Đề thi HSG toán 9 Huyện Bạch Thông (dự phòng)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.23 KB, 4 trang )
UBND HUYỆN BẠCH THÔNG
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4 điểm).
Cho biểu thức:
4 4
2 14 28 16
x x x x
A
x x x x
− − +
=
− + −
a. Tìm
x
để
A
có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức
A
.
b. Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4 điểm).
a. Cho đa thức f(n) = n
5
- n
3
+ 4n với n nguyên dương. Chứng minh rằng f(n)
M
120
b. Một người dùng một thùng nước hết 14 ngày, còn nếu cùng dùng với vợ anh ta thì
hết 10 ngày. Hỏi chỉ riêng vợ anh ta dùng thùng nước hết bao nhiêu ngày ?
Bài 3 (4 điểm).
a. Giải hệ phương trình:
2
2
2 3 1
3 2 2
x y
x y
+ =
− =
b. Giải bất phương trình sau:
2010
2011
x
<
−
Bài 4 (4 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 120
0
. Tia Ax tạo với tia AB góc
BAx bằng 15
0
và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 4
3AM AN AB
+ =
Bài 5 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và dây CD không vuông góc
với nó. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống CD.
Chứng minh rằng DE = CF.
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
a.
ĐK: Để A có nghĩa, trước hết
0x
≥
. Đặt
( )
0t x x= ≥
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2
3 2
3 2 2
1 4
1 1 4
4 4
2 14 28 16 2 1 2 4
2 2 12 28 16
t t
t t t
t t t
A
t t t t t t
t t t t
− −
− + −
− − +
= = =
− + − − − −
− − − +
Để biểu thức A có nghĩa thì:
0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x≥ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≥ ≠ ≠ ≠
(*)
Khi đó, rút gọn ta được:
( )
( )
1 1
2 2
2 2
t x
A
t
x
+ +
= =
−
−
2
b.
( )
( )
( ) ( )
2 3
1 1 3
2 2 2 2 2 2 2
t
t
A
t t t
− +
+
= = = +
− − −
Để A là số nguyên thì x nguyên và
2t
−
phải bằng
1±
hoặc
3
±
.
- Nếu
2 1 1t t
− = − ⇔ =
( loại vì trái điều kiện (*)).
- Nếu
2 3 1 0t t
− = − ⇔ = − <
(loại)
- Nếu
2 1 3 9t t x
− = ⇔ = ⇔ =
và
2A =
- Nếu
2 3 5 25t t x
− = ⇔ = ⇔ =
và
1A =
Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì
9x
=
và
25x
=
.
2
Câu 2
a. Với n nguyên dương, ta có:
f(n) = n
5
- n
3
+ 4n = (n - 2)(n - 1) n (n + 1)(n + 2) là tích của 5 số
nguyên liên tiếp.
- Trong 5 số nguyên liên tiếp có mộ số chia hết cho 3, một số chia
hết cho 5.
- Trong năm số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 một số
chia hết cho 4 nên tích đó chia hết cho 8.
- vì 3, 5 và 8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho
tích 3.5.8 = 120.
Vậy f(n)
M
120 với n nguyên dương
0.5
0.5
0.5
0.5
b.
- Trong một ngày người chồng dùng hết
1
14
thùng nước.
- Trong một ngày cả hai vợ chồng dùng hết
1
10
thùng nước.
=> Trong một ngày người vợ dùng hết:
1 1 1
10 14 35
− =
thùng nước.
Vậy người vợ dùng một thùng nước trong vòng 35 ngày.
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 3
a.
Đặt: x
2
= t ≥ 0
0.5
2
2
2 3 1 2 3 1
3 2 2
3 2 2
8
13
1
13
x y t y
t y
x y
t
y
+ = + =
<=>
− =
− =
=
<=>
−
=
Vậy hệ có hai nghiệm:
8
13
1
13
x
y
=
−
=
hoặc
8
13
1
13
x
y
−
=
−
=
1.0
0.5
b. Điều kiện
0x ≠
,
bất phương trình
2010
2011
x
<
−
2010 2011
0
+
⇔ >
x
x
(2011 2010) 0
0
2010
2011
⇔ + >
>
⇔
< −
x x
x
x
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 4 0.5
- trên DC lấy E sao cho = 15
0
=> = 90
0
=> ∆DAE = ∆BAM (g.c.g) => AE = AM
- Xét ∆EAN vuông tại A, đường cao AH, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AE A N AH A M AN AH
+ = => + =
(1)
- Xét tam giác đều ADC, đường cao AH, ta có:
2 2
3
4
AH AD=
(2)
- Từ (1) và (2) ta có:
2 2 2
1 1 4
3AM A N AB
+ =
0.5
0.75
0.75
0.75
0.75
Câu 5 1.0
- Kẻ MN //CD
- = ( cặp góc so le trong)
=> ∆AOH = ∆BOK (g.c.g) => HO = KO
- Kẻ OI ⊥ CD ta có IC = ID và IF = KO => IE = IF
Do đó DE = CF
0.5
0.5
1.0
1.0
Ghi chú : Nếu thí sinh có cách làm khác nhưng vẫn đúng thì vẫ cho điểm tối đa
