Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Sơ ñồ khảo sát hàm số
1) Tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố
(Xét tính ch
ẵ
n l
ẻ
, tính tu
ầ
n hoàn (n
ế
u có)).
2) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên hàm s
ố

a) Xét chi
ề

u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

•

Tính
ñạ
o hàm
•

Tìm các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n
(
ð
i
ể
m t
ớ
i h

ạ
n thu
ộ
c TX
ð
và t
ạ
i
ñ
ó )x(f
′
không xác
ñị
nh ho
ặ
c b
ằ
ng 0)
•

Xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm trong các kho
ả
ng xác
ñị

nh b
ở
i các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n.
(Gi
ữ
a hai
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n k
ề
nhau thì
)x(f
′
gi
ữ
nguyên m
ộ

t d
ấ
u)
•

Suy ra chi
ề
u bi
ế
n thiên hàm s
ố
trong m
ỗ
i kho
ả
ng
(
ðồ
ng bi
ế
n n
ế
u
)x(f
′
>0, ngh
ị
ch bi
ế
n n

ế
u
)x(f
′
<0).
b) Tính các c
ự
c tr
ị
(suy ra ngay t
ừ
ph
ầ
n xét chi
ề
u bi
ế
n thiên)
c) Tìm các gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố

•

Khi x d

ầ
n t
ớ
i vô c
ự
c (
+∞→x
và
−∞→x
)
•

Khi x d
ầ
n t
ớ
i bên trái và bên ph
ả
i, các giá tr
ị
c
ủ
a x t
ạ
i
ñ
ó hàm s
ố
không
xác

ñị
nh (
o
xx +→ ,
o
xx −→ )
•

Tìm ti
ệ
m c
ậ
n (n
ế
u là hàm s
ố
phân th
ứ
c)
- N
ế
u
∞→
x
lim ∞=)x(f
thì x = x
o
là m
ộ
t ti

ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng c
ủ
a hàm s
ố

- Ti
ệ
m c
ậ
n xiên: y = ax + b . Trong
ñ
ó
x
)x(f
lima
x
∞→
=
;
]ax)x(f[limb
x
−=
∞→

(khi

+∞→x
(
−∞→
x
),
o
xx +→ (
o
xx −→ ) thì
ñ
ó là ti
ệ
m c
ậ
n bên ph
ả
i (trái))
d) Xét tính l
ồ
i, lõm và tìm
ñ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
ñồ
th

ị
hàm s
ố
(n
ế
u là hàm s
ố

ñ
a th
ứ
c)
•

Tính
ñạ
o hàm c
ấ
p 2
•

Xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm c
ấ
p 2

•

Suy ra tính l
ồ
i, lõm và
ñ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(l
ậ
p b
ả
ng l
ồ
i lõm)
( n
ế
u
0)x(f
<
′′
v

ớ
i
)b;a(x
∈∀
thì
ñồ
th
ị
hàm s
ố
l
ồ
i trên kho
ả
ng
ñ
ó)
e) L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ghi t
ấ
t c
ả
các k
ế
t qu

ả
tìm
ñượ
c vào b
ả
ng bi
ế
n thiên)
3)V
ẽ

ñồ
th
ị

•

Chính xác hóa
ñồ
th
ị
(tìm giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th

ị
v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ
và nên
l
ấ
y thêm m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị
, nên v
ẽ
ti
ế

p tuy
ế
n
ở
m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m
ñặ
c bi
ệ
t)
•

V
ẽ

ñồ
th
ị
(
ñọ
c l
ạ
i các ví d

ụ
m
ẫ
u SGK t
ừ
trang 80
ñế
n trang 97).

BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Tìm giao ñiểm của hai ñường

Gi
ả
s
ử
hàm s
ố

)x(fy =
có
ñồ
th
ị
là (C) và hàm s
ố

)x(gy =
có
ñồ

th
ị
là
)C(
1
. Rõ ràng
)y;x(M
ooo
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(
1
khi và ch
ỉ
khi )y;x(
oo
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình





=
=
x(gy
)x(fy

Do
ñ
ó
ñể
tìm hoành
ñộ
các giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(
1
ta gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)x(g)x(f =

(1)
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình chính là s
ố
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a hai
ñồ
th
ị
(C) và
)C(
1
.
N
ế
u
, x,x
1o

là các nghi
ệ
m c
ủ
a (1) thì các
ñ
i
ể
m
)) x(f;x(M)),x(f;x(M
111ooo
là các
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(
1
.
Bài toán:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s

ố
c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng t
ạ
i m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 1
. Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
giao

ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị
các hàm s
ố


2x
3x6x
y
2
+
+−
=
và
m
x
y
−=
Ví dụ 2.
Bi
ệ
n lu
ậ

n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
m2x3x
23
=−+

Ví dụ 3
. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a k thì
ñườ
ng th
ẳ
ng
2kkxy +−=
c
ắ
t
ñồ

th
ị
hàm s
ố

1x
1xx
y
2
−
−+
=

t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.







II. Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm s
ố
y = f(x) có
ñồ
th
ị
(C)
a) Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñườ
ng cong (C) t
ạ
i
ñ
i
ể
m ))x(f;x(M
ooo
)xx)(x(fyy
ooo
−
′
=−

b) Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua
ñ
i
ể
m )y;x(M
111
và ti
ế
p xúc v
ớ
i (C)
ðườ
ng th
ẳ
ng d
ñ
i qua
)y;x(M
111
có d
ạ
ng

)xx(kyy
11
−=−
11
y)xx(ky
+−=⇔
ðể
cho
ñườ
ng th
ẳ
ng d ti
ế
p xúc v
ớ
i (C), h
ệ
ph
ươ
ng trình sau ph
ả
i có nghi
ệ
m:




=
′

+−=
k)x(f
y)xx(ky
11
H
ệ
ph
ươ
ng trình này cho phép xác
ñị
nh hoành
ñộ
o
x c
ủ
a ti
ế
p
ñ
i
ể
m và h
ệ
s
ố
góc
)x(fk
′
=
Chú ý:

Hai
ñồ
th
ị
hàm s
ố
)x(fy =
và
)x(gy =
ti
ế
p xúc v
ớ
i nhau n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có nghi
ệ
m:




′
=
′
=
)x(g)x(f
)x(g)x(f










c) Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng có h
ệ
s
ố
góc k và ti
ế
p xúc (C).

Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng có h
ệ
s
ố
góc k có d
ạ
ng
bkxy +=
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñồ
th
ị
(C), ta gi
ả
i
ph
ươ
ng trình
k)x(f =
′

tìm
ñượ
c hoành
ñộ
các ti
ế
p
ñ
i
ể
m , x,x,x
21o
T
ừ

ñ
ó suy ra ph
ươ
ng
trình các ti
ế
p tuy
ế
n ph
ả
i tìm:

)xx(kyy
ii
−=−

( i = 0, 1, )
Bài toán :
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a hàm s
ố
khi bi
ế
t ph
ươ
ng c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n ho
ặ
c
ñ
i qua
m

ộ
t
ñ
i
ể
m cho tr
ướ
c nào
ñ
ó.

Ví dụ 1
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố


22
)x2(y −=
bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n
ñ
ó
ñ
i qua
ñ
i
ể
m A(0 ; 4)
Ví dụ 2
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
ñườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ

i
ñườ
ng th
ẳ
ng 3x
4
1
y += và ti
ế
p xúc
v
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2x4x3x)x(fy
23
+−+−==

Ví dụ 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế

p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
1x3xy
3
++−= bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
ó song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng

1x9y +−=

Ví dụ 4.
T
ừ
g
ố
c t
ọ
a
ñộ
có th
ể
k
ẻ

ñượ
c bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố


1x3xy
23
++=
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó.

Ví dụ 5
. Cho hàm s
ố
2
3
x3x
2
1
y
24
+−−= có
ñồ
th
ị
là (C)

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) t
ạ
i các
ñ
i
ể
m u
ố
n.
b) Tìm ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)

ñ
i qua
ñ
i
ể
m
)
2
3
;0(A
III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm s
ố
y = f(x) có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng (a;b)
a) Hàm s
ố
f(x)
ñồ
ng bi
ế
n trên (a;b)
0)x(f
≥
′
⇔
v

ớ
i
)b;a(x
∈∀
b) Hàm s
ố
f(x) ngh
ị
ch bi
ế
n trên (a;b)
0)x(f
≤
′
⇔
v
ớ
i
)b;a(x
∈∀
Bài toán :
Yêu c
ầ
u tìm m
ñể
cho hàm s
ố ñồ
ng bi
ế
n, ngh

ị
ch bi
ế
n trong m
ộ
t kho
ả
ng nào
ñ
ó
Chú ý:
C
ầ
n n
ắ
m v
ữ
ng các
ñị
nh lý v
ề
d
ấ
u c
ủ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai

Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố
1x)1m2(3mx3xy
23
+−+−=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố ñồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
ñị
nh.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố
1mmx2x2y
2
−++=
Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố ñồ
ng bi
ế

n trong kho
ả
ng
);1(
+∞−
Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố
m4x)1m(x3xy
23
++++=
Tìm m
ñể
hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (-1,1)
















Ví dụ 4.
Cho hàm s
ố

1x
2x)1m(2x
y
2
+
+++
=

Tìm m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong kho
ả
ng
);0(
+∞
















IV.Cực ñại và cực tiểu
Cho hàm s
ố
y = f(x) , x
o
thu
ộ
c t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

. N
ế
u khi x
ñ
i qua x
o

ñạ
o hàm
ñổ
i
d
ấ
u thì x
o
là m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
.

o
N
ế
u
ñổ
i d
ấ
u t
ừ
+ sang – thì x
o
là
ñ
i
ể
m c
ự
c
ñạ
i c
ủ
a hàm s
ố
.
o
N
ế
u
ñổ
i d

ấ
u t
ừ
- sang + thì x
o
là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
ðể
tìm các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s

ố
ta có hai quy t
ắ
c:
o
Tìm các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ó xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm )x(f
′
o
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình )x(f
′

= 0. G
ọ
i
i
x là các nghi
ệ
m. Xét d
ấ
u c
ủ
a )x(f
′′
Bài toán :
Tìm m
ñể
hàm s
ố
y = f(x) có c
ự
c tr
ị
và các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
th

ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n nào
ñ
ó.
- Tìm
ñ
i
ề
u ki
ệ
n m
ñể
cho
ñạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
có
ñổ
i d
ấ
u (s
ố

l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u b
ằ
ng s
ố
c
ự
c tr
ị
)
-
Tìm t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

r
ồ
i
ñặ
t ti
ế
p
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a m
ñể
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n mà
bài toán yêu c
ầ
u.
Ví dụ 1.
Tìm m

ñể
hàm s
ố
m
x
1mxx
y
2
+
++
=

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i x = 2.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

mmxx3x)2m(y
23
++++=
V
ớ
i giá tr

ị
nào c
ủ
a m, hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u.
Ví dụ 3.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
2x
mx2x
y
2
2
+
++
=
luôn có m

ộ
t c
ự
c
ñạ
i và m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u.
Ví dụ 4.
Cho hàm s
ố
1x)1m2(3mx3xy
23
+−+−=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c
ñạ
i và m

ộ
t c
ự
c ti
ể
u. Tính t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c
ti
ể
u.