Hiểu thêm về bổ đề cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 12 trang )
NGÔ BẢO CHÂU
Tháng tám mùa thu năm Canh Dần, tức 2010 dương lịch, Việt Nam hân hoan đón nhận tin GS.
Ngô Bảo Châu đoạt giải thưởng Fields, giải thưởng danh giá tương đương với giải Nobel cho
Toán học. GS. Ngô đã chứng minh sáng sủa “Bổ đề Cơ bản”, là bí kíp vô cùng quan trọng trong
bản tổng phổ Langlands – Chương trình kết nối mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. “Bổ đề Cơ
bản” tuy chỉ là một vấn đề kỹ thuật, nhưng nó đã gây lúng túng cho nhiều cao thủ hơn 30 năm
qua. Thành tựu đột phá của Ngô giúp các nhà toán học tiến lên trong việc chinh phục cả
“Chương trình Langlands”.
Lý thuyết số Lepold Kronecker (1823-1891)
Để hiểu “Bổ đề Cơ bản” ta cần có khái niệm về lý thuyết số. Số là cách thức con người nguyên
thủy ghi lại số lượng các đối tượng như súc vật nuôi, bạn bè, khách hàng… Năm 700 TCN
người Babylon đã phát minh ra số 0, sau được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực tài chính. Nhà
toán học Đức Kronecker từng nói: “Chúa trời đã tạo ra các số nguyên, phần việc còn lại là của
chúng sinh”. Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat được coi là sư tổ của lý thuyết Số hiện đại
đồng thời là tác giả “Định lý Fermat lớn”, định lý đã làm chấn động toán lâm và điên đầu vô số
hảo thủ trong gần bốn thế kỷ.
Evariste Galois (1811-1832)Lý thuyết Nhóm là ngành nghiên cứu về các cấu trúc đại số có tính
đối xứng. Lý thuyết Nhóm đặc biệt được ứng dụng rộng rãi trong vật lý hiện đại, được xuất hiện
lần đầu trong công trình của nhà toán học mãi mãi tuổi 21 người Pháp Évariste Galois vào năm
1830. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc Nhóm. Đặc biệt quan trọng là
các nhóm Lie, được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi trơn tru. GS. Ngô đã chứng
minh “Bổ đề Cơ bản” cho trường hợp riêng với nhóm Unita vào năm 2004 và tổng quát với toàn
bộ nhóm Lie năm 2008.
Pierre de Fermat (1601-1665)
Năm 1637 đại sư tổ môn phái toán học Pháp là Pierre de Fermat đã viết vào lề cuốn “Số học”
của Diophante thời Hy Lạp cổ đại mấy dòng chữ sau: “Phương trình x
n
+ y
n
=z
n
không có nghiệm
nguyên dương khi n lớn hơn 2. Tại hạ đã tìm được cách chứng minh tuyệt vời nhưng đáng tiếc lề
sách không đủ rộng để ghi ra đây”. Điều khẳng định bí ẩn trên, sau được gọi là “Định lý Fermat
lớn” đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại. “Định lý Fermat
lớn” chỉ được chứng minh triệt để vào năm 1995 bởi nhà toán học Anh A. Wiles.
Giải thuyết Taniyama – Shimura
Hai nhà toán học Nhật Bản Y. Taniyama và G. Shimura
Giữa thế kỷ 20, hai cao nhân Nhật Bản là Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán
thiên tài là mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu đúng, giả thuyết
này sẽ giải quyết nhiều bài toán số học cho đến any chưa giải quyết được bằng cách tiếp cận
qua thế giới hình học. Mùa thu năm 1984 nhà toán học Gerhard Frey đã kết luận rằng nếu chứng
minh được “Giả thuyết Taniyama – Shimura” thì cũng có nghĩa là chứng minh được “Định lý
Fermat lớn”, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.
Robert Phelan Langlands (1936)
Trong những năm 60, nhà toán học Canada R. Langlands đưa ra một loạt giả thuyết về những
mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp
tác chứng minh những giả thuyết đó, cấu thành “Chương trình Langlands”.
Ngô Bảo Châu nhận xét: “Các giả thuyết Langlands là động lực cho sự phát triển của toán học lý
thuyết trong vòng bốn chục năm trở lại đây. Rất nhiều bài toán tưởng như là những viên gạch
riêng lẻ, nay được các giả thuyết của Langlands sắp xếp lại thành một công trình kiến trúc vĩ
đại…”
.
Andrew John Wiles (1953)Hứng thú với “Giả thuyết Tayniyama – Shimura” và “Định lý Fermat
lớn”, nhà toán học Anh A. Wiles đã âm thầm nhập thất, đóng cửa luyện công trong bảy năm liền
để tìm kiếm lời giải cho bài toán xuyên thế kỷ. Dù trong quá trình khổ luyện có lúc tẩu hỏa nhập
ma, nhưng với bản lĩnh cao cường năm 1995, A. Wiles đã tái xuất giang hồ và công bố cách
chứng minh “Định lý Fermat lớn”, chấm dứt 358 năm căng thẳng của toán giới. Nhưng kết quả có
ý nghĩa lớn hơn nhiều là “Giả thuyết Tayniama – Shimura” được chứng minh
đồng nghĩa nền tảng “Chương trình Langlands” là vững chắc
Công thức vết Arthur – SelbergJames Arthur (1944)
Một trong những công cụ được coi là bảo bối phát triển từ “Chương trình Langlands” là “Công
thức vết Arthur – Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng các phương pháp hình học để
tính toán những bài toán số học. Nhưng chính Langlands đã gặp một trở ngại lớn khi sử dụng
bảo bối này bởi xuất hiện những tích phân quỹ đạo phức tạp. Theo Langlands các tích phân này
bằng nhau nhưng ông không thể chứng minh được. Ông gọi nó là “Bổ đề Cơ bản”
“Bổ đề Cơ bản” gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của
“Chương trình Langlands”, khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều cao thủ toán học
hàng đầu – kể cả chính Langlands – đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại. GS. Ngô
viết: “Bổ đề Cơ bản không hẳn là bổ đề vì ông Langlands chỉ chứng minh nó trong một trường
hợp đặc biệt, còn trường hợp tổng quát thì được nêu như một giả thuyết. Còn “cơ bản” là vì cả
một góc lớn của chương trình kể trên sẽ sụp đổ nếu nó không đúng”.
Sư phụ G. Laumon (1952)
Do vai trò đặc biệt quan trọng của “Bổ đề Cơ bản”, nhiều nhà toán học đã nỗ lực và chứng minh
được một số trường hợp riêng. Năm 1979, Labesse và Langlands chứng minh được cho nhóm
SL (2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và Waldspurger chứng minh cho toàn bộ
nhóm SL(n). Đến 2004, GS. Ngô Bảo Châu và sư phụ là GS. Laumon đã song kiếm hợp bích
chứng minh cho toàn bộ nhóm unita U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao
giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004.
Công trình được Time bình chọn là một trong 10 khám phá năm 2009. Đầu năm 2008, GS. Ngô
Bảo Châu công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho “Bổ đề Cơ bản” trong trường hợp tổng quát
cho các đại số Lie. Lúc đầu công trình dài 150 trang. Sau khi lược bỏ bớt những điều không phục
vụ trực tiếp cho chứng minh “Bổ đề Cơ bản” và diễn giảichi tiết hơn, công trình dài thành 188
trang. Dù ý tưởng chứng minh rất rành rọt, các nhà toán học hàng đầu vẫn phải mất hơn 1 năm
để kiểm chứng nó. Năm 2009, công trình được tạp chí Time bình chọn là một trong 10 khám phá
khoa học quan trọng nhất của năm.
Sự thống nhất lớn
Công trình của GS. Ngô Bảo Châu đã đặt thêm những viên gạch vững chắc cho nền móng của
“Chương trình Langlands”, thống nhất mọi lĩnh vực của toán học hiện đại.
Trong vật lý hiện đại các nhà vật lý cũng đang nỗ lực cho một lý thuyết thống nhất lớn ọi là M-
Theory với chữ M có gốc từ chữ Mother (mẹ). Và trong cuộc sống hằng ngày, thật kỳ diệu đôi khi
chúng ta cũng cảm thấy mình là một cấu thành không thể tách rời của một vũ trụ thống nhất, vũ
trụ của tính nhân bản và tình yêu thương.
