Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Ôn Thi vào THPT
Phần I: đại số
A- Lí thuyết
1. Căn bậc hai:
ĐN : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
*a>0 : Có hai căn bậc hai là :
aa ,
*a=0 : Có một căn bậc hai là
0=a
*a<0 : Không có căn bậc hai.
2.Căn bậc hai số học :
Định nghĩa : Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng đợc gọi là căn
bậc hai số học của 0.
Chú ý : Với số
,0a
ta có



=

=
ax
x
ax
2

0
3.So sánh các căn bậc hai số học :
Định lí : Với các số a và b không âm, ta có :
baba <<
B.Bài tập :
Bài 1 : Tìm x sao cho :
a.x
2
=16; b.x
2
=
25
9
; c.x
2
=-4.
Bài 2 : Thực hiện các phép tính sau :
)325)(325.()23)(23.()52.(
2
++ cba
Bài 3 : Giải các phơng trình sau :
13)4205)
21)31)
22
2
=+=++
=+=
xdxxc
xbxa
Bài 4 : So sánh các số :

157) +a
với 7
112) +b
với
53 +
4
45230
)

c
và
17

35)d
và
53
*Bài 5 : Chứng minh rằng :
a)
7;3
là các số vô tỉ; b)
13 +
là số vô tỉ.
Bài 6:
a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
21 += xA
b.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
125 = xB
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
AA =
Điều kiện xác định của

A
là
0A
Với mọi số thực a, ta có
aa =
Với A là biểu thức ta có :



<

==
0
0
AA
AA
AA
nếu
nếu
Bài 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa :
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
1
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
x
x
xD
xx
C
xxBxA
3

3
2
1
54214
2
22
++=

=
++==
Bài 2: Giải phơng trình:
564524428183)
19612)44129)
222
222
+=+++
=+++=+
xxxxxxc
xxxxbxxa
*Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1212
22
++++= xxxxA
9424914249
22
++++= xxxxB
Bài 4 : Rút gọn các biểu thức sau :
627627
612
)

2112
728728)526526)
+
++
+++++
+++
f
aaa
c
ba
với1-a2ae)
kibấtavới96aa96aad)0avới2a64a)
222
Bài 5 : Phân tích các đa thức thành nhân tử:
.663)34)
65);11)
22
22
++
++
xxdxxc
xxbxa
*Bài 6:
a) Chứng minh rằng nếu x
2
+y
2
=1 thì
22 + yx
b) Cho x,y,z là số thực dơng, chứng minh :

xzyzxy
zyx
111111
++++
*Gợi ý :
a) vì x
2
+y
2
=1, (x-y)
2

0

nên 2xy
1
=>(x+y)
2

2=>
2+ yx
b)áp dụng bất đẳng thức Côsi :
abba 2+
dấu = xảy ra khi a=b.
*Bài 7: Tìm các số x,y,z thoả mãn đẳng thức :
3624128 ++=+++ zyxzyx
*Gợi ý : Biến đổi thành : (
0)33()22()11(
222
=++ zyx

B- Bài tập HS tự làm
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
323
(căn bậc 3)
b,
157 +
và 15
53112 ++ va
1 và
13


1537
và 2 14 và

15.13
c, 3+
8
và 6+
2
1+
276 +
và
48
2
62 +
và 3+
5
d,
1415
và
1314

101105
và
97101
Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x
A=
x2
B=
x7
C=
124 +x
D=
13

2
+x
E=
14
2
x

Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
2
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
F=
12
2
+ xx
G=
542
2
++ xx
H=
105 x
I=
7
5


x

J=
7
5



x
x
K=
2
2
1
xx
M=
4
2
x
N=
3
2


x
x
P=
44
2
+ xxx
Q=
42
1
2
++ xx
R=

3
1
2
x
U=
x
x
x 3
3
++
Bài 3a, Cho A= 6+2
5
và B= 6-2
5
Tính A+B ; A-B ; A.B ; A:B
3b, Cho C=
111036 +
và D=
111036
Tính C+D ; C-D ; C.D ; C:D
Bài 4

Thực hiện phép tính
A=
423
2
423
2
+



B=
10067
1
6734
1
341
1
+
+
+
+
+

C=
+
+

35
35
35
35

+
D= (
3).135415312 +

E=
448)1008700252( +
F=2

48537521240
G=(15
10:)4503200550 +
H=
3253 ++
.
3253 +
I=
)154)(610)(154( +
J=(
)
32
1
:1(:)
12
22
23
323
++
+
+
+
+
Bài 5:Rút gọn các biểu thức sau
A=
549
-
5
B=
7823

-
7

C=
3242
32
++
+
+
3242
32


D=
25353 +

E=
77474 +
F=
62125,6125,6 +++
G=
1247
1
1247
1
+

+
H=
++ 154

154
-2
53

I= 4
24057223 ++
J=
223
246 +
Bài 6: Tính A=
2062935
B=
4813526 ++

C=
34710485354 +++
D=
5122935
Bài 7: Rút gọn biểu thức
a, x-4-
42
816 xx +
với x>4 d,
9696
22
++++ aaaa
với a bất kì
b,
12
12

++
+
xx
xx
với x
0

e,
12 + aa
+
12 aa
với
21

a
c,


+
ba
ba

ba
ba
+

với a
bab ;0;0
g,
ba

ba
ba
ba





33
với a
bab ;0;0
h,Tìm đ/k xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444 ++ xxxx
H
2
=
44
2
+ xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33
=

+


+
+
ba
ba
ab
ba
ba
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
3
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
b,
ba
baba
abba
=
+
+ 1
:
2
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
c, (2+




2).(
1a
aa
a
a
aa
=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a

1
d,
3612 +++ xx
-
3612 ++ xx
=6 với mọi x

6
e, (
1
21
).
1
2
12
2


=
+



++
+
a
a
a
a
a
aa
a
với mọi a>0 ; a

1
f, (
2
)1()
1
1
).(
1
1
aa
a
aa
a
a

aa
=
+
+
+


với mọi a

0 ; a

1
g,



>

=++++
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x
2
- 4x +1 B=4x
2

+4x+11
C=3x
2
-6x+1 D=2+x-x
2

E=x
2
-2x+y
2
-4y+6 F= x
2
-2xy +3y
2
-2x-10y +20
H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=
176
1
2
+ xx

II. Rút gọn biểu thức hữu tỉ
Bài 10.1: Cho biểu thức A=
824
22
2
+

xx
x

-
824
22
2
++
+
xx
x

a,Rút gọn A
b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=2)
Bài 10.2: B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+

+
+
x
x
x
với -1<x<1
a,Rút gọn B
bTính gía trị của B tại x=4
52

( KQ: B=
x1
= =2-
2
)
Bài 10.3 C=
131
155

+
xx
xx
với x
10;1 > x
a,Rút gọn C KQ; :C=
1
21


x
x
b,Tìm x để C<3 (đúng với mọi ; x
10;1 > x
)
Bài 10.4 D=
x
x
x
x
x

x

+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
với mọi x
4;0 x
)
a,Rút gọn D
b,Tìm x để D=2
Bài 10.5 Đ =(
)
2
1
(:)
1
1
11
2

+

++
+

+ x
xxx
x
xx
x

a,Rút gọn Đ ( KQ:Đ=
1
2
++ xx
)
b, C/m rằng Đ >0 với mọi đ/k của x để Đ có nghĩa
Bài 10.6 E= (
x
1
-
1
1
x
) : (
)
2
1
1
2

+



+
x
x
x
x
( với x>0 ;x

1 và x

4)
1; Rút gọn E
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
4
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
2; Tìm x để E=0
Bài 10.7 F=
x
x
x
x
xx
x
+
+



+

+

3
32
1
23
32
1115

a,Rút gọn F ( KQ:F=
3
52
+

x
x
)
bTìm gía trị của x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó (E
MAX
=2/3<=>x=0)
Bài 10.8 G=
1
)1(22
1
2


+
+


++

x
x
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
Bài 10.9 H=
4
12
+

x
xx
a,Rút gọn H ( KQ: H=3-
x

3 vì
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 10.10 I=
x
x
x
x
xx

x 1
).
1
2
12
2
(
+



++
+
với x>0; x

1
a,Rút gọn I ( KQ : I =
1
2
x
)
bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên
Bài 10.11 J =
x
x
x
x
xx
xx


+
+
+
+

+
+
1
2
2
1
2
393
(với mọi x
1;0 x
).
a,Rút gọn J ( KQ J =
1
3


x
x
bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
Bài Bài 10.12 K=
x
x
x
x
xx

x

+
+

+
+
+

2
3
3
12
65
92

a,Rút gọn K ( KQ:K=
3
1

+
x
x

bTính gía trị nguyên của x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49)
Bài 10.13 M =
xxx
x
xx
x



++
+
+

+
1
1
1
1
1
2

a,Rút gọn M
b,Tính gía trị của M nếu x=28-6
3
( M=
1++ xx
x
= =
3328
133


= )
c,C/m rằng M <
3
1
(xét hiệu và c/m hiệu <0)

Bài 10.14 N =1+(
12
).
1
2
1
12



+


+
x
xx
xx
xxxx
x
xx

a,Rút gọn N
b, C/m N >
3
2

c,Tìm x biết N=
61
6
+


Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
5
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 10.15 P=
)1
3
22
(:)
9
)3(3
33
2




+


+
+ x
x
x
x
x
x
x
x
với mọi x

9;0 x
)
a,Rút gọn P
b,Tìm x để P<-1 (KQ:
1
3
)3(3
<
+

x
x
<=>
0
3
)6(4
<
+

x
x
)
c,Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 10.16 Q=
1
2
1
2
+
+


+
+
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn Q
b,Biết x >1so sánh Q và / Q/
c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất
III. Hàm số y=ax+b (a

0) hệ ph ơng trình
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
e, Tính f(- 4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-2x+10
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k
2

x+(m+3),và đờng thẳng (d) có phơng trình :
y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đờng thẳng trùng nhau
Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để 2 đờng thẳng cắt nhau
b, Xác định k để 2 đờng thẳng song song với nhau
c, Hai đờng thẳng có trùng nhau đợc không? Vì sao?
Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d
1
) ; y=4x +3 (d
2
) ; y=(k-1)x+4 (d
3
)
Tìm k để : a, (d
1
) song song với (d
2
) d, (d
1
) vuông góc với (d
3
)
b, (d
1
) song song với (d
3
) e, (d
2
) cắt (d
3

)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)
Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số ?
Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết
a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đờng thẳng: y=2x-7 (d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5 (d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
)
b, Tìm k để 3 đờng thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5
(1)

; y=4x
(2)
; y=
4
1
x
(3)
b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có phơng
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?
d, Tính S


ABO
=?
Bài 11: Cho hàm số y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b
1
. Song song với trục hoành
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
6
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
b
2
Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b
3
Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2-

2
3

c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi
Bài 12: Cho hàm số y=(m-2)x+ n (1) (m;n là tham số )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ x=2+
2
và Cắt
trục tung tại điểm D có tung độ y=1-
2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c
1
. Vuông góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3
c
2
. Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1
c
3
.Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0
Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=
3
và cắt trục
tung tại điểm có tung độ y=-
2
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng thẳng có phơng
trình 2x-5y=1



IV.Giải và biện luận nghiệm của hệ phơng trình
Bài 14: Cho hệ phơng trình



=+
=
1
2
byax
bayx
Giải hệ khi a=3 ; b=-2
a) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = (
)3;2

b) Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm
Bài 15: Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
Giải hệ khi a=
13


a) C/m rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
d)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
e)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
Bài 16:Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax
a)Giải hệ khi a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1
Bài 17:Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên
KQ:( Với m
2

hệ có ng duy nhất: x=y=
2
1
+m
; x=y

Z <=>1

m+2 <=>
Bài 18:Cho hệ phơng trình



=+
=+
4
104
myx
mymx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên dơng
KQ: (m
2
hệ có ng : x=
2
5
;
2
8
+

=
+

m
y
m
m
;
x nguyên dơng<=>x

N<=>
2
8
+

m
m

N<=>
2
10
1
2
10)2(
+
+=
+
++
mm
m


N<=>10

m+2 )
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
7
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 19:Cho hệ phơng trình



+=
=
52
13)1(
myx
mmyxm
a)Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S=x
2
+y
2
đạt giátrị nhỏ nhất (min S=8 khi m=1)
Bài 20:Cho hệ phơng trình



=
=++
2

12)1(
2
mymx
mmyxm
a)Giải hệ khi m=2
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P=xy đạt giá trị lớn nhất (max P=
4
1
khi m=
2
3
)
Bài 21:Cho hệ phơng trình



=
=+
12
2
ymx
myx
a)Giải hệ khi a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0
c)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số dơng
KQ: ( hệ có ng vơi mọi m : x=
2
12
;
2

4
22
+

=
+
+
m
m
y
m
m
; )
Bài 22: Giải các hệ phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
a)







=


+
=


+

3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx

c)





=+
=
1222
32423
yx

yx
(đk x;y

2 ) d)





=+
=

+
+
+

5
2
1
12
12
1
yx
y
x
x
y
(đk
0
12

1
<=>>
+

x
y

e)





=+
=+
05
2
5
yx
x
y
y
x
tơng tự câu c đặt ẩn phụ
t
x
y
=
+


12
1
(t>0) Khi đó
ty
x 1
1
12
=

+

Bài 23: Giải các hệ phơng trình sau ( Dành cho lớp 9A1)
a)





=+
=+
xy
yx
31
31
2
2
( Trừ từng vế đợc pt tích ta có hệ




=+
=+
0)3)((
31
2
yxyx
yx
<=>










=+
=+



=
=+
03
31
0
31
2

2
yx
yx
yx
yx
b)





=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ





=+
=
2
4
2
tu

tu
cộng từng vế và giải đợc u;t
c)



=+
=+
31
1
55
yx
yx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t
2
t-6=0 =>u =
d)



=+
=++
84
19
22
xyyx
xyyx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt k
2
-19k+84=0 => k

1
=7; k
2
=12 <=>



=+
=
7
12
yx
xy

e)



=+
=+
10
4
22
yx
yx
(hay x+y=4 và x.y=3
f)




=+
=
65
18)1)(1(
22
yx
yx
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u; xy=t
g)



=+
=++
6
5
22
xyyx
xyyx
tơng tự câu d h)





=+
=+
6
13
5

x
y
y
x
yx
đk x; y
0
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
8
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 24:a) cho hệ ph /t



=+
=
25
43
22
yx
mymx
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq;

=0=>m=-
4
3
)
b) Cho hệ ph /t






=+
=+
m
x
y
y
x
yx 8
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq: a=2=>(x;y)=(4;4)
Bài 25: Cho hệ ph /t



=+
=+
myx
mxy
2
212
22
Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt .Tìm nghiệm đó
( đa về dạng



=
=

122
1)(
2
mxy
yx
thì xảy ra 2 hệ rồi giải )
Bài 26: Cho hệ ph /t





++=+
+=++
kkxyxyy
yykyxx
22)1(422
484)42(
22
22
Tìm k nguyên để hệ có nghiệm
Biến đổi từng phơng trình về dạng (a

b

c)
2
=A , Hệ có ng <=> A

0

Bài 27: Cho hệ ph /t



=+
=
1
22
yx
myx
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Tìm nghiệm đó m=-
2
; m=
2

V. Sự tơng giao của đồ thị 2 hàm số : y=ax
2
và y=a x+b
Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác định toạ độ điểm
chung đó
Bài 2: Cho Parabol (P): y=
4
1


x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m
a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất
b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khôngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b
Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1)
Bài 4: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M(1,5; -1)
b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau
c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Bài 5; Cho Parabol (P): y=ax
2

a)Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc
b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và song song với AB
Bài 6: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2

và điểm N(m;0) và I(0;2) với m

0 .Vẽ (P)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I
b)C/m rằng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A và B với mọi m

0
c) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam giác HIK vuông tại I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x
2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m

OAB vuông tại A
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d
2
) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x
1
và
x
2

thoả mãn
2
2
2
1
11
xx
+
=11
Bài 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x
2
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
9
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi qua B(-1;1)
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C thuộc (P)ở câu a và
có tung độ là
16
1
d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1
Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m
a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm chung đó
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hoành độ x=-1.Tìm điểm còn lại
c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp trung điểm I của AB
Bài 10: Bài thi năm 05-06 và 06-07
VI. Giải Phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau

1) 1,5x
2
-2,5x -1=0 6)
0324
4
1
2
=++ xx
2) -x
2
+4x+3=0 7)
0347144 =++ xx
3) x
2
-2(1+
3
)x +2
3
+1=0 8)
15 = xx
( Lập bảng xét dấu)
4) x
2
(
06)32 =++ x
9)
x
x
x
x

x
x

+
=
+



1
1
11
1
2

5)
2323 =x
10)
xx
x
+
=
1
1
2
1
2
2
Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x

4
x
2
-6=0
2)
1
1
1
1
+

+

+
x
x
x
x
=3 Đặt
t
x
x
=

+
1
1
(đk x



1)
3) (x
2
+2x)
2
-2(x
2
+2x) -3=0 Đặt (x
2
+2x)=t
4) (x
2
+2x+2)
2
-2(x
2
+2x) -28=0 Đặt (x
2
+2x)=t
5) (x
2
-5x)
2
-30(x
2
-5x) = 216
6) (y-x-2)
2
+ (x+2y)
2

=0 a
2
+b
2
= 0 <=>



=
=
0
0
b
a

7) (x-
)
2
x
2
+x-
x
2
- 2=0 Đặt x-
x
2
=t (đk x

0)
8) (x+

05)
1
(5,4)
1
2
=++
x
x
x
Đặt x+
x
1
=t (đk x

0)
9)
0
2
4
2
1
4
2
222
=
+

+



xx
x
xxx
MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 lu ý ĐKXĐ
10) (x+
2
)
2
1
+6x +11=0 Tách 11=
2
6
+8 rồi Đặt x +
2
1
=t
Bài 3; Giải phơng trình
1)
121
2
= xx
đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế
2) x-4=
2x

3)
121 =+ xx
4)
341 =++ xx


5)
xx =++ 11
đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế
6) x-1=
1+x

7) 3x-4
181 =x

8) x-
1412 =x

9)
2
3
1
1
1
1
=
+



+
x
x
x
x
đặt ẩn phụ ta có pt: t -

t
1
=
2
3
(đk t>0 ; x>1 hoặc x<-1)
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
10
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
10)
121 =+ xx

11)
24
2
= xx
12
513416123
22
=+++ yyxx
(ta có
44)2(316123
22
+=+ xxx
Nên
216123
2
+ xx
;
3134

2
+ yy
10)
5168143 =++++ xxxx
11)
1252
22
=+ xxxx
đặt ẩn phụ
txx =+ 52
2
(
t
0)
12) 3x
2
+2x=1-x+2
xx +
2
đặt
xx +
2
=t (
t
0)
VII. Phơng trình bậc cao (Dành cho lớp 9A1)
Phơng trình a x
3
+bx
2

+cx+d=0
(1)
(a

0)
-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1 nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1 nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng tử tự do , giả sử 3
nghiệm là x
1
;x
2
;x
3
thì x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1
.x
2.
x
3
=-d/a
x

1
.x
2
+x
1
x
3
+ x
2
.x
3
=c/a
Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x
3
+7x
2
+7x+2=0
a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
b) Giải phơng trình x
3
+7x
2
-56 x+48=0
a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
d) Giải phơng trình 2x
3
+5x
2
+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x

3
+ 4x
2
-29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x
2
+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x
4
109x
2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a

0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau )
ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) rồi nhóm các số hạng cách
đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới

-Đặt ẩn phụ : (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x
=t
2
-2 ta đợc phơng trình ẩn t
-giải phơng trình đó ta đợc t = .
- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
Giải phơng trình sau : 10x
4
- 27x
3
- 110x
2
-27x +10=0 (1)
Ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của (1)
chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) ta đợc pt <=>10x
2
-27x 110 -

2
1027
xx
+
= 0
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT
10( x
2
+
)
1
()
1
2
x
x
x
+
) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x
=t

2
-2 thay vào (2) ta có
<=> 10t
2
-27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t
1
=-
2
5
; t
2
=
5
26
+ Với t
1
=-
2
5
(x+
)
1
x
=-
2
5
2x
2
+5x+2=0 có nghiệm là x
1

=-2 ; x
2
=-1/2
+Với ; t
2
=
5
26
(x+
)
1
x
=
5
26
5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ; x
4
=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=









5;
5
1
;2;
2
1
Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0 (1)
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
11
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a

0 e

0) và
2
)(
b
d
a
e
=

;
phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy
Chú ý :Khi
a
e
=1 hay a=e thì d=

b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2


bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)

Nhóm hợp lí a (x
2
+
0)()
2
=+++ c
bx
d
xb
ax
c

-Đổi biến đặt x+
bx
d
=t => x
2
+(
2
2
2) t
b
d
bx
d
=+
do (d/b)
2
=c/a
nên x

2
+ c/ a x
2
=t
2
-2. d/b
Khi đó ta có phơng trình a (t
2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at
2
+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4
8
(


; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy
x=0 không phải là nghiệm của (1)
Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x
2
(x

0)

ta đợc
x
2-
-4x -9 +
2
48
xx
+
=0 (x
2

+
)
4
2
x
- 4( x -
x
2
) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x

2
) =t (3) => .( x
2

+
)
4
2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thành t
2
-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b
m
y
xb

m 2
2
22
2
=
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó
Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x
2
+ (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc )
Ta có phơng trình At
2
+B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2

+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2

Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4
+(x+b)
4
= c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số )
c ách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
12
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Đặt t =x+
2
ba +
=> x+a =t+
2
ba
và x+b=t -
2
ba

Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t
4
+2 (
2
ba +
)
2
t
2
+ 2(

2
ba +
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
áp dụng Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t 2)
4
=626
9t
4
+8t
3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626

t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3
Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at
2
+ bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu
(2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trnh
(1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2

-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3

Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x
3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm
x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta đợc x
1

=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5 ;x
5
=-1
Bài tập VN : Giải các phơng trình sau
1) x
3
- 4x
2
- 29x -24 =0 2) 8x
3
- 20x
2
+28x - 10 =0
3) x
4

- 3x
3
+9x
2
-27 x+81=0 4, x
4
-10x
3
+11x
2
-10x+1=0
5, x
4
+5x
3
-14x
2
-20x +16 =0 6, x
4
+4x
3
-10 x
2
-28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x
2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x
2
nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x
2


và đặt t=x+7/x (đk x

0)
8) 3x
5
-10x
4
+3x
3
+3x
2
-10x+3=0 9) x
5
+2x
4
+3x
3
+3x
2
+2x+1=0
10) 6x
5
-29x
4
+27x
3
+27x
2
-29x+6=0 11) x

5
+4x
4
+3x
3
+3x
2
-4x+1=0
12) (x
2
-8x+7)(x
2
-8x+15)=20
13) (x
2
-3 x+1) (x
2
+3x+2) (x
2
-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x
2
-3 x+1) (x
2
-3x-4) (x
2
-3x-10)=-30
14) 3(x
2
+x) -2(x
2

+x ) -1=0 15) (x
2
-4x+2)
2
+4x
2
-4x-4=0
VIII. Định lí Vi et - dấu của nghiệm phơng trình a x
2
+bx+c=0 (a

0)
*Định lí Vi et: Nếu p/t (1) có 2 ng x
1
; x
2
thì S=x
1
+ x
2
=
a
b
và P=x
1
x
2
=
a
c


*Nếu tồn tại 2 số u và v sao cho S= u

+ v = và P= u.v thì u và v là 2 ng p/t

đk:s
2
-4p>0
*Dấu của nghiệm:
1. Phơng trình (1) có nghiệm/ kép

(a

0) ;

=0 2.Phơng trình (1) có 2 ng p/b

(a

0);

>0
3. Phơng trình (1) có 2 ng trái dấu

a.c<0
4.Phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau:


(a


0) ; S = x
1
+ x
2
=0 (b=0)
5. Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất




=
=
0;0*
0*
a
a
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
13
(1)
X
2
- S X + P=0
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
6.Phơng trình (1) có2 nghiệm đều dơng







>
>

0
0
0;0
S
P
a
7.Phơng trình (1) có 2 nghiệm đều âm







>
<

0
0
0;0
S
P
a
GIảI và biện luân PHơng TRình BC HAI ( chứa tham số) Loại toán suy luậN
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình: ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:

Bài 1: Giải phơng trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải

= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nếu

< 0 1- k < 0 k > 1 phơng trình vô nghiệm
Nếu

= 0 1- k = 0 k = 1 phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=1
Nếu

> 0 1- k > 0 k < 1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
= 1-
k1
; x
2
= 1+
k1
Kết luận: Nếu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1

Nếu k < 1 thì phơng trình có nghiệm x
1
= 1-
k1
; x
2
= 1+
k1

Bài 2: Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy
nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m

1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm


= 3m-2 0 m
3

2
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
3
2
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m

1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

= 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy
nhất

= 3m-2 = 0 m =
3
2
(thoả mãn m

1) Khi đó x = = 3
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
; với m =
3
2
thì phơng trình có nghiệm
duy nhất x = 3

c) Do phơng trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có: (m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
4
3
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
14
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm
bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) >
0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c
< 0
7. Hai nghiệm d ơng(lớn hơn 0) 0; S > 0
và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11 .Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đốilớn
hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm d ơng có giá trị tuyệt đối
lớn hơn
a.c < 0 và S > 0 (ở đó: S = x
1

+ x
2
= ; P = x
1
.x
2
= )
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1



0)Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2
==



=


x
m
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)x 3 m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m b) Tìm m để phơng trình có hai
nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trthoả mãn x
1
2
+x
2
2


10.

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
Giải
a) Ta có:

= (m-1)
2
( 3 m ) =
4
15
2
1
2
+






m
Do
0
2

1
2







m
với mọi m;
0
4
15
>
> 0
với mọi m
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Ph trình có 2 nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
d) Theo ý a) ta có ph tr luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P =
x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A=x

1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
6m + 10
Theo bài A 10 4m
2
6m 0 2m(2m-3) 0



















































0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m

m
m
m
m
m
Vậy m
2
3
hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



=
=+




+=
=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21

21
mxx
mxx
mxx
mxx
x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 không phụ
thuộc m
Bài tập
Bi 1: Cho ph.t: x
2
2mx + m + 2 = 0. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú mt nghim x
1
= 2.
Tỡm nghim x
2
.
Bi 2: Cho phng trỡnh x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
= 0 (1)
a) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit

b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit v trong 2 nghim ú cú 1
nghim bng 2
HD: a) PT (1) cú hai nghim phõn bit
1
m
2
>
b) m = 0 hoc m = 4
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
15
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
3
3
1
0)3(
0)1(2
<




<
<




>+
<

m
m
m
m
m
Vậy m <
-3
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bi 3: Cho phng trỡnh
2
x 3x 5 0+ =
v gi hai nghim ca phng trỡnh l x
1
, x
2
. Khụng
gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: a)
1 2
1 1
x x
+

b)
2 2
1 2
x x+
c)
2 2
1 2
1 1
x x
+
d)
3 3
1 2
x x+
HD: a cỏc biu thc v dng x
1
+ x
2
v x
1
x
2
ri s dng h thc Viột
Bi 4: Cho phng trỡnh (m + 1)x
2
2(m 1)x + m 3 = 0 (1)
a) Chng minh rng m 1 phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit
b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim cựng du
HD: a) Chng minh ' > 0 b) Phng trỡnh (1) cú hai nghim cựng du m < 1 hoc
m > 3

Bi 5: Cho phng trỡnh x
2
2(m + 1)x + m 4 = 0 (1)
a) Gii phng trỡnh (1) khi m = 1
b) Chng minh rng phng trỡnh (1) luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m
c) gi x
1
, x
2
l 2 nghim ca phng trỡnh (1). Chng minh A = x
1
(1 x
2
) + x
2
(1 x
1
) khụng ph
thuc vo giỏ tr ca m
HD: a) Khi m = 1: PT cú 2 nghim
x 2 2 7=
;b) A = 2(m + 1) 2(m 4) = 10 A khụng ph
thuc vo m
Bi 6: Gi x
1
, x
2
l cỏc nghim ca phng trỡnh x
2
2(m 1)x + m 3 = 0

a) Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc P = (x
1
)
2
+ (x
2
)
2
theo m b) Tỡm m
P nh nht
HD: a) P = (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 4(m 1)
2
2(m 3) = 4m
2
10m + 10
c) P =
2
15 15
(2m 5)
4 4

+
. Du "=" xy ra
5
m
2
=
Bi 7: Cho phng trỡnh x
2
6x + m = 0 (m l tham s) (1)
a) Gii phng trỡnh (1) vi m = 5
b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit x
1
v x
2
tha món 3x
1
+ 2x
2
= 20
HD: a) Vi m = 5 x
1
= 1, x
2
= 5 b) ỏp s: m = 16 (x
1
= 8, x
2
= 2)
Bi 8: Cho phng trỡnh x
2

4x + k = 0
a) Gii phng trỡnh vi k = 3 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng k phng trỡnh cú hai nghim
phõn bit
HD: a) Vi m = 3: x
1
= 1, x
2
= 3 b) ' = 4 k > 0 k < 4. S: k {1 ; 2 ; 3}
Bi 9: Cho phng trỡnh : x
2
(m + 5)x m + 6 = 0 (1)
a) Gii phng trỡnh vi m = 1. b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú mt
nghim x = 2.
HD: a) S: x
1
= 1, x
2
= 5 b) S: m = 20
Bi 10: Cho phng trỡnh: (m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0. (*)
1) Gii phng trỡnh (*) khi m = 1. 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (*) cú hai
nghim phõn bit.
2) HD: a) Khi m = 1:
1
x
2
=
b) S:
2

m , m 1
3
>
.
Bài 11: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
a) x
1
=1/2 và x
2
=2 b) x
1
=2+
3
và x
2
=2-
3
c) 1/x
1
và 1/x
2

Bài 2: Cho phơng trình (m
2
-5m+3)x
2
+(3m-1)x -2 =0
(1
)


a) Giải phơng trình khi m=2
b) Tìm m để phơng trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm còn lại (thay x=1
Bài 3: Cho phơng trình x
2
+(2m+1) x +m
2
+3m =0
(1)
( m là tham số)
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
16
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm mà tích 2 nghiệm bằng 4 .Tìm 2 nghiệm đó
Bài 4: Cho phơng trình x
2
+(2m-5) x +3n =0
(1
)
Tìm m và n để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
=2; x
2
=-3
Bài 5: a) Tìm m để phơng trình x
2
- x +2m-2 =0
(1)
có 2 nghiệm dơng
b) Tìm m để phơng trình 4x
2

+2x +m-1 =0
(1)
có 2 nghiệm âm
c) Tìm m để phơng trình m
2
x
2
+2mx -2 =0
(1)
có 2 nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình x
2
-2(m+1)x +m-4=0
(1)
( m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=2
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
d) Chứng minh rằng biểu thức M=x
1
(1-x
2
)+(1-x
1
) x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 7: Cho phơng trình x
2
- (m- 1)x m

2
+m-2 =0
(1)
( m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=-1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho S=x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 8: Cho phơng trình x
2
- (m +2)x +m+1 =0
(1)
( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau
Bài 9: Cho phơng trình x
2
- (m +1)x +m =0
(1)
( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x
1
;x
2

tính S=x
1
2
+x
2
2
theo m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho x
1
2
+x
2
2
=5
Bài 20: Cho phơng trình x
2
2mx +2m-1 =0
(1)
( m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có nghiệm x
1
;x
2
với mọi m
b) Gọi A=2(x
1
2
+x
2
2

)-5 x
1
.x
2
.; b
1
)

c/m rằng A=8m
2
-18m +9 ; b
2
)Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
Bài 21: Cho phơng trình 2x
2
(2m+1)x +m
2
-9m +39 =0
(1)
( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia .Tìm các nghiệm đó
Bài 22: Cho phơng trình (m-1)x
2
+2(m-1)x -m =0
(1
)
( m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đều âm
Bài 13: Cho phơng trình x
2
- 2(m-1)x -3 -m =0
(1)
( m là tham số)
a)Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho x
1
2
+x
2
2


10
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho E=x
1
2
+ x
2
2

đạt GTNN
Bài 14: Cho phơng trình x
2
(2m+1)x +m
2
+m -6 =0
(1)
( m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đều âm
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho / x
1
3
- x
2
3
/ =50
a) (1) có 2 nghiệm đều âm t/m:

=25

0 với

m ; x
1
x
2
=(m-2)(m+3) >0 ; x
1
+x
2

=2m+1< 0 Kq:m<-
3b tính x
1
=m-2 ;x
2
=m+3 theo công thức ng =>/ x
1
3
- x
2
3
/ =50 <=>
33
)3()2( + mm
=50=>m=
2
51
Bài 15: Cho phơng trình x
2
-6x +m =0
(1)
( m là tham số)
a)Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt
b)Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho x
1
3
+ x
2
3
=72

(Với


0 <=> m

9 ta có x
1
3
+ x
2
3
=72 < => (x
1

+ x
2
)
3
-3x
1
x
2
(x
1

+ x
2
)<=>6
3
-3.m.6=72 =>m=8(t/m)

Bài 16: Cho phơng trình x
2
(m-1)x m
2
+m-2=0
(1)
( m là tham số)
a)Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 17: Cho phơng trình x
2
2(m+1)x +2m+10 =0
(1)
( m là tham số)
Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x
1
;x
2
. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao
cho E=x
1
2
+ x
2

2
+10 x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 18: Cho phơng trình x
2
(m-1)x +1=0
(1)
( m là tham số)
Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x
1
;x
2
. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao
cho M=3x
1
2
+ 3x
2
2
+5 x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm nghiệm trong trờng hợp M đạt GTNN
Bài 19: Cho phơng trình x
2
2(m-1)x m

2
-3m+4=0
(1
)
( m là tham số)
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
17
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho
1
1
x
+
2
1
x
=1
b) Lập một biểu thức giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phơng trình 2x
2
+(2m-1)x +m-1=0
(1

)
( m là tham số)
a)C/m rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho -1<x
1
<x
2
<1
c) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
Lập một biểu thức giữa x
1
và x
2
mà

m
Bài 21: Cho phơng trình : x
2
+ (m-1)x+m
2
=0 (1) ; -x
2
-2mxx+m=0 (2)

C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho phải có nghiệm
( Xét

1
+

2

0 với mọi m . Thì phải có ít nhất 1 trong 2 biểu thức

1

0 hoặc

2


0 => đpcm)
Bài 22: Cho 2 phơng trình : x
2
a
1
x+b
1
=0 (1) ; x
2
a
2
x+b
2

=0 (2)
Cho biết a
1
.a
2


2(b
1
+b
2
) . C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho có nghiệm


1
+

2
= a
1
2
+a
2
2
-4(b
1
+b
2
)



a
1
2
+a
2
2
-2a
1
a
2
= (a
1
-a
2
)
2

0 với mọi m Thì phải có ít nhất

1

0hoặc

2

0=> đpcm
Bài 23: Cho 3 phơng trình : ax
2
+ 2bx+c=0 (1) ; bx

2
+2cx+a=0 (2) ; cx
2
+2ax+b=0 (3)
Cho biết a

;b;c

0 . C/m rằng ít nhất một trong 3 phơng trình đã cho có nghiệm


1
+

2
+

3
= =1/2
( ) ( ) ( )
[ ]
0
222
+ accbba
=> có ít nhất 1 trong 3 biểu thức

1


0hoặc


2


0
Bài 24: Cho phơng trình : ax
2
+ bx+c=0 (1) và cx
2
+ bx+a=0 (2) trong đó a; c>0
a) Chứng minh rằng 2 phơng trình cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x
1
;x
2
và (2) có 2 nghiệm x
3
;x
4
.Chứng minh rằng x
1
x
2
+x
3
.x
4

2
c) Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm. C/m rằng a+c>b

+Vì a;c>0 nên (1) và (2) đều là bậc 2 và có chung

=b
2
-4ac => đpcm
+áp dụng Viét x
1
x
2
=
a
c
; x
3
x
4
=
c
a
vì a;c>0 nên x
1
x
2
+x
3
x
4
=
a
c

+
c
a

2 (đã c/m ở bđt )
+(1) vô ng <=>

=b
2
-4ac<0 <=>b
2
<4ac<(a+c)
2
mà a+c>0 nên b

/b/<a+c
Bài 25: Cho phơng trình : x
2
+ mx+n=0 (1)
a) Giải phơng trình khi m=-(3+
3
) n=3
3
(kq:

=(3-
3
)
2
>0)

b)Tìm m;n để (1) có 2 nghiệm là x
1
=-2; x
2
=1
c) C/m rằng (1) có 2 ng/ dơng x
1
;x
2
thì ph/tr: n x
2
+mx+1=0 (2) cũng có 2 ng/ dơng x
3
;x
4
x
1
x
2
=m/n ; x
3
x
4
=n/ m nên (1) có 2 ng trái dấu thì (2) có 2 ng trái dấu
Vì x
1
là ng của (1) <=> x
1
2
+ mx

1
+n=0 <=>
01
2
1
1
=++
x
n
x
m
(vì x
1
>0 nên chia cảe 2 vế cho x
1
2
)
Hay x
3
=
1
1
x
là ng dơng của (2). T.tự x
4
=
2
1
x
là ng dơng của (2) (vì x

1
;x
2
>0 nên
1
1
x
và
2
1
x
>0 ) là đpcm
Bài 26; Cho phơng trình (m-1)x
2
2(m+1)x +m=0
(1
)
( m là tham số)
a) Giải và biện luận nghiệm phơng trình (1) theo m
b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
.Hãy tìm 1 hệ thức giữa x
1
và x
2
mà

m

c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho /x
1

-x
2
/

2
d) a)m=1=>thì (1) có ng c) /x
1

-x
2
/

2<=> (x
1
-x
2
)
2

4
e) m

1 khi đó


=3m+1 <=>(x
1
+x
2
)
2
- 4 x
1
x
2


4
+) nếu m<-1/3 thì (1) Vô ng <=>
+) nếu m=-1/3 thì (1) có ng kép ; +) nếu m>-1/3 thì (1) có 2 ng
Bài 27; Cho phơng trình x
2
2mx m
2
-1=0
(1
)
( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
.Hãy tìm 1 hệ thức giữa x

1
và x
2
mà

m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho
2
1
x
x
+
1
2
x
x
=
2
5
Bài 28; Cho phơng trình x
2
ax
2
1
a
=0

(1
)
Tìm min P=x
1
4
+x
2
4
( min P=2
2
+4 <=> a
8
=2)
Bài 29; Cho phơng trình x
2
mx +m1=0
(1
)
( m là tham số)
Phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
;x
2
với mọi m .Tìm max Q=
)1(2
32
21
2
2
2

1
21
xxxx
xx
+++
+

Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
18
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 30; Cho phơng trình x
2
ax
2
2
1
a
=0
(1
)
( a là tham số)
C/m rằngx
1
4
+x
2
4
22 +
dấu (=) xảy ra khi nào? ( dấu đẳng thức xảy ra a
4

=
4
2
1
a
<=>a
8
=
2
1
từ đó tính x
1
;x
2

Bài 31: Cho phơng trình x
2
+ 2(a+3)x +4(a+3)=0
(1
)
(a tham số)
a) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm a để (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1
Đặt x=t-1 ; (1) <=> t
2
+2(a+2)t+2a+7=0 (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1<=>






>+=+
>+=
>
0)2(2
072
0'
21
21
att
att
<=>
-7/2<a<-3
Bài 32: Cho phơng trình bậc ba :x
3
- (2m-1)x
2
+ (m
2
-3m-2)x +2m
2
+2 m=0
(1
)
(m tham số)
a)C/m rằng phơng trình (1) có nghiệm x=-2 với mọi m
b)Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm ; c) Tìm m để (1) có 3 ng sao cho x
1
2
+x

2
2
+x
3
2
đạtGTNN

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Dạng 1: Toán chuyển động
Bài 1:Một ô tô đi từ A->B dài 120 km trong một thời gian dự định . Sau khi đi đợc nửa quãng đ-
ờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút . Tính vận tốc dự định
S (km) v (km/h) t (h)
Cả quãng đờng AB 120 x (đk: x>0) 120/x
Nửa quãng đờng đầu 60
Nửa quãng đờng sau 60
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 2:Một ôtô đi từ A-B dài 250 km với một vận tốc dự định.Thực tế xe đi hết quãng đờng với vận
tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính v dự định
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình là 30km/h . Sau khi đi đợc
nửa quãng đờng ngơi đó nghỉ 20 phút rồi đi tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25
km/h. Tính S
AB
. Biết ngời đó đến B lúc 12 giờ 50 phút
Bài 4:Một ô tô đi từ A->B trong một thời gian dự định ,nếu đi với vận tốc trung bình là 35km/h thì
đến B chậm 2 giờ,nếu đi với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm 1 giờ Tính S
AB
và thời
gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)

quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi 1 x 35
Thay đổi 2 x 50

35
x
- 2 =
50
x
+1 Kq: 8 giờ ; 350 km
Bài 5:Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A .Sau 5h 20 phút Một chiếc ca nô cũng khởi hành từ
bến A đuổi theo và gặp thuyền cách A 20km Tính vận tốc của thuyền

. Biết vận tốc của ca nô

lớn
hơn vận tốc của thuyền

12km/h.
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thuyền 20 x (đk: x>0)
Ca nô

20 x+12
Kq: v thuyền :3 km/h
Bài 6:Hai chiếc ca nô cùng khởi hành từ 2 bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau và
gặp nhau sau 1 giờ 40 phút . vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9km/h
Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô

Biết vận tốc của dòng là 3km/h.

Vận tốc riêng V xuôi dòng V ngợc dòng t (h) S (km)
Ca nô 1
x X+3 5/3
Ca nô 2 y y-3 5/3
Bài 7 :Một ngời đi xe máy và một ngời đi xe đạp cùng đi từ A->B dài 57km . Ngời đi xe máy sau
khi đến B nghỉ 20 phút rồi quay về A gặp ngời đi xe đạp cách B 24 km . Tính vận tốc của mỗi ng-
ời. Biết vận tốc ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 36km/h
S (km) v (km/h) t (A->gặp nhau)
Xe đạp 57-24=33 x (đk: x>0) 33/ x
Xe máy

57+24=81
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
19
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 8 :Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h . khi từ B vềA ngời đó chọn
con đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nên thời
gian về ít hơn lúc đi là 20 phút .Tính S
AB
lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: S
AB
=30km)
Bài 9:Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B với vận tốc 30 km/h rồi từ B quay về A. Biết rằng
thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc dòng là 40 phút Tính S
AB
.Biết vận tốc của dòng là
3km/h và vận tốc thật không đổi
Bài 10 :Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 12km/h Sau khi đi đợc 1/3 quãng xe
bị hỏng ngời đó ngồi chờ ôtô mất 20 phút và đi ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm hơn dự
định 1h20phút Tính S

AB
Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: S
AB
= 45km
Bài 11 :Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B dài 120 km rồi từ B quay về A mất tổng cộng 11
giờ Tính vận tốc của ca nô.Biết vận tốc của dòng là 2km/h và vận tốc thật không đổi
Bài 12 :Một chiếc ca nô chạy trên sông 7h , xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km .Một lần khác
ca nô cũng chạy trong7h ,xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km.Tính vận tốc của dòng nớc chảy
và vận tốc riêng của ca nô. (Có thể chọn 2 ẩn Kq: vận tổc riêng x=24km/h ;vận tốc dòng y=3km/h
Bài 13:Lúc 7h30 phút một ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết quãng
đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của ôtô
trên quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h
Dạng 2: Toán có nội dung hình học
Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m .Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn (thuộc đất của v-
ờn) rộng 2m ,diện tích còn lại là 4256m
2
.Tính các kích thớc của vờn (rộng x=60m, dài =80m
Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi15m thì ta đợc
hcn mới có diện tích = diện tích hcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho
(rộng x=15m, dài =30m)
Bài 3:Một hcn .Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m
2
. Nếu cùng
giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m
2
.Tính diện tích thửa rộng đó
(Kq:22m;14m)
Bài 4:Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m
2
, Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng , biết

rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích không đổi (cạnh đáy x=36m)
Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi là 30m , cạnh huyền là 13m .Tính các cạnh góc vuông của
tam giác
Dạng 3: Toán có nội dung số học, phần trăm
Bài 1:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng tổng 2 chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và
thêm 25 vào tích của 2 chữ số đó sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho
Có thể chọn 2 ẩn Kq:só đó là 54
Bài 2 :Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng :Khi chia số đó cho tổng 2 chữ số của nó thì
đợc thơng là 6 và d 11.Khi chia số đó cho tích 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 2 và d 5,
Có thể chọn 2 ẩn Kq: só đó là 95
Bài 3: Tìm 2 số biết rằng tổng của chúng là 17 và tổng lập phơng của chúng bằng 1241
Có thể chọn 2 ẩn Kq: 2 só đó là 9 và 8
Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì đ-
ợc thơng là 3 và d 125 (số lớn x; số nhỏ y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125)
Bài 5 :Cho một số tự nhiên có 2 chữ số .Nếu đổi chỗ 2 chữ số thì đợc số mới lớn hơn số đã cho là
36 .Tổng của số đã cho và số mới là 110 .Tìm số đã cho ( số đó là 37)
Bài 6 :Dân số một khu phố trong 2 năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời .Hỏi trung bình hàng
năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng là x % Kq:4%)
Bài 7 :Hai lớp 9A và 9B gồm 105 hs; lớp 9A có 44 hs tiên tiến ,lớp 9B có 45 hs tiên tiến, biết tỉ lệ
học sinh tiên tiến 9A thấp hơn 9B là 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến của mỗi lớp ,và mỗi lớp có
bao nhiêu học sinh
Gọi x % là tỉ lệ học sinh tiên tiến của lớp 9A -> 9B là (x+10)% ta có pt: 4400/x +4500/x =105
Kq:80 % và 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs
Bài 8:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vợt mức 15%, tổ IIvợt
mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính xem trong
tháng đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy
Bài 9 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ .Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất
nên xí nghiệp I đã vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II đã vợt mức 10% kế hoạch ,do đó cả 2 đã
làm đợc 400 dụg cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoạch và thực tế làm?
IX. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
20
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Dạng 1: Toán chuyển động
Bài 1:Một ô tô đi từ A->B dài 120 km trong một thời gian dự định . Sau khi đi đợc nửa quãng đ-
ờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút . Tính vận tốc dự định
S (km) v (km/h) t (h)
Cả quãng đờng AB 120 x (đk: x>0) 120/x
Nửa quãng đờng đầu 60
Nửa quãng đờng sau 60
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 2:Một ôtô đi từ A-B dài 250 km với một vận tốc dự định.Thực tế xe đi hết quãng đờng với vận
tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính vận tốc dự định
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
S (km) v (km/h) t
Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình là 30km/h . Sau khi đi đợc
nửa quãng đờng ngơi đó nghỉ 20 phút rồi đi tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25
km/h. Tính S
AB
. Biết ngời đó đến B lúc 12 giờ 50 phút
S (km) v (km/h) t
Bài 4:Một ô tô đi từ A->B trong một thời gian dự định ,nếu đi với vận tốc trung bình là 35km/h thì
đến B chậm 2 giờ,nếu đi với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm 1 giờ Tính S
AB
và thời
gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)
Quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi 1 x 35
Thay đổi 2 x 50

Kq: 8 giờ ; 350 km
Bài 5:Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A .Sau 5h 20 phút Một chiếc ca nô cũng khởi hành từ
bến A đuổi theo và gặp thuyền cách A 20km Tính vận tốc của thuyền

. Biết vận tốc của ca nô

lớn
hơn vận tốc của thuyền

12km/h.
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thuyền 20 x (đk: x>0)
Ca nô 20 x+12
Bài 6:Hai chiếc ca nô cùng khởi hành từ 2 bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau và
gặp nhau sau 1 giờ 40 phút . vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9km/h
Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô

Biết vận tốc của dòng là 3km/h.
Vận tốc riêng V xuôi dòng V ngợc dòng t (h) S (km)
Ca nô 1
x x+3 5/3
Ca nô 2 y y-3 5/3
Bài 7 :Một ngời đi xe máy và một ngời đi xe đạp cùng đi từ A->B dài 57km . Ngời đi xe máy sau
khi đến B nghỉ 20 phút rồi quay về A gặp ngời đi xe đạp cách B 24 km . Tính vận tốc của mỗi ng-
ời. Biết vận tốc ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 36km/h
S (km) v (km/h) t (A->gặp nhau)
Xe đạp 57-24=33 x (đk: x>0) 33/ x
Xe máy 57+24=81
Bài 8 :Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h . khi từ B vềA ngời đó chọn
con đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nên thời

gian về ít hơn lúc đi là 20 phút .Tính S
AB
lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: S
AB
=30km)
S (km) v (km/h) t
Bài 9 :Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 12km/h Sau khi đi đợc 1/3 quãng
xe bị hỏng ngời đó ngồi chờ ôtô mất 20 phút và đi ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm hơn dự
định 1h20phút Tính S
AB
Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: S
AB
= 45km
Bài 10 :Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B dài 120 km rồi từ B quay về A mất tổng cộng 11
giờ Tính vận tốc của ca nô.Biết vận tốc của dòng là 2km/h và vận tốc thật không đổi
S (km) v (km/h) t
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
21
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 11 :Một chiếc ca nô chạy trên sông 7h , xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km .Một lần khác
ca nô cũng chạy trong 7h ,xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km.Tính vận tốc của dòng nớc chảy
và vận tốc riêng của ca nô. (Có thể chọn 2 ẩn Kq: vận tổc riêng x=24km/h ;vận tốc dòng y=3km/h
S (km) v (km/h) t
Bài 12:Lúc 7h30 phút một ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết quãng
đờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của ôtô
trên quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h
S (km) v (km/h) t
Dạng 2: Toán có nội dung hình học
Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m . ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của v-
ờn ) rộng 2m , S còn lại là 4256m

2
.Tính các kích thớc của vờn (rộng x=60m, dài =80m)
Rộng Dài S
Lúc đầu
Lúc sau
Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi15m thì ta đợc
hcn mới có diện tích = Shcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho (rộng x=15m, dài =30m)
Rộng Dài S
Lúc đầu
Lúc sau
Bài 3:Một hcn .Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m
2
. Nếu cùng
giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m
2
.Tính diện tích thửa rộng đó
(Kq:22m;14m)
Rộng Dài S
Lúc đầu
Lúc sau
Bài 4:Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m
2
, Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng , biết
rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích không đổi (cạnh đáy x=36m)
Rộng Dài S
Lúc đầu
Lúc sau
Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi là 30m , cạnh huyền là 13m .Tính các cạnh góc vuông của
tam giác
Dạng 3: Toán có nội dung số học- phần trăm

Bài 1:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng tổng 2 chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và
thêm 25 vào tích của 2 chữ số đó sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho
Có thể chọn 2 ẩn Kq:só đó là 54
Bài 2 :Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng :Khi chia số đó cho tổng 2 chữ số của nó thì
đợc thơng là 6 và d 11.Khi chia số đó cho tích 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 2 và d 5,
Có thể chọn 2 ẩn Kq: só đó là 95
Bài 3: Tìm 2 số biết rằng tổng của chúng là 17 và tổng lập phơng của chúng bằng 1241
Có thể chọn 2 ẩn Kq: 2 só đó là 9 và 8
Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì đ-
ợc thơng là 3 và d 125 (số lớn x; số nhỏ y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125)
Bài 5 :Cho một số tự nhiên có 2 chữ số .Nếu đổi chỗ 2 chữ số thì đợc số mới lớn hơn số đã cho là
36 .Tổng của số đã cho và số mới là 110 .Tìm số đã cho ( số đó là 37)
Bài 6 :Dân số một khu phố trong 2 năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời .Hỏi trung bình hàng
năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng là x % Kq:4%
Bài 7 :Hai lớp 9A và 9B gồm 105 hs; lớp 9A có 44 hs tiên tiến ,lớp 9B có 45 hs tiên tiến, biết tỉ lệ
học sinh tiên tiến 9A thấp hơn 9B là 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến của mỗi lớp ,và mỗi lớp có
bao nhiêu học sinh
Gọi x % là tỉ lệ học sinh tiên tiến của lớp 9A -> 9B là (x+10)% ta có pt: 4400/x +4500/x =105
Kq:80 % và 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs
Bài 8:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vợt mức 15%, tổ II v-
ợt mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính xem trong
tháng đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
22
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Bài 9 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ .Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất
nên xí nghiệp I đã vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II đã vợt mức 10% kế hoạch ,do đó cả 2 đã
làm đợc 400 dụng cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoạch và thực tế làm
Dạng 4: Toán có nội dung công việc-năng xuất phân chia sắp xếp
Bài 1:Hai công nhân nếu cùng làm chung thì hoàn thành 1 công việc trong 4 ngày .Nếu làm riêng

thì ngời thứ nhất làm hoàn thành công việc ít hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi ngời làm hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?.
Bài 2; 2 đội công nhân làm chung 1 công việc d định xong trong 12 ngày .họ làm chung với nhau
8 ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành phần việc
còn lại trong 3 ngày rỡi .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu thì xong công
việc trên?
Lúc đầu
Lúc sau

Bài 3: 2 công nhân làm chung1công việc thì hoàn thành trong 4 ngày.Khi làm ngời thứ nhất làm
một nửa công việc , sau đó ngời thứ hai làm tiếp nửa còn lại thì toàn bộ công việc hoàn thành
trong 9 ngày .Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời làm hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?.
Một mình ng T
1
làm x(ngày) xong -> 1/2 c.v là x/2 (ng)
Tg ng T
2
làm cv trong 9- x/2(ng) -> cả cv là 2(9-x/2)=18-x (ng)
Phơng tr: 1/x -1/18-x =1/4
Bài 4: Một phân xởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm .Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện
đợc đúng kế hoạch , những ngày còn lại họ đã dệt vợt mức mỗi ngày 10 tấm ,nên đã hoàn thành
kế hoạch trớc kế hoạch 2 ngày .Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xởng phải dệt bao nhiêu tấm?
3000/x =(3000-8x):(x+10) +2+8
Số thảm Số thảm dệt /ngày Sỗ ngày dệt
Kế hoạch 3000 x 3000/x
8 ngày đầu 8x x 8
Những ngày còn lại

3000-8x x+10 (3000-8x):(x+10)
Bài 5: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nhgiệp . Khi

làm do tổ chức quản lí tốt nên mỗi ngày họ đã làm đợc nhiều hơn dự định 1 máy;Vì thế tổ đã
hoàn thành trớc thời hạn 4 ngày .Hỏi số máy dự định sản xuất trong mỗi ngày là bao nhiêu ?
Số máy /ngày Số máy Số tấn hàng /1xe
Dự định x 360 360/x
Thực tế

x+1 360 360/ (x+1)
Bài 6:: Một đoàn xe vận tải dự định chở 180 tấn hàng từ cảng về nhà kho .Khi sắp bắt đầu chở thì
đợc bổ xung thêm 2 xe nữa ,nên mỗi xe chở ít đi 0,5 tấn hàng .Hỏi đoàn xe lúc đầu có bao nhiêu
chiếc ?
Số xe Số hàng(tấn) Số tấn hàng /1xe
Lúc đầu x 180 180/x
Lúc sau

x+2 180 180/ (x+2)
Bài 7Một đoàn xe chở 30 tấn hàng từ cảng về nhà kho .Khi sắp bắt đầu chở thì một xe bị hỏng
,nên mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng và cả đoàn còn chở vợt mức dự định 10 tấn .Hỏi đoàn xe lúc
đầu có bao nhiêu chiếc ?
Số xe Số hàng(tấn) Số tấn hàng /1xe
Lúc đầu x 180 180/x
Lúc sau

x-1 180+10=190 190/ (x-1)
Bài 8: Trong 1 phòng có 70 ngời dự họp đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế .Nếu bớt đi 2 dãy
thì mỗi dãy còn lại phải xếp thêm 4 ngời thì mới đủ chỗ ngồi .Hỏi lúc đầu phòng họp có mấy dãy
ghế và mỗi dãy xếp đợc bao nhiêu ngời?
Số dãy Số ngời Số ngời /1dãy
Lúc đầu
Lúc sau


Bài 9:Trong 1buổi liên hoan văn nghệ , phòng họp chỉ có 320 chỗ ngồi, nhng số ngời tới dự hôm
đó có tới 420 ngời .Do đó phải thu xếp để mỗi dãy ghế thêm đợc 4 ngời ngồi và phải đặt thêm 1
dãy ghế nữa mới đủ .Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu ghế ?
Số dãy Số ngời Số ngời /1dãy
Lúc đầu x 320 320/x
Lúc sau

x+1 420 420/ (x+1)
PHN II: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH (4 tit)
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
23
¤n thi vµo 10 - N¨m Häc :2008-2009
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ
20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời
gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0).
Ta có phương trình:
x x 1 5
5
30 25 3 6
+ + =
. Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với
vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận
tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính
quãng đường AB.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
Ta có phương trình:
x x x
60 : 40 60 : 50 1

2 2 40
   
− + + = −
 ÷  ÷
   
. Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận
tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
80 80 1
8
x 4 x 4 3
+ =
+ −
. Giải ra ta được:
1
4
x
5
= −
(loại), x
2
= 20 (km)
Bài 4: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc
20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục
chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình:
x x 2

20 24 3
− =
. Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được
24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi
nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
Ta có phương trình:
24 16
2
x 4 x 4
+ =
+ −
. Giải ra ta được x
1
= 0 (loại), x
2
= 20 (km/h)
Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một
người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc
xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
50 50
(1,5 1)
x 2,5x
= + +
. Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm
vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được

của mỗi xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)
Ta có phương trình:
100 100 5
x 2 x 2
− =
−
. Giải ra ta được: x
1
= −8 (loại), x
2
= 10 (thỏa mãn)
Bài 8: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc
của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng
bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng
2
5
diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)
Gi¸o viªn : Lª Ng« Trung – Trêng THCS Phîng S¬n, Lôc Ng¹n
24
Ôn thi vào 10 - Năm Học :2008-2009
Ta cú phng trỡnh:
2
2
4x (24 2x)(18 2x)
5
=
. Gii ra ta c: x
1

= 18 (loi), x
2
= 4 (tha)
Bi 9: Cho mt s cú hai ch s. Tỡm s ú, bit rng tng hai ch s ca nú nh hn s ú 6 ln,
nu thờm 25 vo tớch ca hai ch s ú s c mt s vit theo th t ngc li vi s ó cho
HD: Gi s phi tỡm l
xy
(0 < x, y 9 v x, y Z)
Ta cú h:
6(x y) 10x y x 5
xy 25 10y x y 4
+ = + =



+ = + =

. Vy s phi tỡm l 54
Bi 10: Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau 1 gi 20 phỳt b y. Nu m vũi th nht
chy trong 10 phỳt v vũi th hai trong 12 phỳt thỡ y
2
5
b. Hi nu mi vũi chy mt mỡnh thỡ
phi bao lõu mi y b.
HD: Gi thi gian chy mt mỡnh y b ca vũi I, II ln lt l x, y phỳt (x, y > 80)
Ta cú h:
80 80
1
x 120
x y

10 12 2 y 240
x y 15

+ =

=




=


+ =


Bi 11: Hai ngi th cựng lm mt cụng vic trong 16gi thỡ xong. Nu ngi th nht lm
3gi v ngi th hai lm 6gi thỡ h lm c 25% cụng vic. Hi mi ngi lm cụng vic ú
mt mỡnh thỡ trong bao lõu s hon thnh cụng vic.
HD: Gi x, y (gi) l thi gian ngi th nht, hai lm mt mỡnh xong cụng vic (x > 0, y > 16)
Ta cú h:
16 16
1
x 24
x y
3 6 1 y 48
x y 4

+ =


=




=


+ =


(tha món iu kin u bi)
Bi 12: Mt phũng hp cú 360 gh ngi c xp thnh tng dóy v s gh ca mi dóy u
bng nhau. Nu s dóy tng thờm 1 v s gh ca mi dóy cng tng thờm 1 thỡ trong phũng cú
400 gh. Hi trong phũng hp cú bao nhiờu dóy gh v mi dóy cú bao nhiờu gh?
HD: Gi s dóy gh trong phũng hp l x dóy (x Z, x > 0)
Ta cú phng trỡnh:
360
(x 1) 1 400
x

+ + =
ữ

. Gii ra ta c: x
1
= 15, x
2
= 24
S: 15 dóy vi 24 ngi/dóy, 24 dóy vi 15 ngi/dóy.

Giới thiệu Một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh bắc giang
Đề thi vào lớp 10 năm học : 1996-1997
Ngày thi : 31/07/1996 (Thời gian 150 phút).
Bài 1.Cho biểu thức :
Giáo viên : Lê Ngô Trung Trờng THCS Phợng Sơn, Lục Ngạn
25