Tuyển chọn đề thi HSG toán 9
Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số:
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang
Cõu 1:(2 i m)
1) Tính:
9 17 9 17 2A = + +
2) Tính:
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +
.
3) Cho
1 2
2009 1 2008 1C =
và
2 2
2.2009
2009 1 2008 1
D =
+
.
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 . 1f x x x= + + + + +
. Tìm x để
( )

2010f x =
2) Giải hệ phơng trình:
2 2 2
x y z 6
xy yz zx 1
x y z 14
+ + =


+ =


+ + =

Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ
( )
1;1
và điểm A di động
( )
A m;0
1) Viết phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
vuông góc với AB tại A.
2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ
( )
m
d

đồng qui.
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ
( )
m
d
đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh
huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N
xuống đờng thẳng PD.
a) Tính số đo góc NEB.
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm
cố định.
Câu 5: (1điểm)
Cho các số
1 2 2009
, a , . . . ,a a
đợc xác định theo công thức sau:

=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)
với n = 1, 2, , 2008.
Chứng minh rằng:


<
1 2 2009
2008
a + a + . . . + a
2010
Hết

Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số:
Hớng dẫn chấm gồm . . . trang

H ớng dẫn chấm
Câu Phần Nội dung Điể
m
9 17 9 17 2A = + +
(
)
2 9 17 9 17 2
2
+ +
=
18 2 17 18 2 17 4
2
+ +
=
( ) ( )
2 2
17 1 17 1 2

2
+ +
=
0,25
( )
( )
2 17 1
17 1 17 1 2 2 17 2
2 17 1
2 2 2

+ +
= = = =
0,25
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +
( ) ( )
3 1 10 5 3 2. 2 3= +
( ) ( ) ( )
3 1 10 5 3 2 2 3= +
( ) ( ) ( )
2
3 1 10 5 3 3 1= +
0,25
( ) ( )
2
3 1 10 5 3= +
( ) ( )
4 2 3 10 5 3= +
( ) ( )

10 2 3 2 3= +
10
=
0,25
1 2
2009 1 2008 1C =
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
2009 1 2008 1 2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
+
=
+
(
)
(
)
2 2
1 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1

=
+
0,25
2 2
1 2
2009 1 2008 1

2009 1 2008 1
− − +
=
− + −

( ) ( )
2 2
2009 2008 2009 2008
2009 1 2008 1
− +
=
− + −
2 2
4017
2009 1 2008 1
=
− + −
0,25
Mµ
4017 4018 2.2009< =

⇒
2 2
4017
2009 1 2008 1− + −
<
2 2
4018
2009 1 2008 1− + −
0,25

VËy C < D 0,25
Ta cã
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 . 1f x x x= + + + + +

⇒

( ) ( )
3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 . 1 .3f x x x= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 . 1 . 2 1x x x x= − + − + − + + + + − − 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 1 . 1 . 1 2x x x x x x= − + − + − − − − − + + + +
( ) ( )
. 1 2x x x= + +
⇒

( ) ( ) ( )
1
. 1 2
3
f x x x x= + +
0,25
§Ó
( )
8f x =

⇔
( ) ( )

1
. 1 2 8
3
x x x+ + =

⇔
( ) ( )
. 1 2 24x x x+ + =
⇔
3 2
3 2 24 0x x x+ + − =

⇔
( ) ( )
( )
3 2 2
2 5 10 12 24 0x x x x x− + − + − =
0,25
⇔
( )
( )
2
2 5 12 0x x x− + + =
⇔
2
2 0
5 12 0
x
x x
− =



+ + =


( )
( )
1
2
0,25
Gi¶i ph¬ng tr×nh
( )
1
ta ®îc x = 2
Gi¶i ph¬ng tr×nh
( )
2
V« nghiÖm
VËy víi x = 2 th×
( )
8f x =
.
0,25
2 2 2
x y z 6 (1)
xy yz zx 1 (2)
x y z 14 (3)
+ + =



+ − = −


+ + =

(1)
⇒
(x + y + z)
2
= 36

⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = 36

⇒
xy + yz + zx = 11 (kÕt hîp víi (3))
(2)
⇒
xy + yz = zx – 1

⇒
xy + yz + zx = 2zx – 1

⇒

2zx = 12

⇒
zx = 6
0,25


xy + yz = 5


y(x + z) = 5 (4)
Mà y + x + z = 6

x + z = 6 y
(4)

y(6 y) = 5


y(6 y) = 5


(y 1)(y 5) = 0

y 1
y 5
=




=

0,25
+) Với y = 1 thì (4)

x + z = 5

x = 5 z
mà zx = 6

(5 z)z = 6

(z 2)(z 3) = 0
z 2 x 3
z 3 x 2
= =



= =

0,25
+) Với y = 5 thì (4)

x + z = 1

x = 1 z
mà zx = 6

(1 z)z = 6



(z
1
2

)
2
=
23
4

(phơng trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là
{ }
S (3; 1; 2),(2; 1; 3)=
0,25
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)
A, B

(d) nên

=

y 1 x 1
(m 1)
0 1 m 1


=


+ =
x 1
1 y
m 1
m 1 my y x 1

=
=

y(1 m) x m
1 m
y x
1 m 1 m
0,25
Gọi phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
là y = ax + b
Vì
( )
m
d


AB tại A nên a.a = - 1
=

1

.a ' 1
1 m


a = m 1

y = (m 1)x + b
0,25
Vì
( )
m
d
đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m 1)m + b
Vậy họ đờng thẳng
( )
m
d
cần tìm là: y = (m 1)x + (m m
2
)
(m 1)
0,25
Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (d
m
) đồng qui tại điểm (x
o
; y
ô
)



y
o
= (m 1)x
o
+ (m m
2
)


m
2
m(x
o
+ 1) + x
o
+ y
o
= 0
0,25
Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất
2 nghiệm

Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua điểm (x
o
; y
o
)

Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (d
m
) đồng qui.
0,25
Gọi các điểm N(x
1
; y
1
) mà chỉ có đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua

y
1
= (m 1)x
1
+ m m
2

m
2
m(x
1
+ 1) + x
1
+ y
1
= 0
0,25
Vì chỉ có 1 đờng thẳng trong họ (d

m
) đi qua N nên phơng trình trên
chỉ có 1 nghiệm.

= 0

( ) ( )
2
1 1 1
x + 1 - 4 x + y = 0
0,25


=
2
1
1
(x 1)
y
4

Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol

=
2
1
1
(x 1)
y
4

0,25
Vẽ hình đúng
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Gọi giao của HN với đờng tròn là I. 0,25
Do

DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính.
0,25
Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính
AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB
0,25
Điểm I đối xứng với D qua AB. Vậy I là điểm cố định.
0,25
=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)

+ +
= < =
+ +
+ +
2( n 1 n ) 2( n 1 n) 1 1
n 1 n

2 n(n 1) n n 1
0,25
Do đó
+ + + < + + +
=
1 2 2009
1 1 1 1 1 1
a a
1 2 2 3 2009 2010
1
1
2010
0,25
Mặt khác:
( )
+

=
ữ



= = >
2
2008 1 2008 2009 2010 2009 2010
1
2010
2009 2010 2009
2009 1
2010 2 2009

0
2010 2009 2010 2009
0,25
nên
<
1 2008
1
2010
2009
. Vậy
<
1 2 2009
2008
a + a + . . . + a
2010
0,25
Câu Nội dung cần trình bày Điểm
5
3 điểm
Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB.
+) Xét

DCP và

DBE có:
ã
ã
=DCP DB E
(so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của


ABC)
ã
ã
=CDP BDE
(đối đỉnh)


DCP =

DBE (g.c.g)

CP = BE (1)
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân
giác của
à
A
nên MNAP là hình vuông.


AN = AP

CP = BN (2)
Từ (1) và (2)

BE = BN


BEN cân



ã
=
0
NEB 45
+) Gọi O là trung điểm của EN.
Ta có

BEN và

EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN
nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O.
Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K.
0,25
0,25
Khi đó:
ã
ã
=
1
OHN KON
2
(
ã
KON
góc ngoàicủa tam giác cân OHN)
ã
ã
=
1

OHB KOB
2
(
ã
KOB
góc ngoài của tam giác cân OHB)

ã
ã

OHN OHB
=
ã
ã
( )
=
0
1 1
KON KO B .90
2 2

ã
=
0
BHN 45
Vậy có
ã
ã
= =
0

BHN BEN 45
(3)
Chứng minh tơng tự ta có:
ã
ã
= =
0
NHA NPA 45
(4)
Từ (3) và (4) có
ã
=
0
AHB 90
và NH là đờng phân giác của góc
ã
AHB
Gọi H là hình chiếu của H trên AB.
Khi đó SAHB =
1
AB.HH'
2
Do đó SAHB lớn nhất khi HH lớn nhất.
Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH lớn nhất khi nó
bằng bán kính, tức là khi H

D. Khi đó M

D.
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số:
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang
Cõu 1:(2 i m)
1) Tính:
1005 2009 1005 2009 2A = + +
2) Tính:
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +
.
3) Cho
1 2
2009 1 2008 1C =
và

2 2
2.2009
2009 1 2008 1
D =
+
.
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 . 1f x x x= + + + + +
. Tìm x để
( )
8f x =
2) Giải hệ phơng trình:
2 2 2
x y z 6
xy yz zx 1
x y z 14
+ + =


+ =


+ + =

Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ
( )

1;1
và điểm A di động
( )
A m;0
1) Viết phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
vuông góc với AB tại A.
2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ
( )
m
d
đồng qui.
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ
( )
m
d
đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi. A là một điểm trên cung
lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AD, BE, CK cắt
nhau tại H.
1) Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp.
2) Nếu
ã ã
BHC BOC=
. Tính độ dài đoạn thẳng AH theo a.
3) Tìm vị trí của A để tích DH.DA đạt giá trị lớn nhất?
Câu 5: (1điểm)

Cho các số
1 2 2009
, a , . . . ,a a
đợc xác định theo công thức sau:

=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)
với n = 1, 2, , 2008.
Chứng minh rằng:

<
1 2 2009
2008
a + a + . . . + a
2010
Hết
Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số:
Hớng dẫn chấm gồm 5 trang

H ớng dẫn chấm
Câu Phần Nội dung
Điểm
1005 2009 1005 2009 2A = + +

(
)
2 1005 2009 1005 2009 2
2
+ +
=
2010 2009 2010 2009 4
2
= + +
=
( ) ( )
2 2
2009 1 2009 1 2
2
+ +
=
0,25
( )
2009 1 2009 1 2
4
2 2
2 2
+ +
= = =
Vậy A =
2 2
.
0,25
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +

( ) ( )
3 1 10 5 3 2. 2 3= +
( ) ( ) ( )
3 1 10 5 3 2 2 3= +
( ) ( ) ( )
2
3 1 10 5 3 3 1= +
0,25
( ) ( )
2
3 1 10 5 3= +
( ) ( )
4 2 3 10 5 3= +
( ) ( )
10 2 3 2 3= +
10
=
Vậy B = 10
0,25
1 2
2009 1 2008 1C =
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
2009 1 2008 1 2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
+
=
+
(

)
(
)
2 2
1 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1

=
+
0,25
2 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
+
=
+

( ) ( )
2 2
2009 2008 2009 2008
2009 1 2008 1
+
=
+
0,25
2 2
4017

2009 1 2008 1
=
− + −
Mµ
4017 4018 2.2009< =

⇒
2 2
4017
2009 1 2008 1− + −
<
2 2
4018
2009 1 2008 1− + −
0,25
VËy C < D 0,25
Ta cã
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 . 1f x x x= + + + + +

⇒

( ) ( )
3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 . 1 .3f x x x= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 . 1 . 2 1x x x x= − + − + − + + + + − − 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 1 . 1 . 1 2x x x x x x= − + − + − − − − − + + + +
( ) ( )

. 1 2x x x= + +
⇒

( ) ( ) ( )
1
. 1 2
3
f x x x x= + +
0,25
§Ó
( )
8f x =

⇔
( ) ( )
1
. 1 2 8
3
x x x+ + =

⇔
( ) ( )
. 1 2 24x x x+ + =
⇔
3 2
3 2 24 0x x x+ + − =

⇔
( ) ( )
( )

3 2 2
2 5 10 12 24 0x x x x x− + − + − =
0,25
⇔
( )
( )
2
2 5 12 0x x x− + + =
⇔
2
2 0
5 12 0
x
x x
− =


+ + =


( )
( )
1
2
0,25
Gi¶i ph¬ng tr×nh
( )
1
ta ®îc x = 2
Gi¶i ph¬ng tr×nh

( )
2
V« nghiÖm
VËy víi x = 2 th×
( )
8f x =
.
0,25
2 2 2
x y z 6 (1)
xy yz zx 1 (2)
x y z 14 (3)
+ + =


+ − = −


+ + =

(1)
⇒
(x + y + z)
2
= 36

⇒
x
2
+ y

2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = 36

⇒
xy + yz + zx = 11 (kÕt hîp víi (3))
(2)
⇒
xy + yz = zx – 1

⇒
xy + yz + zx = 2zx – 1

⇒
2zx = 12

⇒
zx = 6

⇒
xy + yz = 5

⇒
y(x + z) = 5 (4)
0,25
Mµ y + x + z = 6
⇒
x + z = 6 – y
0,25

(4)

y(6 y) = 5


y(6 y) = 5


(y 1)(y 5) = 0

y 1
y 5
=



=

+) Với y = 1 thì (4)

x + z = 5

x = 5 z
mà zx = 6

(5 z)z = 6

(z 2)(z 3) = 0
z 2 x 3
z 3 x 2

= =



= =

0,25
+) Với y = 5 thì (4)

x + z = 1

x = 1 z
mà zx = 6

(1 z)z = 6


(z
1
2

)
2
=
23
4

(phơng trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là
{ }

S (3; 1; 2),(2; 1; 3)=
0,25
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)
A, B

(d) nên

=

y 1 x 1
(m 1)
0 1 m 1


=

+ =
x 1
1 y
m 1
m 1 my y x 1

=
=

y(1 m) x m
1 m
y x
1 m 1 m
0,25

Gọi phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
là y = ax + b
Vì
( )
m
d


AB tại A nên a.a = - 1
=

1
.a ' 1
1 m


a = m
1

y = (m 1)x + b
0,25
Vì
( )
m
d
đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m 1)m + b
Vậy họ đờng thẳng

( )
m
d
cần tìm là: y = (m 1)x + (m m
2
)
(m 1)
0,25
Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (d
m
) đồng qui tại điểm (x
o
; y
ô
)


y
o
= (m 1)x
o
+ (m m
2
)


m
2
m(x
o

+ 1) + x
o
+ y
o
= 0
0,25
Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều 0,25
nhất 2 nghiệm

Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua điểm
(x
o
; y
o
)
Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (d
m
) đồng qui.
Gọi các điểm N(x
1
; y
1
) mà chỉ có đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua

y
1

= (m 1)x
1
+ m m
2

m
2
m(x
1
+ 1) + x
1
+ y
1
= 0
0,25
Vì chỉ có 1 đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua N nên phơng trình trên
chỉ có 1 nghiệm.

= 0

( ) ( )
2
1 1 1
x + 1 - 4 x + y = 0
0,25


=

2
1
1
(x 1)
y
4

Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol

=
2
1
1
(x 1)
y
4
0,25
Vẽ hình đúng
H
M
I
K
E
D
O
A
B
C
0,25
Vì 3 đờng cao AD, BE, CK cắt nahu tại H

nên H là trực tâm của tam giác ABC


ã
ã
0
90HDC HEC
= =

0,25
Xét tứ giác CDHE có
ã
ã
0 0 0
90 90 180HDC HEC
+ = + =

Vậy tứ giác CDHE nội tiếp đờng tròn đờng kính CH.
0,25
Xét tứ giác AKHE có
à
à
0
90K E
= =



à
ã

0
180A BHC
+ =

mà
ã ã
BHC BOC=
;
ã
à
2BOC A
=



à à
0 0
3 180 60A A
= =
0,25
Kẻ BI là đờng kính, chứng minh tứ giác AICH là hình bình hành


AH = CI (1)
0,25
Gọi M là trung điểm của BC

IC = 2 OM (2) (Đờng trung bình)
Từ (1) và (2)


AH = 2 OM.
0,25
Do M là trung điểm của BC

OM

BC và OM là tia phân giác
của góc BOC


ã
0
60MOC
=
.
0,25
OM = MC.sin60
0
=
3 3
.
2 2 4
a a
=

AH =
3
2
a
0,25

S
DBH


DB DH
DAC
DA DC
=


DA.DH = DB.DC
0,25
áp dụng bất đẳng thức
( )
2
4
a b
ab
+

( Dấu = xảy ra khi a = b )

DA.DH = DB.DC
( )
2
2
4 4
DB DC
a
+

=
(Không đổi)
(Dấu = xảy ra khi DB = DC hay D là trung điểm của BC )
0,25

DA.DH nhận giá trị lớn nhất là
2
4
a
khi D là trung điểm của BC
0,25
ABC
cân tại A hay A là điểm chính giữa của cung BC
Vậy khi A là điểm chính giữa của cung BC thì tích DH.DA đạt giá
trị lớn nhất.
0,25
=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)

+ +
= < =
+ +
+ +
2( n 1 n ) 2( n 1 n ) 1 1
n 1 n
2 n(n 1) n n 1

0,25
Do đó
+ + + < + + +
1 2 2009
1 1 1 1 1 1
a a
1 2 2 3 2009 2010

=
1
1
2010
0,25
Mặt khác:
+

=
ữ

2008 1 2008 2009 2010 2009 2010
1
2010
2009 2010 2009
( )


= = >
2
2009 1
2010 2 2009

0
2010 2009 2010 2009
0,25
nên
<
1 2008
1
2010
2009
. Vậy
<
1 2 2009
2008
a + a + . . . + a
2010
0,25
Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số:
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang
Cõu 1:(2 i m)
1) Rút gọn biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
x y x
P
x y y x y x x y
=

+ + + +
2) Tìm x, y là các số chính phơng để P = 2
3) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010Q = + + + +
Câu 2: (2điểm)
1) Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
A = + + + +
x x 3 2 x 5 6 x 7 12 x 9 20x x x x x+ + + + + + + + +
Tìm x để
5
4050150
A =
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +


+ = +

Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có
n n n n
x y a b
+ = +
3) Cho x, y, z 0 và
x + y + z 3
.

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
Câu 3: (2điểm)
1) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính ph-
ơng
với mọi n là số nguyên dơng. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số
chính phơng.
2)
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh
huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N
xuống đờng thẳng PD.
1) Tính số đo góc NEB.
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
3) CMR: Khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1điểm)
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dơng a
1
, a
2
, , a
n+2
thoả mãn điều
kiện

1

a
1
< a
2
< < a
n+2


3n.
Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số a
i
, a
j

( )
1 j i n + 2
sao cho n < a
i
a
j
< 2n
Hết

Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số:
Hớng dẫn chấm gồm 5 trang


H ớng dẫn chấm
Câu Phần Nội dung
Điểm
ĐK: x

0; y

0; x

1; y

1; x
2
+ y
2
> 0
Mẫu thức chung:
( ) ( ) ( )
1 1a b b a+
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
a a b b ab a b
A
a b b a
+ +
=
+

=
( )
( ) ( ) ( )
1 1
a a a b b b ab a b
a b b a
+ + +
+
0,25
=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1
a b a a b b ab a b
a b b a
+ + +
+

=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
a b a b a ab b ab
a b b a

+ + +

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1
a b a a b a b a a
a b b a

+ + + + +

=
+
0,25

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1
a b a b b a b
a b b a

+ + +

=
+

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
x y x y x xy y

x xy y
x y y x
+ + +
= = +
+
0,25
A = 2


2a ab b+ =


( ) ( )
1 . 1 1a b =
(1)
0,25
Vì a, b là số chính phơng suy ra
,a b
là số tự nhiên. Nên (1) tơng
0,25
đơng với
1 1
1 1
1 1
1 1
a
b
a
b



=




+ =




=




+ =





Suy ra
2 4
0
0
a a
b
b


= =




=
=



3)
0,75 điểm
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 1 2 3 1 1 2
4
k k k k k k k k k k k+ + = + + + + +

với
k Ơ

0,25
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011Q = + + + +
( ) ( )
( )
1 1
1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4
4 4
1

2009.2010.2011.2012 2008.2009.2010.2011
4
= + +
+
0,25
( )
1
1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 2009.2010.2011.2012 2008.2009.2010.2011
4
= + +
( )
1
2009.2010.2011.2012 4087371731776
4
= =
Vậy
4087371731776Q =
0,25
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
A = + + + +
x 1 1 2 2 3 3 4 4 5x x x x x x x x x+ + + + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - -
x 1 x + 1 2 x + 2 3 x + 4 5x x x x
= +
+ + + +
0,25


( )
1 1 5
-
x 5 5x x x
= =
+ +
Để
5
4050150
A =




( )
5 5
5 4050150x x
=
+

0,25



2
5 4050150 0x x+ =
Giải phơng trình này ta đợc
1
2010x =

;
1
2015x =
Vậy với
1
2010x =
hoặc
1
2015x =
thì
5
4050150
A =
.
0,25
Từ x
2
+ y
2
= a
2

+ b
2


(x
2
a
2

) + (y
2
b
2
) = 0
0,25


(x a)(x + b) + (y b)(y + b) = 0 (1)
Vì x + y = a + b

x a = b y Thay vào (1) ta đợc:
( ) ( ) ( )
0b y x a y b
+ + =


0b y
x a y b
=


+ = +

2 Nếu b y = 0

y = b

x = a


n n n n
x y a b
+ = +
0,25
3 Nếu x + a = y + b

x b
y a
=


=




n n n n
x y a b
+ = +
Vậy trong mọi trờng hợp ta có
n n n n
x y a b
+ = +
0,25
Ta có:
( )
2
1 0x +
với
x


Ă



2
2 1x x +



2
2 2
2 1
1
1 1
x x
x x
+
=
+ +



2
1
1 2
x
x

+

.
2 2
1 1
;
1 2 1 2
y z
y z

+ +

0,25



2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
x y z
+ +
+ + +

Vậy biểu thức
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
đạt giá trị lớn nhất bằng

3
2

khi x = 1; y = 1 ; z = 1
0,25
A = (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2)
Đặt n
2
+ 3n = a
A = a(a + 2) = a
2
+ 2a
Vì a > 0 nên a
2
< a
2
+ 2a < a
2
+ 2a + 1
0,25
Do đó a
2
< A < (a + 1)
2
Vậy A không là số chính phơng với mọi n nguyên dơng.
Đặt m = n 3


n = m 3

A = (- m 3)(- m 2)(- m 1)(- m) = m(m + 1)(m + 2)(m +
3)
0,25
Để A là số chính phơng thì m

0

- n 3

0

n

- 3 (1)
Để A là số chính phơng thì n

0 (2)
0,25
Từ (1) và (2)
{ }
n 3; 2; 1;0
(đều thoả mãn)
Vậy với
{ }
n 3; 2; 1;0
thì A là số chính phơng
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
Vẽ hình đúng
0,25
Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB.
+) Xét

DCP và

DBE có:
ã
ã
=DCP DB E
(so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của

ABC)
ã
ã
=CDP BDE
(đối đỉnh)


DCP =

DBE (g.c.g)

CP = BE (1)

0,25
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân
giác của
à
A
nên MNAP là hình vuông.


AN = AP

CP = BN (2)
Từ (1) và (2)

BE = BN


BEN cân tại B


ã
=
0
NEB 45
0,25
+) Gọi O là trung điểm của EN.
Ta có

BEN và

EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN

nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O.
0,25
Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K.
Khi đó:
ã
ã
=
1
OHN KON
2
(