Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
đề tài :
các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
I- Đặt vấn đề
Toán học là môn khoa học các em học sinh đà đợc làm quen ngay từ
khi bắt đầu học từ trờng tiểu học. Nó là bộ môn khoa học dễ gây hứng thú
cho các em, gây sự tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ của các
em. Song bên cạnh đó cũng còn không Ýt häc sinh häc sinh bÞ øc chÕ khi häc
bé môn toán, thậm trí gây chán nản trong học tập, sợ hÃi khi bớc vào học giờ
Toán. Đặc biệt môn hình học các em bắt đầu làm quen từ bậc trung học cơ
sở các em lại càng cảm thấy khó khăn khi phải làm bài tập chứng minh hình
học, không biết bắt đầu bài chứng minh từ đâu, thậm trí gây hoang mang
cho các em. Là giáo viên dạy môn toán đà nhiều năm, đà tiếp xúc với nhiều
thế hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm bài của học sinh và trao đổi
với đồng nghiệp tôi đà đúc kết ra kinh nghiệm, muốn gây đợc sự hứng thú
cho học sinh khi học bộ môn Toán nói chung và làm bài tập hình chứng
minh nói riêng. Ngời giáo viên dạy bộ môn Toán khi truyền thụ kiến thức
cho các em phải để tự các em khám phá kiến thức trên cơ sở đợc sự dẫn dắt
của giáo viên để các em hiểu ngay đợc kiến thức cần truyền thụ tại lớp.
Ngoài ra để nhớ kiến thức đợc lâu biết vận dụng kiến thức đà học vào giải
quyết các bài tập ứng dụng thì ngời giáo viên phải biết trang bị cho trò của
mình phơng pháp học bộ môn Toán nh thế nào để kiến thức Thầy trang bị
đến đâu các em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến thức của mình
từ đó khi làm các bài tập biết lấy ra kiến thức cần sử dụng để giải quyết các
yêu cầu của bài toán cho phù hợp và có hiệu quả nhất. Có nh vậy mới gây đợc sự hứng thú cho các em mỗi khi học môn Toán cũng nh các bộ môn khác,
gây cho các em sự phấn khởi khi bớc tới trờng và phát triển trí tuệ cho các
em. Sau đây tôi trình bày cách dạy cho học sinh giải quyết các bài tập hình
học chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
II- Giải quyết vấn đề :
Khi học hình học nếu chúng ta chỉ học thuộc lòng các tiên đề, các
định nghĩa, các định lý mà Thầy cung cấp cho mà không biết vận dụng các

tiên đề, các định nghĩa, các định lý vào giải quyết các bài tập thì việc học
của chúng ta chỉ là học vẹt không mang lại hiệu quả gì thậm trí gây hoang
mang cho bản thân. Muốn vận dụng đợc các tiên đề, định nghĩa, định lý vào
trong quá trình giải các bài tập chứng minh ta cần phải nghiên cứu các ph Ngời viết: Ngô Công Văn- HiƯu trëng trêng THCS Céng HiỊn

1


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
ơng pháp chứng minh. ở đây ta phân loại các phơng pháp chứng minh theo
kết luận của định lý chứ không theo c¸ch thøc chøng minh ( trùc tiÕp, gi¸n
tiÕp). Ta dựa vào tính chất của kết luận mà phân loại bài tập, nh loại bài tập
chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đờng thảng
song song .v.v., Chúng ta sẽ nghiên cứu phơng pháp chứng minh cho từng
loại và những định lý cần dùng đến đem qui nạp và chỉnh lý, sau này khi
làm bài tập, gặp phải những bài tập cùng loại ta có thể từ những ph ơng pháp
và những định lý đà nghiên cứu cho thấy những phơng pháp và định lý thích
hợp để ứng dụng. Cho nên việc nghiên cứu các phơng pháp chứng minh là
một cơ hội tốt để chúng ta luyện tập và vận dụng các định lý đà học vào giải
quyết các bài tập khắc sâu trí nhớ cho häc sinh, nã gióp Ých nhiỊu cho viƯc
häc tËp bé môn hình học.
- Bài tập về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau có nhiều, trớc tiên ta
nghiên cứu phơng pháp chứng minh loại bài tập này. Những định lý có thể
dùng để chứng minh loại bài tập này có nhiều chúng ta đà đợc học trong
sách giáo khoa chúng ta không thể nhắc lại hết đợc, các định lý tuy nhiÒu
song thêng dïng nhiÒu nhÊt trong chøng minh vÉn không ngoài các định lý
cơ bản sau:
1) Lợi dụng trờng hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh 2 đoạn
thẳng bằng nhau, ta ghép hai đoạn thẳng đó vào 2 tam giác bằng nhau.
- Ví dụ A:

GT:
Lấy hai cạnh AB và AC
H
L
của ABC làm cạnh
M 5
dựng các hình vuông
F
4
G
ABCF, ACGH ra phía
2
E
ngoài tam giác. Dựng
1
AD BC, kéo dài DA
3
B
gặp FH tại M
D
C
KL:
FM = MH
-Suy xét: Trong bài ra có nhiều góc vuông, các cạnh của hình vuộng lại bằng
nhau. Vì 2 = 3 ( do đều phụ với 1). Những đại lợng bằng nhau đó ta phải lợi
dụng. NÕu dùng FK ⊥ víi DM sÏ cã ∆ AFK = ∆ BAD, FK = AD. T¬ng tù
dùng HL ⊥ DM đợc HL = AD, cuối cùng chỉ cần chứng minh FMK =
HML là đợc.

Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền


2


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Chứng minh:
Chøng minh
Dùng FK ⊥ DM,
HL ⊥ DM

Lý do
Tõ mét ®iĨm ở ngoài đoạn thng dựng đờng
thẳng vuông góc với đờng thẳng đó)

Từ 2 + 1 = 900
3+1 = 90 0
Có 2 = 3
Cã FKA = ADB
FA = KS
Nªn ∆ AFK = ∆ BAD
=> FK =AD
T¬ng tù HL = AD
=> HK = HL
Ta cã FKM = HLM
4=3
=> ∆ FMK = ∆ HML
=> FM = MH

V× 3 gãc kỊ bï nhau cã 1 gãc b»ng 90 0
V× hai gãc nhän cđa tam giác vuông

Cùng phụ với góc 1
Cùng bằng 900
Hai cạnh của hình vuông
Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông
Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
Theo cách chứng minh trên
Cùng bằng AD
Cùng bằng 900
Góc đối đỉnh
Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông
Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.

2- Dùng đoạn thẳng thứ 3 làm trung gian.(Để chứng minh 2 đoạn thẳng
bằng nhau ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian)
VD2 : Nếu một tứ giác nội tiếp trong đờng tròn có hai đờng chéo vuông góc
với nhau thì đờng thẳng đi qua giao điểm của đờng chéo và vuông góc với
một cạnh của tứ giác sẽ chia đôi cạnh đối diện với cạnh đó.
A

GT

KL

Cho Tứ giác ABCD nội
tiếp trong đờng tròn (0)
AC BD. Qua E dùng
GE ⊥ CD.
AG = GB

B

G

5
4

B

E

1
3

2

D

F

Suy xÐt: Tam giác ABC là tam giác vuông ta phải chứng minh AG = GB
C
nghĩa là G là điểm giữa của cạnh huyền. Ta phải biết rằng điểm giữa của
cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác vuông. Nên lấy GE làm trung
gian. Muốn chứng minh GE = AG cần phải : 4 = 5, tõ ®ã 4= 1, 5 =2 và 1,2
đều phụ với 3 ta suy ra 1 = 2 nên 4 = 5 có thể chứng minh đợc:
Chứng minh

Lý do

Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Céng HiÒn


3


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
1 + 3 = 90 0
2+ 3 = 90 0
Nªn 1 = 2
Nhng 1 = 4, 2 = 3
 4= 5
 AG = GE
T¬ng tù GB = GE
AB = GB

Hai gãc nhọn tam giác vuông
Cùng phụ với 3
2 góc đối đỉnh, nội tiếp cùng chắn
một cung.
- Bắc cầu
Hai cạnh của tam giác chắn 2 góc
bằng nhau.
Theo cách chứng minh trên.

3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau)
Ta ghép 2 đoạn thẳng đó vào 2 cạnh của một tam giác và chứng minh cho
tam giác chứa hai đoạn thẳng đó là tam giác cân.
VD3: Cho (0) và đờng thẳng xy ở ngoài đờng tròn đó. Từ O hạ OA xy, từ
A kẻ 1 cát tuyến bất kỳ cắt đờng tròn tại B và C, tiếp tuyến của đờng tròn tại
B và C cắt xy ở D và E. Chứng minh: AD = AE.

GT


KL

Cho (0) và đờng thẳng xy
ở ngoài đờng tròn OA và
xy
BD, CE là tiếp tuyÕn t¹i
B, C
DA = AE

C
O

B
x

D

A

E y

Suy xÐt : Ta cã OA ⊥ DE, nÕu OD = OE th× DA = AE. Mn chøng minh
OB = OE ta cã thĨ lỵi dụng góc vuông giữa tiếp tuyến và bán kính OBD =
OCE, bán kính OB = OC và dùng trờng hợp bằng nhau của hai tam giác
vuông. Nhng giữa OBD và OCE ngoài hai cặp đại lợng bằng nhau ở trên còn
có cặp đại lợng thứ 3 nào bằng nhau nữa không? Đó chính là mấu chốt của
bài này. Đây cũng là điều khó nhất. Sau khi nghiên cứu ta thấy tứ giác
ODAB và tứ giác ODEA nội tiếp đợc nên suy ra đợc ODB = OAB = OFC
Chứng minh


Lý do

Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền

4


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Nối CD, OE,OB,OC
Ta cã : OBD = OCE = 90 0
OAD = OAE = 90 0
Tø gi¸c ODAB néi tiÕp

Cho hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng
- Hai góc vuông ( Tính chất tiếp tuyến)
Hai góc vuông
Bài toán quĩ tích

=> ODB = OAB = OEC
Ta cã : OB = OC
=> ∆ OBD = ∆ OCE

Gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung
- Bán kính
- Trờng hợp bằng nhau (GCG)
Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng
nhau
Tính chất đờng cao của tam giác cân.


=> OD = OE
OA = AE

4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau) ta có thể ghép hai đoạn thẳng đó vào hai cạnh đối diện của hình bình
hành hoặc 2 đoạn tạo nên đờng chéo hình bình hành để kết luận chúng bằng
nhau.
VD4: Cho ABC cân, AB = BC, trên AB lấy điểm D, trên AC kéo dài lấy
điểm E sao cho BD = CE, nèi A víi E c¾t BC t¹i F. Chøng minh r»ng BF =
FE.
A
GT

KL

Cho ∆ ABC, AB = AC
BD = CE
DE cắt BC tại F
DF = FE

D
C
B

F

S`uy xét: Dựng DG // AE, nếu chứng minh đợc tứ giác DGEC là hình bình
E
hành thì DE và BC nhất định cắt nhau tại F là trung điểm của DE. Muốn
chứng minh cho DGEC là hình bình hành chỉ cần có DG = CE là đủ. Vì

DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trớc tiên phải chứng minh DGB = B. Ta
®· biÕt DGB = ACB, Chøng minh đợc B = ACB, nên B = DGB có thể thành
lập đợc.
Chứng minh
Lý do
- Đựng DG // AE, nối DC, GE Kẻ 1 đờng thẳng qua một điểm song
song vớiđờng thẳng đà cho.
- Thì DGB = ACB
( 2 góc đồng vị)
- Ta có B = ACB
-Tính chất tam giác cân.
- DBB = B
-Tính chất bắc cầu.
Ngời viết: Ngô Công Văn- HiƯu trëng trêng THCS Céng HiỊn

5


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
- DG = DB

-2 cạnh đối diện của 2 góc bằng nhau
trong tam giác.
-Theo giả thiết.

Mà CE = DB
DG = CE
Vì DG //CE
Theo cách dựng
=>Tứ giác DGEC là hình bình Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và

hành.
bằng nhau.
Tính chất đờng chéo hình bình hành.
Vậy DF = FE
5- Lợi dụng đờng thẳng đi qua điểm giữa của 1 cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thi đi qua điểm giữa cạnh thứ ba. ( Định lí đờng trung bình của tam giác )
VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , trên AB lấy D trªn AC lÊy E sao cho
BD = CE. Nèi AE cắt BC tại F. Chứng minh DF = FE.
GT

KL

A

ABC , AB = AC
D ∈ AB, E ∈ AC, BD = CE

DE cắt BC tại F
DF = EF

D

1

3

4

2


B

G
C

F
E

Chứng minh
Dựng DG //BC
Ta cã : A = 2 = 3 = 4
Nên AG = AD
mà AC = AB
nên GC = DB
Mà CE = DB
Suy ra GC = CE
DF = FE

Lý do
Dùa vào phép dựng hình
Tính chất tam giác cân và góc đồng vị của hai đờng
thẳng song song.
- Tính chất 2 cạnh đối diện của với hai góc
bằng nhau của một tam giác.
- Giả thiết
- Hiện hai cặp đoạn thẳng bằng nhau
- Giả thiết
- Tính chất bắc cầu
- Tính chất trong tam giác đờng thẳng đi qua
điểm giữa một cạnh song song với cạnh thứ

hai thì đi qua điểm giữa cạnh thứ ba

6) Lợi dụng đoạn thẳng bằng nhau cho trớc rồi biến đổi :
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trêng THCS Céng HiÒn

6


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng bằng nhau lên cùng một số lần,
hoặc cùng chia hai đoạn thẳng bằng nhau ra cùng một số lần thì đ ợc các
đoạn thẳng mới bằng nhau.( hoặc tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau tơng đối một bằng nhau) từng đôi một thì bằng nhau.
Biến đổi các đoạn thẳng bằng nhau cho trớc ta sẽ chứng minh đợc định lí.
7) Lợi dụng đại lợng bằng nhau trong đờng tròn.
- Từ định lí Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau thì bằng
nhau Hai dây cung bằng nhau, tạo góc ở tâm bằng nhau, hay hai góc nội
tiếp bằng nhau thì hai dây cung tơng ứng bằng nhau...vv..
Cuối cùng xin đa ra một số bài tập quan trọng để các em học sinh vận dụng
các phơng pháp chứng minh trên vào giải quyết bài tập.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, E và F là trung điểm cđa BC vµ AD.
Chøng minh r»ng AF vµ DE chia AC thành ba phần bằng nhau.
Bài 2: Đờng kính AB của một đờng tròn tâm O và dây cung AC hợp thành
một góc 300 , tiếp tuyến tại C cắt AB kÐo dµi ë D. Chøng minh AC = DC
Bµi 3: Trên một đờng tròn tâm O lấy một điểm B, dùng tiÕp tuyÕn BC, dùng
OC ⊥ OA c¾t AB và tiếp tuyến B lần lợt ở D và C. Chứng minh BC = CD.
Bài 4: Cho ABC vuông. Lấy một cạnh tam giác vuông làm đờng kính dựng
đờng tròn cắt cạnh huyền tại 1 điểm. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm
đó chia đôi cạnh góc vuông kia.
Bài 5: Cho ABC , dùng ∆ ASD, ∆ ACE ra phía ngoài tam giác ABC. Lấy AD,

AE làm hai cạnh hình bình hành ADF. Chứng minh FBC đều.
Bài 6: Cho ABC đờng cao BD và CE, gọi F là trung điểm BC, từ F dựng
FG DE. Chứng minh DG = GE.
Bài 7: Cho ABC, đờng cao AD và BE cắt nhau tại H. Đờng kính của đờng
tròn ngoại tiếp là AF. Chứng minh rằng nếu HF cắt BC tại G thì HG = GF.

II- Kết luận
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền

7


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Trên đây là một số phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Là ngời giáo viên đà dạy toán nhiều năm và qua sự trao đổi với đồng nghiệp
để các em học sinh say mê với môn học Toán và có hiệu quả cao thì ng ời
giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức trên cơ sở học sinh khám phá xây dựng
đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo. Có nh vậy
kiến thức của thầy truyền thụ mới đọng lại trong học sinh nếu không Chữ
thầy lại trả thầy có nh vậy thì chất lợng giờ dạy toán mới cao và mới phát
triển trÝ t cho c¸c em, gióp cho c¸c em niỊm đam mê khi học toán.
Trên đây là một phần nhỏ kinh nghiệm dạy Toán nói chung và dạy bài
toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói riêng của bản thân đà qua
thực tiễn nhiều năm và đà đạt hiệu quả cao. Rất mong đợc sự tham gia góp ý
của đồng nghiệp để sáng kiến có chất lợng, hiệu quả cao./.
Cộng Hiền, ngày 2 tháng 1 năm 2009
Ngời viết

Ngô Công Văn


Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng HiÒn

8


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
TI LIỆU THAM KHẢO

1. SGK Toán 7,8,9
2. SGV Toán 7, 8, 9
3. STK Toỏn 8

Mc lc:
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trëng trêng THCS Céng HiÒn

9


Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
t vấn đề: ............................................Trang 1
Giải quyết vấn đề ..................................Trang 1
Kết luận .................................................Trang 8

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập T do Hnh phỳc
Ngời viết: Ngô Công Văn- HiƯu trëng trêng THCS Céng HiỊn

10



Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009

BN CAM KT
I. TC GI:
H v tờn : Ngô Công Văn
Ngy, tháng, năm sinh: 1960
Đơn vị : Trêng THCS Céng HiÒn
Điện thoi:.
.Di ng............................................
E-mail: .......................................................................................................
II. SN PHM:

Tên sản phẩm: Sáng kiến kinh nghiệm :

các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
III. CAM KẾT
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tơi. Nếu có xảy ra tranh chấp về
quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước
lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản Cam kết này.

Céng HiÒn, ngày 08 tháng 2 năm 2009
Người cam kt
(Ký, ghi rừ h tờn)

Ngô Công Văn

Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền

11