Thư viện sách trực tuyến
SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A). Phương Pháp:


Với phương trình có dạng : )()( mgxf
=

Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của
phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số )(xfy
=

• Tìm tập xác ñịnh
D

• Tính ñạo hàm '
y , rồi giải phương trình 0'
=
y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf
≤
≤
⇔

• Phương trình có k nghiệm phân biệt
⇔

dựa vào bảng biến thiên xem )(mg cắt )(xf tại
k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm
⇔
hai hàm số không cắt nhau


Với bất phương trình có dạng : )()(
mgxf
≤

Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:

Bước 1: Xét hàm số )(xfy
=

• Tìm tập xác ñịnh
D

• Tính ñạo hàm '
y , rồi giải phương trình 0'
=
y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
• Bất phương trình có nghiệm
D
∈
)(min mgy
≤

⇔

• Bất phương trình nghiệm ñúng
Dx
∈
∀
)(max
mgy
≤
⇔

Chú ý : Nếu )()(
mgxf
≥
thì:
•
Bất phương trình có nghiệm
D
∈
)(min
mgy
≥
⇔

•
Bất phương trình nghiệm ñúng
Dx
∈
∀
)(max

mgy
≥
⇔

Chú ý chung :
Nếu có ñặt ẩn phụ
)(
xht
=
. Từ ñiều kiện của
x
chuyển thành ñiều kiện của
t
.Có 3 hướng ñể tìm ñiều
kiện :
•

Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm
•

Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki
•

Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max )

B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình
Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a)
mxxxx =+−−++ 11
22


b)
)45(12 xxmxxx −+−=++

c)
mxxxx ++−=−+ 99
2

d)
mxx =−+
4
2
1

Thư viện sách trực tuyến
e)
0113
4
4
=−++− xmxx

f)
4
2
4
2
422)422( −=+−−+− xxxxm

g)
03)cot(tancottan

22
=++++ xxmxx

Bài làm :
a)
mxxxx =+−−++ 11
22

Xét hàm số
11
22
+−−++= xxxxy

• Miền xác ñịnh :
R
D
=

• ðạo hàm :
12
12
12
12
'
22
+−
−
−
++
+

=
xx
x
xx
x
y

1)12(1)12(0'
22
+−+=++−⇔= xxxxxxy





+−+=++−
>+−
⇔
)1()12()1()12(
0)12)(12(
2222
xxxxxx
xx


⇔
vô nghiệm
Mà
01)0('
>

=
y
nên hàm số ñồng biến trên R
• Giới hạn :

1
11
2
lim)11(limlim
22
22
=
+−+++
=+−−++=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
x
xxxxy
xxx

1
11
2
limlim
22
−=
+−+++
=
−∞→−∞→
xxxx

x
y
xx

• Bảng biến thiên :





Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
11
<
<
−
m


b)
)45(12
xxmxxx −+−=++

ðiều kiện :
40
04
05
012
0
≤≤⇔








≥−
≥−
≥+
≥
x
x
x
x
x
(*)
Viết phương trình về dạng :
mxxxxx =−−−++
)45)(12(
(1)
Xét hàm số :
)45)(12(
xxxxxy −−−++=

• Miền xác ñịnh :
[
]
4,0=D

x


∞
−

∞
+

'
y

+
y

1

-1

Thư viện sách trực tuyến
• Nhận xét rằng :
- Hàm
)12()(
++=
xxxxh
là hàm ñồng biến trên
D

- Hàm
xxxg
−−−=
45)(

có :
Dx
xx
xx
xg
∈∀>
−−
−−−
=
0
452
45
)('
.Suy ra ñồng biến

)().(
xgxhy
=
⇒
là hàm ñồng biến trên
D

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi :
)4()0(
fmf
≤
≤


12)25(12

≤≤−⇔
m


c)
mxxxx ++−=−+ 99
2

ðiều kiện :

90
09
0
≤≤⇔



≥−
≥
x
x
x

Biến ñổi phương trình :
mxxxx ++−=−+ 9)9(29
2


mxxxx =+−+−−⇔ 9299
22


Xét hàm số
xxxxy
9299
22
+−++−=

• Miền xác ñịnh :
[
]
9,0=D

• ðạo hàm :

xx
x
xy
9
)92(
92'
2
+−
+
−
−−=


0
9
1

1)92(0'
2
=






+−
+−⇔=
xx
xy


2
9
=⇔ x

• Bảng biến thiên :







Vậy phương trình có nghiệm khi :
9
4

9
≤≤− m

d)
mxx =−+
4
2
1

ðiều kiện :
0
≥
x

Xét hàm số :
xxy −+=
4
2
1

• Miền xác ñịnh :
[
)
+∞= ,0D

x

0

2

9

9

'y

– 0 +
y

9 9


4
9
−

Thư viện sách trực tuyến
• ðạo hàm :

x
x
x
y
2
1
)1(2
'
4
32
−

+
=

4
32
)1(0' +=⇔= xxxy


326
)1( +=⇔ xx


1
22
+=⇔ xx
(vô nghiệm)
Suy ra
)(' xy
không ñổi dấu trên
D
, mà
0
2
1
82
1
)1('
4
<−=y


Do ñó Dxxy ∈∀< 0)('
⇔
hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
0
)1)(1(
1
lim)1(limlim
2
4
2
4
2
=
++++
=−+=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
xxy
xxx

• Bảng biến thiên:





Vậy phương trình có nghiệm khi :
10
≤

<
m
e)
0113
4
4
=−++− xmxx

Biến ñổi phương trinh :
xmxx −=+− 113
4
4





−=+−
≥−
⇔
44
)1(13
01
xmxx
x






=+−−
≤
⇔
mxxx
x
13)1(
1
44

Xét hàm số
xxxy 13)1(
44
+−−=
• Miền xác ñịnh :
(
]
1,∞−=D

• ðạo hàm :

91212134)1(4'
233
++−=+−−−= xxxxy

0912120'
2
=++−⇔= xxy






−=
=
⇔
)(
2
1
)(
2
3
nx
lx

• Giới hạn :

[
]
+∞=+−−=
−∞→−∞→
xxxy
xx
13)1(limlim
44

• Bảng biến thiên:
x
0
∞
+


'y
–
y

1
0
Thư viện sách trực tuyến







Vậy ñể phương trình có nghiệm khi :
2
3
−≥m


f)
4
2
4
2
422)422( −=+−−+− xxxxm
ðiều kiện :
2
≥

x
Khi
2
=
x : VPVT
VP
VT
≠⇔



=
−=
0
2
(loại)
Khi
:2
>
x Chia 2 vế cho
4
2
4−x
ta ñược :

2
2
2
2
2

2
44
=
−
+
−








+
+
−
x
x
x
x
m
(*)
ðặt
4
2
2
−
+
=

x
x
t

Tìm ñiều kiện cho
t

Cách 1: Xét hàm số
2
2
2
)(
4
>∀
−
+
= x
x
x
xf

ðạo hàm :
( )
0
2
2
2
1
2
2

4
1
2
2
)('
4
3
2
4
3
'
<






−
+
−
−
=






−

+






−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
xf

Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2
>
∀
x

1)(lim)( >⇔>⇔
+∞→
txfxf
x

Cách 2: Ta có

2
>
x .
Mà
4
2
2
−
+
=
x
x
t
2
2
4
−
+
=⇔
x
x
t


1
)1(2
2)2(
4
4
4

−
+
=⇔
+=−⇔
t
t
x
xxt

Do ñó:




>
−<
⇔



−<
>
⇔>−⇔
>
−
⇔>
−
+
1
1

1
1
01
0
1
4
2
1
)1(2
2
2
4
44
4
t
t
t
t
t
tt
t

x

∞
−

2
1
−


1

'
y
— 0 +
y


∞
+
12


2
3
−

Thư viện sách trực tuyến
Mặc khác 10
>
⇒
>
tt
Lúc ñó : (*)
)()(
12
2
22
1

2
tfmg
t
tt
mt
t
m =⇔
+
+
=⇔=−






+⇒

Xét hàm số
1
2
2
)(
2
+
+
=
t
tt
tf


• Miền xác ñịnh :
(
)
+∞= ,1D

• ðạo hàm :
( )
⇒>
+
++
=
0
12
222
)('
2
2
t
tt
tf
hàm số ñồng biến
• Giới hạn :
+∞=
+∞→
)(lim
tf
t

• Bảng biến thiên:






Vậy ñể phương trình có nghiệm :
11)(
>
⇔
>
mmg

g)
03)cot(tancottan
22
=++++ xxmxx
ðặt
x
x
t
cot
tan
+
=
2cottan
222
++=⇒ xxt
Tìm ñiều kiện cho t :
2cot.tan2cottancottan
≥⇔≥+=+= txxxxxxt

(vì
)1cot.tan
=
xx
Lúc ñó :
)()(
1
01
2
2
tfmg
t
t
mmtt =⇔
+
=−⇔=++

Xét hàm số
t
t
tf
1
)(
2
+
=

• Miền xác ñịnh:
),2()2,(
+∞

∨
−
−∞
=
D
• ðạo hàm :
Dx
t
t
tf ∈∀>
−
=
0
1
)('
2
2

• Giới hạn :
±∞=
+
=
±∞→±∞→
t
t
tf
tt
1
lim)(lim
2


• Bảng biến thiên :







x

1

∞
+

'
y
+
y


∞
+

1
x

∞
−


2
−

2

∞
+

'
y
+ +
y


2
5
−
∞
+


∞
−

2
5

Thư viện sách trực tuyến
Vậy ñể phương trình có nghiệm:






>
−<
2
5
2
5
m
m


Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt
a)
mxxxx =−+−++
626222
44

b)
6164164
4
3434
=++−+++− mxxxmxxx

Bài làm :
a)
mxxxx =−+−++

626222
44
(1)
ðiều kiện :
60
06
02
≤≤⇔



≥−
≥
x
x
x

Xét hàm số
xxxxy −+−++=
626222
44

• Miền xác ñịnh:
[
]
6,0=D

• ðạo hàm
x
x

x
x
y
−
−
−
−+=
6
1
)6(2
1
2
1
)2(2
1
'
4
3
4
3

0
6
1
2
1
)6(2
1
)2(2
1

0'
4
3
4
3
=
−
−+
−
−⇔=
xx
xx
y


0
6
1
2
1
)6(2
1
6
1
2
1
2
1
6
1

2
1
44
4
44
=








−
++








−
+
−
+









−
−⇔
xxxxxxxx
44
6
1
2
1
xx −
=⇔

xx
−
=
⇔
62

2
=
⇔
x

• Bảng biến thiên:











ðể (1) có hai nghiệm phân biệt:
)44(3)66(2
4
4
+<≤+ m
x

0

2

6

'
y
+ 0 —
y


)44(3
4

+


)66(2
4
+
1212
4
+


Thư viện sách trực tuyến

b)
6164164
4
3434
=++−+++− mxxxmxxx

ðặt
)0(164
4
34
≥++−= tmxxxt
Lúc ñó :
066
22
=−+⇔=+ tttt






−=
=
⇔
)(3
)(2
lt
nt

Với
mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔=
16164161642
3434
(*)
Xét hàm số :
xxxxf
164)(
34
+−=
• Miền xác ñịnh:
R
D
=

• ðạo hàm :

1684)('
23

+−= xxxf

016840)('
23
=+−⇔= xxxf




=
−=
⇔
2
1
x
x

• Giới hạn

+∞=+−=
+∞→+∞→
)164(lim)(lim
34
xxxxf
xx


+∞=+−=
−∞→−∞→
)164(lim)(lim

34
xxxxf
xx

• Bảng biến thiên:






Vậy ñể có hai nghiệm khi :
271116
<
⇔
−
>
−
mm

3.Tìm m ñể phương trình
xmx
cos1
2
=+ có ñúng 1 nghiệm thuộc
)
2
,0(
π


Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
1cos
2
−= xmx (1)
Nhận xét: (1) có nghiệm khi
0
≤
m
( vì
0
>
m lúc ñó
0,0 <> VPVT
)
Lúc ñó (1)
m
x
x
x
x
m −=






⇔
−

=⇔
2
2
2
2
4
2
sin2
1cos

x

∞
−
-1 2
∞
+

'
y
— 0 + 0 +
y


∞
+

∞
+


16
-11

Thư viện sách trực tuyến
m
x
x
2
2
2
sin
2
2
−=






⇔
(2)
ðặt
2
x
t =
. Vì







∈⇒






∈
4
,0
2
,0
ππ
tx

(2)
m
t
t
m
t
t
2
sin
2
sin
2

2
2
−=






⇔−=⇔

Xét hàm số:
t
t
tf
sin
)( =

• Miền xác ñịnh






=
4
,0
π
D


• ðạo hàm
Dt
t
ttt
t
ttt
tf ∈∀<
−
=
−
= 0
)tan.(cossincos.
)('
22

( vì
tttDt
<
>
⇒
∈
tan,0cos
)
Do ñó hàm
)(tf
nghịch biến
• Giới hạn :

1

sin
lim)(lim
00
=






=
→→
t
t
tf
tt

• Bảng biến thiên:







Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
22
2
2
4

2
1
12
8
1
sin8
1)(
22
πππ
π
−<<−⇔<−<⇔<






<⇔<< mm
t
t
tf


4.Tìm m ñể phương trình
mxxm +=+ 2
2
có ba nghiệm phân biệt
Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
xxm =−+ )12(

2


12
2
−+
=⇔
x
x
m
(vì
22
2
≥+x
)
Xét hàm số
12
)(
2
−+
=
x
x
xf

• Miền xác ñịnh :
R
D
=


t

0

4
π

)(' tf

–
)(tf

1


π
22

Thư viện sách trực tuyến
• ðạo hàm :

222
2
)12(2
22
)('
−++
+−
=
xx

x
xf


220)('
2
=+⇔= xxf


2±=⇔ x

• Giới hạn

1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
=









+
++
=








−+
=
+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
x
xf
xxx


1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2

2
2
−=








+
++
=








−+
=
−∞→−∞→−∞→
x
xx
x
x
xf

xxx

• Bảng biến thiên:






Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt:
22 <<− m


Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x

a)
1256
2
>++− mxxx

b)
0139. ≥+−
xx
m

c)
04.
4

≥+− mxxm

Bài làm :
a) Xét hàm số :
mxxxxfy 256)(
2
++−==







<<−++−=
≥∨≤+−+=
=
)51(5)3(2)(
)51(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf

ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x


{
}
1)3(),5(),1(min1)(min
111
>−⇔>⇔ mfffxf


51
056
10
1
2
1
1)3(
1)5(
1)1(
2
1
1
1
<<⇔



















<+−
>
>
⇔
>−
>
>
⇔ m
mm
m
m
mf
f
f

Vậy với
51
<
<
m

bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi
x

x

∞
−

2−

2

∞
+

'y

— 0 + 0 —
y


1
−

2



2−


1

Thư viện sách trực tuyến
b) ðặt
)0(3 >= tt
x

Lúc ñó :
)()(
1
101.
2
22
tfmg
t
t
mtmtttm ≥⇔
−
≥⇔−≥⇔≥+−

Xét hàm số
2
1
)(
t
t
tf
−
=


• Miền xác ñịnh
(
)
+∞= ,0D

• ðạo hàm :
4
2
2
)('
t
tt
tf
−
=




=
=
⇔=−⇔=
2
0
020)('
2
t
t
tttf


• Giới hạn :
0
2
lim)(lim
4
2
=








−
=
+∞→+∞→
t
tt
tf
xx

• Bảng biến thiên:








ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x
)(max)( tfmg
≥
⇔


4
1
≥⇔ m


c) Biến ñổi bất phương trình có dạng :
xxm 4)1(
4
≥+


)()(
1
4
4
xfmg
x
x
m ≥⇔
+
≥⇔


Xét hàm số
1
4
)(
4
+
=
x
x
xf

• Miền xác ñịnh
R
D
=

• ðạo hàm
( )
2
4
4
1
124
)('
+
−
=
x
x
xf


4
3
1
0)(' ±=⇔= xxf

• Giới hạn :
0)(lim =
±∞→
xf
x

• Bảng biến thiên:
x

0

2

∞
+

'y

+ 0 —
y


4
1


∞
−
0
x

∞
−

4
3
1
−

4
3
1

∞
+

'y

— 0 + 0 —
Thư viện sách trực tuyến








Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x


4
27)(max)( ≥⇔≥⇔ mxfmg

Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm
a)
13 +≤−− mxmx

b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+

c)
06234
2
>−++− mxxx

Bài làm :
a)
13 +≤−− mxmx

ðiều kiện :

3
≥
x

ðặt
)0(3 ≥−= txt

Lúc ñó :
1)3(
2
+≤−+ mttm
2
1
1)2(
2
2
+
+
≤⇔+≤+⇔
t
t
mttm


)()( tfmg
≤
⇔

Xét hàm số:
2

1
)(
2
+
+
=
t
t
tf

• Miền xác ñịnh
[
)
+∞= ,0D

• ðạo hàm
( )
2
2
2
1
22
)('
+
+−−
=
t
tt
tf



310)(' ±−=⇔= xtf

• Giới hạn :
0
2
1
lim)(lim
2
=
+
+
=
+∞→+∞→
t
t
tf
tt

• Bảng biến thiên :








ðể bất phương trình có nghiệm:
4

13
)(max)(
+
≤⇔≤ mtfmg


y

0

4
27



4
27−

0

x

0

31+−

∞
+

'y


+ 0 —
y


4
13 +


2
1
0
Thư viện sách trực tuyến
b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+
(*)
Chia 2 vế của (*) cho
x
2
sin
3
ta có:

)1(
9
1

.3
3
2
3
3
3
2
22
2
2
2
sinsin
sin
sin1
sin
mm
xx
x
x
x
≥






+







⇔≥+






−

Xét hàm số
xx
y
22
sinsin
9
1
.3
3
2






+







=
là hàm nghịch biến
Lúc ñó :
00sinsin11
2
9
1
.3
3
2
9
1
.3
3
2
9
1
.3
3
2
1sin0
22







+






≤






+






≤







+






⇔≤≤
xx
x


41
≤
≤
⇔
y

ðể (1) có nghiệm
4max
≤
⇔
≥
mmy


c)
06234

2
>−++− mxxx
(*)
Xét hàm số
6234)(
2
−++−= mxxxxf







≤≤−++−=
≥∪≤+−+=
=⇔
)31(9)2(2)(
)31(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf

Vậy (*) có nghiệm
0)(max

>
⇔
xf
{
}
0)2();3();1(max
222
>+⇔ mfff












<<⇔
>+−
>+
>−
⇔
>+
>
>
⇔ 51
056

056
062
0)2(
0)3(
0)1(
2
2
2
2
m
mm
m
m
mf
f
f


Bài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình
3
3
1
23
x
mxx −≤−+− thoả mãn với 1
≥
x
Bài làm:
Biến ñổi bất phương trình về dạng:
3

3
1
23
x
xmx −+≤

4
36
12
3
x
xx
m
−+
≤⇔

Xét hàm số
4
36
12
)(
x
xx
xf
−+
=

• Miền xác ñịnh :
[
)

+∞= ,1D

• ðạo hàm :
Dx
x
xx
x
xx
xf ∈∀>
+−
=
+−
= 0
4)1(2422
)('
5
33
5
36

• Giới hạn : +∞=
+−
=
+∞→+∞→
5
36
422
lim)(lim
x
xx

xf
xx

• Bảng biến thiên :
x

1

∞
+

'y
+
Thư viện sách trực tuyến





ðể bất phương trình nghiệm ñúng với
1
≥
x
)()(min mgxf
≥
⇔

3
2
23 ≤⇔≤⇔ mm


Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1log
log
2
2
2
2
nghiệm ñúng với mọi 0
>
x
Bài làm:
ðặt
xt
2
2
log=
Tìm ñiều kiện cho
t
: Vì 10
>
⇔
>
tx
Lúc ñó :
)()(
1

mgtfm
t
t
≥⇔≥
−

Xét hàm số
1
)(
−
=
t
t
tf

• Miền xác ñịnh
(
)
+∞= ,1D

• ðạo hàm :
( )
3
2
12
2
)('
−
−
=

t
t
tf

20)('
=
⇔
=
ttf
• Giới hạn :
( )
=
−
−
=
+∞→+∞→
3
2
12
2
lim)(lim
t
t
tf
tt
∞
+

( )
+∞=

−
−
=
++
→→
3
2
11
12
2
lim)(lim
t
t
tf
tt

• Bảng biến thiên :





ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
0
>
x
⇔
0)()( >∀≥ tmgtf
mmgtf
≥

⇔
≥
⇔
1)()(min
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình
m
xx
<






+−−
)32(log
2
4
4
3
nghiệm ñúng với mọi
(
)
0,2−∈x

y


∞
+


2

x

1

2

∞
+

'y
— 0 +
y

∞
+

∞
+

1

Thư viện sách trực tuyến
Bài làm:
ðiều kiện :
13032
2
<<−⇔>+−− xxx

Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn
(
)
0,2−∈x

Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên :
(
)
0,2−∈x

Xét hàm số :
)32(log)(
2
4
+−−= xxxf
• Miền xác ñịnh
(
)
0,2−=D

• ðạo hàm
)32.(2ln2
22
4ln
)32ln(
)('
2
'
2
+−−

−−
=








+−−
=
xx
xxx
xf

10)('
−
=
⇔
=
xxf
• Bảng biến thiên:






Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi

)0,2(
−
∈
x mmxf <






⇔<⇔
3log
4
4
3
)(max

Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:






=+
=+−
)2(2
)1(0
xyy

myx

Bài làm:
Từ (2) suy ra:





+−
=
≥−
y
yy
x
y
44
02
2

Lúc ñó (1) có :
)()(
44
0
44
2
yfmg
y
y
mmy

y
yy
=⇔
−
=⇔=+−
+−

Xét hàm số
y
y
yf
44
)(
−
=
• Miền xác ñịnh
(
]
{
}
0\2,∞−=D

• ðạo hàm
0
4
)('
2
>=
y
yf .Hàm số ñồng biến trên

D

• Giới hạn
x

2
−

1
−
0
)(' xf

+ 0 —
)(xf

1

3log
4
3log
4

Thư viện sách trực tuyến
+∞=
−∞=
=
−
+
→

→
−∞→
)(lim
)(lim
4)(lim
0
0
yf
yf
yf
y
y
y

• Bảng biến thiên :





Vậy ñể hệ có nghiệm :
),4(]2,(
+∞
∪
−∞
∈
m

Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt







=−+−
>−−+
+−
)2(52log)52(log
)1(4log)1(log)1(log
52
2
2
3
33
2
xx
mxx
xx

Bài làm :
ðiều kiện 1
>
x
Từ (1) ta có
312
1
1
4log
1

1
log
3
3
<<⇔>
−
+
⇔>
−
+
x
x
x
x
x

ðặt
)52(log
2
2
+−= xxt
Tìm ñiều kiện của t:
• Xét hàm số
)3,1()52(log)(
2
2
∈∀+−= xxxxf

• ðạo hàm:
)3,1(

)52.(2ln
22
)('
2
∈∀>
+−
−
= x
xx
x
xf

Hàm số ñồng biến nên ta có
32)3()()1(
<
<
⇔
<
<
tfxff

Nhận xét số nghiệm của
x
thông qua
t

• Ta có
42)1(252
22
−=−⇔=+−

tt
xxx

Suy ra ứng với mỗi giá trị
)3,2(
∈
t
thì ta luôn có một giá trị
)3,1(
∈
x

Lúc ñó (2) suy ra:
mtt
t
m
t =−⇔=− 55
2

Xét hàm số
)3,2(5)(
2
∈∀−= ttttf

• ðạo hàm :
2
5
052)(' =⇔=−= tttf

• Bảng biến thiên :

x

∞
−
0
2

'y

+ +
y


∞
+

2

4

∞
−

x

2

2
5


3

Thư viện sách trực tuyến








ðể hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt
6
4
25
4
25
6 <<⇔−>−>−⇔ mm


Bài 3: Tìm m ñể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn ñiều kiện
4
≥
x








≤+++
=+
)2(35
)1(3
myx
yx

Bài làm:
ðiều kiện:



≥
≥
0
0
y
x

ðặt
xt =
.Lúc ñó (1):
)96(3
2
+−=⇔−= ttyty

ðiều kiện của t:

32
≤
≤
t

Khi ñó (2)
mttt ≤+−++⇔ 1265
22

Xét hàm số
1265)(
22
+−++= ttttf

• Miền xác ñịnh
[
]
3,2=D

• ðạo hàm :
126
3
5
)('
22
+−
−
+
+
=

tt
t
t
t
tf

126
3
5
0)('
22
+−
−
=
+
⇔=
tt
t
t
t
tf


5)3(126
22
+−=+−⇔ ttttt


4530146126
234234

+−+−=+−⇔ ttttttt


045302
2
=+−⇔ tt
vô nghiệm với
Dx
∈

Mà
)(0)3(' tff
⇒
>
ñồng biến trên
D

Do ñó:
5)2(min
=
f

ðể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn
4
≥
x
⇔
(2) có nghiệm thoả (1) và

4
≥
x mtf
≤
⇔
)(
thoả mãn với mọi
32
≤
≤
t

⇔
mtf
≤
)(min 5
≥
⇔
m


Bài 4: Tìm m ñể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu:
'y

+ 0 —
y

6
−


6
−



4
25
−


Thư viện sách trực tuyến






−=−
=+−+
)2(sinsin
)1(052
2
yxyx
mxxyx

Bài làm:
Biến ñổi (2) về dạng:
yyxx sinsin −=−



)()( yfxf
=
⇔
(*)
Xét hàm số
tttf sin)( −=

• Miền xác ñịnh
R
D
=

• ðạo hàm





<+
>−
=
)0(cos1
)0(cos1
)('
tt
tt
tf

Suy ra
0)('

≥
tf
⇔
≠
∀
0t
hàm số ñồng biến
Từ (*)
y
x
=
⇔
.Thay vào (1):
053
2
=+− mxx
(**)
ðể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu
⇔
phương trình (**) có 2 nghiệm
trái dấu
00
<
⇔
<
⇔
mP


Bài 5: Tìm m ñể hệ có nghiệm:






=+
+−=−
)2(
)1())((33
22
myx
mxyxy
yx

Bài làm:
Thay (2) vào (1) ta có :
))((33
22
yxxyxy
yx
++−=−


33
33 xy
yx
−=−⇔


33

33 yx
yx
+=+⇔


)()( yfxf
=
⇔

Xét hàm số
3
3)( ttf
t
+=

• Miền xác ñịnh
R
D
=

• ðạo hàm
033.3ln)('
2
>+= txf
t
.Hàm số ñồng biến
Do ñó
y
x
=

.Thay vào phương trình (2) ta có:

2
2
2222
m
xmxmxx =⇔=⇔=+

ðể hệ có nghiệm:
0
≥
m


C).Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình
1)2( +≥−+ xmxm
có nghiệm
[
]
2,0∈x

Bài 2: Tìm m ñể
04).1(6).1(29
222
222
≥++−−
−−− xxxxxx
mm
nghiệm ñúng với mọi

x
thoả ñiều
kiện
2
1
≥x

Bài 3: Tìm m ñể phương trình
0)1(2 =++− mxx
có ba nghiệm phân biệt
Thư viện sách trực tuyến
Bài 4: Tìm m ñể phương trình
1
3
1
2
2
2
++=






−
mm
xx
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m ñể phương trình

mxxxx +−=−+− 58102
22
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6: Tìm m ñể
mxxxx +−≤−+ 4)7)(3(
2
nghiệm ñúng
[
]
7,3−∈∀x

Bài 7: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:






=+−






≤
−
0163
2
1

2
2
54
2
xmxx
x
x

Bài 8: Tìm m ñể hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt




=+
=−++
1
0)1(3
2
xyx
myx

Bài 9: Tìm m ñể hệ có nghiệm



≥−−−
≤−−
0153
043
23

2
mmxxx
xx

Bài 10: Tìm m ñể hệ vô nghiệm:



+=+
+=+
xmy
ymx
y
x
33
33

Bài 11: Tìm m ñể phương trình có nghiệm:






=+++−
≤+−
++++
)2(032)2(
)1(2007200777
2

1212
mxmx
x
xxx