ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





Trần Minh Hiếu



VỀ KHỐI LƯỢNG CÁC HẠT CƠ BẢN
TRONG SƠ ĐỒ SIÊU ĐỐI XỨNG


Chuyên ngành: Vật Lý Lý thuyết và Vật Lý toán
Mã số: 62 44 01 01


TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ






Hà Nội – 2012
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Vật lý Lý thuyết-Trường Đại học
Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Phạm Thúc Tuyền
2. PGS. TS. Hà Huy Bằng


Phản biện 1: GS. TS. Đặng Văn Soa
Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Viễn Thọ
Phản biện 3: GS. TSKH. Nguyễn Ái Việt


Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Nhà nướ
c chấm luận án tiến sĩ
họp tại Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
vào hồi 14 giờ 30 ngày 19 tháng 03 năm 2012


Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

Mục lục
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt vi
Danh mục các bảng vii
Danh mục các hình vẽ và đồ thị viii
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 MÔ HÌNH CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG 12
1.1 Vấn đề phân bậc gauge trong mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . 12
1.2 Siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Lời giải cho vấn đề phân bậc gauge . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Siêu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Hình thức luận siêu trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Phá vỡ siêu đối xứng tự phát . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Cấu trúc hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Phương trình nhóm tái chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.4 Phá vỡ đối xứng điện-yếu SU(2)
L
× U(1)
Y
. . . . . . . . 35
1.3.5 Phổ khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Nguồn gốc của các số hạng mềm . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1 Sự cần thiết mở rộng mô hình MSSM . . . . . . . . . . . 40
1.4.2 Phá vỡ siêu đối xứng động lực trong phần ẩn . . . . . . 42
1.4.3 Một số cơ chế truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iii
Chương 2 PHỔ KHỐI LƯỢNG TRONG MÔ HÌNH SU(5)
SIÊU ĐỐI XỨNG VỚI CƠ CHẾ TRUYỀN GAUGINO 45
2.1 Cơ chế truyền gaugino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Vấn đề ˜τ-LSP trong các mô hình siêu đối xứng với cơ chế truyền
gaugino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng SU(5) . . . . . . . . . . . 50
2.4 Phổ khối lượng của mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng SU(5) 53
2.4.1 Lời giải cho vấn đề ˜τ-LSP . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 Khối lượng của các sfermion . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.3 Khối lượng của các hạt trong gauge- Higg s sector . . . . . 58
2.5 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NHẬN BIẾT CÁC MÔ HÌNH

THỐNG NHẤT LỚN SIÊU ĐỐI XỨN G VỚI CƠ CHẾ TRUYỀN
GAUGINO 63
3.1 Các mô hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Những ràng buộc hiện tượng luận . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Dấu hiệu nhận biết mô hình thống nhất lớn . . . . . . . . . . . 67
3.4 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Chương 4 PHƯƠNG PHÁP NHẬN BIẾT CÁC MÔ HÌNH
PHÁ VỠ SIÊU ĐỐI XỨNG TRONG MÁY VA CHẠM TUYẾN
TÍNH 76
4.1 Các mô hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Ưu điểm của máy va chạm tuyến tính e
+
e
−
. . . . . . . . . . . . 78
4.3 Tín hiệu siêu đối xứng từ các quá trình đơn photon . . . . . . . 80
4.4 Nhận biết mô hình phá vỡ siêu đối xứng từ tín hiệu đơn photon 87
4.5 Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
KẾT LUẬN 96
Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án 98
iv
Tài liệu tham khảo 100
Phụ lục A SOFTSUSY 113
Phụ lục B MicrOMEGAs 116
Phụ lục C GRACE 118
Phụ lục D CÁC FILE MÔ HÌNH 120
v
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt
B : Số baryon

BR : Tỷ số phân nhánh (branching ratio)
CMSSM : Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu bị ràng buộc
FCNC : Dòng trung hòa t hay đổi hương vị
GinoSU5 : Mô hình thống nhất lớn SU(5) với cơ chế truyền gaugino
GUT : Lý thuyết thống nhất lớn (grand unified theory)
ILC : Máy va chạm tuyến tính quốc tếs
L : Số lepton
LHC : Máy va chạm hadron lớn
LSP : Hạt siêu đồng hành nhẹ nhất
M
GUT
: Thang năng lượng thống nhất lớn
M
c
: Thang năng lượng compact hóa
M
P
: Thang năng lượng Planck
mSUGRA : Mô hình siêu hấp dẫn tối thiểu
MSSM : Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu
SUSY : Siêu đối xứng (supersymmtry)
UV : Vùng tần số/xung lượng rất lớn (ultra-violet)
WMAP : Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
vi
Danh mục các bảng
Bảng 1.1: Siêu đối xứng hóa mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . 23
Bảng 1.2: Cấu trúc hạt của mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 24
Bảng 1.3: Cấu trúc hạt của mô hình MSSM . . . . . . . . . . . . . 25
Bảng 1.4: R-charge của các trường thành phần . . . . . . . . . . . . 27
Bảng 2.1: Cấu trúc hạt của mô hình thống nhất lớn SU(5) tối thiểu. 50

Bảng 3.1: Cấu trúc hạt của mô hình thống nhất lớn SO( 10) đơn giản. 65
Bảng 3.2: Phổ khối lượng và các ràng buộc khi m
1/2
= 500 GeV . . 71
Bảng 3.3: Phổ khối lượng và các ràng buộc khi m
1/2
= 800 GeV . . 72
Bảng 4.1: Tín hiệu và nhiễu của các quá trình đơn photon t ương
ứng với tất cả các tổ hợp phân cực khả dĩ . . . . . . . . . . . . 92
vii
Danh mục các hình vẽ và đồ thị
Hình 1.1: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình
chuẩn gây bởi fermion f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Hình 1.2: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình
chuẩn siêu đối xứng gây bởi fermion f và vô hướng
˜
f . . . . . . 14
Hình 1.3: Cấu trúc của mô hình phá vỡ siêu đối xứng . . . . . . . . 41
Hình 2.1: Minh họa cơ chế truyền gaugino . . . . . . . . . . . . . . 46
Hình 2.2: So sánh khối lượng ˜τ nhẹ và ˜χ
0
1
trong mô hình MSSM . . 49
Hình 2.3: Sự tiến hóa của các hằng số tương tác chuẩn tro ng mô
hình SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Hình 2.4: Sự phụ thuộc của khối lượng ˜τ và ˜χ
0
1
vào M
c

trong mô
hình SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Hình 2.5: Sự phụ thuộc của khối lượng ˜τ và ˜χ
0
1
vào tan β trong mô
hình SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Hình 2.6: Sự phụ thuộc tham số của khối lượng sparticle trong hai
thế hệ đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Hình 2.7: Sự phụ thuộc tham số của khối lượng sparticle trong thế
hệ thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Hình 2.8: Sự phụ thuộc tham số của khối lượng các neutralino . . . 59
Hình 2.9: Sự phụ thuộc tham số của khối lượng gluino và chargino . 60
Hình 2.10: Sự phụ thuộc tham số của khối lượng các hạt Higgs . . . 61
Hình 3.1: Khối lượng chạy của các sfermion trong hai thế hệ đầu . . 69
Hình 3.2: Thang compact hóa được biểu diễn như là hàm của t an β
với m
1/2
= 500 GeV và 800 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
viii
Hình 3.3: BR(b → sγ) được biểu diễn như là hàm của t an β với
m
1/2
= 500 GeV và 800 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hình 3.4: Hiệu khối lượng δm = m
SO(10)
− m
SU(5)
giữa các selec-
tron/muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Hình 4.1: Các g iả n đồ Feynman tương ứng với quá trình e
+
+ e
−
→
γ + ˜χ
0
1
+ ˜χ
0
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Hình 4.2: Các g iả n đồ Feynman tương ứng với quá trình e
+
+ e
−
→
γ + ˜ν
e
+ ˜ν
∗
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Hình 4.3: Các g iả n đồ Feynman tương ứng với quá trình e
+
+ e
−
→
γ + ˜ν
µ

+ ˜ν
∗
µ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Hình 4.4: Các g iả n đồ Feynman tương ứng với quá trình e
+
+ e
−
→
γ + ν
e
+ ¯ν
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.5: Các g iả n đồ Feynman tương ứng với quá trình e
+
+ e
−
→
γ + ν
µ
+ ¯ν
µ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Hình 4.6: Sự tiến hóa của khối lượng mềm trong thế hệ đầu . . . . 88
Hình 4.7: Phân bố theo năng lượng photon của tiết diện tán xạ
tương ứng với tất cả các tổ hợp phân cực . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.8: Phân bố theo cos( θ
γ
) của tiết diện tán xạ tương ứng với

tất cả các tổ hợp phân cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Hình 4.9: Tiết diện tán xạ vi phân tương tứng với các chùm e
+
e
−
phân cực một phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Hình A.1: Thuật toán lặp của chương trình SOFTSUSY. . . . . . . 114
ix
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Cấu trúc cơ bản nhất của vụ trụ là gì? Đó là một trong những câu hỏi quan
trọng mà loài người đã đặt ra từ rất lâu. Để nghiên cứu những viên gạch nhỏ
nhất cấu tạo nên thế giới, bắt đầu từ ý tưởng chia nhỏ vật chất trong buổi bình
minh của khoa học, người ta đã thấy rằng cần phải thực hiện các thí nghiệm
vật lý ở năng lượng cao. Những nghiên cứu về lĩnh vực này hiện nay đang nằm
ở biên giới của tri thức của chúng ta về thế giới tự nhiên. Những khám phá
mới trong lĩnh vực này sẽ đặt những bước đi đầu tiên trên con đường đầy hứa
hẹn, chuẩn bị cho những ứng dụng và phát triển trong tương lai xa.
Tuy nhiên, vật lý năng lượng cao lại hé lộ một bức tranh không hề đơn giản
của vật chất và các tương tác giữa chúng. Trong suốt những năm 50 và 60 của
thế kỷ trước, người ta đã thấy rằng có rất nhiều các hạt mới được tạo ra trong
các máy gia tốc, cùng với đó là một loạt các nỗ lực tìm kiếm lời giải đáp về
mặt lý thuyết cho sự tồn tại của các hạt này và mối liên quan của chúng với
nhau. Những băn khoăn này chỉ được giải quyết sau sự ra đời của mô hình
chuẩn (standard model), trong đó sự tồn tại của một số lớn các hạt được giải
thích như là tổ hợp của một số tương đối nhỏ các hạt cơ bản. Bước đi đầu tiên
hướng đến mô hình chuẩn là khám phá của Sheldon Glashow vào năm 1960 về
cách thức để kết hợp tương tác điện từ và tương tác yếu [64]. Năm 1967, Steven
Weinberg [124] và Abdus Salam [108] đã kết hợp cơ chế Higgs [49, 76, 69] và o
trong lý thuyết của Glashow để có được một lý thuyết điện-yếu như ngày nay.

Cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối lượng cho các hạt cơ bản.
1
Sau phát hiện về sự tồn tại của dòng yếu trung hòa (neutral weak current) gây
bởi sự trao đổi Z boson ở CERN năm 1973 [72, 73, 74], lý thuyết điện-yếu đã
được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được trao
giải Nobel Vật lý năm 1979. Lý thuyết cho tương tác mạnh được xây dựng bởi
nhiều công trình, đặc biệt là những đóng góp trong các năm 1973-1974, khi mà
thực nghiệm khẳng định rằng hadron được cấu tạo từ các quark với điện tích
phân số.
Vật lý năng lượng cao đã có những thành công đáng kể khi xây dựng được
mô hình chuẩn khá phù hợp với thực nghiệm cho các hạt cơ bản (quark, lepton)
và tương tác giữa chúng (t ươ ng tác mạnh, yếu, điện từ), cũng như cơ chế để
sinh khối lượng cho các hạt. Mặc dù vậy, mô hình này vẫn chưa thật hoàn
chỉnh [86].
Về mặt thực nghiệm, vẫn tồn tại những quan sát mà mô hình chuẩn chưa
thể lý giải thích được:
• Lực hấp dẫn: Mô hình chuẩn chưa có một lý giải nào về lực hấp dẫn, một
tương tác phổ quát của tự nhiên. Thêm vào đó, nó còn tỏ ra không phù
hợp với lý thuyết tương đối rộng.
• Vật chất tối và năng lượng tối: Những quan sát vũ trụ học cho thấy rằng
mô hình chuẩn chỉ có thể giải thích được khoảng 4% lượng vật chất trong
vũ trụ. Trong số 9 6% lượng vật chất thiếu hụt thì có đến 24% là vật chất
tối (vật chất giống như thông thường, nhưng tương tác rất yếu với các
hạt trong mô hình chuẩn). Phần còn lại là năng lượng tối có xu hướng
kéo các thiên hà ra xa nhau hơn (tác dụng ngược với lực hấp dẫn), đóng
vai trò quan trọng trong sự giãn nở của vũ trụ.
• Khối lượng neutrino: Trong mô hình chuẩn, các neutrino đều không có
khối lượng và chỉ tồn tại ở trạng thái phân cực trái. Tuy nhiên, những
thí nghiệm về dao động neutrino cho thấy rằng neutrino thực sự có khối
lượng. Số hạng khối lượng neutrino có thể được thêm vào trong mô hình

chuẩn bằng tay, nhưng lại dẫn đến những vấn đề lý thuyết mới.
2
• Bất đối xứng vật chất - phản vật chất: Chúng ta đã biết vũ trụ hầu như
được cấu tạo bởi vật chất thông thường. Trong khi đó, mô hình chuẩn
lại tiên đoán rằng lượng vật chất và phản vật chất khi được tạo ra phải
tương đương nhau, và sẽ hủy lẫn nhau khi vũ trụ nguội đi.
Mặt khác, một tiên đoán lý thuyết quan trọng của mô hình chuẩn vẫn chưa
được khẳng định bằng thực nghiệm. Đó là sự tồn tại của hạt Higgs, một hạt
giữ vai trò trung tâm trong cơ chế sinh khối lượng cho tất cả các hạt còn lại.
Nếu mô hình chuẩn là đúng thì dấu hiệu của hạt Higgs được trông đợi sẽ xuất
hiện trong những nghiên cứu ở máy va chạm LHC (Large Hadron Collider).
Về mặt lý thuyết, trong bản thân mô hình chuẩn vẫn còn những đặc trưng
được đưa vào một cách đối phó, khiến cho lý thuyết trở nên thiếu chặt chẽ và
tiềm ẩn những điều mâu thuẫn nội tại:
• Vấn đề phân bậc gauge (ga uge hierarchy): khối lượng của các hạt được
đưa vào mô hình chuẩn nhờ sự phá vỡ đối xứng tự phát thông qua cơ chế
Higgs. Do đó, khối lượng của bản thân hạt Higgs nhận được những lượng
bổ chính lượng tử lớn do có sự xuất hiện của các các hạt ảo (mà vai trò
lớn nhất là quark top). Những lượng bổ chính này lớn hơn rất nhiều so
với khối lượng thực của hạt Higgs. Điều này có nghĩa là các tham số khối
lượng trần của hạt Higgs t rong mô hình chuẩn phải được tinh chỉnh một
cách rất chính xác sao cho nó hầu như triệt tiêu các bổ chính lượng tử.
Việc làm này được xem là thiếu tự nhiên về mặt lý thuyết.
• Vấn đề CP mạnh (strong CP): Về mặt lý thuyết, mô hình chuẩn có thể
chứa t hêm một số hạng dẫn đến sự phá vỡ đối xứng CP, liên hệ giữa vật
chất và phản vật chất, trong phần tương tác mạnh. Nhưng thực nghiệm
lại không thấy đối xứng kiểu này bị phá vỡ, chứng tỏ hệ số của số hạng
này phải rất nhỏ. Để lý thuyết phù hợp với thực nghiệm, một lần nữa
chúng ta lại vấp phải bài toán tinh chỉnh và tính tự nhiên của các tham
số bé.

• Số lượng các tham số: Mô hình chuẩn chứa 19 tham số tự do. Các giá trị
3
của chúng được tìm từ thực nghiệm, nhưng nguồn gốc của các tham số
này lại chưa được làm sáng tỏ. Điều này khiến cho mô hình chuẩn chưa
thể đượ c coi là một lý thuyết cuối cùng cho thế giới các hạt cơ bản.
Những vấn đề về thực nghiệm và lý thuyết đối với mô hình chuẩn cho thấy
rõ ràng rằng sự hiểu biết của chúng ta về thế giới các hạt cơ bản vẫn còn nhiều
hạn chế, và do đó thúc đẩy những người làm vật lý lý thuyết tìm kiếm một lý
thuyết cơ bản hơn. Hiện nay rất nhiều mô hình khác nhau đượ c đề xuất để giải
quyết các vấn đề trên. Tuy nhiên, mỗi mô hình chỉ mới góp phần giải quyết
từng phần chứ chưa có mô hình nào giải quyết được tất cả mọi vấn đề, hoặc có
mô hình được kỳ vọng lớn trong việc giải quyết một lúc nhiều bài toán nhưng
lại có cấu trúc toán học quá phức tạp (VD: lý thuyết dây).
Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến một trong những hướng giải quyết
cho vấn đề phân bậc gauge trong mô hình chuẩn. Đó là ý tưởng về siêu đối
xứng. Siêu đối xứng giữa meson và baryon lần đầu tiên được đề cập đến trong
khuôn khổ của vật lý hadron bởi Hironari Miyazawa năm 1966 [88, 89, 57, 80],
nhưng những công trình này chưa được chú ý đến ở thời điểm đó. Trong khoảng
đầu những năm 70, J. L. Gervais và B. Sakita [61] (năm 1971), Yu. A. Golfand
và E.P. Likhtman [66] (cũng năm 1971 ) , D.V. Volkov và V.P. Akulov [122]
(năm 1972), J. Wess và B. Zumino [127, 128, 129] (năm 1974) đã phát hiện ra
siêu đối xứng một cách độc lập, một loại đối xứng hoàn toàn mới của không
thời gian và các trường cơ bản. Đối xứng này thiết lập một mối quan hệ g iữa
các hạt cơ bản với bản chất lượng tử khác nhau, các boson và fermion, đồng
thời thống nhất các đối xứng không-thời gian với đối xứng nội tại của thế giới
vi mô. Siêu đối xứng xuất hiện lần đầu vào năm 1971 trong một phiên bản sơ
khai của lý thuyết dây bởi Pierre Ramond [105], John H. Schwarz và Andre
Neveu [95]. Cấu trúc toán học của siêu đối xứng sau đó đã được áp dụng thành
công trong các lĩnh vực khác của vật lý hạt cơ bản; đầu tiên bởi Wess, Zumino,
Abdus Salam và các đồng nghiệp của họ trong vật lý hạt, và sau đó trong một

loại các lĩnh vực từ cơ học lượng tử cho đến vật lý thống kê. Siêu đối xứng đã
trở thành một phần quan trọng của nhiều lý thuyết vật lý.
4
Phiên bản mở rộng siêu đối xứng thực tế đầu tiên của mô hình chuẩn được
đề xuất năm 1977 bởi Pierre Fayet [5 2], được gọi là mô hình chuẩn siêu đối
xứng tối thiểu (minimal supersymmetric standard model - MSSM). Mô hình
này được đề xuất để giả i quyết bài toán phân bậc gauge. Từ đó, đây được
xem là nguyên nhân chính thúc đẩy những nghiên cứu tiếp theo về siêu đối
xứng. Trong mô hình này, khối lượng của các hạt siêu đồng hành được dự đoán
nằm trong khoảng 100 GeV đến vài TeV. Hiện nay, máy va chạm LHC (Large
Hadron Collider) đang thực hiện nhiệm vụ tạo ra các sự kiện va chạm với năng
lượng lớn nhất trên thế giới, nhờ đó cho phép chúng ta có cơ hội tìm kiếm các
hạt siêu đồng hành trong tương lai gần.
Sự mở rộng siêu đối xứng của mô hình chuẩn không những chỉ giải quyết
được bài toán phân bậc gauge mà còn có rất nhiều ưu điểm khác nữa. Chúng ta
đã biết rằng mặc dù mô hình chuẩn mô tả được cả ba loại tương tác bằng một
công cụ duy nhất là lý thuyết trường chuẩn, nhưng các hằng số tương tác là
hoàn toàn khác nhau ở tất cả các thang năng lượng (dẫn đến việc nhóm chuẩn
tồn tại dưới dạng tích trực tiếp của các nhóm con). Khi đưa vào siêu đối xứng,
nếu như khối lượng của các hạt siêu đồng hành gần thang TeV thì các hằng số
tương tác tr ong mô hình MSSM cho kết quả hội tụ một cách tự nhiên của các
hằng số tương tác ở thang năng lượng cực cao (thang thống nhất lớn). Điều
này gợi ý về khả năng tồn tại một lý thuyết thống nhất lớn siêu đối xứng. Tùy
từng mô hình cụ thể, cách thức thống nhất của các hằng số tương tác cũng
như của các hạt tro ng những biểu diễn của nhóm thống nhất lớn có thể khác
nhau. Bên cạnh đó, trong mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu với R-parity
được bảo toàn, neutralino là hạt bền và tương tác r ấ t yếu với vật chất. Vì thế
neutralino là ứng cử viên tốt cho vật chất tối, một thành phần đóng vai trò
quan trọng trong việc giải thích các hiệu ứng hấp dẫn quan sát được trong vũ
trụ.

Lý thuyết siêu đối xứng tiên đoán rằng khối lượng của các hạt sparticle
phải có cùng khối lượng với các hạt đồng hành với chúng trong mô hình chuẩn.
Tuy nhiên thực nghiệm lại không quan sát thấy điều này. Như vậy, nếu siêu
đối xứng thực sự tồn tại trong tự nhiên thì nó phải bị phá vỡ. Để làm được
5
điều này mà vẫn đảm bảo những ưu điểm của siêu đối xứng, người ta đã đưa
vào các số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm. Các số hạng mềm này có thể bắt
nguồn từ một cơ chế phá vỡ đối xứng cụ thể nào đó. Cho đến nay, có rất nhiều
cơ chế phá vỡ siêu đối xứng khác nhau đã được đề xuất [36]. Nhìn chung, các
cơ chế này đều dựa trên ý tưởng tách cấu trúc hạt của mô hình làm hai phần:
phần hiện chứa các hạt của mô hình MSSM, còn phần ẩn chứa nguồn phá vỡ
siêu đối xứng. Siêu đối xứng bị phá vỡ trong phần ẩn một cách tự phát và được
truyền sang phần hiện. Kết quả là trong Lagrangian hiệu dụng ở năng lượng
thấp sẽ xuất hiện các số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm [87].
Để thỏa mãn những ràng buộc hiện tượng luận, vật lý mới trong các mô
hình hiện nay thường xuất hiện ở thang năng lượng cao hơn nhiều so với năng
lượng có thể đạt tới ở các máy gia tốc. Vì thế, việc kiểm chứng một cách trực
tiếp những mô hình này là điều bất khả thi. Tuy nhiên, vật lý ở thang năng
lượng siêu cao có ảnh hưởng đến vật lý ở thang năng lượng thấp hơn thông qua
các bổ chính lượng tử nên chúng ta có hy vọng về khả năng kiểm tra những
mô hình này một cách gián tiếp. Ý tưởng nói trên đã được chỉ ra vào năm 2006
trong công trình nghiên cứu của M. R. Buckley và H. Murayama [28] đối với
các cơ chế seesaw để giải thích khối lượng vô cùng bé của neutrino được phát
hiện trong các thí nghiệm dao động neutrino. Sau đó, một loạt những công
trình tiếp theo đã được triển khai nhằm tìm kiếm dấu vết của vật lý ở thang
năng lượng siêu cao biểu hiện qua vật lý ở thang năng lượng thấp, ví dụ như
[78, 65, 2, 3]. Nằm trong dòng chảy chung của hướng nghiên cứu này là vấn
đề làm thế nào để nhận biết được các mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng
cũng như các mô hình phá vỡ siêu đối xứng khác nhau. Chúng ta đã biết rằng
cơ chế phá vỡ siêu đối xứng và cấu trúc của mô hình thống nhất thường liên

quan đến vật lý ở thang năng lượng cực lớn (tương ứng với khoảng cách cực
nhỏ), nên không t hể trực tiếp kiểm chứng vật lý mới của những mô hình này
trong các máy va chạm được. Tuy nhiên, vật lý ở thang năng lượng cực cao
ấy luôn để lại thông tin trong các tham số vật lý nói chung và phổ khối lượng
nói riêng ở năng lượng thấp thông qua sự tiến hóa theo phương trình nhóm tái
chuẩn hóa. Để giải quyết vấn đề nêu trên, phổ khối lượng năng lượng thấp của
6
các hạt cơ bản cần được nghiên cứu một cách chi tiết nhằm thấy rõ ảnh hưởng
của vật lý mới trong từng mô hình cụ thể. Đây chính là lý do chúng tôi chọn
đề tài "Về khối lượng các hạt cơ bản trong sơ đồ siêu đối xứng" để
nghiên cứu phổ khối lượng trong các mô hình siêu đối xứng và ứng dụng vào
việc nhận biết những mô hình này trên thực tế.
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Như đã trình bày ở trên, thang năng lượng đặc trưng của các mô hình phá
vỡ siêu đối xứng lớn hơn rất nhiều so với năng lượng có thể đạt đến được trong
các máy gia tốc, do đó việc kiểm chứng từng mô hình một cách trực tiếp là
điều không thể mà chỉ có thể tiến hành một cách giá n tiếp thông qua một yếu
tố trung gian năng lượng thấp nào đó. Vì vậy, mục đích nghiên cứu của đề tài
này là nhằm hiểu rõ hơn về hiện tượng luận của các mô hình siêu đối xứng liên
quan đến một trong những đặc trưng quan trọng nhất của các hạt cơ bản, đó
là khối lượng. Từ đó, chúng tôi đề xuất những phương án để phân biệt các mô
hình siêu đối xứng khác nhau dựa trên việc đo đạc thực nghiệm khối lượng các
hạt mới, hay một cách trực tiếp hơn là dựa trên một số tín hiệu đặc biệt từ
các máy gia tốc tuyến tính tương lai.
Với mục đích đó, đối tượng nghiên cứu được hướng đến chính là các mô
hình mở rộng siêu đối xứng của mô hình chuẩn. Ở vùng năng lượng thấp, các
mô hình này đều dựa trên cấu trúc hạt tối thiểu và Lagrangian của mô hình
MSSM. Tuy nhiên, giữa các mô hình này có sự khác nhau ở vùng năng lượng
rất cao. Chúng tôi tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của vật lý ở vùng năng
lượng cao này lên phổ khối lượng của các hạt mới ở năng lượng thấp, cũng như

lên tín hiệu đơn photon trong máy va chạm tuyến tính có xem xét đến yếu tố
phân cực của cả hai chùm tới.
Hiện nay có rất nhiều hướng mở rộng siêu đối xứng mô hình chuẩn được đề
xuất, nhưng phần lớn đều được xây dựng dựa trên mô hình MSSM như là lý
thuyết hiệu dụng năng lượng thấp. Trong phạm vi luận án này, không làm mất
7
tính tổng quát của ý tưởng chung, chúng tôi giới hạn nghiên cứu hai hướng mở
rộng mô hình MSSM cơ bản đó là mở rộng thành mô hình thống nhất lớn siêu
đối xứng và mở rộng bằng cách đưa vào cơ chế phá vỡ siêu đối xứng. Với mô
hình thống nhất lớn, chúng tôi xem xét hai nhóm chuẩn được nhắc đến nhiều
nhất là SU(5) và SO(10); trong khi đó, với cơ chế phá vỡ siêu đối xứng, chúng
tôi xem xét cơ chế truyền gaugino và cơ chế truyền siêu hấp dẫn. Cụ thể hơn,
chúng tôi tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
• Đối với mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng SU(5) với nguồn phá vỡ
siêu đối xứng được truyền từ phần ẩn sang phần hiện thông qua cơ chế
truyền gaugino, chúng tôi tiến hành nghiên cứu phổ khối lượng của các
hạt mới và ảnh hưởng của các tham số trong mô hình. Từ đó có thể thấy
được sự phụ thuộc vào tham số đầu vào của các hạt siêu đồng hành cũng
những các hạt trong gauge- Higgs sector.
• Thông qua việc nghiên cứu phổ khối lượng của hai mô hình thống nhất
lớn SU(5) và SO(10) với cơ chế truyền gaugino, chúng tôi đề xuất phương
pháp để nhận biết các mô hình thống nhất lớ n siêu đối xứng, đồng thời
phân tích khả năng kiểm chứng sự thống nhất lớn xảy ở thang năng lượng
cao hơn nhiều so với năng lượng va chạm của các chùm tia trong máy gia
tốc tương lai.
• Phổ khối lượng của các hạt mới có liên quan trực tiếp đến các tín hiệu thu
nhận được từ các máy va chạm. Từ khối lượng của các hạt trong mô hình
siêu hấp dẫn tối thiểu và mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng SU( 5),
chúng tôi nghiên cứu tín hiệu đơn photon trong máy va chạm tuyến tính
tương lai và sử dụng nó như dấu hiệu để phân biệt hai mô hình này.

3 Phương pháp nghiên cứu
Trong khi nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng kết hợp cả những phương
pháp truyền thống của vật lý năng lượng cao cũng như các phương pháp tính
8
toán và sử lý số liệu trên máy tính:
• Các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử: kỹ thuật giản đồ Feyn-
man, phương pháp khử phân kỳ, phương pháp nghiên cứu các phương
trình nhóm tái chuẩn hóa.
• Phương pháp của lý thuyết nhóm để nghiên cứu các biểu diễn và các bất
biến.
• Tính toán số trên máy tính: giải số các hệ phương trình vi phân, và vẽ đồ
thị nhờ sử dụng phần mềm Mathematica; sử dụng các gói chương trình
SOFTSUSY, micrOMEGAs, GRACE trong hệ điều hành Linux.
• Phân tích số liệu bằng đồ thị.
4 Ý nghĩ a khoa học và thực tiễn củ a lu ận án
Kết quả của luận án giúp nâng cao hiểu biết về hiện tượng luận của các
mô hình siêu đối xứng khác nhau. Cụ thể là biết được sự phụ thuộc vào tham
số của phổ khối lượng trong các mô hình này. Đây là cơ sở quan trọng để xác
định vùng tham số khả dĩ của từng mô hình. Thông qua những nghiên cứu
này, chúng ta cũng thấy được sự ảnh hưởng của vật lý ở thang năng lượng siêu
cao đến vật lý ở các thang năng lượng thấp hơn thông qua phương trình nhóm
tái chuẩn hóa.
Những nghiên cứu về hiện tượng luận ở đây giúp thu hẹp khoảng cách giữa
những mô hình thuần túy lý thuyết và các kết quả thực nghiệm. Điều này góp
phần mở ra khả năng kiểm chứng mô hình vật lý ở năng lượng siêu cao trong
thực tế nhờ những dữ liệu đo đạc ở năng lượng thấp thu nhận từ các máy va
chạm, một việc làm biến cái tưởng chừng như không thể thành có thể. Bên
cạnh đó, kết quả nghiên cứu cũng đưa ra những ràng buộc mới đối với các mô
hình được xem xét, nhờ đó giúp thu hẹp khoảng không gian tham số tự do và
khiến cho mô hình trở nên có tính dự đoán cao hơn.

9
5 Bố cụ c của luận án
Cùng với các phần mở đầu, tổng kết, tài liệu tham khảo và các phụ lục, nội
dụng cơ bản của luận án được trình bày trong 4 chương như sau:
• Chương 1: Mô hình chuẩn siêu đối xứng. Chương này trình bày tổng quan
về các mô hình siêu đối xứng và những kiến thức cơ sở cần thiết cho việc
nghiên cứu đề tài. Bắt đầu bằng việc tiếp cận với ý tưởng siêu đối xứng
như là lời giải cho bài toán phân bậc gauge trong mô hình chuẩn, tác giả
luận án trình bày những công cụ cơ bản sử dụng trong lý thuyết siêu đối
xứng là siêu đại số và hình thức luận siêu trường. Tiếp theo đó, mô hình
chuẩn siêu đối xứng tối thiểu và nguồn gốc của các số hạng mềm đượ c
trình bày tương đối chi tiết.
• Chương 2: Phổ khối lượng trong mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng
SU(5) với cơ chế truyền gaugino. Trong chương này, chúng tôi trình bày
những nghiên cứu về phổ khối lượng trong mô hình SU(5) bao gồm khối
lượng của các sfermion và các hạt gauge-Higgs. Qua đó, chúng ta thấy rõ
ảnh hưởng của tham số đầu vào lên phổ khối lượng trong mô hình này.
• Chương 3: Phương pháp nhận biết các mô hình thống nhất lớn siêu đối
xứng với cơ chế truyền gaugino. Dựa trên cấu trúc lý thuyết đặc trưng
của các mô hình thống nhất lớn SU(5) và SO(10), chương 3 trình bày
những nghiên cứu về phổ khối lượng trong các mô hình này, đồng thời
xem xét đến những ràng buộc hiện tượng luận đối với mô hình. Từ đó,
chúng tôi đề xuất phương pháp nhận biết các mô hình thống nhất lớn dựa
trên khối lượng của các hạt siêu đồng hành đo đạc được từ thực nghiệm.
• Chương 4: Phương pháp nhận biết các mô hình phá vỡ siêu đối xứng
trong máy va chạm tuyến tính. Khối lượng của các hạt mới có liên quan
trực tiếp đến tiết diện tán xạ và độ rộng phân rã của các quá trình xảy
ra trong máy va chạm. Dựa trên phổ khối lượng của mô hình siêu hấp
dẫn tối thiểu và mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng SU(5), chúng tôi
10

nghiên cứu t ín hiệu đơn photon trong máy va chạm tuyến tính tương lai.
Đây là cơ sở để nhận biết các mô hình phá vỡ siêu đối xứng khác nhau
từ tín hiệu đơn photon.
Những kết quả của luận án đã được đăng trên các tạp chí quố c tế, trong
nước và được báo cáo ở một số hội nghị chuyên ngành sau:
- Một bài báo đã đăng trên tạp chí Physical Review D.
- Một bài báo đã đăng trên tạp chí Modern Physics Letter A.
- Một bài báo đã đăng trên tạp chí Communication in Physics.
- Hai bài báo đã được nhận đăng trên tạp chí VNU Journal of Science, Math-
ematics - Physics.
- Một báo cáo tại Hội nghị Vật lý Lý thuyết Toàn quốc lần thứ 35.
- Một báo cáo tại Hội nghị chuyên ngà nh Vật lý Lý thuyết, Hội nghị Vật lý
Toàn quốc lần thứ 7.
11
Chương 1
MÔ HÌNH CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG
1.1 Vấn đề phân bậc gaug e trong mô hình chuẩn
Mô hình chuẩn với nhóm đối xứng chuẩn SU(3)
C
× SU(2)
L
× U(1)
Y
cho
các tương tác mạnh, yếu và điện từ có khả năng mô tả một cách chính xác
vật lý (trừ hấp dẫn) cho tới thang khoảng cách nhỏ nhất mà hiện nay chúng
ta có thể thăm dò được. Mặt khác, rõ ràng rằng mô hình chuẩn chỉ có thể coi
là một mô hình hiệu dụng của một lý thuyết cơ bản hơn ở thang khoảng cách
rất nhỏ nào đó. Chúng ta có thể trông đợi rằng lý thuyết mới ấy sẽ có hiệu
lực bắt đầu từ một thang năng lượng nào đó trong khoảng 10

14
GeV cho đến
10
19
GeV. Cho dù vật lý mới có thế nào đi chăng nữa thì ít nhất chúng ta cũng
luôn cần một lý thuyết mới ở thang Planck, nơi mà những hiệu ứng hấp dẫn
trở nên quan trọng. Một câu hỏi có thể đặt ra là có những đối tượng vật lý nào
nằm trong khoảng giữa thang điện-yếu và o cỡ ∼ 10
2
GeV và thang Planck? Mô
hình chuẩn cho ta câu trả lời rằng đó chỉ là các boson yếu, top quark và hạt
Higgs. Nếu thực sự không có gì mới tồn t ại dưới thang 10
19
GeV thì cả một
dải năng lượng rộng lớn đó được xem như một "hoang mạc cằn cỗi" của vật
lý. Sẽ không có điều gì đáng bàn nếu như điều này không dẫn đến một vấn đề
nghiêm trọng về mặt lý thuyết [117].
Mô hình chuẩn là một mô hình nhạy cảm với vùng năng lượng lớn (UV
12
sensitive). Điều này thể hiện ở việc khi tính bổ chính vòng cho khối lượng của
hạt vô hướng Higgs, người ta thấy rằng xuất hiện các phân kỳ bậc hai trong
các tích phân xung lượng (ví dụ như trường hợp bổ chính vòng gây bởi fermion
như trong Hình 1.1) [8 7 ]. Thế Higgs trong mô hình chuẩn được cho dưới dạng:
V = µ
2
H
H
2
+ λH
4

. (1.1)
Để có sự phá vỡ đối xứng tự phát, thế Higgs phải bị chặn dưới và có cực tiểu
địa phương tại giá trị khác 0 của trường Higgs, nghĩa là các tham số của (1.1)
cần thỏa mãn λ > 0, µ
2
H
< 0. Do bổ chính vòng cho hàm truyền của trường
H
f
Hình 1.1: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình chuẩn gây
bởi fermion f .
Higgs có chứa phân kỳ bậc hai theo xung lượng cắt Λ
UV
, nên tham số µ
H
phys
sau khi tái chuẩn hóa liên hệ với tham số µ
H
ban đầu bởi:
µ
2
H
phys
= µ
2
H
+ αΛ
2
UV
+ (1.2)

Xung lượng cắt Λ
UV
được hiểu là giới hạn trên của thang năng lượng mà chúng
ta có thể sử dụng mô hình chuẩn để mô tả các hạt và tương tác của chúng. Ví
dụ: Λ
UV
có thể là thang thống nhất lớn M
GUT
∼ 10
16
GeV mà vật lý ở thang
năng lượng cao hơ n đó được chi phối bởi lý thuyết thống nhất, hay thang
Planck M
P
∼ 10
19
GeV mà vật lý ở thang năng lượng phía trên có sự đóng góp
của các hiệu ứng hấp dẫn lượng tử.
Những yêu cầu từ thực nghiệm về trung bình chân không của trường Higgs
và yêu cầu về độ lớn của hằng số tương tác vô hướng bậc bốn λ trong (1.2)
phải nằm trong giới hạn của lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến giá trị của |µ
H
phys
|
phải vào cỡ thang điện-yếu. Từ (1.2), chúng ta thấy rằng để nhận được giá trị
13
của tham số µ
2
H
phys

∼ (10
2
GeV)
2
, chúng ta phải tinh chỉnh (fine-tune) µ
2
H
thật
chính xác sao cho nó gần như triệt t iêu đại lượng phân kỳ Λ
2
UV
∼ (10
19
GeV)
2
trong bổ chính lượng tử. Nói cách khác, trong lý thuyết của chúng ta tồn tại
một đại lượng không thứ nguyên vô cùng bé
µ
2
H
phys
Λ
2
UV
, mà khi giá trị của nó tiến
đến 0 không làm tăng thêm tính đối xứng của lý thuyết. Điều này là không
phù hợp với nguyên lý về tính tự nhiên (naturalness principle) được đề xuất
bởi G. t’Hooft [60]: sự t ồn tại của một tham số vô cùng bé trong lý thuyết chỉ
tự nhiên nếu khi cho tham số này bằng không sẽ làm xuất hiện thêm đối xứng
mới trong lý thuyết.

1.2 Siêu đối xứng
1.2.1 Lời giải cho vấn đề phân bậc gauge
Một trong những giải pháp thu hút nhiều quan tâm cho vấn đề phân bậc
gauge là ý tưởng về siêu đối xứng. Đây là một đối xứng đặc biệt liên hệ các
fermion và boson. Các hạt này luôn xuất hiện theo cặp đôi như những thành
phần của một siêu đa tuyến (supermulitplet), và biến đổi lẫn nhau thông qua
phép biến đổi siêu đối xứng. Khi tương tác với các trường khác, các cặp hạt
đồng hành này có cùng một hằng số tương tác, đó chính là hằng số tương tác
của siêu đa tuyến chứa chúng.
˜
f
H
H
f
Hình 1.2: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình chuẩn siêu
đối xứng gây bởi fermion f và vô hướng
˜
f.
Trong lý thuyết siêu đối xứng, khi xem xét bổ chính vòng cho số hạng khối
lượng trong thế Higgs, bên cạnh các vòng fermion, chúng ta còn phải tính đến
14
đóng góp của các hạt boson đồng hành của chúng. Những tính toán chi tiết
cho thấy các đại lượng phân kỳ bậc hai từ các bổ chính của các cặp hạt đồng
hành bằng nhau về độ lớn nhưng ngược dấu, nên chúng sẽ tự động triệt tiêu
lẫn nhau [87]. Do đó, trong lý thuyết siêu đối xứng sẽ không tồn tại các phân
kỳ bậc hai nguy hiểm nữa. Như vậy vấn đề phân bậc gauge được giải quyết.
1.2.2 Siêu đại số
Siêu đối xứng là đối xứng giữa các fermion và boson nên dưới tác dụng của
phép biến đổi siêu đối xứng, các fermion sẽ trở thành các boson và ngược lại:
Q |fermion = |boson,

Q |boson = |fermion,
(1.3)
với Q là tích siêu đối xứng (supercharge). Vì boson và fermion có thứ nguyên
lần lượt là 1 và
3
2
, nên Q có thứ nguyên là
1
2
.
Cấu trúc nhóm của siêu đối xứng được thể hiện qua siêu đại số (superalge-
bra) như sau [126]:

Q
α
,
¯
Q
˙α

= 2σ
µ
α ˙α
P
µ
,
{Q
α
, Q
β

} =

¯
Q
˙α
,
¯
Q
˙
β

= 0,
[Q
α
, P
µ
] =

¯
Q
˙α
, P
µ

= 0,
[P
µ
, P
ν
] = 0,

(1.4)
trong đó α, ˙α là các chỉ số spinor.
¯
Q
˙α
là liên hợp Hermitian của Q
α
.
1.2.3 Hình thức luận siêu trường
a. Siêu không gian và siêu trường
Để xây dựng lý thuyết siêu đối xứng một cách thuận tiện và có hệ thống,
lần đầu tiên A. Salam và J. Strathdee [109] rồi sau đó S. Ferrara, J. Wess và B.
Zumino [56] đã đưa ra khái niệm siêu trường như một hàm của tọa độ trong
15
siêu không gian (superspace)
(1)
, bao gồm các tọa độ thông thường (x
µ
) của
không-thời gian 4 chiều và 4 tọa độ Grassmann phản giao hoán (θ
1
, θ
2
,
¯
θ
˙
1
,
¯

θ
˙
2
),
trong đó các tọa độ spinor có thứ nguyên −
1
2
.
Các siêu trường giúp làm đơn giản hóa các tính toán và rất hữu ích khi
xây dựng Lagrangian. Trong siêu không gian, phép biến đổi siêu đối xứng được
định nghĩa bởi:
G(x, θ,
¯
θ) = e
i(−x
µ
P
µ
+θQ+
¯
θ
¯
Q)
. (1.5)
Tích của phép biến đổi (1.5) với một phép biến đổi vô cùng bé với các tham số
Grassmann (ξ,
¯
ξ):
G(0, ξ,
¯

ξ)G(x, θ,
¯
θ) = G(x
µ
+ iθσ
µ
¯
ξ −iξσ
µ
¯
θ, θ + ξ,
¯
θ +
¯
ξ)
= e
i
[
−(x
µ
+iθσ
µ
¯
ξ−iξσ
µ
¯
θ )P
µ
+(θ+ξ)Q+(
¯

θ +
¯
ξ)
¯
Q
]
. (1.6)
Siêu trường tổng quát F (x
µ
, θ,
¯
θ) biến đổi dưới tác dụng của phép biến đổi siêu
đối xứng vô cùng bé như sau:
G(y
µ
, ξ,
¯
ξ)F (x
µ
, θ,
¯
θ) = F (x
µ
+ y
µ
+ iθσ
µ
¯
ξ −iξσ
µ

¯
θ, θ + ξ,
¯
θ +
¯
ξ) . (1.7)
Từ đây, chúng ta có thể diễn tả các toán tử P
µ
, Q
α
và
¯
Q
˙α
dưới dạng sau:
P
µ
= −i∂
µ
, (1.8)
Q
α
= ∂
α
− iσ
µ
α ˙α
¯
θ
˙α

∂
µ
, (1.9)
¯
Q
˙α
= −
¯
∂
˙α
+ iθ
α
σ
µ
α ˙α
∂
µ
, (1.10)
trong đó
∂
α
=
∂
∂θ
α
,
¯
∂
˙α
=

∂
∂
¯
θ
˙α
, ∂
µ
=
∂
∂x
µ
. (1.11)
(1)
Tro ng công trình đầu tiên, Salam và Strathdee mô tả siêu trường như là hàm của tọa
độ x và spinor Majorana phản giao hoán 4 thành phần. Sau đó, Ferrara, Wess và Zumino sử
dụng ý tưởng trên để xây dựng siêu trường như là hàm của tọa độ x và các spinor Weyl 2
thành phần.
16