ĐỀ THI SỐ PHỨC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.17 KB, 21 trang )
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
…
…
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
…
…
§1. SỐ PHỨC
§1. SỐ PHỨC
I> Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
2
i
= –1.
Kí hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là
£
= {a + b
i
/ a, b∈
¡
và
2
i
= –1}. Ta có
¡
⊂
£
.
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.
i
= a∈
¡
⊂
£
Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b
i
= b
i
. Đặc biệt
i
= 0 + 1.
i
Số 0 = 0 + 0.
i
vừa là số thực vừa là số ảo.
VD: 2 – 3
i
có phần thực là 2, phần ảo là –3, số
2
i
có phần thực là 0, phần ảo là
2
.
II> Số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z = a + b
i
và z’ = a’ + b’
i
. Ta có z = z′ ⇔
'
'
a a
b b
=
=
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)
i
= (2y + 1) + (3x – 7)
i
(1)
(1) ⇔
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
− = + − = =
⇔ ⇔
− − = − + = =
III> Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + b
i
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
A
z
= 1 + 4
i
,
B
z
= –3 + 0.
i
,
C
z
= 0 –2
i
,
D
z
= 4 –
i
IV> Môđun của số phức:
Số phức z = a + b
i
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM
uuuur
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu
2 2
z = a + bi = a + b
VD: z = 3 – 4
i
có
2 2
3 4 3 ( 4)z i= − = + −
= 5
Chú ý:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z= − + = − + = + =
V> Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + b
i
, số phức liên hợp của z là
z a bi= −
.
⇔z = a + bi z = a - bi
;
z z=
,
z = z
Hai điểm biểu diễn z và
z
đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + b
i
là –z = –a – b
i
Cho
z a bi= +
và
' ' 'z a b i= +
. Ta có
z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
Cho hai số phức
z a bi= +
và
' ' 'z a b i= +
. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay
2
i
= –1 và
rút gọn, ta được:
z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
k.z = k(a + b
i
) = ka + kb
i
. Đặc biệt 0.z = 0 ∀z∈
£
z.
z
= (a + b
i
)(a – b
i
) hay
2
2 2
z.z = a + b = z
VD: Phân tích
2
z
+ 4 thành nhân tử.
2
z
+ 4 =
2
z
–
2
(2 )i
= (z – 2
i
)(z + 2
i
).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
Số nghịch đảo của số phức
z a bi= +
≠ 0 là
-1
2
1 z
z = =
z
z
hay
2 2
1 a - bi
=
a + bi a + b
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 1
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
Cho hai số phức
z a bi
= +
≠ 0 và
' ' 'z a b i
= +
thì
2
' '.z z z
z
z
=
hay
2 2
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
=
a + bi a + b
VD: Tìm z thoả (1 + 2
i
)z = 3z –
i
.
Ta có (3 – 1 – 2
i
)z =
i
⇔ z =
2 2
i
i−
⇔
(2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i i
z z z i
+ − +
= ⇔ = ⇔ = − +
+
IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k∈ N
4k 4k+ 1 4k+2 4k+3
i = 1; i = i; i = -1; i = -i
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =
13
(2 2 )i−
6
2 6 6 6 19 19
(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i
= − − = − = − + = − +
Phần thực a =
19
2−
, phần ảo b =
19
2
BÀI TẬP §1.
BÀI TẬP §1.
I> Bài tập SGK Cơ bản:
1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
a) z = 1 – πi; b) z =
2 i−
; c) z =
2 2
d) z = –7i
Hướng dẫn: a) 1; –πb)
2
; –1 c) 2
2
; 0 d) 0; –7
2) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
b) (1 – 2x) – i
3
=
5
+ (1 – 3y)i;
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
Hướng dẫn: a) x =
3
2
, y =
4
3
b) x =
1 5
2
−
, y =
1 3
3
+
c) x = 0, y = 1.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả
biên.
4) Tính |z| với:
a) z = –2 + i
3
; b) z =
2
– 3i c) z = –5 d) z = i
3
.
Hướng dẫn: a) |z| =
7
b) |z| =
11
c) |z| = 5 d) |z| =
3
5) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| ≤ 1 c) 1 < |z| ≤ 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1a b+ =
, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1a b+ ≤
, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1 2a b< + ≤
, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính
biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
6) Tìm
z
, biết:
a) z = 1 – i
2
b) z = –
2
+ i
3
c) z = 5 d) z = 7i;
Hướng dẫn: a)
z
= 1 + i
2
; b)
z
= –
2
– i
3
c)
z
= 5 d)
z
= –7i.
7) Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i); b) (–2 – 3i) + (–1 – 7i); c) (4 + 3i) – (5 – 7i) d) (2 – 3i) – (5 – 4i).
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 2
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
Hướng dẫn: a) 5 – i b) –3 –10i c) –1 + 10i d) –3 + i.
8) Tính α + β, α – β với:
a) α = 3, β = 2i b) α = 1 – 2i, β = 6i c) α = 5i, β = –7i d) α = 15, β = 4 – 2i.
Hướng dẫn: a) 3 + 2i, 3 – 2i b) 1 + 4i, 1 – 8i c) –2i, 12i d) 19 – 2i, 11 + 2i.
9) Thực hiện phép tính sau:
a) (3 – 2i)(2 – 3i) b) (–1 + i)(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) d) (–2 – 5i)4i.
Hướng dẫn: a) –13i b) –10 – 4i c) 20 + 15i d) 20 – 8i
10) Tính
3 4 5
, ,i i i
. Nêu cách tính
n
i
với n∈N
Hướng dẫn:
3
i
= –
i
,
4
i
= 1,
5
i
=
i
. Nếu n = 4q + r, 0 ≤ r < 4 thì
n r
i i=
11) Tính: a)
2
(2 3 )i+
b)
3
(2 3 )i+
Hướng dẫn: a) –5 + 12i b) –46 + 9i.
12) Thực hiện phép chia:
a)
2
3 2
i
i
+
−
b)
1 2
2 3
i
i
+
+
c)
5
2 3
i
i−
d)
5 2i
i
−
Hướng dẫn: a)
4 7
13 13
i+
b)
2 6 2 2 3
7 7
i
+ −
+
c)
15 10
13 13
i− +
d)
2 5i
− −
13) Tìm nghịch đảo của số phức z, biết:
a) z = 1 + 2i b) z =
2
– 3i c) z = i d) z = 5 + i
3
Hướng dẫn: a)
1 2
5 5
i−
b)
2 3
11 11
i+
c) –i d)
5 3
28 28
i−
14) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)b)
2 3
(1 ) (2 )
2
i i
i
+
− +
c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) d)
5 4
4 3
3 6
i
i
i
+
− +
+
Hướng dẫn: a) –28 + 4i b)
32 16
5 5
i− −
c) 32 + 13i d)
219 153
45 45
i−
15) Giải phương trình sau:
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c)
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
Hướng dẫn: a) z = 1 b) z =
8 9
5 5
i−
c) z = 15 – 5i.
II> Bài tập SGK Nâng cao:
1) Cho các số phức 2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i.
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
b) Viết số phức đó dưới dạng liên hợp rồi biểu diễn trên mặt phẳng phức.
c) Viết số đối của mỗi số phức đó rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức.
Hướng dẫn:
a)
( )
1
2;3M
,
( )
2
1;2M
,
( )
3
2; 1M −
b)
( )
1
2; 3N −
,
( )
2
1; 2N −
,
( )
3
2;1N
c)
( )
1
2; 3K − −
,
( )
2
1; 2K − −
,
( )
3
2;1K −
2) Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số sau:
a) i + (2 – 4i) – (3 – 2i) c)
( ) ( )
2 3 2 3i i+ −
b)
( )
2
2 3i+
d) i(2 – i)(3 + i).
Hướng dẫn:
a) –1 – i b)
7 6 2i− +
c) 13 d) 1 + 7i.
3) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm
là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 3
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i.
cos ;sin
6 6
F
π π
÷
nên F biểu
diễn số
3 1
2 2
i+
. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
3 1
2 2
i− −
. E đối xứng F qua Ox nên E
biểu diễn số
3 1
2 2
i−
. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
3 1
2 2
i− +
4) Thực hiện phép tính:
1 1 3 2 3 4
; ; ;
2 3 4
1 3
2 2
i i
i i i
i
− −
− −
−
Hướng dẫn:
2 3
13 13
i+
;
1 3
2 2
i+
;
2 3i
− −
;
16 13
17 17
i−
5) Cho
1 3
2 2
z i= − +
. Hãy tính:
2 3 2
1
; ; ;( ) ;1z z z z z
z
+ +
.
Hướng dẫn: Ta có
1z =
nên
1 1 3
2 2
i z
z
= − − =
;
2
1 3
2 2
z i= − −
;
3 2
. 1z z z= =
;
2
1 0z z+ + =
6) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng
( )
1
2
z z+
, phần ảo của số phức z bằng
( )
1
2
z z
i
−
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi
z z= −
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi
z z=
.
d) Với mọi số phức z, z′, ta có
' ', ' . 'z z z z zz z z+ = + =
và nếu z ≠ 0 thì
' 'z z
z z
=
÷
Hướng dẫn:
,z a bi z a bi= + = −
(1)
a) Lấy vế cộng vế ⇒ Phần thực của số phức z bằng
( )
1
2
z z+
. Lấy vế trừ vế ⇒ phần ảo của số phức z
bằng
( )
1
2
z z
i
−
.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔
0z z z z+ = ⇔ = −
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔
0z z z z− = ⇔ =
.
d)
2 2
; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b= + = + = +
là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z+ = + + + = + − + = − + − = +
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z= − + + = − − + = − − =
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
= = = =
÷ ÷
7) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;
m m m m
i i i i i i
+ + +
= = = − = −
Hướng dẫn: Ta có
4 2 2
. 1i i i= =
( )
4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3
1 1 . 1. . . 1 . 1.
m
m m m m m m m m
i i i i i i i i i i i i i i i i i
+ + + + +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
8) Chứng minh rằng:
a) Nếu
u
r
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì
| | | |u z=
r
và từ đó nếu hai điểm
1 2
,A A
theo thứ tự
biểu diễn số phức
1 2
,z z
thì
1 2 2 1
A A z z= −
uuuur
;
b) Với mọi số phức z, z′, ta có |z.z′| = |z|.|z′| và khi z ≠ 0 thì
'
'
z
z
z z
=
c) Với mọi số phức z, z′, ta có
' 'z z z z+ ≤ +
Hướng dẫn:
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 4
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
a)
z a bi= +
thì
2 2
z a b= +
,
u
r
biểu diễn số phức z thì
u
r
= (a; b) ⇒
2 2
u a b= +
r
do đó
| | | |u z=
r
1 2
,A A
theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2
,z z
thì
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1
A A OA OA z z A A z z= − = − ⇒ = −
uuuur uuuur uuur uuuur
b)
z a bi= +
,
' ' 'z a b i= +
,
( ) ( )
. ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i= − + +
,
2 2 2 2
, ' ' 'z a b z a b= + = +
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
. ' ' 'z z a b a b= + +
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b= − + + = + + + = + +
Vậy |z.z′| = |z|.|z′|
Khi z ≠ 0 ta có
2 2
' . ' . '
' '.
.
z z z z z
z z z
z z z z
z z
= = = =
c)
u
r
biểu diễn z,
'u
ur
biểu diễn z′ thì
'u u+
r ur
biểu diễn z + z′ và
' 'z z u u+ = +
r ur
Khi
, ' 0u u ≠
r ur r
, ta có
( )
( )
2
2 2 2
2 2
' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u+ = + + ≤ + + = +
r ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur
⇒
' 'u u u u+ ≤ +
r ur r ur
do đó
' 'z z z z+ ≤ +
9) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
a)
1z i− =
b)
1
z i
z i
−
=
+
c)
3 4z z i= − +
Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với
z x yi= +
⇒
( )
2
2 2 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y− = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với
z x yi= +
⇒
( ) ( )
2 2
2 2
1 ( 1) ( 1) 1 1 0
z i
x y i x y i x y x y y
z i
−
= ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ =
+
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với
z x yi= +
⇒
2 2 2 2
3 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y= − + ⇔ + = − + − ⇔ + = − + −
6 8 25 0x y⇔ + − =
. Tập hợp các điểm M là đường thẳng
6 8 25 0x y+ − =
10) Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có
10
2 9
1
1
1
z
z z z
z
−
+ + + + =
−
Hướng dẫn:
Với z ≠ 1,
( )
( )
( )
2 9 2 9 10 2 9 10
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z+ + + + − = + + + + − + + + + = −
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.
11) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
2 2
( )z z+
3 3
( )
z z
z z
−
+
2 2
( )
1
z z
zz
−
+
Hướng dẫn: Ta có
,z a bi z a bi= + = −
,
2 2 2 2 2 2
( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi= − + = − −
Và
3 3 2 2 3 3 3 2 2 3
( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i= − + − = − − −
Vậy
2 2 2 2
( ) 2( )z z a b+ = −
là số thực;
3 3 3 2
( ) 3
z z b
i
z z a ab
−
=
+ −
là số ảo;
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab
i
z z a b
−
=
+ + +
là số ảo.
12) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
a)
2
z
là số thực âm; b)
2
z
là số ảo ; c)
2 2
( )z z=
d)
1
z i−
là số ảo.
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì
2 2 2 2 2 2
2 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi= + ⇒ = − + = − −
a)
2
z
là số thực âm khi xy = 0 và
2 2
0x y− <
⇔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
b)
2
z
là số ảo khi
2 2
0x y− =
⇔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c)
2 2
( )z z=
khi xy = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 5
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
d)
1
z i−
=
2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
− −
=
+ − + −
là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 1).
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 6
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
13) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
a)
2 0iz i
+ − =
c)
( )
2 4 0i z− − =
e)
2
4 0z + =
b)
( )
2 3 1i z z+ = −
d)
( ) ( ) ( )
1 3 2 3 0iz z i z i− + − + =
Hướng dẫn:
a)
1 2z i
= +
b)
1 3
10 10
z i= − +
c)
8 4
5 5
z i= −
d)
; 3 ; 2 3i i i− − +
e)
2z i
= ±
14) a) Cho số phức
z x yi= +
(x, y∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
z i
+
−
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
z i
z i
+
−
là số thực
dương.
Hướng dẫn:
a) Phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
, phần ảo
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
b) Là số thực dương khi
0x
=
và
2 2
1 0x y+ − >
⇒ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu
diễn hai số phức
,i i−
.
15) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
, ,z z z
.
Hỏi trọng tâm ∆ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2 3
, ,z z z
thỏa
1 2 3
z z z= =
.
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi
1 2 3
0z z z+ + =
Hướng dẫn:
a) Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta có
( )
( )
1 2 3
1 1
3 3
OG OA OB OC z z z= + + = + +
uuur uuur uuur uuur
vậy G biểu diễn số phức
( )
1 2 3
1
3
z z z z= + +
b) Vì
OA OB OC= =
uuur uuur uuur
nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng
O hay
1 2 3
0z z z+ + =
.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 7
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
§2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
§2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b
i
thoả
2
z
= w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a∈
¡
a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
a
và –
a
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
.a i
và –
.a i
w là số phức: w = a + b
i
(a, b∈
¡
, b ≠ 0) và z = x + y.
i
là 1 căn bậc hai của w khi
2
z w
= ⇔ ⇔
2 2
2
x - y = a
(x + yi) = a + bi
2xy = b
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4
i
.
Gọi z = x + y
i
là căn bậc hai của w. Ta có
2 2
2 2
3
( ) 3 4
2 4
x y
z w x yi i
xy
− = −
= ⇔ + = − + ⇔
=
⇔
2 2 4 2 2
3 3 4 0 4
2 2 2
x y y y y
x x x
y y y
− = − − − = =
⇔ ⇔
= = =
⇔
2
1
y
x
=
=
hoặc
2
1
y
x
= −
= −
.
Vậy có 2 căn bậc hai của w là
1
z
= 1 + 2
i
,
2
z
= –1 – 2
i
.
VD: Tính căn bậc hai của
i
.
Gọi z = x + y
i
là căn bậc hai của
i
. Ta có
2 2
2 2
0
( )
2 1
x y
z i x yi i
xy
− =
= ⇔ + = ⇔
=
⇔
2
2 2 4
1
0 1 4 0
2
1 1
1
2 2
2
y
x y y
x x
x
y y
y
=
− = − =
⇔ ⇔
= =
=
⇔
2
2
2
2
y
x
=
=
hoặc
2
2
2
2
y
x
= −
= −
.
Vậy có 2 căn bậc hai của
i
là
1
z
=
2
2
+
2
2
i
,
2
z
= –
2
2
–
2
2
i
.
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số thực:
2 2
0 ( 0), 4ax bx c a b ac+ + = ≠ ∆ = −
.
∆ ≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
∆ < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
| |.
2
b i
x
a
− ± ∆
=
VD: Giải phương trình
3
8 0x + =
3 3 3 2
2
2
8 0 2 0 ( 2)( 2 4) 0
2 4 0 (1)
x
x x x x x
x x
= −
+ = ⇔ + = ⇔ + − + = ⇔
− + =
(1) có ∆′ = 1 – 4 = –3 =
( )
2
3.i
nên có 2 nghiệm phức
1,2
1 3.x i= ±
.
Do đó phương trình có 3 nghiệm
1 2 3
1 3. , 1 3. , 2x i x i x= + = − = −
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức:
2 2
0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC+ + = ≠ ∆ = −
∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
−
=
∆ ≠ 0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2
B
x
A
δ
− ±
=
với
δ
là 1 căn bậc hai của ∆.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 8
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
VD: Giải phương trình: a)
2
1 02z iz− + =
; b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − =
a)
2
1 02z iz− + =
có ∆ = –1 – 8 = – 9 =
2
(3 )i
.
Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3
4
i i
z i
+
= =
,
2
3 1
4 2
i i
z i
−
= = −
b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − =
có ∆ =
2 2
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i− − − = − + − + = − +
=
2
(1 4 )i+
Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3 2 1 4
1 3
2
i i
z i
− + + +
= = − +
;
2
3 2 1 4
2
2
i i
z i
− + − −
= = − −
BÀI TẬP §2.
BÀI TẬP §2.
I> Bài tập SGK Cơ bản:
1) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: –7; –8; –12; –20; –121
Hướng dẫn: ±i
7
; ±2i
2
; ±2i
3
; ±2i
5
; ±11i.
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3 2 1 0z z− + − =
b)
2
7 3 2 0z z+ + =
; c)
2
5 7 11 0z z− + =
Hướng dẫn:
a)
1 2
3
i±
b)
3 47
14
i− ±
c)
7 171
10
i±
3) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
4 2
6 0z z+ − =
b)
4 2
7 10 0z z+ + =
Hướng dẫn:
a)
2; 3i± ±
b)
2; 5i i± ±
4) Cho a, b, c ∈ R, a ≠ 0,
1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình
2
0az bz c+ + =
. Hãy tính
1 2
z z+
và
1 2
z z
theo
các hệ số a, b, c.
Hướng dẫn:
1 2
z z+
=
b
a
−
,
1 2
z z
=
c
a
5) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z,
z
làm nghiệm.
Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z,
z
làm nghiệm nên có (x – z)(x –
z
) = 0 ⇔
2
( ) 0x z z x zz− + + =
.
Với z +
z
= 2a, z
z
=
2 2
a b+
. Vậy phương trình đó là
2 2 2
2 0x ax a b− + + =
II> Bài tập SGK Nâng cao:
1) Tìm các căn bậc hai của số phức sau:
; 4 ; 4; 1 4 3i i i− − +
Hướng dẫn:
Căn bậc hai của
i−
là
2 / 2 2 / 2; 2 / 2 2 / 2i i− + −
. Căn bậc hai của
4i
là
( )
2 2i± +
. Căn bậc
hai của –4 là
2i
±
. Căn bậc hai của
1 4 3i+
là
(2 3 )i± +
2) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì
z w=
Hướng dẫn:
z a bi
= +
là một căn bậc hai của w ⇒
2
2 2
z w z w z w z w= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
VD:
( )
2
3 4 2i i− = −
tức
2z i
= −
là một căn bậc hai của
3 4w i
= −
thì
z w=
3) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a)
2
1z z= +
b)
2
2 5 0z z+ + =
c)
2
(1 3 ) 2(1 ) 0z i z i+ − − + =
Hướng dẫn:
a)
2
2
1 1 5 1 5 1 5
2. .
2 4 4 2 4 2 2
z z z z
− + = ⇔ − = ⇔ = ±
÷
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i+ + = ⇔ + = − ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ±
c)
( ) ( ) ( )
2 2
1 3 8 1 2 1i i i i∆ = − + + = = +
Phương trình có hai nghiệm phức là
1 2
2 ; 1z i z i= = − +
.
4) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ
số phức không? Vì sao?
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 9
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai
2
0z Bz C+ + =
(B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
Hướng dẫn:
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là
( )
2 2
1,2
4
2
B
z B AC
A
δ
δ
− ±
= = ∆ = −
nên
1 2 1 2
;
B C
z z z z
A A
+ = − =
.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình
( ) ( )
2
4 5 1 0z i z i− − + − =
Có
( )
2
5 12 2 3i i∆ = − + = −
nên hai số cần tìm là
1 2
3 ; 1 2z i z i= + = −
.
c) Phương trình
2
0z Bz C+ + =
có hai nghiệm là
;z a bi z a bi= + = −
thì
( )
2B z z a= − + = −
là số
thực và
2 2
.C z z a b= = +
là số thực. Điều ngược lại không đúng.
5) a) Giải phương trình sau:
( ) ( )
2 2
2 1 0z i z iz+ − − =
b) Tìm số phức B để phương trình
2
3 0z Bz i+ + =
có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn:
a)
( )
( )
2
2
0z i z i+ − =
có 3 nghiệm là
2 2 2 2
; ;
2 2 2 2
i i i− − +
.
b) Ta có
1 2 1 2
; . 3z z B z z i+ = − =
nên
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i+ = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ± +
6) Tìm nghiệm của phương trình
1
z k
z
+ =
trong các trường hợp sau:
a) k = 1; b) k =
2
; c) k = 2i.
Hướng dẫn:
2
1
1 0z k z kz
z
+ = ⇔ − + =
có 2 nghiệm
( )
2 2
1,2
4
2
k
z k
δ
δ
±
= = ∆ = −
a) k = 1 thì
1,2
1 3
2 2
z i= ±
b) k =
2
thì
1,2
2 2
2 2
z i= ±
c)
( )
1,2
2 1 2k i z i= ⇒ = ±
7) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a)
3
1 0z + =
; b)
4
1 0z − =
; c)
4
4 0z + =
; d)
4 3
8 8 1z z z+ = +
Hướng dẫn:
a)
( )
( )
3 2
1 3 1 3
1 0 1 1 0 1, ,
2 2 2 2
z z z z z z i z i+ = ⇔ + − + = ⇔ = − = + = −
.
b)
4 4 2
1 0 1 1 1,z z z z z i− = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± = ±
c)
( ) ( )
4 4 2
4 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i+ = ⇔ = − ⇔ = ± ⇔ = ± − = ± +
d)
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2
1 1 3
1 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, ,
2 4 4
z z z z z z z z z i+ − = ⇔ + − + + = ⇔ = − = = − ±
8) a) Tìm các số thực b, c để phương trình
2
0z bz c+ + =
nhận
1z i
= +
làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình
3 2
0z az bz c+ + + =
nhận
1z i
= +
và z = 2 làm nghiệm.
Hướng dẫn:
a)
( ) ( ) ( )
2
1 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c+ + + + = ⇔ + + + = ⇔ + = + = ⇔ = − =
b) Lần lượt thay
1z i= +
và z = 2 vào phương trình, ta được
2 (2 2 ) 0
8 4 2 0
b c a b i
a b c
+ − + + + =
+ + + =
⇔
2 4
2 2 6
4 2 8 4
b c a
a b b
a b c c
+ = = −
+ = − ⇔ =
+ + = − = −
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 10
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
§3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
§3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
I> Số phức dưới dạng lượng giác:
1) Acgumen của số phức z ≠ 0:
Cho số phức z = a + b
i
≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của
góc
( , )Ox OM
ϕ
=
uur uuuur
được gọi là một acgumen của z.
Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2π tức là có dạng
ϕ
+ k2π (k∈
¢
)
(z và nz sai khác nhau k2π với n là một số thực khác 0).
VD: Biết z ≠ 0 có một acgumen là
ϕ
. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z;
z
; –
z
;
1
z
.
z biểu diễn bởi
OM
uuuur
thì –z biểu diễn bởi –
OM
uuuur
nên có acgumen là
ϕ
+ (2k + 1)π
z
biểu diễn bởi M′ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –
ϕ
+ k2π
–
z
biểu diễn bởi –
'OM
uuuuur
nên có acgumen là –
ϕ
+ (2k + 1)π
1
z
=
1
2
| |
z
z
z
−
=
, vì
2
1
| |z
là một số thực nên
1
z
−
có cùng acgumen với
z
là –
ϕ
+ k2π.
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b
i
:
Dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 là z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) với
ϕ
là một acgumen của z.
( )
Vôùi ⇔
2 2
a b
z = a + bi z = r cosφ + is inφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =
r r
VD:
Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng π nên có dạng lượng giác là z = cosπ +
i
sinπ
Số 1 +
3
i
có môđun bằng 2 và một acgumen bằng
ϕ
thoả cos
ϕ
=
1
2
và sin
ϕ
=
3
2
. Lấy
ϕ
=
3
π
thì 1 +
3
i
= 2(cos
3
π
+
i
sin
3
π
)
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
Chú ý:
Số – cos
ϕ
–
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(
ϕ
+ π) +
i
sin(
ϕ
+ π)
Số cos
ϕ
–
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(–
ϕ
) +
i
sin(–
ϕ
)
Số – cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(π –
ϕ
) +
i
sin(π –
ϕ
)
II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) và z′ =
r
′(cos
ϕ
’ +
i
sin
ϕ
’) với
r
,
r
′≥ 0
z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ+ φ')]
và
z r
= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]
z' r'
(
r
′≠ 0)
CM:
z.z′ =
r
.
r
′[cos
ϕ
cos
ϕ
’ – sin
ϕ
sin
ϕ
’ +
i
(sin
ϕ
cos
ϕ
’ + sin
ϕ
’cos
ϕ
)]
=
r
.
r
′[cos(
ϕ
+
ϕ
’) +
i
sin(
ϕ
+
ϕ
’)]
Ta có
1
'z
và
z
có cùng acgumen là –
ϕ
’ + k2π nên
1 1
[cos( ') sin( ')]
' '
i
z r
ϕ ϕ
= − + −
.
Do đó
[cos( ') sin( ')]
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
(
r
’≠ 0)
VD:
1
3 3
2 cos sin
4 4
z i
π π
= +
÷
và
2
5 5
2 sin cos
12 12
z i
π π
= +
÷
. Tính
1 2
.z z
và
1
2
z
z
Với
2
2 cos sin
12 12
z i
π π
= +
÷
;
1 2
.z z
=
5 5 3 1
2 2 cos sin 2 2 6 2.
6 6 2 2
i i i
π π
+ = − + = − +
÷
÷
÷
và
1
2
z
z
=
2 2 2 1 3 2 6
cos sin 2
3 3 2 2 2 2
2
i i i
π π
+ = − + = − +
÷
÷
÷
III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 11
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
[ ]
n
n
r(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ + isinnφ)
(n∈
*
¥
)
r
= 1:
( )
n
cosφ + is inφ = cosnφ + isinnφ
(n∈
*
¥
)
2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) (
r
> 0) có 2 căn bậc hai là
÷
φ φ
r cos + isin
2 2
và
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
− + =
÷ ÷ ÷
φ φ
r cos +π + isin + π
2 2
VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:
( )
100
1 i+
và căn bậc hai của w = 1 +
3.i
Ta có 1 +
i
=
1 1
2 2 cos sin
4 4
2 2
i i
π π
+ = +
÷
÷
.
Do đó
( )
100
1 i+
=
( )
100
50
2 cos sin 2 cos 25 sin 25
4 4
i i
π π
π π
+ = +
÷
w = 1 +
3.i
=
2 cos sin
3 3
i
π π
+
÷
có 2 căn bậc hai là
2 cos sin
6 6
i
π π
+
÷
và
7 7
2 cos sin
6 6
i
π π
+
÷
.
BÀI TẬP §3.
BÀI TẬP §3.
1) Hãy tìm dạng lượng giác của số phức:
1
; ; ; ( *)z z kz k R
z
− ∈
trong mỗi trường hợp sau:
a)
( ) ( )
cos sin 0z r i r
ϕ ϕ
= + >
b)
1 3z i= +
.
Hướng dẫn:
a)
( ) ( ) ( )
2
1 1
cos( ) sin( ) ; cos( ) sin( ) ; cos sin
| |
z
z r i z r i i
z z r
ϕ ϕ ϕ π ϕ π ϕ ϕ
= − + − − = + + + = = +
b)
1 3 2 cos sin
3 3
z i i
π π
= + = +
÷
;
2 cos sin ;
3 3
z i
π π
− −
= +
÷
4 4 1 1 4 4
2 cos sin ; cos sin ; 2 cos sin
3 3 2 3 3 3 3
z i i kz k i
z
π π π π π π
− = + = + = − +
÷ ÷ ÷
nếu k < 0.
2) Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a)
( )
( )
1 3
1 3; 1 ; 1 3 1 ;
1
i
i i i i
i
−
− + − +
+
c)
1
2 2i+
b)
( )
2 3i i−
; d)
sin cosz i
ϕ ϕ
= +
Hướng dẫn:
a)
2 cos sin
3 3
i
π π
− −
+
÷
;
2 cos sin
4 4
i
π π
+
÷
;
2 2 cos sin
12 12
i
π π
− −
+
÷
;
7 7
2 cos sin
12 12
i
π π
− −
+
÷
b)
( )
2 2 cos sin ; 3 2 cos sin ; 2 3 4 cos sin
2 2 6 6 3 3
i i i i i i i
π π π π π π
− −
= + − = + − = +
÷ ÷ ÷
c)
1 1 2
cos sin
2 2 4 4 4 4
i
i
i
π π
− − −
= = +
÷
+
d)
sin cos cos sin
2 2
z i i
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = − + −
÷ ÷
3) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn
( )
19
1 i+
và công thức Moavrơ để tính
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
− + − + −ð ð ð ð ð
.
Hướng dẫn:
1 2 cos sin
4 4
i i
π π
+ = +
÷
Ta có
( )
19
19
0 0 1 1 2 2 18 18 19 19
19 19 19 19 19
0
1
n
k k
n
k
i i i i i i i
=
=
+ = = + + + + +
∑
ð ð ð ð ð ð
với phần thực là
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
− + − + −ð ð ð ð ð
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 12
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
( )
19 19
19
9 9
19 19 2 2
1 2 cos sin 2 2 2
4 4 2 2
i i i i
π π
+ = + = − + = − +
÷
÷
÷
có phần thực
9
2 512− = −
Vậy
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19
− + − + −ð ð ð ð ð
= –512.
4) Gọi M, M′ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
3 ; ' (3 3) (1 3 3)z i z i= + = − + +
a) Tính
'z
z
;
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z′ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác
(OM, OM′). Tính số đo góc đó.
Hướng dẫn:
a)
'
1 3 2 cos sin
3 3
z
i i
z
π π
= + = +
÷
có Acgumen là
2
3
k
π
π
+
b) Hiệu số acgumen của z′ với acgumen của z là
' 2
3
k
π
ϕ ϕ π
− = +
Theo định nghĩa, số đo góc
( ) ( ) ( )
, ' , ' ,sñ sñOM OM Ox OM Ox OM= −
=
' 2
3
k
π
ϕ ϕ π
− = +
5) Cho các số phức
( )
2
1
2
w i= +
và
( )
1
1 3
2
i
ε
= − +
a) Chứng minh rằng
2
0 1 0 2 0
cos sin , ,
12 12
z i z z z z
π π
ε ε
= + = =
là các nghiệm của phương trình
3
0z w− =
b) Biểu diễn hình học các số phức
0 1 2
, ,z z z
.
Hướng dẫn:
2 2
cos sin , cos sin
4 4 3 3
w i i
π π π π
ε
= + = +
;
3
3
0
cos sin cos sin
12 12 4 4
z i i w
π π π π
= + = + =
÷
;
( )
3
3 3 3 3
1 0 0 0
. . .1z z z z w
ε ε
= = = =
;
( )
3
3 2 3 6 3
2 0 0 0
. . .1z z z z w
ε ε
= = = =
6) Dùng công thức Moavrơ để tính
sin 4
ϕ
và
cos4
ϕ
theo lũy thừa của
sin
ϕ
và
cos
ϕ
.
Hướng dẫn:
( )
4
cos4 sin 4 cos sini i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + =
4 3 2 2 2 3 3 4 4
cos 4cos . sin 6cos . sin 4cos . sin sini i i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + + + =
( )
4 2 2 4 3 3
cos 6cos sin sin 4cos sin 4cos sin i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + −
Vậy
4 2 2 4
cos 4 cos 6cos sin sin
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − +
và
3 3
sin 4 4cos sin 4cos sin
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= −
7) Tính:
( )
21
2004
6
5 3 3
3 ; ;
1
1 2 3
i i
i
i
i
+
−
÷
÷
÷
+
−
Hướng dẫn:
( )
[ ]
6
6
6 6
3 2 cos sin 2 cos( ) sin( ) 2
6 6
i i i
π π
π π
− −
− = + = − + − = −
÷
( )
2004
2004 2004
1002 1002
1 2 1 1
cos sin cos sin
1 2 2 4 4 2 2
i i
i i
i
π π
π π
+
= = + = + = −
÷ ÷ ÷
+
( )
( )
21
21
21
21 21
5 3 3 2 2
1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 2
3 3
1 2 3
i
i i i
i
π π
π π
+
= − + = + = + =
÷
÷
÷
−
8) Cho số phức
( )
1
1 3
2
w i= − +
. Tìm các số nguyên dương n để
n
w
là số thực. Hỏi có số nguyên dương
m để
m
w
là số ảo?
Hướng dẫn:
( )
1 4 4 4 4
1 3 cos sin cos sin
2 3 3 3 3
n
n n
w i i w i
π π π π
= − + = + ⇒ = +
W là số thực khi
4
sin 0
3
n
π
=
, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 13
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
Không có m nào để
m
w
là số ảo.
9) Viết dạng lượng giác của số phức z và các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau:
a)
3z =
và một acgumen của
iz
là
5
4
π
;
b)
1
3
z =
và một acgumen của
1
z
i+
là
3
4
π
−
.
Hướng dẫn:
a) Ta có acgumen của
i
là
2
π
và acgumen của
iz
là
5
4
π
nên acgumen của
iz
z
i
=
là
5
4
π
–
2
π
=
3
4
π
Vậy
3 3
3 cos sin
4 4
z i
π π
= +
÷
và căn bậc hai của z là
3 3 11 11
3 cos sin ; 3 cos sin
8 8 8 8
i i
π π π π
+ +
÷ ÷
b) Gọi
ϕ
là một acgumen của z thì –
ϕ
là một acgumen của
z
. Với
1 i
+
có acgumen là
4
π
nên
1
z
i+
có
acgumen là –
ϕ
–
4
π
=
3
4
π
−
⇒
2
π
ϕ
=
.
Vậy
1
cos sin
3 2 2
z i
π π
= +
÷
và căn bậc hai của z là
3 3 5 5
cos sin ; cos sin
3 4 4 3 4 4
i i
π π π π
+ +
÷ ÷
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG.
I> Bài tập SGK Cơ bản:
1) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
a) Phần thực của z = 1; b) Phần ảo bằng –2 c) Phần thực thuộc [–1; 2] ảo thuộc [0; 1] d) |z| ≤ 2
Hướng dẫn:
a) x = 1 b) y = 2 c) x = –1, x = 2; y = 0, y = 1 d) hình tròn (O; 2)
2) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
3) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
Hướng dẫn: z = a + bi ⇒ |z| =
2 2
a b+
. Ta có |z| ≥
2
a
= a và |z| ≥
2
b
= b
4) Thực hiện phép tính sau:
a) (3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]i b) (4 – 3i) +
1
2
i
i
+
+
c)
2 2
(1 ) (1 )i i+ − −
d)
3 4 3
2 2
i i
i i
+ −
−
+ −
Hướng dẫn:
a) 21 + i b)
23 14
5 5
i−
c) 4i d)
4 1
5 5
i− +
5) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
Hướng dẫn:
a)
7 4
5 5
i+
b)
18 13
7 7
i−
6) Giải phương trình sau trên tập phức:
a)
2
3 7 8 0z z+ + =
b)
4
8 0z − =
c)
4
1 0z − =
Hướng dẫn:
a)
7 47
6
i− ±
b)
4
8±
,
4
8i±
c)
1, i± ±
7) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn:
1 2 1 2
3, 4z z z z+ = =
⇒
1 2
,z z
là nghiệm phương trình
2
3 4 0z z− + =
với ∆ =
2
( 7 )i
⇒
1,2
3 7
2
i
z
±
=
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 14
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
8) Cho hai số phức
1 2
,z z
. Biết rằng
1 2 1 2
,z z z z+
là hai số thực. Chứng tỏ
1 2
,z z
là hai nghiệm một phương
trình bậc hai với hệ số thực.
Hướng dẫn:
Đặt
1 2 1 2
,z z a z z b+ = =
với a, b ∈ R. Khi
1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình
1 2
( )( ) 0z z z z− − =
hay
2
1 2 1 2
( ) 0z z z z z z− + + =
⇔
2
0z az b− + =
II> Bài tập SGK Nâng cao:
1) Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a)
( )
3
2 3i−
b)
3 2 1
1 3 2
i i
i i
− −
+
− −
c)
( ) ( ) ( )
2
2 5 ,x yi x yi x y R+ − + + ∈
là một số thực khi nào?
Hướng dẫn:
a)
46 9i
− −
b)
23 63
26 26
i+
c)
2 2
2 5 2 ( 1)x y x y x i− − + + −
khi y = 0 hoặc x = 1.
2) Chứng minh rằng nếu
1z w= =
thì số
( )
1 0
1
z w
zw
zw
+
+ ≠
+
là số thực.
Hướng dẫn: Ta có
2
. 1z z z= =
1 1
1
1 1
1 1
1
z w z w z w z w
z w
zw zw
zw zw
zw
+
+ + + +
= = = =
÷
+ +
+ +
+
nên
( )
1 0
1
z w
zw
zw
+
+ ≠
+
là số thực.
3) Giải phương trình:
a)
( ) ( )
2
3 6 3 13 0z i z i+ − − + − + =
b)
2
3 3
3 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +
− − =
÷
− −
c)
( )
( )
2
2
2
1 3 0z z+ + + =
Hướng dẫn:
a)
( ) ( )
2
3 3 2
3 6 3 13 0
3 3 2 3
z i i z i
z i z i
z i i z i
+ − = − = −
+ − − + − + = ⇔ ⇔
+ − = + =
b)
2
3
1 5
1
(1 ) 3 2
3 3
2
2 2
3 4 0
4 35
3 (4 ) 3 8
2 2
4
17 17
2
iz
z i
i z i
iz iz
z i
iz i z i
z i z i
z i
z i
+
= −
= − +
+ = − +
+ +
−
− − = ⇔ ⇔ ⇔
÷
+ − = −
− −
= +
=
−
c)
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
1 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i+ − + = ⇔ + − + + + + =
Phương trình
2
1 3 0z iz i− + − =
có nghiệm
1 2
1 2 ; 1z i z i= + = − −
Phương trình
2
1 3 0z iz i+ + + =
có nghiệm
3 4
1 2 ; 1z i z i= − = − −
4) Xét các số phức
1
1 2 3
2
6 2 , 2 2 ,
z
z i z i z
z
= − = − − =
a) Viết
1 2 3
, ,z z z
dưới dạng lượng giác. b) Tính
7
cos
12
π
và
7
sin
12
π
từ câu a).
Hướng dẫn:
a)
1
2 2 cos sin
6 6
z i
π π
− −
= +
÷
;
2
3 3
2 2 cos sin
4 4
z i
π π
− −
= +
÷
;
3
7 7
cos sin
12 12
z i
π π
= +
b)
3
6 2 6 2 6 2
2 2 4 4
i
z i
i
− − + +
= = +
− −
do đó
7 6 2
cos
12 4
π
− +
=
và
7 6 2
sin
12 4
π
+
=
5) Cho
( ) ( )
6 2 6 2z i= + + −
a) Viết
2
z
dưới dạng đại số và lượng giác; b) Từ a) hãy suy ra dạng lượng giác của z.
Hướng dẫn:
a)
2
8 3 8 16 cos sin
6 6
z i i
π π
= + = +
÷
b)
4 cos sin
12 12
z i
π π
= +
÷
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 15
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
LUYỆN TẬP
LUYỆN TẬP
Bài 1.
Bài 1.
Tìm các số thực x, y thỏa:
a) 2x + 1+ (1 − 2y)
i
= 2 − x + ( 3y − 2)
i
b) 4x + 3+ (3y − 2)
i
= y + 1 + (x − 3)
i
c) x + 2y + (2x − y)
i
= 2x + y + (x + 2y)
i
Hướng dẫn:
a) x =
1
3
, y =
3
5
; b) x =
7
11
−
, y =
6
11
−
; c) x = 0, y = 0
Bài 2.
Bài 2.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
2
( ) 2( ) 5x yi x yi+ − + +
. Với giá trị nào của x, y thì số phức
trên là số thực.
Hướng dẫn: Phần thực là
2 2
2 5x y x− − −
, phần ảo là
2( )xy y−
. Số phức trên là số thực khi y = 0
hoặc x = 1.
Bài 3.
Bài 3.
Thực hiện các phép tính:
a)
2
(1 2 )i+
– (2 – 3
i
)(3 + 2
i
); d)
3 3
(1 2 ) (1 2 )i i+ − −
; g)
2010 2009
(1 ) (1 )i i+ + −
b)
(1 ) (1 )(4 3 )
3
i i i
i
− + + −
+
; e)
2 2 1 2
1 2 2 2
i i
i i
+ +
−
− −
c)
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
; f)
2
(3 ) (3 2 )(3 2 )
5
1
i i i
i
i
− − + −
+
−
Hướng dẫn:
a) –15 + 9
i
; b)
12 4
5 5
i−
; c)
27 9
5 5
i+
; d) –4
i
;e)
2
2
i
; f)
1 1
2 2
i−
; g)
1004 1004
2 2 i+
Bài 4.
Bài 4.
Tìm z, biết:
a)
(1 5 ) 10 2 1 5i z i i− + + = −
; b)
(3 2 ) 1 4i z i z− = − +
c)
1 3
1
z i
i i
i
+
+ + = +
−
d)
2 3
1 3 2 1
1
i
z i z
i
−
+ − = −
+
; e)
( 2 3) 2 3 2 2i z i i− + = +
; f)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
g)
( ) ( )
2
1 1 2 2
1
z i
z i i
i
+
+ + − − =
−
h)
1 2
2 3
1 1
i z i
z i
i i
− + −
− + =
+ −
i)
( )
2 2
1 5 5
1
iz i
i z i
i
+
+ − − =
−
Hướng dẫn:
a)
1 2z i
= −
; b)
1 3
5 5
z i= +
; c)
2 3z i
= −
; d)
1
5
z i= − −
;
e)
i
; f)
2 4
5 5
i− −
g)
3z i
= −
h)
3z i
=
i)
2 3z i
= +
Bài 5.
Bài 5.
Biết
1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
3 3 0z z+ + =
. Hãy tính:
a)
2 2
1 2
z z+
; b)
3 3
1 2
z z+
; c)
1 2
2 1
z z
z z
+
; d)
2 2
1 2
z z+
Hướng dẫn:
a)
2 2
1 2
z z+
= –3; b)
3 3
1 2
z z+
=
6 3
; c)
1 2
2 1
z z
z z
+
= –1; d)
2 2
1 2
z z+
= 6.
Bài 6.
Bài 6.
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là
1
3 7
2 2
z i= +
và
2
3 7
2 2
z i= −
Bài 7.
Bài 7.
Tìm căn bậc hai của các số phức:
a)
1 4 3i+
; b)
17 20 2i+
; c)
46 14 3i−
Hướng dẫn:
a)
1 2
2 3 ; 2 3z i z i= + = − −
b)
1 2
5 2 2 ; 5 2 2z i z i= + = − −
c)
1 2
7 3 ; 7 3z i z i= + = − −
Bài 8.
Bài 8.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 16
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
a)
2
4 5 0x x− + =
; b)
2
2 5 0x x+ + =
; c)
2
2 4 3 0x x− + =
; d)
2
4 12 25 0x x− + =
e)
2
9 6 2 0x x+ + =
; f)
2
6 10 0x x+ + =
; g)
2
(3 ) 4 3 0x i x i− + + + =
; h)
2
2 2 4 0x x i− − + =
Hướng dẫn:
a)
2x i
= ±
; b)
1 2x i
= − ±
; c)
2
1
2
x i= ±
; d)
3
2
x i= ±
e)
1 1
3 3
x i= − ±
; f)
3x i
= − ±
; g)
1 2 , 2x i x i= + = −
; h)
1 , 3x i x i= − + = −
Bài 9.
Bài 9.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
3 2 0x x− + =
; b)
2
3 1 0x x− + =
; c)
3
3 24 0x − =
; d)
4 2
2 3 5 0x x+ − =
e)
4
2 16 0x + =
; f)
2
3 2 2 3 2 0x x− + =
; g)
2
2 3 4 0ix ix+ − =
; h)
2
(3 ) 4 3 0x i x i− − + − =
Hướng dẫn:
a)
1 23
6 6
i±
; b)
3 1
2 2
i±
; c) 2 và
1 3i− ±
; d) ±1 và
5
2
i±
; e)
( )
4 4
2 2i± −
,
( )
4 4
2 2i± +
f)
6 6
6 6
i±
; g)
2 3 i− −
,
2 3 i− − +
; h) ∆ =
[ ]
2
(1 3 )i± +
, nghiệm
2 i
+
,
1 2i
−
Bài 10.
Bài 10.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
8(1 ) 12 16 0z i z i+ − − − =
; b)
( )
2
2 2 0z i z i− + − =
;
c)
( )
2
2 1 4 0iz i z− − − =
; d)
( )
2
5 8 0z i z i− − + − =
Hướng dẫn:
a)
2 , 8 6z i z i= = − +
; b)
1 2
2;z z i= = −
; c)
1 2
2; 2z z i= − = −
; d)
1 2
2 ; 3 2z i z i= + = −
Bài 11.
Bài 11.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
4 2
6 25 0x x+ + =
; b)
4 2
16 100 0x x− + =
; c)
4 2
3 3 3 0x x i− + − =
d)
4 2
3(1 2 ) 8 6 0x i x i− + − + =
; e)
4
7 24 0x i+ − =
; f)
4
28 96 0x i− + =
Hướng dẫn:
a)
( ) ( )
1 2 , 1 2x i x i= ± − = ± +
; b)
( ) ( )
3 , 3x i x i= ± − = ± +
; c)
( ) ( )
2 , 1x i x i= ± − = ± +
d)
( ) ( )
2 , 1x i x i= ± + = ± +
; e)
( ) ( )
2 , 1 2x i x i= ± + = ± −
; f)
( ) ( )
3 , 1 3x i x i= ± − = ± +
Bài 12.
Bài 12.
Tìm z biết:
a)
2
z z=
; b)
2 2 4z z i+ = −
c)
2 1 2z i z i+ − = − +
và
1 10
10z
=
Hướng dẫn: Gọi z = x + y
i
⇒
z
= x – y
i
và
2 2 2
2z x y xyi= − +
.
a)
2
z z=
⇔
2 2
(1)
2 (2)
x y x
xy y
− =
= −
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) ⇒ x = 0 hoặc x = 1
Nếu y ≠ 0 ⇒ (2) có nhiệm x = –
1
2
thay vào (1) ⇒ y =
3
2
±
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số
1 3 1 3
(0;0), (1;0), ; , ;
2 2 2 2
− − −
÷ ÷
÷ ÷
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =
1 3
2 2
i− +
; z =
1 3
2 2
i− −
b)
2
4
3
z i= +
c)
1 3 ; 1 3z i z i= − = − +
Bài 13.
Bài 13.
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
a)
2z i− =
; b)
3
1
3
z i
z i
−
=
+
; c)
1z z i= − +
; d)
(2 3 ) 2 0i z i m+ + − =
(m là tham số)
Hướng dẫn:
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 17
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
a)
2 2 2 2
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y− = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
b)
2 2
2 2
( 3)
3 ( 3)
1 1 1 0
3 ( 3)
( 3)
x y
z i x y i
y
z i x y i
x y
+ −
− + −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ + +
+ +
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
c)
2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y= − + ⇔ + = − − − ⇔ + = − + − ⇔ + − =
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
d)
2 6
2 2 6 3 4
13
(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
3 4
2 3 13 13
13
m
x
m i m m
i z i m z z i x y
m
i
y
−
=
− − +
+ + − = ⇔ = ⇔ = − ⇒ ⇒ + + =
+
+
= −
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
Bài 14.
Bài 14.
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) z =1 + i; b) z =1 − i; c) z = −3; d) z = 5; e) z = I; f) z = −2i
g)
1 3z i= +
; h)
1 3z i= −
; i)
1 3z i= − +
Hướng dẫn:
a)
2 cos sin
4 4
z i
π π
= +
÷
; b)
2 cos sin
4 4
z i
π π
= − + −
÷ ÷
÷
; c)
( )
3 cos sinz i
π π
= +
d)
( )
5 cos0 sin 0z i= +
; e)
1 cos sin
2 2
z i
π π
= +
÷
; f)
2 cos sin
2 2
z i
π π
= − + −
÷ ÷
÷
g)
2 cos sin
3 3
z i
π π
= +
÷
; h)
2 cos sin
3 3
z i
π π
= − + −
÷ ÷
÷
; i)
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π
= +
÷
.
Bài 15.
Bài 15.
Dùng công thức Moa-vrơ để tính
5
(1 )i+
,
( )
6
3 i−
.
Hướng dẫn:
( )
4 1 i− +
.
Bài 16.
Bài 16.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
( )
8
3 i+
.
Hướng dẫn:
3 1
3 2 2 cos sin
2 2 6 6
i i i
π π
+ = + = +
÷
÷
÷
.
Theo công thức Moa-vrơ
( )
8
8 8 8
1 3
3 2 cos8 sin8 2 cos sin 2
6 6 3 3 2 2
i i i i
π π π π
π π
+ = + = + + + = − −
÷
÷ ÷ ÷
÷
Phần thực là
7
2−
, phần ảo
7
2 3−
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 18
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
Bài 1.
Bài 1.
(Đề thi TN.THPT năm 2006) Giải phương trình
2
2 5 4 0x x− + =
trên tập số phức.
Hướng dẫn:
Ta có ∆ = 25 – 32 = –7 =
2
( 7 )i
. Phương trình có hai nghiệm là:
1
5 7 5 7
4 4 4
i
x i
+
= = +
;
1
5 7 5 7
4 4 4
i
x i
−
= = −
Bài 2.
Bài 2.
(Đề thi TN.THPT năm 2007)
a) Lần 1 (1 điểm): Giải phương trình
2
4 7 0x x− + =
trên tập số phức.
b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình
2
6 25 0x x− + =
trên tập số phức.
Hướng dẫn:
a) Ta có ∆′ = 4 – 7 = –3 =
2
( 3 )i
. Phương trình có hai nghiệm là:
1
2 3x i= +
;
1
2 3x i= −
b) Ta có ∆′ = 9 – 25 = –16 =
2
(4 )i
. Phương trình có hai nghiệm là:
1
3 4x i= +
;
1
3 4x i= −
Bài 3.
Bài 3.
(Đề thi TN.THPT năm 2008)
a) Lần 1 (1 điểm): Tính giá trị của biểu thức:
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i= + + −
b) Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình
2
2 2 0x x− + =
trên tập số phức.
Hướng dẫn:
a)
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i= + + −
=
(1 2 3 3) (1 2 3 3)i i+ − + − −
= –4
b) Ta có ∆ = 4 – 8 = –4 =
2
(2 )i
. Phương trình có hai nghiệm là:
1
2 2
1
2
i
x i
+
= = +
;
2
2 2
1
2
i
x i
−
= = −
Bài 4.
Bài 4.
(Đề thi TN.THPT năm 2009)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Giải phương trình
2
8 4 1 0z z− + =
trên tập số phức.
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Giải phương trình
2
2 1 0z iz− + =
trên tập số phức.
Hướng dẫn:
a) Ta có ∆ = 16 – 32 = –16 =
2
(4 )i
. Phương trình có hai nghiệm là:
1
4 4 1 1
16 4 4
i
z i
+
= = +
;
2
4 4 1 1
16 4 4
i
z i
−
= = −
b) Ta có ∆ = –1 – 8 = –9 =
2
(3 )i
. Phương trình có hai nghiệm là:
1
3
4
i i
z i
+
= =
;
2
3 1
4 2
i i
z i
−
= = −
Bài 5.
Bài 5.
(Đề thi TN.THPT năm 2010)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Cho hai số phức
1
1 2z i= +
và
2
2 3z i= −
. Xác định phần thực và phần
ảo của số phức
1 2
2z z−
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm): Cho hai số phức
1
2 5z i= +
và
2
3 4z i= −
. Xác định phần thực và
phần ảo của số phức
1 2
z z
.
Hướng dẫn:
a)
1 2
2z z−
= (1 – 4) + (2i + 6i) = –3 + 8i. Phần thực là –3, ảo 8.
b)
1 2
z z
= 6 – 8i + 15i – 20
2
i
= 26 + 7i. Phần thực là 26, ảo 7.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 19
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 6.
Bài 6.
(Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
. Tìm phần thực
và phần ảo của z.
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −
= −
−
trên tập
£
.
Hướng dẫn:
a)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
⇔
2
(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i
+ − − + = +
⇔
[ ]
2 (2 ) 1 2 8i i i z i− − − = +
⇔
8
1 2
i
z
i
+
=
+
⇔
(8 )(1 2 )
1 4
i i
z
+ −
=
+
⇔
10 15
2 3
5
i
z i
−
= = −
. Phần thực là 2, phần ảo –3
b)
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −
= −
−
⇔
2
(4 3 ) 1 7 0z i z i− + + + =
Ta có ∆ =
2 2
(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i+ − + = − = −
. Phương trình có 2 nghiệm:
1
4 3 2
3
2
i i
z i
+ + −
= = +
và
2
4 3 2
1 2
2
i i
z i
+ − +
= = +
Bài 7.
Bài 7.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập
hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện
| (3 4 ) | 2z i− − =
.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i
(x, y∈
¡
) ⇒
(3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i− − = + − + = − + +
Ta có
| (3 4 ) | 2z i− − =
⇔
2 2
( 3) ( 4)x y− + +
= 2 ⇔
2 2
( 3) ( 4)x y− + +
= 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
Bài 8.
Bài 8.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả:
| (2 ) | 10z i− + =
và
.z z
= 25.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i
(x, y∈
¡
) ⇒
(2 ) 2 ( 2) ( 1)z i x yi i x y i− + = + − − = − + −
Ta có
| (2 ) | 10z i− + =
⇔
2 2
( 2) ( 1) 10x y− + − =
⇔
2 2
4 2 5 0x y x y+ − − − =
(1)
Ta có
.z z
= 25 ⇔ (x + y
i
)( x – y
i
) = 25 ⇔
2 2
25x y+ =
(2)
Từ (1) và (2), ta có
2 2
2 2
4 2 5 0
25
x y x y
x y
+ − − − =
+ =
⇔
2 2
10 2
25
y x
x y
= −
+ =
⇔
2
10 2
8 15 0
y x
x x
= −
− − =
⇔
3
4
x
y
=
=
hoặc
5
0
x
y
=
=
. Vậy z = 3 + 4
i
hoặc z = 5 + 0
i
.
Bài 9.
Bài 9.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của
phương trình
2
2 10 0z z+ + =
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A z z= +
.
Hướng dẫn:
2
2 10 0z z+ + =
có ∆′ = 1 – 10 = –9 =
2
(3 )i
. Nghiệm là
1
1 3z i= − +
,
2
1 3z i= − −
Ta có:
1
1 9 10z = + =
và
2
1 9 10z = + =
nên
2 2
1 2
20A z z= + =
Bài 10.
Bài 10.
(Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i− + + = − +
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình
( )
2
1 6 3 0z i z i− + + + =
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i− + + = − +
⇔
( ) ( ) ( )
2
6 4 8 2
2 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6
2 2 6 5
a b a
i a bi i a bi i a b a b i i
a b b
+ = = −
− + + + − = − + ⇔ + − + = − ⇔ ⇔
+ = =
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 20
THPT Tân Bình – Bình Dương
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
b)
( )
2
1 6 3 0z i z i− + + + =
có ∆ =
2 2
(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i+ − + = − − = −
Do đó phương trình có 2 nghiệm:
1
1 1 5
1 2
2
i i
z i
+ + −
= = −
;
2
1 1 5
3
2
i i
z i
+ − +
= =
Bài 11.
Bài 11.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa:
2z =
và
2
z
là số thuần ảo
Hướng dẫn:
Gọi z = a + bi ⇒
2 2
2 2 2
2
z a b
z a b abi
= +
= − +
. Theo đề ta có:
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
2 1
2
1 1
0 0
0
1 1 1 1
1 1 1 1
hoaëc
hoaëc hoaëc hoaëc
a a
a b a
a b
b b
a b a b
a b
a a a a
b b b b
= = −
+ = =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
= =
− = − =
− =
= = = − = −
⇔
= = − = = −
Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
Bài 12.
Bài 12.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp
điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa
1 (1 )z i z− = +
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có
2 2 2 2
( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y+ − = + + ⇔ + − = − + +
⇔
2 2 2 2
2 1 0 ( 1) 2x y y x y+ + − = ⇔ + + =
. Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R =
2
.
Bài 13.
Bài 13.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:
2
( 2 ) (1 2 )z i i= + −
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức
z iz+
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
( 2 ) (1 2 )z i i= + −
⇒
( ) ( )
1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i− = + − ⇔ − = +
.
5, 2a b⇒ = − =
. Vậy phần phần ảo b = –
2
.
b) Gọi z = a + bi, ta có:
3
(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
4 4
1 1 1 1 1
i i i i
z i
i i i
− − − + − − +
= = = = = − −
− − − +
⇒ z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i ⇒
z iz+
= –8 – 8i. Do đó :
( ) ( )
2 2
8 8 8 2z iz+ = − + − =
.
Gv:
Lê Hành Pháp
Lê Hành Pháp Trang 21
