ ]
0
( )
T
a
e
P N m x dx
=
∫
(2.58)
Thí dụ, trường hợp
( )
m x
phân bố ñều dọc theo trục thanh
0
( )
m x m
=

thì

{ }
0
0
2
2
e
m a
P
m a
 
 
 
=
 
 
 
 
(2.59)
Trên ñây khi xác ñịnh vectơ lực nút tương ñương ta ñã sử dụng phương pháp năng
lượng với công thức (1.25). Ngoài phương pháp ñó, còn có thể dùng phương pháp qui
ñổi tương ñương tĩnh học, rất thuận tiện ñối với hệ thanh.
Cách làm theo các bước như sau:
- Cố ñịnh hai ñầu phần tử, tức là gắn cứng các nút, sau ñó tính các phản lực ở
ngàm theo phương pháp của Cơ học kết cấu.
- Xác ñịnh lực nút tương ñương bằng cách bỏ ngàm (trở lại dạng ban ñầu của
phần tử) và ñổi chiều các phản lực vừa tính ñược.
Thí dụ phần tử thanh chịu lực tập trung ñặt giữa thanh (hình 2.8) ta có


{ }
2 8 2 8
T
e
P Pa P Pa
P
 
= − − −
 
 
(2.60)










Hình 2.8