PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (816.84 KB, 45 trang )
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Hệ đối xứng loại 1:
* Có dạng:
0);(
0);(
yxg
yxf
với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)
* Biến đổi hệ theo x+y và x.y
Đặt S = x + y và P = xy. đk:
2
4
S P
Biến đổi hệ theo S, P và giải hệ tìm hai ẩn đó
Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt : X
2
– SX + P = 0 để tìm x, y
Chú ý: với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y
2 3
2 2 3 3
2 ; 3
a b a b ab a b a b ab a b
Ví dụ 1. Giải hệ
a.
2 2
5
6
x xy y
x y xy
b.
2 2
4 4 2 2
7
21
x xy y
x y x y
c.
3
3
9
5
x y
x y
Giải:
a. Hệ
5
( ) 6
x y xy
xy x y
Đặt
s x y
P xy
đk:
2
4
S P
Hệ trở thành
2
5
5 5
6 (5 ) 6
5 6 0
P S
S P P S
SP S S
S S
2
5
3
2
3
3
2
S
P S
P
S
S
S
P
* Với
2
3
S
P
ta có
2
3
x y
xy
suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
2 3 0 ( )
X X PTVN
* Với
3
2
S
P
ta có
3
2
x y
xy
suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
Do đó,
1
2
x
y
hoặc
2
1
x
y
Vậy nghiệm của hệ là
(1;2), (2;1)
.
b. Hệ
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
7 7 ( ) 7
( ) 21 (7 ) 21 49 14 21
x xy y x xy y x y xy
x y x y xy x y xy x y x y
2
2 2
2 2 2 2
( ) 7
( ) 7 ( ) 9
2 2
49 14 21
x y xy
x y xy x y
xy xy
xy x y x y
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
2
3
3
2
3
3
2
2
x y
x y
xy
x y
x y
xy
xy
* Với
3
2
x y
xy
ta có x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
Do đó,
1
2
x
y
hoặc
2
1
x
y
* Với
3
2
x y
xy
ta có x, y là nghiệm của phương trình
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
Do đó,
1
2
x
y
hoặc
2
1
x
y
Vậy nghiệm của hệ đã cho là
(1;2),(2;1),( 1; 2),( 2; 1)
.
c. Điều kiện:
0, 0
x y
Đặt
2 3
6 3
2 3
6 3
0 ;
0 ;
u x u x u x
v y v y v y
Hệ trở thành
3 3 3
2 2 2
9 ( ) 3 ( ) 9
5 ( ) 2 5
u v u v uv u v
u v u v uv
Đặt
0
0
S u v
P uv
Hệ trở thành
3 3
3
2 2
2
3 9 15 18 0
3 9
5 5
2 5
2 2
S PS S S
S PS
S S
S P
P P
3
2
2
3
3 33
15 18 0
2
5
3 33
( )
2
2
5
2
S
S
S S
S
P
S l
S
P
* Với
3 2
S P
ta có
1
2
3
2
2
1
u
v
u v
uv
u
v
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
3
Suy ra
6
6
6
6
1
1
2
64
64
2
1
1
x
x
y
y
x
x
y
y
* Với
3 33 11 3 33
( )
2 4
S P l
Vậy nghiệm của hệ là
(1;64), (64,1)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
(x, y R).
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2012)
Giải:
Cách 1:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
Đặt t = -x
Hệ trở thành
3 3 2 2
2 2
3 3 9( ) 22
1
2
t y t y t y
t y t y
. Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành
3 2 3 2
2 2
3 3( 2 ) 9 22 3 3( 2 ) 9 22
1 1 1
2 ( )
2 2 2
S PS S P S S PS S P S
S P S P S S
3 2
2
3
2 6 45 82 0
4
1 1
( )
2
2 2
S S S
P
P S S
S
. Vậy nghiệm của hệ là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
Cách 2:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x x x y y y
x y
. Đặt u = x
1
2
; v = y +
1
2
Hệ đã cho thành
3 2 3 2
2 2
3 45 3 45
( 1) ( 1) ( 1)
2 4 2 4
1
u u u v v v
u v
Xét hàm f(t) =
3 2
3 45
2 4
t t t
có f’(t) =
2
45
3 3
4
t t
< 0 với mọi t thỏa t 1
f(u) = f(v + 1) u = v + 1 (v + 1)
2
+ v
2
= 1 v = 0 hay v = -1
0
1
v
u
hay
1
0
v
u
Hệ đã cho có nghiệm là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
.
II. Hệ đối xứng loại 2:
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
4
1. Hệ đối xứng loại 2 là hệ có dạng
)2(0;
)1(0;
xyg
yxf
2. Cách giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được pt dạng
0);(
0));()(
yxg
yx
yxgyx
Ví dụ 1. Giải hệ
y
x
xy
x
y
yx
4
3
4
3
Giải:
Điều kiện:
0;0
yx
Hệ
)2(43
)1(43
2
2
xxyy
yxyx
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
4
04
xy
xy
yxyx
* Với y = x thay vào (1) ta được
22
)(00
02
2
yx
lyx
xx
* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được
22044
2
yxxx
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2.Giải hệ:
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện: 3,3
xy
2 2 2
2 2
5 5
5 5
3 5
(*)
3 25 10 10 10 0
3 5
3 25 10 3 25 10
x x
y y
y x
y x x x y x y x y
x y
x y y x y y
2
5 (1)
5 (2)
9 0 (3)
3 25 10 (4)
x
y
x y x y
y x x
Ta có
09
)3(
yx
yx
*Với x=y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
yyyyy
44
)(77
yx
lyx
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
5
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:
Đặt
3
3
xv
yu
với 0,0
vu
3
3
2
2
vx
uy
Hệ trở thành
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
2 2
0 ( )( ) ( ) 0
u v u v u v u v u v
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được
)(2
11
02
2
loaiv
uv
vv
Ta có hệ:
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
III. Hệ phương trình đẳng cấp:
Xét hệ đẳng cấp bậc hai:
2
2
22
2
2
1
2
11
2
1
dycxybxa
dycxybxa
Cách giải:
+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không.
+ Với x
0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t. giải t suy ra x, y.
Cách khác:
+Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng 0
22
cybxyax
+ Đặt x = ty, khi đó pt trở thành
0
0
0)(
2
22
cbtat
y
cbtaty
Xét y = 0 thay vào hệ tìm x
Xét
0
2
cbtat
tìm nghiệm (nếu có) sau đó tìm được x,y.
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
6
Ví dụ 1. Giải hệ:
222
932
22
22
yxyx
yxyx
Giải
Cách 1.
Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
Với x
0 đặt y = tx ta được
3
8
2
2
9
22
123
2)22(
9)123(
2
2
22
22
t
t
tt
tt
ttx
ttx
Với t=-2 ta có:
2;1
2;1
yx
yx
Với t=-
3
8
ta có:
17
8
;
17
3
17
8
;
17
3
yx
yx
Cách 2: Hệ đã cho tương đương với 031416
1891818
18642
22
22
22
yxyx
yxyx
yxx
Đặt y=tx ta có:
0
016143
0
0)31416(
2
22
x
tt
x
ttx
hoặc t=-2 hoặc t=-
3
8
Với x=0 hệ trở thành:
2
3
2
2
u
u
hệ vô nghiệm
Với t=-2 ta có:
2;1
2;1
yx
yx
Với t=-
3
8
ta có:
17
8
;
17
3
17
8
;
1
3
yx
yx
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
43
4
2
22
xyx
myxyx
Giải:
Ta có x=0 không thỏa hệ
Đặt y=tx ta có:
2 2
2
2
(1 4 )
1 4
1 3 4
(1 3 ) 4
x t t m
t t m
t
x t
Xét hàm số
t
tt
xf
3
1
41
)(
2
ta có:
3
1
0
)31(
123
)(
2
2
'
t
t
tt
tf
Bảng biến thiên
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
7
t
3
1
f
/
(t) - +
f(t)
Từ bảng biến thiên, suy ra đường thẳng
4
m
y luôn cắt đồ thị hàm số
t
tt
xf
3
1
41
)(
2
tại hai điểm có hoành độ
21
3
1
tt
khi đó phương trình
1
1
2
31
2
31
4
t
x
t
x
suy ra
1
1
31
2
t
t
y
Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm.
IV. Phương pháp thế, cộng đại số:
1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
)2(3
)1(72
22
yxxy
yxx
Giải:
* Khi
1
x
thay vào hệ ta được
31
6
2
y
không thỏa hệ
* Khi 1
x , từ
1
3
)2(
x
x
y
Thay vào (1) ta được: 7
1
3
2
2
2
x
x
xx
025721
23
xxxx
171
179
4
173
171
179
4
173
12
21
02572
1
23
yx
yx
yx
yx
xxx
x
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:
171
179
;
4
173
,
171
179
;
4
173
,1;2,2;1
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
8
Ví dụ 2: Cho hệ:
)2(0
)1(0
22
aayx
xyx
a/ Giải hệ khi a=1
b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt
c/ Gọi (x
1
,y
1
); ( x
2
,y
2
) là các nghiệm của hệ đã cho
Chứng minh rằng: (x
2
- x
1
)
2
+ ( y
2
–y
1
)
2
1
Giải:
Từ (2)
x=a-ay thay vào (1) ta được
0)12()1(
222
aayaaya (3)
a/ với a=1, ta có (3) trở thành: 2y
2
-y=0
2
1
2
1
10
xy
xy
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;0), (
2
1
;
2
1
)
b/ Hệ có 2 nghiệm phân biệt )3(
có 2 nghiệm phân biệt
3
4
0
0
01
2
a
a
c/ Khi
3
4
0 a
thì hệ có 2 nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
)
trong đó y
1
,y
2
là nghiệm của (3) nên thỏa mãn
1
1
)12(
2
2
21
2
21
a
aa
yy
a
aa
yy
lại có
22
11
ayax
ayax
Khi đó,
1
1
)12(
1
1
34
4)()1()(
2
2
2
2
21
2
21
22
12
2
2112
a
a
a
aa
yyyyayyayayyy
Ví dụ 3. Giải hệ:
xyyx
xxy
6
)9(
22
333
Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành: 0
0
0
2
3
y
y
y
*Khi
0
x
,
Hệ
3 3
3 3
2
( ) 9
( ) 3 ( ) 9 ( ) 21
( ) 6 ( ) 6
6
y
y y y
x
x y x x
x
x x x
y y
y
y x y x
xy
x x
x
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
9
1
3
2
2
y
x
x
x
x
y
Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 4. Giải hệ
)2(133
)1(28
22
33
yx
yyxx
Giải:
Từ (2)
23
22
yx
(3)
Thay vào (1) ta được:
3
28
2
23
x
yyyxx
x
x
y
x
xyxx
243
0
0243
2
2
* Với x = 0 vào (3) ta được 02
2
y Vô nghiệm
* Với
x
x
y
243
2
thay vào (3) ta được:
086421313
24
xx
13
78
13
96
13
78
13
96
13
13
yx
yx
yx
yx
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:
13
78
;
13
96
,
13
78
;
13
96
,1;3,1;3
Ví dụ 5. Giải hệ:
yxxy
xyxy
22
233
Giải:
Hệ đã cho
)2(
)1(
22
222
yxxy
xyxxyyxy
Thay (2) vào (1) ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 0
( 2 1) 0 ( 2 1) 0
0
( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 1
1
y x x y xy y x xy y xy x xy x y y x
y xy xy x y y
y y x xy x y xy y x x
y
y y x x y x y x x
y x
* Với y = 0 thay vào (2) ta được x = 0 hoặc x = 1
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (0; 0), (1; 0).
* Với
1
x
thay vào (2) ta được y = 0 hoặc y = -1.
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (1; 0), (1; -1)
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
10
* Với
1
y x
thay vào (2) ta được
0 1
1 0
x y
x y
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm: (0;-1), (1; 0)
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1)
Ví dụ 6. Giải hệ sau:
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2008)
Giải:
Hệ đã cho
2 2
2
( ) 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x xy x
x xy x
Từ (2)
2
3 3
2
x
xy x
thay vào (1) ta được:
2
2 4 3 2 3 2
3 3 2 9 12 48 64 0 ( 12 48 64) 0
2
x
x x x x x x x x x x x
3 2
0
0
4
12 48 64 0
x
x
x
x x x
* Với x = 0 thay vào (2) ta được 0 = 6
Suy ra hệ vô nghiệm.
* Với x = - 4
17
4
y
Vậy nghiệm của hệ là
17
4;
4
.
Ví dụ 7. Giải hệ:
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1 (1)
1 (2)
x y x y x x
xy x x
Giải:
Ta có
2
(2) ( 1) 1
x y x
* Với x = 0 thay vào hệ thấy không thỏa hệ.
* Với
0
x
ta có
2
1
1
x
y
x
Thay vào (1) ta được:
2 2
2 2
1 1
( )( ) 3 4 1
x x
x x x x
x x
2
( 1)(2 2 4) 0
x x x x
0 ( )
1 1
5
2
2
x l
x y
x y
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình sau
2
2
1 ( ) 4 (1)
( 1)( 2) (2)
x y y x y
x y x y
( ĐỀ DỰ BỊ TSĐH KHỐI A NĂM 2006)
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
11
Giải:
Từ (1)
2
1 4 ( )
x y y y x
thay vào (2) ta được
(4 ( ))( 2) (4 ( ))( 2) 0
((4 )( 2) 1) 0
0
(4 )( 2) 1 0
y y y x y x y y y x y x y
y y x y x
y
y x y x
* Với y = 0 thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm.
* Với
(4 )( 2) 1 0 (4 ( ))( 2) 1 0
y x y x x y y x
(*)
Đặt t = x + y, (*) trở thành (4 – t)( t – 2) – 1 = 0
3
t
Suy ra x + y = 3 3
y x
thay vào (1) ta được
2
1 (3 )3 4(3 )
x x x
2
1 2
2 0
2 5
x y
x x
x y
Vậy nghiệm của hệ là
(1;2), ( 2;5)
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình sau
3 2
2 2
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x
Giải:
* Thay x = 0 vào hệ ta thấy x = 0 không thỏa hệ.
* Với
0
x
từ (1)
3
2
49
3
x
y
x
(*) thay vào (2) ta được
3
2 2 3 2
49
8 8 17 24 ( ) 2 51 49
3
x
x xy y y x x x x
x
2 2
2
24 ( 1) ( 1)(2 49 49) ( 1)(24 2 49 49) 0
1
2 49 49
24
xy x x x x x xy x x
x
x x
y
x
+ Khi x = - 1 thay vào (*) ta được
4
y
+ Khi
2
2 49 49
24
x x
y
x
thay vào (*) ta được
2
2 3
4 3 2
2 49 49 49
4 4 45 94 49 0
24 3
x x x
x x x x
x x
2 2
( 1) (4 4 49) 0 1 4
x x x x y
Vậy nghiệm của hệ là
( 1; 4), ( 1;4)
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
3 2 3
2
5 3 2
2 1
x xy y x y
x xy
Giải :
Hệ
3 2 3
2
5 3 2 .1 (1)
1 2 (2)
x xy y x y
x xy
Thay (2) vào (1) ta được x
3
– 7xy
2
+ 3x
2
y + 3y
3
= 0 (3)
* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
12
* Với
0
y
ta có
(3)
3 2
( ) 3( ) 7 3 0 (4)
x x x
y y y
Đặt t = x/y phương trình (4) trở thành
t
3
+ 3t
2
– 7t + 3 = 0
1
2 7
2 7
t
t
t
Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là (
1 1
;
3 3
), (
1 1
;
3 3
)
Với t =
2 7
hệ có nghiệm là
2 7 1 2 7 1
( ; ), ( ; )
7 7
7 2 7 7 2 7
Với t = - 2 +
7
hệ có nghiệm là
7 2 1 7 2 1
( ; ); ( ; )
7 7
7 2 7 7 2 7
2. Phương pháp cộng đại số:
Ví dụ 1. Giải hệ
y
x
xy
x
y
yx
4
3
4
3
Giải:
Điều kiện: 0;0
yx
Hệ
)2(43
)1(43
2
2
xxyy
yxyx
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
4
04
xy
xy
yxyx
* Với y = x thay vào (1) ta được
22
)(00
02
2
yx
lyx
xx
* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được 22044
2
yxxx
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2. Giải hệ:
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện: 3,3
xy
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
13
2
2
10253
10253
5
5
53
53
(*)
yyx
xxy
y
x
yx
xy
)4(10253
)3(09
)2(5
)1(5
10253
01010
5
5
2
2
22
xxy
yxyx
y
x
yyx
yxyxyx
y
x
Ta có
09
)3(
yx
yx
*Với x=y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
yyyyy
44
)(77
yx
lyx
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:
Đặt
3
3
xv
yu
với 0,0
vu
3
3
2
2
vx
uy
Hệ trở thành
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
0
22
vuvu
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được
)(2
11
02
2
loaiv
uv
vv
Ta có hệ:
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
14
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:
2
1
2334
123
22
2
xxyxyy
xyxyy
Giải:
Hệ đã cho
)2(146682
)1(123
22
2
xxyxyy
xyxyy
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
02213
22
xxyxy
(*)
12
2
xx
Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x
* Với 1
xy thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)
* Với y = 2x thay vào (1) ta được:
22
2
22
22
2
22
yx
yx
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
22;
2
22
và
22;
2
22
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
1 1 4
6 4 6
x y
x y
Giải:
Điều kiện: x
-1, y
1
Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ
1 6 1 4 10
6 1 4 1 2
x x y y
x x y y
1 6 1 4 10
5 5
2
6 1 4 1
x x y y
x x y y
Đặt u=
1 6
x x
, v =
1 4
y y
.
Ta có hệ
10
5 5
2
u v
u v
5
5
u
v
3
5
x
y
là nghiệm của hệ
Ví dụ 5. Giải hệ sau:
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
Giải:
Điều kiện:
0, 0
x y
Hệ
2 2
2 2 2 16 (1)
2 16 (2)
x y xy
x y xy
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
2 2 2 2
2 2 0 2 2
x y x y x y x y
2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 0
x y x y x y y x
Thay vào phương trình (2) ta được x = 2, suy ta y = 2
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
15
Vậy nghiệm của hệ là (2; 2)
Ví dụ 6. Giải hệ sau:
2 2
2 2
1 1 18 (1)
1 1 2 (2)
x x y x y x y y
x x y x y x y y
Giải:
Điều kiện:
2
1 0
x x y
,
2
1 0
y x y
Trừ (1) và (2) ta được: 8 8
x y y x
thay vào (1) ta được
2 2
9 16 73 10
x x x
2 2
16 73 10 9
x x x
2 2 2
2
2 2
16 73 100 20 9 9
9
5 9 4 9
4
25( 9) 16 72 81
x x x x
x
x x
x x x
2
9
9
4
4
4
4
9 72 144 0
x
x
x
x
x x
suy ra y = 4 (thỏa mãn hệ)
Vậy nghiệm của hệ là (4; 4)
V. Phương pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ bằng cách nhóm các hạng tử , sử dụng hằng đẳng thức:
2 2 2 2 2 2
* ( ) 2 * ( ) 2
a b a b ab a b a b ab
Ví dụ 1. Giải hệ
12)1)(1(
8
22
yxxy
yxyx
Giải:
Hệ đã cho
12)1()1(
8)1()1(
yyxx
yyxx
Đặt
)1(
)1(
yyv
xxu
Hệ trở thành
6
2
12
8
v
u
uv
vu
hoặc
2
6
v
u
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
2;3,3;2,2;2,2;2,1;3,3;1,2;1,1;2
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
16
Ví dụ 2. Giải hệ:
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
Giải:
Hệ
3)4(2)3(3
143
22
22
yyxx
yxyx
Đặt: u=
xx 3
2
và v=y
2
+4y
Hệ trở thành:
4;
2
133
0;
2
133
04
013
0
1
322
1
2
2
yx
yx
yy
xx
v
u
vu
vu
Ví dụ 3. Giải hệ:
)2(
4
5
)21(
)1(
4
5
24
232
xxyyx
xyxyyxyx
(TS K A 2008)
Giải:
Ta có: (2)
4
5
)(
4
5
2
22224
xyyxyxxyyx
Ta tìm cách biến đổi (1) về pt có chứa
yx
2
và
xy
Ta có (1)
4
5
)1(
22
yxxyyx
Đặt yxu
2
và
xy
v
hệ trở thành
2
3
;
2
1
4
5
;
4
5
4
5
2
vu
vou
vu
uvvu
Với u=0, v=-
4
5
ta có hệ
3
3
2
16
25
4
5
4
5
0
y
x
xy
yx
Với u=-
2
3
,
2
1
v ta có hệ:
2
3
1
2
3
032
2
3
0
2
1
2
3
2
y
x
x
y
xx
x
y
x
x
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1
( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007)
Giải:
Hệ đã cho
2 2 3
2 3
( x xy) x y 1
( x xy) x y 1
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
17
Đặt u = x
2
+ xy, v = x
3
y
(I) thành
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1
v 1 v 0
u v 1 u u 0
Do đó hệ đã cho tương đương:
2 2
4 2
3 3
y x y 0
x xy 0 x xy 1
x 1 x 1(vn)
x y 1 x y 0
x 1 x 1
y 1 y 1
Ví dụ 5. Giải hệ
12)1)(1(
8
22
yxxy
yxyx
Giải:
Hệ
12)1()1(
8)1()1(
yyxx
yyxx
Đặt
)1(
)1(
yyv
xxu
Hệ trở thành
6
2
12
8
v
u
uv
vu
hoặc
2
6
v
u
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
2;3,3;2,2;2,2;2,1;3,3;1,2;1,1;2
Ví dụ 6. Giải hệ:
53
53
xy
yx
(*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện: 3,3
xy
2 2 2
2 2
5 5
5 5
3 5
(*)
3 25 10 10 10 0
3 5
3 25 10 3 25 10
x x
y y
y x
y x x x y x y x y
x y
x y y x y y
2
5 (1)
5 (2)
9 0 (3)
3 25 10 (4)
x
y
x y x y
y x x
Ta có
09
)3(
yx
yx
*Với x = y thay vào (4) ta được:
02811032510
22
yyyyy
44
)(77
yx
lyx
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
18
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được
)(
2
59
2
59
)(
2
59
0199
2
lyx
lx
xx
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2: Điều kiện: 3,3
xy
Đặt
3
3
xv
yu
với
0,0
vu
3
3
2
2
vx
uy
Hệ trở thành
)2(2
)1(2
53
53
2
2
2
2
vu
uv
vu
uv
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
0
22
vuvu
vu
vu
vuvu
1
01
* Với u = v thay vào (1) ta được
)(2
11
02
2
loaiv
uv
vv
Ta có hệ:
4
4
13
13
y
x
y
x
* Với u=1-v thay vào (1) ta được:
)(
2
51
)(
2
51
2
51
1
2
51
0121
22
loaiv
loaiuv
vvvv
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
.
Giải
Đặt S , P
x y xy
, Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
.
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
xy x y
x y
.
Giải
Đặt , ,
t y S x t P xt
, Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
.
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
19
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
.
Giải
Điều kiện
0, 0
x y
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
Đặt
1 1 1 1
S x y , P x y
x y x y
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1S 2P 8
x y 4
x y
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y
.
Giải
Điều kiện
, 0
x y
. Đặt
0
t xy
, ta có:
2
xy t
và
(2) x y 16 2t
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4
Suy ra:
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình :
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
Giải:
*Hệ đã cho
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1
x xy x y
x y x xy
*Đặt
2
3
x xy u
x y v
,
Hệ trở thành
2
1
1
0
1
u
u v
v
v u
hoặc
2
3
u
v
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) .
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
3
3( ) ( ) 7
( )
1
2 3
x y x y
x y
x
x y
Giải:
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
20
Điều kiện:
0
x y
Hệ đã cho
2
2 2
2
2
3
1
3( ) ( ) 7
3 ( ) 13
( )
1
1
( ) ( ) 3
( ) ( ) 3
x y x y
x y x y
x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y
Đặt
1
u x y
x y
v x y
Hệ trở thành
2 2
2
3 13
1
3
u
u v
v
u v
Ta có
1
2
1 1
1 0
1
x y
x y x
x y
x y y
x y
Ví dụ 13. Giải hệ
3
3
2 3
1 3
82
y x
x y
Giải:
Điều kiện:
0
x
Đặt
3
3
0 à 1
u x v v y
Ta có
2 2 4
3 3 3 3
1 1
x u x u
y v y v
Hệ đã cho trở thành
4 3
3 (1)
81 (2)
u v
u v
Từ (1) 3
v u
thay vào (2) ta được
4 3
(3 ) 81
u u
4 3 2 3 2
9 27 54 0 ( 3)( 2 15 18) 0
u u u u u u u u
3 2
3 0
3 0
2 15 18 0 ( )
u
u v
u u u VN
Khi đó ta có
3
3
3
9
1
1 0
x
x
y
y
Vậy nghiệm của hệ là ( 9; 1).
Ví dụ 14. Giải hệ
4
4
1 1
1 1
x y
y x
Giải:
Điều kiện:
1
1
x
y
Đặt
4
4
1 0
1 0
u y
v x
Suy ra,
4
4
1
1
y u
x v
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
21
Khi đó hệ trở thành
4 4 4
4 8 7
0
0 0 ( 1) 0
v u u v u v
u v v v v v
4
0
0 ( )
0
1 ( )
u v
u
v n
v
v l
Suy ra
4
4
1 0
1
1
1 0
y
y
x
x
Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).
Ví dụ 15. Giải hệ
5 2 7
2 5 7
x y
x y
Giải:
Điều kiện:
2, 2
x y
Đặt
2
2
2
2
,
2
2
u x
x u
suy ra
y v
v y
Hệ trở thành
2 2 2 2
2 2
2 2
7
7 7 7 7 14 42 (1)
7
7 7 7 7
14 42 (2)
u
v u v u v u u
v
u v u v
u v v
Lấy (1) trừ (2) và cộng (1) cho (2) vế theo vế ta được
2 2
2( )( ) 14( ) 0
2 2 14 14 0
3
3
3
( )
2( ).3 14( ) 0 0
2
3 3 3
( )
2
v u v u v u
v u u v
u v
u v
u n
v u v u v u
u v u v
v n
Suy ra,
3 17
2
2 4
3 17
2
2 4
x x
y y
Vậy nghiệm của hệ là
17
4
17
4
x
y
Ví dụ 16. ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2011)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
3 2
2
2 ( 2)
( , )
1 2
x y x xy m
x y
x x y m
Giải:
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
22
Hệ
2
2
( )(2 )
( ) (2 ) 1 2
x x x y m
x x x y m
Đặt
2
1
( )
4
2 ( )
u x x u
v x y v
Hệ thành :
2
(1 2 )
1 2
(2 1)
v m u
u v m
uv m
u u m u
2
1 2
(1)
2 1
v m u
u u
m
u
Đặt f(u) =
2
1
,
2 1 4
u u
u
u
; f
/
(u) =
2
2
2 2 1
(2 1)
u u
u
;
f
/
(u)=0
1 3
2
u
(loại) hoặc
1 3
2
u
u
1
4
1 3
2
+
f
/
(u) + 0
f(u)
2 3
2
5
8
–
Vậy hệ có nghiệm
(1)
có nghiệm thuộc
1 2 3
;
4 2
m
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1
(I)
( ĐỀ DỰ BỊ 2 KHỐI A NĂM 2007)
Giải:
(I)
2 2 3
2 3
( x xy) x y 1
( x xy) x y 1
Đặt u = x
2
+ xy, v = x
3
y
(I) thành
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1
v 1 v 0
u v 1 u u 0
Do đó hệ đã cho tương đương:
2 2
4 2
3 3
y x y 0
x xy 0 x xy 1
x 1 x 1(vn)
x y 1 x y 0
x 1 x 1
y 1 y 1
Ví dụ 18. Giải hệ
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y
Giải:
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
23
2) (2)
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x
.
Đặt
2
2
3
x u
y v
Hệ trở thành
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v
2
0
u
v
hoặc
0
2
u
v
2
3
x
y
;
2
3
x
y
;
2
5
x
y
;
2
5
x
y
2. Đặt ẩn phụ bằng cách chia hoặc nhân hai vế của phương trình của hệ cho một biểu
thức hoặc chia hai phương trình của hệ:
Ví dụ 1. Giải hệ:
xyyx
xxy
6
)9(
22
333
Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành: 0
0
0
2
3
y
y
y
*Khi 0
x ,
Hệ
2
1
2
3
6)(
21)(
6)(
9)(3)(
6
9)(
33
2
33
x
x
y
x
y
x
x
y
xy
x
x
y
x
y
xy
x
y
xyx
x
y
x
y
xy
x
x
y
vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2009)
Giải:
*Với y = 0 hệ vô nghiệm
* y 0 hệ
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y
Đặt a =
1
x
y
; b =
x
y
2 2
2
1 x
a x 2
y y
2 2
2
1
x a 2b
y
Ta có hệ là
2
a b 7
a b 13
2
a b 7
a a 20 0
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
24
a 4
b 3
hay
a 5
b 12
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y
hay
1
x 5
y
x
12
y
2
x 4x 3 0
x 3y
hay
2
x 5x 12 0
x 12y
(VN)
x 1
1
y
3
hay
x 3
y 1
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
(x, y R)
( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2009)
Giải:
ĐK : x ≠ 0
Hệ phương trình tương đương :
2 2 2
2
2
x(x y 1) 3
x(x y) x 3
5
x (x y) x 5
(x y) 1
x
ĐK : x ≠ 0
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:
2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 t 1 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 x 2 t 2
Vậy
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y
2
x 2 x 1 x 1
x 2
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2
2 2
1
2 2
2 2
x x
y
y y x y
Giải :
Điều kiện :
Hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y
Đặt
1
u x
v
y
Hệ trở thành
2
2
2 2 0 (1)
2 2 0 (2)
u u v
v v u
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được
2 2 2 2
2 2 2 2 0 0
u v u v u v u v
( )( ) 0 ( )( 1) 0
u v u v u v u v u v
1
u v
u v
* Với u = v thay vào (2) ta được
2
1
2 2 0
1
v
v v v
v
ebooktoan.com
THẦY. NGUYỄN QUANG SƠN ĐT: 0909 230 970
25
+ Khi
1 1
v u
ta có
1
1
1
1
1
y
y
x
x
+ Khi
1 1
v u
ta có
1
1
1
1
1
y
y
x
x
* Với
1
u v
thay vào (2) ta được
2 2
2 1 2 0 2 2 3 0
v v v v v
1 7
2
1 7
2
v
v
+ Khi
1 7 3 7
2 2
v u
ta có
2
1 1 7
7 1
2
3 7
3 7
2
2
y
y
x
x
+ Khi
1 7 3 7
2 2
v u
ta có
2
1 1 7
7 1
2
3 7
3 7
2
2
y
y
x
x
Vậy nghiệm của hệ là (-1 ;-1),(1 ;1), (
3 7 2
;
2
7 1
), (
3 7 2
;
2
7 1
)
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
,
( , )
x y
.
Giải:
* Thay y = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
* Với
0
y
, ta có:
2
2 2
2 2
2
2
1
4
1 4
.
( ) 2 7 2
1
( ) 2 7
x
x y
y
x y xy y
y x y x y
x
x y
y
Đặt
2
1
,
x
u v x y
y
Ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ Với
3, 1
v u
ta có hệ:
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
.
+ Với
5, 9
v u
ta có hệ:
2 2 2
1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
, hệ này vô
nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.
x y
ebooktoan.com
