Hớng dẫn ôn tập toán 9
Phần hệ phơng trình
Giáo viên: Trịnh Thị Ngân
THCS Nghĩa Thịnh, Nghĩa Hng,Nam Định
Trong chơng trình toán 9, phần hệ phơng trình chiếm một vị trí quan trọng.
Sau khi dạy xong phần này, tôi thơng hệ thống lại các dạng bài tập để các em
HS có phơng pháp giải cho từng dạng. Sau đây là một số ví dụ:
Dạng 1: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số:



=+
=+
c' yb' xa'
c by ax
Ph ơng pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số
- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho
các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau
hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để đợc một hệ phơng trình mới trong đó
có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là ph-
ơng trình một ẩn số)
+ Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ PT đã
cho
Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ PT đã cho để đợc một hệ PT mới, trong
đó có một PT một ẩn
- Giải PT một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ PT đã cho
Cách 3: Sử dụng pháp đồ thị
Lu ý: Chỉ nên sử dụng phơng pháp này khi bài toán yêu cầu hoặc khi các bài

toán chỉ hỏi về số nghiệm của hệ PT
Cách 4: Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ, hoặc dùng định lí Viet đảo
Bài 1: Giải hệ PT



=
=+
79
1765
yx
yx
Giải:



=
=+
79
1765
yx
yx






=
=+

79
17)79(65
xy
xx






=
=
2
1
y
x
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là



=
=
2
1
y
x
1
Bài 2: Giải hệ PT








=
+
=
+
+
12
7
1
yx
x
yx
x
Giải: ĐKXĐ: x -y
Đặt
t
yx
=
+
1
ta có hệ PT



=
=+

12
7
xt
tx

x và t là 2 nghiệm của PT: X
2
- 7X + 12 = 0
Giải PT đợc X
1
=3, X
2
=4
Trờng hợp 1: Nếu



=
=
4
3
t
x









=
+
=
4
1
3
yx
x







=
=
4
11
3
y
x
(TM)
Trờng hợp 2: Nếu



=
=

3
4
t
x








=
+
=
3
1
4
yx
x








=
=

3
11
4
y
x
(TM)
Vậy hệ PT đã cho có hai nghiệm là





=
=
4
11
3
y
x
hoặc





=
=
3
11
4

y
x
Bài 3: Giải hệ PT







=
+


=
+


0
1
2
1
1
6
2
3
yxyx
yxyx
Giải: ĐKXĐ








2
y
x
yx
Đặt
a
yx
=
2
1
,
b
yx
=
+
1
thì hệ PT đã cho trở thành



=
=
0
163

ba
ba









=
=
3
1
3
1
b
a





=+
=
3
32
yx
yx







=
=
1
2
y
x
(TM)
Vậy hệ pt đă cho có nghiệm: (x;y) = (2;1)
Bài 4: Giải hệ PT





=++
=+
152512
2231
yx
yx
Giải: ĐKXĐ: x

1; y


-2
2
Đặt





=+
=
by
ax
2
1
(a

0; b

0)
Hệ PT đã cho trở thành



=+
=
1552
23
ba
ba







=
=
1
5
b
a
(TM)







=+
=
12
51
y
x







=+
=
12
251
y
x






=
=
1
26
y
x
(TM)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y) = (26;-1)
Dạng 2: Hệ PT đối xứng loại 1: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng PT
vẫn không thay đổi.
Ph ơng pháp giải: Biến đổi, đa về hệ PT theo 2 biến mới là



=
+=
xyP

yxS
với điều
kiện S
2


4P
Bài 1: Giải hệ PT



=+
=++
30
11
22
xyyx
xyyx
Giải: Hệ PT đã cho




=+
=++
30)(
11
yxxy
xyyx
Đặt x+y=u; xy=v hệ PT trở thành




=
=+
30
11
uv
vu


u và v là nghiệm của PT
X
2
- 11X+30=0

X
1
=6, X
2
=5
Trờng hợp 1:



=
=
5
6
v

u






=
=+
5
6
xy
yx


x,y là nghiệm của PT: t
2
-6t+5=0

t
1
=1, t
2
=5
Do đó



=
=

5
1
y
x
hoặc



=
=
1
5
y
x
Trờng hợp 2:



=
=
6
5
v
u







=
=+
6
5
xy
yx


x, y là nghiệm của PT: m
2
-5m+6=0

m
1
=3, m
2
=2
Do đó:



=
=
2
3
y
x
hoặc




=
=
3
2
y
x
Vậy hệ PT đã cho có 4 nghiệm là



=
=
5
1
y
x
;



=
=
1
5
y
x
;




=
=
2
3
y
x
;



=
=
3
2
y
x
Bài 2: Giải hệ PT





=
=
4
111
64
yx
xy

Giải: ĐKXĐ: x

0; y

0
3
Hệ PT đã cho









=+
=
4
1
)
1
(
1
64
1
)
1
(
1

yx
yx
. Do đó
x
1
và -
y
1
là nghiệm của PT
X
2
-
4
1
X+
64
1
=0

X
1
=X
2
=
8
1
. Do đó








=
=
8
11
8
11
y
x





=
=
8
8
y
x
(TM)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là (x;y) = (8;-8)
Bài 3: Giải hệ PT






=+
+=++
6
232
22
xy
xyyx
Giải: Từ (1),(2)

x
2
+y
2
+2(x+y+xy) =6+2(2+3
2
)

(x+y)
2
+ 2(x+y) +1=3
2
+2.3.
2
+2

(x+y+1)
2
= (3+
2

)
2

1++ yx
= 3+
2





=++
+=++
231
231
yx
yx






=+
+=+
24
22
yx
yx
Từ (1) và (3)








+=+
=
22
22
yx
xy

x, y là nghiệm của PT: X
2
(2+
2
)X +2
2
=0

X
1
=2; X
2
=
2






=
=
2
2
y
x
hoặc



=
=
2
2
y
x
Từ (1) và (4)







=+
+=
24

246
yx
xy

x, y là nghiệm của PT: m
2
+ (4+
2
)m + 6 +4
2
=0
PT này có

= - 6 - 8
2
< 0

PT vô nghiệm
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là



=
=
2
2
y
x
hoặc




=
=
2
2
y
x
Bài 4: Giải hệ PT





=+
=+++
2
11
433
yx
yx
Giải: ĐKXĐ: x

-3; x

0; y

-3; y

0;

4
(1)
(2)
(3)
(4)
Hệ PT đã cho







=+
=+++++
xyyx
yxxyyx
2
109332
Đặt x+y=S; xy=P hệ PT trở thành:





=
+++
ps
sps
2

932
Thay (2) vào (1) đợc
pp =+ 597
Bình phơng hai vế, rút gọn

P =1. Thay vào (2)

S =2
Do đó



=+
=
2
1
yx
xy






=
=
1
1
y
x

(TM)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là (x;y) = (1;1)
Dạng 3: Hệ PT đối xứng loại 2: Nếu ta thay đổi vai trò của x; y thì PT này
chuyển thành PT kia
Phơng pháp thờng dùng khi giải PT đối xứng loại 2: Trừ 2 PT với nhau
để nhận đợc PT mới dạng PT tích
Bài 1: Giải hệ PT





=+
=+
023
023
2
2
xy
yx
Giải: Trừ theo vế PT (1) và (2) đợc x
2
y
2
+ 3(x-y) = 0

(x - y)(x + y +3) = 0






=++
=
03
0
yx
yx
TH1: x y = 0

x = y thay vào PT (1) đợc x
2
3x + 2 = 0

x
1
=1; x
2
=2

Hệ PT có nghiệm



=
=
1
1
y
x

hoặc



=
=
2
2
y
x
TH2: x + y + 3 = 0

y = -x 3 thay vào (1) đợc x
2
+ 3x + 11 = 0
PT này vô nghiệm (vì

= -35 < 0)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là (x;y) = (1;1) hoặc (x;y) = (2;2)
Bài 2: Giải hệ PT





=+
=+
xy
yx
21

21
3
3
Giải: Trừ vế PT (1) và (2) đợc x
3
y
3
= 2(y-x)

(x-y)(x
2
+ y
2
+xy +2) = 0

x y = 0 (vì x
2
+ y
2
+xy +2 >0 với

x, y)

x = y
Thay vào PT (1) đợc x
3
2x +1 = 0

x
1

=1; x
2
=
2
51+
; x
3
=
2
51
5
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là



=
=
1
1
y
x
;








+
=
+
=
2
51
2
51
y
x
;








=

=
2
51
2

51
y
x
Bài 3: Giải hệ PT





=++
=++
33
33
xy
yx
Giải: ĐKXĐ: x

- 3; y

- 3;
Ta thấy x = y = -3 khhông là nghiệm của PT x > -3; y > -3
Trừ vế (1) và (2) đợc x y +
3+y
-
3+x
=0

(x+3) (y+3) +
3+y
-

3+x
= 0

(
3+x
)
2
(
3+y
)
2
+
3+y
-
3+x
= 0

(
3+x
-
3+y
)(
3+x
+
3+y
) (
3+x
-
3+y
) = 0


(
3+x
-
3+y
)(
3+x
+
3+y
- 1) = 0





=+++
+=+
133
33
yx
yx







=+++
=

133 yx
yx
TH1: x = y thay vào (1) ta đợc
x +
3+x
= 3


3+x
=3 x ĐK: x

3
Bình phơng 2 vế, thu gọn đợc x
2
7x + 6 = 0

x
1
= 1 (TM); x
2
= 6 (loại)
Với x =1

y =1

(x;y) = (1;1) là nghiệm của hệ PT
TH2:
3+x
+
3+y

= 1
Thay
3+y
= 1 -
3+x
vào (1) đợc x + 1 -
3+x
= 3


3x
= x 2 ĐK: x

2
Bình phơng 2 vế PT trở thành x
2
- 5x + 7 = 0 có

= - 3 < 0


PT này vô nghiệm
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y) = (1;1)
Bài 4: Giải hệ PT








=+
=+
yx
y
xy
x
32
32
Giải: ĐK: x

0; y

0
Hệ PT







=+
=+
xyxy
yxyx
32
32
2
2

Trừ vế (1) và (2) đợc x
2
y y
2
x + 5x 5y =0
6
(2)
(1)
(2)
(1)

(x-y)(xy+5) = 0





=
=
5xy
yx
TH1: x = y thay vào (1) đợc x
3
x = 0

x(x
2
-1) = 0

x

1
= 1; x
2
=-1 (vì x

0)
TH2: xy = -5 thay vào (1) đợc -5x + 2x = 3y

x = - y
Mà xy = -5

x
2
= 5

x =
5
; hoặc x= -
5
Vậy hệ PT đã cho có 4 nghiệm là (x;y) = (1;1); (-1;-1); (
5
;-
5
) ;
(-
5
;
5
)
Bài 5: Giải hệ PT:






+=+
+=+
153
153
3
3
xy
yx
Giải: Trừ theo vế của (1) và (2) đợc
3
53 +x
+ x =
3
53 +y
+ y
Nếu x > y

VT(3) > VP(3) : Loại
Nếu x < y

VT(3) < VP(3) : Loại
Do đó x = y thay vào (1) đợc
3
53 +x
= x + 1


3x + 5 = (x+1)
3


x
3
+ 3x
2
4 = 0

(x-1)(x+2)
2
= 0

x
1
= 1; x
2
= - 2
Vậy hệ PT có 2 nghiệm là: (x;y) = (1;1); (-2;-2)
Dạng 4: Hệ PT có chứa tham số
1, Giải và biện luận hệ PT
Bài 1: Giải và biện luận hệ PT sau theo tham số m



=+
+=+
32

12
myx
mymx
Giải: Từ PT (1)

y =
2
1 mxm +
thay vào PT (2) đợc
(m+2)(m-2)x = (m+3)(m-2)
* Nếu (m+2)(m-2) = 0

m = 2 hoặc m = -2
- Với m = 2

PT (3) trở thành 0x = 0 có vô số nghiệm

Hệ PT có vô số nghiệm
Dạng tổng quát nghiệm của hệ PT là (x

R; y =
2
1 mxm +
)
- Với m = -2

PT (3): 0x = - 4 (Vô lý)

Hệ PT vô nghiệm
7

(2)
(1)
(3)
(2)
(1)
(3)
* Nếu (m+2)(m-2)

0

m

2 và m

- 2

PT (3) có nghiệm duy nhất x =
2
3
+
+
m
m

Hệ PT có nghiệm duy nhất








+
=
+
+
=
2
1
2
3
m
y
m
m
x
Bài 2: Cho hệ PT



+=
=+
323
1
mmymx
myx
a, Giải hệ PT khi m = - 3
b, Giải và biện luận hệ PT theo m
Giải:
a, Khi m = -3 ta có hệ PT




=+
=
393
13
yx
yx






=
=
13
13
yx
yx

Hệ PT có vô số nghiệm (x = 3y +1;

y

R)
b, Từ PT (1)

x = 1 my thay vào (2) đợc -m(m+3)y = m+3

- Nếu m = 0

hệ PT vô nghiệm
- Nếu m = -3

hệ PT vô số nghiệm
- Nếu m

0 và m

-3

hệ PT có nghiệm duy nhất





=
=
m
y
x
1
2
2, Tìm điều kiện của tham số để hệ PT có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr -
ớc
Bài 1: Cho hệ PT




=+
=+
12
12
ymx
myx
a, Giải và biện luận hệ PT theo m
b, Tìm các số nguyên m để hệ PT có nghiệm duy nhất (x;y) với x; y là những
số nguyên
Giải:
a, Tự giải

kết quả
- Nếu m = 2

hệ PT vô số nghiệm
- Nếu m = -2

hệ PT vô nghiệm
- Nếu m

2 và m

- 2

hệ PT có nghiệm duy nhất x = y =
2
1
+m

8
(2)
(1)
(2)
(1)
b, Với m

2 và m

- 2 thì hệ PT có nghiệm duy nhất x = y =
2
1
+m
là số
nguyên


2
1
+m
là số nguyên





=+
=+
12
12

m
m






=
=
3
1
m
m
(TM)
Vậy m = -1 hoặc m = -3 là giá trị cần tìm
Bài 2: Cho hệ PT



=+
=+
4
104
myx
mymx
Với giá trị nguyên nào của m thì hệ PT có nghiệm (x;y) với x; y là những số
nguyên dơng
Giải: Tự giải và biện luận


với m

2 thì hệ PT có nghiệm duy nhất







+
=
+

=
2
5
2
8
m
y
m
m
x
Với m = 2 thì hệ PT vô số nghiệm
Với m = -2 thì hệ PT vô nghiệm
Để hệ PT có nghiệm nguyên dơng trớc hết cần m+2 là ớc nguyên dơng của 5






=+
=+
52
12
m
m






=
=
3
1
m
m
Khi m = -1

x = 9 và y = 5 (TM)
Khi m = 3

x = 1 và y = 1 (TM)
Khi m = 2

hệ PT có vô số nghiệm thoả mãn x + 2y = 4


x = 4
2y
Vì x > 0

4 2y > 0

y < 2 mà y nguyên dơng

y =1 và x =2
Tóm lại: Với m =-1 hệ PT có nghiệm nguyên dơng x = 9 và y = 5
Với m = 2 hệ PT có nghiệm nguyên dơng x =2 và y = 1
Với m =3 hệ PT có nghiệm nguyên dơng x = 1 và y = 1
Bài 3: Cho hệ PT



+=
=
52
13)1(
myx
mmyxm
a, Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ PT cố nghiệm duy nhất
(x;y) mà S = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất
b, Tìm m để hệ PT có nghiệm thoả mãn x > 0 và y < 0
Giải:

a, Từ PT (2)

y = 2x m 5 thay vào PT (1) đợc (m+1)x = (m+1)
2
Với m

-1 PT có nghiệm duy nhất x = m + 1
9
(2)
(1)
(2)
(1)

hệ PT có nghiệm duy nhất



=
+=
3
1
my
mx
Khi đó S = (m+1)
2
+ (m-3)
2
= 2(m-1)
2
+ 8


8 với

m

Min S = 8 khi m = 1
b, Với m

-1

hệ PT có nghiệm thoả mãn x > 0 và y < 0





<
>+
03
01
m
m






<
>

3
1
m
m


-1 < m < 3
Vậy -1 < m < 3 thì hệ PT có nghiệm thoả mãn x > 0 và y < 0
Bài 4: Cho hệ PT



=
=++
2
12)1(
2
mymx
mmyxm
Tìm m để hệ PT có nghiệm (x;y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhất
Giải: Tự giải

hệ PT có nghiệm



=
=
my
mx

2
1
với

m

P = (m-1)(2-m) =
4
1
- (m-
2
3
)
2



4
1

Max P =
4
1
khi m =
2
3
Bài 5: Cho hệ PT




=
=+
12
2
ymx
myx
a, Tìm số nguyên m để hệ PT có nghiệm duy nhất (x;y) mà x > 0 và y < 0
b, Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x; y là các số
nguyên
Giải: a, Tự giải

hệ PT có nghiệm duy nhất







+

=
+
+
=
2
12
2
4
2

2
m
m
y
m
m
x
với

m
Hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn x > 0 và y < 0









<
+

>
+
+
0
2
12
0

2
4
2
2
m
m
m
m





<
>+
012
04
m
m


-4 < m <
2
1
Mà m là số nguyên

m = -3; -2; -1; 0
b, Với

m, hệ PT có nghiệm duy nhất x =

2
4
2
+
+
m
m
và y =
2
12
2
+

m
m
ta có: x là số nguyên

m + 4 chia hết cho m
2
+ 2
10


m
2
+ 2


4+m
y là số nguyên


2m 1 chia hết cho m
2
+ 2


m
2
+ 2


12 m
Nh vậy ĐK cần của m là







++
+
42
122
2
2
mm
mm
Xét điều kiện m
2

+ 2


12 m







+
+
)2(12
212
2
2
mm
mm






+
+
0)1(
02)1(
2

2
m
m







Khi m = -1









+

=
+
+
=
21
3
21
41

y
x






=
=
1
1
y
x
(TM)
Vậy với m = -1 thì hệ PT có nghiệm duy nhất là các số nguyên
Bài 6: Cho hệ PT



=++
+=+
2)1(
12
ymx
mmymx
a, Chứng minh rằng nếu hệ PT có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x;y)
luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi
b, Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần t thứ nhất của mặt phẳng
toạ độ

c, Xác định m để điểm M thuộc đờng tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính
bằng
5
Giải:
a, Tự giải

khi m khác 0 và 1 thì hệ PT có nghiệm duy nhất: x =
m
m 1

và y =
m
1
Ta có: x = 1 -
m
1


x = 1 y

x + y = 1

y = - x +1
Vậy điểm M(x;y) luôn thuộc đờng thẳng y = - x + 1 cố định với

m
b, Để điểm M(x;y) thuộc góc vuông phần t thứ nhất thì x > 0 và y > 0
11
m nguyên
vô nghiệm

m = - 1










>
>

0
1
0
1
m
m
m


m > 1
c, Đờng tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng
5
có PT: x
2
+ y
2

= 5

Cần xác định m sao cho (
m
m 1
)
2
+ (
m
1
)
2
= 5 (với m

0; 1)

4m
2
+ 2m 2 = 0

m = -1 hoặc m =
2
1
(TM)
Vậy m = -1 hoặc m =
2
1
là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho hệ PT




+=+
=
3
63
nymx
yx
. Tìm các giá trị của m và n để
a, Hệ có nghiệm duy nhất
b, Hệ vô nghiệm
c, Hệ có vô số nghiệm
Giải: Hệ PT



+=+
=
3
63
nymx
yx






++=
=

3
63
nmxy
xy
a, Hệ PT đã cho có nghiệm duy nhất

(d1) cắt (d2)

3

- m

m

- 3
b, Hệ PT đã cho vô nghiệm

(d1) // (d2)





+
=
36
3
n
m








=
9
3
n
m
c, Hệ PT đã cho vô số nghiệm

(d1) trùng với (d2)



+=
=
36
3
n
m






=

=
9
3
n
m
Bài 8: Cho hệ PT





=+
=+
myx
yx
22
1
(I)
a, Giải hệ khi m =
9
17
b, Tìm m để hệ PT có nghiệm
Giải:
a, Với m =
9
17
khi đó:
(I)








=+
=+
9
17
2)(
1
2
yxyx
yx








=
=+
9
4
1
yx
yx
(II)

Nên
x
và y là 2 nghiệm của PT: t
2
+ t -
9
4
= 0 (3)
12
(d
1
)
(d
2
)
(2)
(1)
PT (3) có 2 nghiệm:
3
1
hoặc -
3
4
Vậy hệ PT đã cho có hai nghiệm








=
=
3
4
3
1
1
1
y
x
;







=
=
3
4
3
1
2
2
y
x
b, Hệ PT (I)








=+
=+
myxyx
yx
2)(
1
2









=
=+
2
1
1
m
yx

yx
(III)
Nên
x


0 và y là 2 nghiệm của PT: t
2
+ t +
2
1 m
= 0 (4)
Nên hệ (I) có nghiệm

PT (4) có nghiệm không âm
PT (4) có S = - 1 < 0 và P =
2
1 m
nên PT (4) có nghiệm không âm khi:
Trờng hợp 1: PT (4) có nghiệm t = 0. Khi đó m =1 và PT (4) có 2 nghiệm
là 0 và -1 (thoả mãn)
Trờng hợp 2: PT (4) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dơng (vì S = -1 < 0)
Khi đó P =
2
1 m
< 0

m > 1
Tóm lại: Với m


1 thì hệ PT đã cho có nghiệm
Dạng 5: Hệ PT không mẫu mực (hệ PT phi tuyến)
Bài 1: Giải hệ PT





=+
=+
6
5
3223
22
yxyyxx
yxyx
Giải: Biến đổi hệ PT về dạng





=
=+
6))((
5)()(
22
22
yxyx
yxyx

Đặt u = x
2
y
2
; t = x y ta có hệ PT



=
=+
6
5
ut
tu


u, t là hai nghiệm của PT: X
2
5X + 6 = 0

X
1
= 2 và X
2
= 3
Xét 2 trờng hợp:
- Nếu u = 2; t = 3






=
=
3
2
22
yx
yx








=
=+
3
2
3
yx
yx











=
=
6
7
6
11
y
x
13
- Nếu u = 3; t = 2





=
=
2
3
22
yx
yx









=
=+
2
2
3
yx
yx










=
=
4
1
4
7
y
x
Vậy hê PT đã cho có nghiệm là (x;y) = (

6
11
; -
6
7
); (
4
7
; -
4
1
)
Bài 2: Giải hệ PT





=+
=+
28
12
yyxx
xyyx
Giải: Hệ PT








=+
=+
28
3633
yyxx
xyxx
ĐK: x

0 ; y

0
Cộng vế (3) và (4) đợc (
yx +
)
3
= 64


yx +
= 4 (5)
Từ (1)


12)( =+ yxxy



3=xy

(6)
Từ (5) và (6)


x
và
y
là nghiệm của PT: X
2
4X + 3 = 0

X
1
= 1; X
2
= 3

x = 1 và y = 9 (TM) hoặc x = 9 và y = 1 (TM)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là (x y) = (1; 9); (9; 1)
Bài 3: Giải hệ PT





=++
=++
36)12(
51
2

yxx
yx

Giải: ĐK: y

0
PT (x
2
+2x + 1)y = 36


61 =+ yx
Đặt
ux =+1
;
vy =
(u

0; v

0)
Ta có hệ PT



=
=+
6
5
uv

vu






=
=
3
2
v
u
hoặc



=
=
2
3
v
u
- Trờng hợp



=
=
3

2
v
u






=
=
9
1
y
x
hoặc



=
=
9
3
y
x
- Trờng hợp



=

=
2
3
v
u






=
=
4
2
y
x
hoặc



=
=
4
4
y
x
Tóm lại: Hệ PT đã cho có 4 nghiệm (1;9); (-3;9); (2;4); (-4;4)
Bài 4: Giải hệ PT






+=
+=
+=
)(34
)(65
)(23
zxxz
zyyz
yxxy
Giải:
- Nếu x = 0

x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ PT
14
(2)
(1)
(4)
(3)
- Nếu x

0

y

0 và z


0
Khi đó hệ đã cho











=
+
=
+
=
+
3
4
6
5
2
3
zx
xz
yz
zy
xy

yx














=+
=+
=+
3
411
6
511
2
311
xz
zy
yx
Cộng vế (1); (2); (3)



6
11111
=++
zyx
(4)
Lấy (4) trừ lần lợt các PT (1), (2), (3) đợc









=
=
=
3
11
2
11
1
1
z
y
x









=
=
=
3
2
1
z
y
x
(TM)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là (x;y;z) = (0;0;0) hoặc (1;2;3)
Bài 5: Giải hệ PT





=+
=+
xyxyyx
xyxyyx
2)1()1(
11
Giải: ĐK: x


1; y

1
Khi đó PT (1)

2xy = 2x
1y
+ 2y
1x

(xy 2x
1y
) + (xy 2y
1x
) = 0

x(y -1 - 2
1x
+ 1) + y(x -1 - 2
1y
+1) = 0

x(
1y
- 1)
2
+ y(
1x
- 1)
2

= 0







=
=
011
011
x
y
(vì x

1; y

1)





=
=
2
2
x
y

(TM)
Các giá trị x = 2 và y = 2 cũng thoả mãn PT (2)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm (x;y) = (2;2)
Bài 6: Giải hệ PT





=++
=+++
4
3
133)2110(44
2
zyx
yxzzyx
Giải: ĐK: x y + 3

0
15
(2)
(3)
(1)
(2)
(1)
(1)
(2)
Khii đó PT (1)


4(x y + 3) + [(z - 5)
2
4]
3+ yx
+ 1 = 0

[4(x y + 3) - 4
3+ yx
+1] + (z - 5)
2
3+ yx
= 0

(2
3+ yx
- 1)
2
+ (z - 5)
2
3+ yx
= 0







=+
=+

03)5(
0132
2
yxz
yx










=
=+
0
2
1
.)5(
2
1
3
2
z
yx








=
=
5
4
11
z
yx








=
+=
5
4
11
z
yx
Kết hợp với PT (2)

hệ PT đã cho có nghiệm duy nhất là:
(x;y;z) = (-

2
7
; -
4
3
; 5)
Bài 7: Giải hệ PT





+=
=
2
2
3
126
xxy
yxy
Giải: ĐK: xy

6
Hệ PT








=
=+
1244
126
2
2
xxy
yxy
Trừ vế (1); (2) đợc y
2
4xy + 4x
2
+
6xy
= 0

(y-2x)
2
+
6xy
= 0







=

=
06
2
xy
xy






=
=
6
2
xy
xy






=
=
3
2
2
x
xy






=
=
3
2
x
xy








=
=
3
32
x
y
(TM) hoặc






=
=
3
32
x
y
(TM)
Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là





=
=
32
3
y
x
;





=
=
32
3

y
x
16
(2)
(1)