Đề học sinh giỏi toán 12-số 21
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (105.46 KB, 1 trang )
1. Các dây cung AB và CD c
ủ
a m
ộ
t
đườ
ng tròn c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m E bên trong
đườ
ng
tròn. Gọ
i M là một đ
iểm trong c
ủa đo
ạn thẳ
ng EB. Đường tiế
p tuyến tạ
i E với
đường tròn đi
qua D, E, và M giao v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng BC và AC t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i F và G. Tính t
ỉ
s
ố
theo t
với t = .
2. Lấy n 3 và xét m
ột tập E g
ồm 2n - 1 đ
iểm khác nhau trên mộ
t đường tròn. Gi
ả sử r
ằng
chính xác trong
đó có k đi
ểm được tô màu
đen. Cách tô màu đượ
c gọi là tố
t nếu t
ồn tại ít
nh
ấ
t môt c
ặ
p
đ
i
ể
m
đ
en sao cho bên trong m
ộ
t trong hai cung gi
ữ
a chúng ch
ứ
a chính xác n
đ
iểm thu
ộc E.
Tìm giá tr
ị nhỏ nh
ất củ
a k sao cho với mọ
i cách tô màu k đi
ểm của E nh
ư thế s
ẽ là tố
t.
3. Xác
đị
nh t
ấ
t c
ả
các s
ố
nguyên l
ớ
n h
ơ
n 1 sao cho: là m
ộ
t s
ố
nguyên.
4. Tìm hàm f : H
+
H
+
, H
+
- là tập hợp của các số hữu tỉ dương, sao cho f(xf(y)) = với
mọi x, y.
5. Ban đầu cho một số nguyên n
0
> 1, hai người A và B chơi một trò chơi bằng cách chọn các
số nguyên n
1
, n
2
, n
3
, lần l
ượt theo các quy tắ
c sau:
Biết n
2k
, A chọn bất kì số nguyên n
2k+1
sao cho n
2k
n
2k+1
n
2k
2
.
Biết n
2k+1
, B chọn bất kì số nguyên n
2k+2
sao cho , với p là một số nguyên tố và r là
một số nguyên 1.
N
gườ
i A ch
ơ
i thắ
ng n
ế
u chọ
n
được s
ố
1990, B ch
ơi th
ắ
ng n
ếu ch
ọ
n
được s
ố
1.
H
ỏ
i ban
đầu ph
ả
i cho n
0
th
ế
nào
để:
(a) A thắng cuộc.
(b) B thắng cuộc.
(c) Cả hai người đều không thắng.
6. Chứng minh rằng tồn tại một đa giác lồi 1990 đỉnh sao cho tất cả các góc của nó đều bằng
nhau và độ dài các cạnh theo thứ tự nào đó sẽ là: 1
2
, 2
2
, , 1990
2
.
