ĐỀ THI THỬ SỐ 1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
+
(1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Chứng minh rằng
22 2
23
cos cos cos .
332
xx x
ππ
⎛⎞ ⎛ ⎞
+++ +=
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠

b) Giải phương trình
2
2
2
log ( 3) 8log 2 1 4.
xx
−− −=

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
0
(sin).
Ixx xdx
π
=−
∫

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
2( 1) 3 (5 )
zzii
+= + −
. Tính môđun của z.
b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn
lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức
chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng
cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,

0
60 ,

BAC =
cạnh bên SA vuông góc với đáy và
3
SA a
= . Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện

0
90 ,
AIB =
chân đường cao kẻ từ A
đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng
đỉnh A có hoành độ dương.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và
C(4;1;–1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho
thể tích khối tứ diện MABC bằng 5.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
(
)
22
2
42
3( 2) 1 3 1 .
1
xxxx
xx
−+ > −+ −
−+


Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
22.
Sxyz
=++

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….……
1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
(Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang)

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

1

2,00



a
(1,00 điểm)

• TXĐ: D =

\{ 2}.
−


• Giới hạn và tiệm cận:
22
lim 2; lim ; lim
x
xx
yy y
+−
→±∞
→− →−
==−∞=+∞

⇒ Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2.
0,25
• Sự biến thiên:
2
3
'0,\{2}
(2)
yx
x
=>∈−
+

⇒ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–∞;–2) và (–2;+∞).
0,25
• Bảng biến thiên:


•
H
àm

s
ố

kh
ô
ng c
ó

c
ực

tr
ị
.

0,25
• Đồ thị:

0,25
b
(1,00 điểm)

Gọi
00
(; )

Mx y
là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó y’(x
0
) = 3.
0,25
Ta có phương trình
0
2
0
2
00
1
3
3( 2)1
3.
(2)
x
x
x
x
=−
⎡
=⇔ + =⇔
⎢
=−
+
⎣

0,25
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là:

32, 314
yx yx
=+ =+
.
0,25
Từ giả thiết ta được
32.
yx
=+

0,25
2
2

1,00

a
(0,5 điểm)

Ta có
31 2 4
cos 2 cos 2 cos 2
22 3 3
Axx x
ππ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=+ + + + +
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥

⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

0,25

( )
[ ]
31 31 3
cos 2 2cos 2 cos cos 2 cos 2 .
22 3 22 2
xx xx
π
π
⎡⎤
⎛⎞
=+ + + − =+ − =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

0,25
b
(0,5 điểm)

ĐK:
1
,3.
2
xx

>≠
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
22 2
3
4log 3 4log (2 1) 4 log 1
21
x
xx
x
−
−− −=⇔ =
−

0,25
34 2
3
2342 1.
342
21
xx
x
xx x
xx
x
−= −
−
⎡
⇔=⇔−=−⇔ ⇔=
⎢
−=− +

−
⎣

Phương trình có nghiệm
1.
x
=

0,25
3

1,00


33
2
000
0
(sin) sin sin.
33
x
Ixxxdx xxdx xxdx
π
πππ
π
=− =− =−
∫∫∫

0,25
Tính

1
0
sin .
Ixxdx
π
=
∫

Đặt
sin cos .
ux dudx
dv xdx v x
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
==−
⎩⎩

0,25
1
00
0
cos cos sin .
Ixx xdx x
π
ππ
ππ
⇒=− + =+ =
∫


0,25
3
.
3
I
π
π
⇒= −

0,25
4

1,0

a
(0,5 điểm)

Đặt
,( , )
zabiab
=+ ∈

. Khi đó:
2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 1 5(1 ) 0.
zziiabi abiia bi
+= + −⇔ ++= − ++⇔−+ − =

0,25
1

2.
1
a
z
b
=
⎧
⇔⇒=
⎨
=
⎩

0,25
b
(0,5 điểm)

Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5
bạn nữ thuộc cùng một nhóm”.
Ta có
5555
20 15 10 5
CCCC
Ω= cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D.
0,25
Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có
555
15 10 5
CCC
cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại
Do vai trò các nhóm như nhau, có

555
15 10 5
4
CCC
cách chia các bạn vào các nhóm A, B,
C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm.
Xác suất cần tìm là:
5
20
41
()
3876
PX
C
== .
0,25
5

1,00
3

Xét tam giác ABC có
0
2
tan 60 2 3
23.
ABC
BC AB a
Sa
∆

==
⇒=


0,25
23
.
11
.3.232.
33
SABCD ABC
VSASaaa
∆
== =

0,25
- Gọi N là trung điểm cạnh SA.
Do SB // (CMN) nên
(, ) (,( ))
( ,( ))
( ,( )).
dSBCM dSB CMN
dB CMN
dACMN
=
=
=

- Kẻ
,

AE MC E MC
⊥∈
và kẻ
,
AH NE H NE
⊥∈

Chứng minh được
()
AH CMN
⊥
(,( )) .
dACMN AH
⇒=


0,25
Tính
2
AMC
S
AE
MC
∆
=
trong đó:

2
113
sin .4. 3

23
.
222
13
13
AMC
SAMACCAMaaa
a
AE
MC a
∆
⎫
===
⎪
⇒=
⎬
⎪
=
⎭

Tính được
23 23 23
(,( )) ( , ) .
29 29 29
aaa
AH d A CMN d SB CM=⇒ =⇒ =

0,25
6


1,00






Do

0
90AIB
=⇒

0
45
ACB = hoặc

0
135
ACB =

0
45
ACD⇒=⇒ tam giác
ACD vuông cân tại D nên DA = DC.
Hơn nữa, IA = IC.
Suy ra, DI ⊥ AC ⇒ đường thẳng AC
thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và
AC vuông góc ID.


0,25
Viết phương trình đường thẳng AC:
290
xy
−+=
.
Gọi (2 9; )
Aa a AC
−∈
. Do
2( , ) 210
DA d D AC==
nên
0,25
22 2
1 ( 7;1)
(2 8) ( 1) 2 10 6 5 0
5(1;5)
aA
aa aa
aA
=⇒ −
⎡
−++= ⇔−+=⇔
⎢
=⇒
⎣

Theo giả thiết bài cho ⇒
(1; 5)

A .
0,25
Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0. Gọi
(3 4;).
Bb b
−−

Tam giác IAB vuông tại I nên
.03(32)4(1)0 2
IA IB b b b
=⇔− − + −=⇔=−
 
(2; 2).
B
⇒−

Đáp số:
(1; 5), (2; 2) .
AB
−

0,25
7

1,0

Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với
(2;3;0).
I


0,25
Bán kính của (S) là
3
2
AB
R ==
.
Phương trình của (S):
222
(2)(3) 3.
xyz
−+−+=

0,25
4
Gọi (0;0; )
MtOz
∈
. Do V
MABC
= 5 nên
1
[, ] 5
6
AB AC AM
=
  
11 4 5.
t
⇔+=


0,25
1(0;0;1)
11 4 15
11 4 15
13 13
11 4 15
(0;0; ).
22
tM
t
t
t
tM
=⇒
⎡
+=
⎡
⎢
⇔+=⇔ ⇔
⎢
⎢
+=−
=− ⇒ −
⎣
⎣

0,25
8 1,00


ĐK:
1.
x
≥

Với điều kiện đó
(
)
(
)
222
2
22
22 2
2
82
6( 2) 2 6 1 0
1
42
3 1 1 2 5 0.
1
BPT x x x x x
xx
xxxx xx
xx
⇔−+ − −− −>
−+
⎛⎞
⇔−−+−−+ +−−>
⎜⎟

⎜⎟
−+
⎝⎠

0,25
Xét hàm số
42
() 5
1
ft t
t
=+−
+
với
0.
t
≥
Ta có
22
'( ) 1 .
(1) 1
ft
tt
=−
++

•
'( ) 0 1.
ft t
=⇔=


• Bảng xét dấu

Suy ra
() (1), [0;+ ) () 0, [0;+ ).
ft f t ft t
≥∈∞⇒≥∈∞
Dấu “=” xảy ra ⇔ t = 1.
0,25
Do
22
2
42
0, [0;+ ) 5 0, [0;+ ).
1
xx x xx x
xx
−≥ ∈ ∞⇒ + −−≥ ∈ ∞
−+

Dấu “=” xảy ra khi
2
15
1.
2
xx x
+
−=⇔=
0,25
Khi đó:

(
)
(
)
22
22 2
2
42
31 12 50
1
xxxx xx
xx
⎛⎞
−− + − − + + −− >
⎜⎟
⎜⎟
−+
⎝⎠


2
2
2
2
10
15
10 .
2
42
50

1
xx
xx x
xx
xx
⎡
⎢
−− ≠
⎢
+
⎢
⇔−−≠ ⇔≠
⎢
⎢
+−−≠
⎢
−+
⎣

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
15
[1; ) \
2
S
⎧⎫
+
⎪⎪
=+∞
⎨⎬
⎪⎪

⎩⎭
.
0,25
9

1,00

Ta có:
2( ) ( 7)
xy zxy
+= −
. Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0.
Khi đó, từ giả thiết ta được
2( )
.
7
xy
z
xy
+
=
−

Suy ra:
4( )
(; ) 2
7
xy
Sfxy xy
xy

+
==++
−
với điều kiện
0, 0, 7
xyxy
>> >
(*)
0,25
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được:
2
'
22
4( 7) 4 ( ) 28 4
(; ) 1 1 .
(7) (7)
y
xy x x y x
fxy
xy xy
−− + +
=+ =−
−−

'22 2
0
2
77
(; ) 0 14 21 4 0 21 .
y

fxy xy xy x y
x
x
=⇔ − + − =⇔ =+ +







5
Suy ra:
0
2
11 7
(; ) 2 41 .
fxy x
x
x
=++ +

0,25
Xét hàm số
2
11 7
() 2 41gx x
x
x
=++ + với x > 0 với

2
3
2
11 28
'( ) 2 .
7
1
gx
x
x
x
=− −
+

'( ) 0 3.
gx x
=⇔=

Khi đó
() (3) () 15.
gx g gx
≥⇔≥

0,25
Với điều kiện (*), ta có
0
(; ) () 15.
Sfxy gx≥=≥
Vậy
min 15

S
=
khi
3, 5, 2.
xyz
===

0,25

Hết