HƯỚNG DẪN ÔN TẬP
DẠNG1:CHIA TỬ VÀ MẪU CHO n
BẬCCAO I
Bài1.Tính các giới hạn của dãy số
1)
−
+
2 1
lim
3 1
n
n
2)
+
−
2
2
3 1
lim
5 1
n
n
3)
+
+
2
1
lim
3
n
n

4)
+
+
2
2
3 4
lim
1
n
n

5)
− −
− +
2
2
2 3 1
lim
2
n n
n
6)
2
2
7 5 1
lim
2 4
n n
n
− +

+

7)
2
2 1
lim
3
n
n n
+
+
8)
2
3 7 5
lim
(2 1)(3 4)
n n
n n
− +
+ +

9)
3
3 2
2 3 1
lim
n n
n n
− +
+

10)
2
3 1
lim
2 1
n n
n
+ +
+
11)
2
2
3 1
lim
1 2
n n
n
+ +
−

12)
3
3
8
lim
2
n n
n
+
+

13)
2 2
3
( 1)( 1)
lim
( 1)(2 3)
n n
n n
+ −
+ +
;
14)
2
2
lim
2 1
n n
n n n
+
+ +
;
15)
3
2
4 2 1
lim
3
n n
n n
+ −

+
; 16)lim
2
2 4
(3 5)( 4 1)
7
n n n
n n
+ − −
+
DẠNG 2: CHIA TỬ VÀ MẪU CHO
LUỸ THỪA CÓ CƠ SỐ LỚN NHẤT:
Bài2.Tính các giới hạn của dãy số
1)
+3 1
lim
3
n
n
2)
4 1
lim
4 1
n
n
+
−

3)
+

+
3 5.4
lim
4 2
n n
n n
4)
1 1
3 2
lim
3 2
n n
n n
+ +
−
+

5)
1
4.3 5
lim
3.2 5
n n
n n
+
+
+
6)
( 1)
lim

( 1)
n
n
n
n
+ −
− −
DẠNG 3:NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
Bài 3. Tính các giới hạn của dãy số
1)
− −
2
lim( )n n n

2)
2 2
lim( 2)n n n+ − +

3)
− +
2
lim( )n n n
(nl)
4)
2
lim( 1 )n n n− + −

DẠNG 4:TÍNH TỔNG CỦA CẤP SỐ
NHÂN LÙI VÔ HAN:
Bài3a.Tính tổng các cấp số nhân lùi

vô hạn sau:
a)
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 4 8 2
n−
 
− − −
 ÷
 
b)
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
3 9 27 3
n−
 
 ÷
 
ĐS: a/2/3 b/3/2
Bài 3b: Đưa các số thập phân vô
hạn tuần hoàn sau về phân số.
a/ 0,555… b/ -0,888…
c/ 2,666…. d/ -3,2222…
e/5,3131… f/ -6,7878…
ĐS: a/ 5/9 b/-8/9 c/ 8/3
d/ -29/9 e/526/99 f/-672
/99
DẠNG 1:VÔ ĐỊNH (

0
0
)
Bài 4. Tính các giới hạn của hàm số
1)
2
1
3 5
lim
1
x
x x
x
→
+ +
+
2)
2
1
2
4 1
lim
3 2
x
x x
x
→ −
− +
+
3)

→
−
−
2
2
4
lim
2
x
x
x
4)
→
−
−
2
1
1
lim
1
x
x
x

5)
→
−
−
2
2

4
lim
2
x
x
x
6)
→
− +
−
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x

7)
→
−
−
5
5
lim
5
x
x
x

8)
→−
+ −
+
2
2
5 3
lim
2
x
x
x
9)
→−
+
+ −
2
3
3
lim
2 3
x
x
x x
10)
→
+ −
−
2
1

2
lim
1
x
x x
x
11)
2
2
1
1
lim
3 2
x
x
x x
→ −
−
+ +
12)
1
lim
1
x
x x
x
→
−
−
Bài 5a .Tính các giới hạn của hàm số

1)
→−
−
+
2
2
4
lim
2
x
x
x
2)
→
+ −
−
2
1
2 3
lim
1
x
x x
x

3)
2
2
lim
4 1 3

x
x x
x
→
− +
+ −
4)
→
+ −
−
6
3 3
lim
6
x
x
x

5)
2
7
2 3
lim
49
x
x
x
→
− −
−

6)
3
0
1 1
lim
3
x
x
x
→
− −

Bài 5b: Tính các giới hạn sau:
a/
2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
−
b/
2
1
3 2
lim

1
x
x x
x
→
− +
−

c)
2
3
3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
d)
3
2
1
1
lim
1
x
x
x

→
−
−
e)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
f)
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −

g)
2

3
9
lim
1 2
x
x
x
→
−
+ −
h)
4
2 1 3
lim
2
x
x
x
→
+ −
−

i)
1
2 1
lim
5 2
x
x
x

→−
+ −
+ −
k)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
−
→
− +
−

ĐS:a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3
f) -6 g) 2 h) 4/3 i) 2 k) 0

DẠNG 2: CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
CÒN LẠI:
Bài 6a Tính các giới hạn của hàm số:
(Dạng giới hạn một bên)
1)
( )
→
−
−
2

4
1
lim
4
x
x
x
2)
−
→
−
−
3
2 1
lim
3
x
x
x


3)
+
→
−
−
3
2 1
lim
3

x
x
x
4)
−
→
−
−
1
2 7
lim
1
x
x
x

5)
( )
→
−
−
2
2
3 5
lim
2
x
x
x
6)

4
2 5
lim
4
x
x
x
−
→
−
−

7)
2
1
lim
2
x
x
x
−
→
−
−
8)
3 2
2
1
lim
x

x x
x
→+∞
+ +
Bài 6b Tính các giới hạn của hàm số:
(Dạng giới hạn một bên)
a)
3
1
lim
3
x
x
x
−
→
+
−
b)
( )
2
4
1
lim
4
x
x
x
→
−

−

c)
3
2 1
lim
3
x
x
x
+
→
−
−
d)
2
2 1
lim
2
x
x
x
+
→−
− +
+
e)
2
0
2

lim
x
x x
x x
−
→
+
−
f)
1
3 1
lim
1
x
x
x
−
→−
−
+
ĐS: a) - ∞ b) - ∞ c) +
∞

d) +
∞
e) 1 f) +
∞
.
Bài7Tính các giới hạn của hàmsố 1)
→+∞

−
−
2
1
lim
1
x
x
x
2)
→+∞
−
+
2
3
lim
2
x
x x
x
3)
→+∞
−
+
2
2
3 2
lim
1
x

x x
x
4)
(
)
→+∞
− − +
2 2
lim 1
x
x x x
5)
→+∞
−
−
2
2
1
lim
2 1
x
x
x
6)
→+∞
−
+
2
2
2 5

lim
3
x
x
x
Bài 7b Tính các giới hạn của hàm số:
(Dạng
∞
∞
)
a)
3
3 2
5 1
lim
2 3 1
x
x x
x x
→+∞
− + −
+ +
b)
3
3 2
lim
2 1
x
x
x

→−∞
− +
+
c)
3 2
2
5 1
lim
3
x
x x
x x
→−∞
− +
+
d)
5 3
2 3
2 4
lim
1 3 2
x
x x x
x x
→+∞
+ −
− −

2
3 2

5 1
) lim
2 3 1
x
x
e
x x
→+∞
−
+ +
f)
2 2
2 4 1
lim
2 5
x
x x x
x
→−∞
+ − +
−
ĐS: a) -1/2 b) -∞ c) - ∞
d) -∞ e) 0 f) -1/5
Bài 7c: Tìm giới hạn của các hàm
số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)
(
)
2
lim 1

x
x x
→+∞
+ −
b)
(
)
2 2
lim 2 1
x
x x x
→+∞
+ − +
c)
(
)
2
lim 4 2
x
x x x
→−∞
− +
d)
(
)
2 2
lim 1
x
x x x
→−∞

− − −
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) ½
Bài 7d: Tìm giới hạn của các hàm
số sau: (Dạng: a.∞)
a)
3 2
lim ( 2 3 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
b)
4 3
lim ( 5 3)
x
x x x
→+∞
− + + −
c)
2
lim 4 2
x
x x
→+∞
+ +
d)
(
)
2
lim 2

x
x x x
→−∞
+ +
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞
d) +∞ e) - ∞ f) + ∞
DẠNG 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI 1
ĐIỂM:
Bài 8:Xét tính lt của hàm số f(x) tại
x
0
đã chỉ ra:
a)
+

≠

=
−



3
,
( )
1
x
f x
x
nÕu x -1

2, nÕu x = -1
tại
điểm x
0
= -1
b)

− −
≠

=
−



2
2 3
, 3
( )
3
x x
f x
x
nÕu x
5, nÕu x = 3

tại điểm x
0
= 3
c)

2
4
-2
( )
2
4 -2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=
+


− =

tại
x
0
= -2 d)
2
4 3
khi x 3
( )
3

5 khi 3

− +
≠

=
−


=

x x
f x
x
x
tại x
0
= 3
e)
2
2 3 5
1
( )
1
7 1

+ −
≠

=

−


=

x x
khi x
f x
x
khi x

tại x
0
= 1
f)
2 1
3
( )
3
3 3

− +
≠

=

−

=


x
khi x
f x
x
khi x

tại x
0
= 3
g/
2
2
2
( )
2
2 2 2

−
≠

=
−


=

x
khi x
f x
x

khi x

tại x
0
=
2
ĐS: a) không b) không c) có d)
không; e) có ; f) không; g) có
Bài 8b: Xét tính lt của hàm số f(x)
tại x
0
đã chỉ ra:
a)
3 2,
( )
x
f x
+

=

≥

2
nÕu x < -1
x -1, nÕu x -1

tại điểm x
0
= -1

b)
1
,
( )
2 1
x
f x
x
−


=
− −


≥

nÕu x < 1
-2x, nÕu x 1

tại điểm x
0
= 1
c)
2
2
( )
1 1
3 4 2
−


>

=
− −


− ≤

x
khi x
f x
x
x khi x

tại x
0
= 2
ĐS: a)không b)có c) có
DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC
TRÊN KHOẢNG:
Bài 9: Cho hàm số:
a)
2
3 2
2
( )
2
1 2


− +
≠

=
−


=

x x
khi x
f x
x
khi x
b)
( )
2
1
2
2
( )
3 2
x
khi x
x
f x
khi x
−

≠


−
=


=

ĐS: a) hsliên tục trên R ;
b) hs liên tục trên mỗi khoảng
(-∞; 2), (2; +∞) và gián đọan tại
x = 2
Bài 10: cho f(x)=





=−
≠
−
−−
)3x(2x2
)3x(
3x
3x2x
2

ĐS: liên tục trên R
Bài 11: Xét tính liên tục của hàm số
trên TXĐ của nó.

a) Cho f(x) =





≤+
>
−
−
)3x(1x3
)3x(
3x
27x
3

b)
( )
2
2
x 2
2
5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi

− −

>

=
−


− ≤

c)
( )
2
2
0
0 1
2 1 1
<


= ≤ <


− − + ≥

x khi x
f x x khi x
x x khi x
ĐS: a) hs liên tục trên (-∞; 3),
(3; +∞) và gián đọan tại x = 3
b)liên tục trên R
c) hs liên tục trên (-∞; 1), (1; +∞)

và gián đọan tại x = 1.
Bài12:Tìm a để hàm số liên tục tại x
0
a)Cho f(x)







=−
≠
−
−+
)2x(
4
7
ax
)2x(
2x
22x
tại x
0
= 2.
b)
( )
2
2
1

1
1
x x
khi x
f x
x
a khi x

− −
≠ −

=
+


= −


với x
0
= -1
c)
7 3
2
( )
2
1 2

+ −
≠


=

−

− =

x
khi x
f x
x
a khi x

với x
0
= 2 ĐS : a) a=1 ; b)a= -3
Bài 13 Tìm điều kiện của số thực a
sao cho các hs sau liên tục tại x
0
:
a)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<

=

− ≥

với x
0
= 1 ĐS: a=2
b)
2
3 1 1
( )
2 1 1
x khi x
f x
a khi x

− <
=

+ ≥

tại
x
0
=1.ĐS a=1/2
Bài 14:
Cho f(x) =






>−
=
<−+
)2x(b4ax
)2x(3
)2x(1bxax
2
Tìm a, b để hàm số liên tục tại x =2.
Bài 15:
a) Cho f(x) =



≥+
<++
)1x(ax
)1x(1x2x
2
Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên R
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG
TRÌNH CÓ NGHIỆM
Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục
trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì pt f(x)
= 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong
khoảng (a;b) .
Bài 16:CMR 4x
4
+2x

2
–x -3 = 0 có ít
nhất 2 nghiệm phân biệt trên khoảng
( -1;2).
Bài 17:CMR x
3
– 3x +1 =0 có 3
nghiệm phân biệt.
Bài 18: CMR cosx = 2x có nghiệm.
Bài 19: CMR
a)
4
5 2 0x x− + =
có ít nhất 1ng
0
.
b)
5
3 7 0x x− − =
có ít nhất 1ng
0
.
c)
3 2
2 3 5 0x x− + =
có ít nhất 1ng
0

d)
3

2 10 7 0x x− − =
có ít nhất 2ng
0

d)cosx = x có ít nhất 1 nghiệm
thuộc khoảng (0; π/3)
e)cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất
2 nghiệm.
f)
3 2
3 1 0x x+ − =
có 3 nghiệm
phân biệt.
g)x
3
– 2x
2
+ 1 = 0 có ít nhất một
nghiệm âm.
h)
( )
( )
3
2 2
1 1 3 0m x x x− + + − − =

luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc
khoảng (-1; -2
i)
( )

( )
3
2 4
1 4 3 0m x x x− − + − =

luôn có ít nhất 2 ng
0
với mọi m)
ĐÁP SỐ
Bài 1: 1(2/3),2(3/5),3(0),4(3),5(-2),
6(7/2),7(0). 8(1/2),9(-3) ,10(2), 11(0)
,12(1),13(1/8),14(0), 15(+
∞
), 16(0) .
Bài 2:1(1),2(1),3(5),4(3),5(5),6(1).
Bài 3:1(-1/2),2(1/2),3(+
∞
),4(-1/2).
Bài 4: 1(3/2),2(13/2),3(4),4(2),5(4),
6(-1),7(2
5
),8(-4),9(-4),10(3),11(-
2),12(1)
Bài 5:1(4),2(5),3(),4(1/6),5(-1/56),
6(1/6)
Bài 6:1(-
∞
),2(-
∞
),3(+

∞
), 4(+
∞
),
5(+
∞
),6(-
∞
), 7(+
∞
),8(+
∞
).
Bài 7: 1(0),2(1),3(3),4(-1/2), 5(1/2),
6(-5).
Bài 8:a/ không,
b/không,c/không,d/có.
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo
hàm các hàm số sau
a)
3
y x=
b)
2
3 1y x= +

c)
1y x= +
d)

1
1
y
x
=
−
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số
sau
1)
= − + −
3 2
5
3 2
x x
y x
2)
3
2
2
5
+−=
x
xy

3)
= − + −
2 3 4
2 4 5 6
7
y

x x x x
4)
)13(5
2
−= xxy
5) y = (x
3
– 3x )(x
4
+ x
2
– 1)
6)
32
)5( += xy
7)
)35)(1(
22
xxy −+=
8)
)23)(12( +−= xxxy
9)
32
)3()2)(1( +++= xxxy
10)
( )
 
= + −
 ÷
 

2
3 1y x x
x
11)
3
2y x=
12) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
13)
4 2
3y x x= +
14)
( )
( ) ( )
2
2 1 2 3 7y x x x= + − +
15)
2
2 5
2
x
y
x
−
=
+

16)
2
1
2 3 5
y
x x
=
+ −
17)
3
2
2
1
x x
y
x x
−
=
+ +
18)
− + +
=
−
2
2
7 5
3
x x
y
x x

19)
76
2
++= xxy
20)
21 ++−= xxy
21)
1)1(
2
+++= xxxy
22)
12
32
2
+
+−
=
x
xx
y
23)
1 x
y
1 x
+
=
−
24)
( )
3

2
2 3 1y x x= + −
25)
( )
3
2 3
2y x x x x= + + −
26) y =
x
(x
2
-
x
+1)
27)
3
2
2 3
2
x
y x x
x
 
= + −
 ÷
 ÷
−
 
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm
số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx
2) y = cos (x
3
)
3) y = x.cotx 4)
2
)cot1( xy +=
5)
xxy
2
sin.cos=

6)
3
1
cos cos
3
y x x= −
7)
2
sin
4
x
y =
8)
xx
xx
y
cossin
cossin

−
+
=
9)
3
y cot (2x )
4
π
= +

10)
2
sin (cos3 )y x=
11)
3
2
y cot 1 x= +

12)
xxy 3sin.sin3
2
=
13)
2
y 2 tan x= +

14)
3
cosx 4
y cotx

3sin x 3
= − +
15)
sin(2sin )y x=
16)
4
sin 3y x
p
= -
17)
22
)2sin1(
1
x
y
+
=

18)
xsinx
y
1 tanx
=
+
19)
sinx x
y
x sinx
= +


20)
y 1 2tanx= +
Bài 4: Cho hai hàm số :
4 4
( ) sin cos f x x x= +
và
1
( ) cos 4
4
g x x=
Chứng minh
rằng:
'( ) '( ) ( )f x g x x= ∀ ∈ℜ
.
Bài 5: Cho
23
23
+−= xxy
. T×m
x ®Ó: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a)
0
2
x
x
<


>


b)
1 2 1 2x− < < +
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) =
0 biết rằng :
a) f(x) = cos x + sin x + x
b) f(x) =
xxcosxsin3 +−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
d) f(x) = 2x
4
– 2x
3
– 1
Bài 7: Cho hàm số
= +
+ −
f(x) 1 x.
Tính : f(3) (x 3)f'(3)
Bài 8:
a) Cho hàm số:
2
22
2
++
=
xx
y
.
Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2

b) Cho hàm số y =
4x
3x
+
−
. Chứng
minh rằng: 2(y’)
2
=(y -1)y’’
c) Cho hàm số
= −
2
y 2x x
.
Chứng minh rằng:
+ =
3
y y" 1 0
Bài 9: Chứng minh rằng
'( ) 0 f x x> ∀ ∈ℜ
, biết
a
9 6 3 2
2
( ) 2 3 6 1
3
f x x x x x x
= − + − + −

b/

( ) 2 sinf x x x= +
Bài 10:Chohs
2
2
x x
y
x
+
=
−
(C)
a) Tính đạo hàm của hs tại x = 1
b/ Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
= -1
Bài 11: Cho hàm số
y = f(x) = x
3
– 2x
2
(C )
a) Tìm f’(x). Giải bất phương
trình f’(x) > 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
= 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm
số :
3 2
5 2y x x= − +
. Viết phương
trình tiếp tuyến của (C ).
a) Tại M (0;2)
b) Biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng y =
1
7
x – 4.
Bài 13: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp
tuyÕn cña ®êng cong
3
xy =
:
a) T¹i ®iÓm (-1 ;-1)
b) T¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2
c) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn
b»ng 3.
Bài 14: Tính vi phân các hàm số
sau
a)
12
3
+−= xxy


b)
2
sin
4
x
y
=

c)
76
2
++= xxy
d)
xxy
2
sin.cos=
e)
2
)cot1( xy +=
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của
các hàm số sau
1)
1
2
x
y
x
+
=

−
2)
2
2 1
2
x
y
x x
+
=
+ −

3)
2
1
x
y
x
=
−
4)
2
1y x x= +
5)
2
siny x x=

6)
2
(1 )cosy x x

= −
7) y = x.cos2x
8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1)
( )
3
6
''
2
y
x
=
−

2)
( )
3 2
3
2
4 10 30 14
''
2
x x x
y
x x
− + +
=
+ −

3)

( )
( )
2
3
2
2 3
''
1
x x
y
x
+
=
−
4)
( )
3
2 2
2 3
''
1 1
x x
y
x x
+
=
+ +
5)
( )
2

'' 2 sin 4 cosy x x x x= − +

6)
2
'' 4 sin ( 3) cosy x x x x= + −
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8)y’’ = -29sin5x.cos2x –
20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của
các hàm số sau
a)
1
1
y
x
=
+
b) y = sinx
KIẾN THỨC NHƯ THÁP
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP
THƯỜNG GẶP
 Dạng 1 : Chứng minh hai
đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng
minh góc giữa hai đường
thẳng a và b bằng
0
90
.

• Phương pháp 2:
. 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
(
, u v
r r
lần lượt là vectơ chỉ
phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng
minh
( )a b
α
⊥ ⊃
hoặc
( )b a
β
⊥ ⊃
• Phương pháp 4: Áp dụng
định lí 3 đường vuông góc
(
'a b a b⊥ ⇔ ⊥
với b’ là
hình chiếu của đt b lên mp
chứa đt a).
 Dạng 2 : Chứng minh đường
thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng
minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a
∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng

minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng
minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a
= (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng
minh: d = (Q) ∩ (R) và
(Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3 : Chứng minh hai mp
(P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng
minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng
minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng
minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4 : Tính góc giữa 2 đt a
và b.
• Phương pháp: - Xác định
đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ =
O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5 : Tính góc giữa đt d và
mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc
giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 90
0
.
+) Nếu d không vuông góc
với (P): - Xác định hình chiếu d’

của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6 : Tính góc ϕ giữa hai
mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2:
Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7 : Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm
M đến đt a:
Phương pháp:
( , )d M a MH=
(với H là
hình chiếu vuông góc của M
trên a).
• Tính khoảng từ một điểm
A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình
chiếu H của A lên (P).
- d
(M, (P))
= AH
• Tính khoảng giữa đt
∆

và
mp (P) song song với nó:
d
(
∆
, (P))
= d
(M, (P))
(M là điểm
thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc
chung và tính khoảng
giữa 2 đt chéo nhau a và
b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b
* Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
* Xác định A = (P) ∩ b
* Dựng hình chiếu H của A lên b
* AH là đoạn vuông góc chung
của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b
lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P)
tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc
chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
* Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O

* Xác định hình chiếu b’ của b
trên (P) (b’ đi qua O).
* Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
* Dựng đt vuông góc với (P) tại
K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song
song với IK, cắt đt a tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của
a và b
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B.
SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b)Gọi AH là đường cao của
∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông. SA
⊥ (ABCD). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB).
b) SD ⊥ DC.
c) SC ⊥ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có
AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung
điểm của BC.
a/ Chứng minh: BC ⊥ AD.
b/Gọi AH là đường cao
của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥
(BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có

đáy là hình vuông, tâm O và
SA = SC = SB = SD =
2a
.
a/ Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
b/ Gọi I, K lần lượt là trung điểm
của AB và BC. Chứng minh
IK⊥SD
c/ Tính góc giữa đt SB và
mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB
⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình
chiếu của A lên mp(BCD). Chứng
minh:
a) H là trực tâm ∆BCD.
b) AC ⊥ BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD.
Chứng minh rằng các cặp cạnh
đối diện của tứ diện vuông góc
với nhau từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình chữ nhật, tâm O và
AB = SA = a, BC =
3a
, SA ⊥
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên
của hình chóp là những
tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của

SC. Chứng minh IO⊥
(ABCD).
c) Tính góc giữa SC và
(ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông, tâm O và SA
⊥
(ABCD) . Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A lên
SB, SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB),
BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh SC ⊥ (AHK).
c) Chứng minh HK ⊥ (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại A,
SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và
(ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B.
SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC)
⊥ (SAB).
·
0
BAD 60=

b) Tính khoảng cách từ điểm
A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và
(ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của SA
và BC.
Bài 11: Cho tứ diện OABC có
OA , OB , OC đôi một vuông góc
và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H,
K lần lượt là hình chiếu của O lên
trên các đường thẳng AB và AC.
1. CMR: BC
⊥
(OAI).
2. CMR: (OAI)
⊥
(OHK).
3. Tính khoảng cách từ
điểm O đến mp (ABC).
ĐS:
a / 3
5. Tính côsin của góc giữa
OA và mp (OHK).
ĐS:
cos 6 / 3
α =
6. Tính tang của góc giữa
(OBC) và (ABC).

ĐS:
tan 2ϕ =
7. Tìm đường vuông góc
chung của hai đường thẳng HK và
OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy.
ĐS:
a / 2
Bài1 2: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a,
SA (ABCD)⊥
và
SA a 2=
.
1. CMR: Các mặt bên của
hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC)
⊥
mp(SBD) .
3. Tính góc
α
giữa SC và
mp (ABCD), góc
β
giữa SC
và mp (SAB).
ĐS:
0 0
45 , 30

α = β =
4. Tính tang của góc
ϕ

giữa hai mặt phẳng (SBD) và
(ABCD).
ĐS:
tan 2ϕ =
5. Tính khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (SBC),
khoảng cách từ điểm A đến
mp (SCD).

ĐS:
a 6 / 3
6. Tìm đường vuông góc
chung của các đường thẳng
SC và BD. Tính khoảng cách
giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS:
a / 2
7. Hãy chỉ ra điểm I cách
đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS:
SI a
=
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình thoi tâm O
cạnh a,

SA SB SD a 3 / 2
= = =
và góc BAD bàng 60
0
. Gọi H là
hình chiếu của S trên AC.
1. CMR: BD
(SAC)⊥
và
SH (ABCD)⊥
.
2. CMR: AD
SB
⊥
.
3. CMR: (SAC)
⊥
(SBD).
4. Tính khoảng cách từ S
đến (ABCD) và SC.
ĐS:
SH a 15 / 6=
và SC =
a 7 / 2
5. Tính sin của góc
α

giữa SD và (SAC), côsin của
góc
β

giữa SC và (SBD).
·
0
ADC 45=
ĐS:
sin 3 / 3α =
và
cos 3 / 14β =
.
6. Tính khoảng cách từ H
đến (SBD).
ĐS:
a 10 /12
7. Tính góc giữa
(SAD)
và
(ABCD).
ĐS:
tan 5ϕ =
8. Tìm đường vng góc
chung của các đường thẳng
SH và BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng ấy.
ĐS:
a 3 / 3
9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều
S, A, B, D và tính MI.
ĐS:
3 15a / 20
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD

có ABCD là hình thang vng tại
A, AB = BC = a và .
Hai mặt bên SAB, SAD
cùng vng góc với mặt đáy và
SA = a
2
.
1. CMR: BC
⊥
mp(SAB).
2. CMR: CD
SC⊥
.
3. Tính góc
α
giữa SC và
(ABCD), góc
β
giữa SC và
(SAB), góc
γ
giữa SD và
(SAC).
ĐS:
0 0
45 , 30 , tan 2 / 2
α = β = γ =
4. Tính tang của góc
ϕ


giữa mp(SBC) và mp(ABCD).
ĐS:
tan 2ϕ =
5. Tính khoảng cách giữa
SA và BD.
ĐS:
2a / 5
6. Tính khoảng cách từ A
đến (SBD).
ĐS:
2a / 7

7. Hãy chỉ ra điểm M cách
đều S, A, B, C; điểm N cách đều
S, A, C, D.
Từ đó tính MS và NS.
ĐS:
MS a=
,
NS a 6 / 2
=
Bài 15: Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi
O là tâm của tứ giác ABCD; và
M, N
lần lượt là trung điểm của
AB vàAD.
1. CMR: BD
(ACC'A')⊥


và A’C
(BDC')⊥
.
2. CMR:
A'C AB'
⊥
.
3. CMR: (BDC’)
⊥

(ACC’A’) và (MNC’)
⊥
(ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C
đến mp(BDC’).
ĐS:
a / 3

5. Tính khoảng cách từ C
đến mp(MNC’).
ĐS:
3a / 17
6. Tính tang của góc giữa
AC và (MNC’).
ĐS:
tan 2 2 / 3α =
7. Tính tang của góc giữa
mp(BDC’) và mp(ABCD).
ĐS:
tan 2β =

8. Tính cơsin của góc giữa
(MNC’) và (BDC’).
ĐS:
cos 7/ 51ϕ =
9. Tính khoảng cách giữa
AB’ vaø BC’.
ĐS:
a 3 / 3