1






PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian véctơ, hệ
phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Cấu trúc của
không gian véctơ chỉ lộ rõ khi chúng ta nghiên cứu chúng không phải như những
đối tượng riêng rẽ, mà trái lại phải đặt chúng trong mối liên hệ qua lại với nhau.
Công cụ để xác lập mối liên hệ giữa các không gian véctơ là các ánh xạ tuyến tính.
Ngôn ngữ giúp cho việc mô tả các ánh xạ tuyến tính là các ma trận.
Mỗi ánh xạ tuyến tính f: V → W giữa hai không gian véctơ được đặc trưng bởi
một ma trận theo cặp cơ sở ( α, β) nào đó của V và W. Vì vậy, vấn đề đặt ra là tìm
cho mỗi tự đồng cấu một cơ sở của không gian sao cho trong cơ sở đó tự đồng cấu
có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần ma trận chéo càng tốt. Với mong muốn tìm
hiểu về chéo hóa ma trận, tức là tìm một cơ sở của không gian sao cho ma trận của
tự đồng cấu có dạng chéo và tìm dạng thu gọn Jordan của một tự đồng cấu. Chúng
em chọn nghiên cứu đề tài: “ Phép thu gọn các tự đồng cấu” .
2. Mục tiêu của đề tài
- Đề tài nghiên cứu khoa học hệ thống lại các kiến thức có liên quan đến phép
thu gọn các tự đồng cấu.
- Trình bày một số bài tập liên quan đến phép thu gọn các tự đồng cấu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu phép thu gọn các tự đồng cấu.

- Nghiên cứu và giải các dạng bài tập về phép thu gọn các tự đồng cấu.
4.

Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc các tài liệu, giáo trình có liên quan
đến giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu, không gian riêng, đa thức đặc
trưng, những vấn đề liên quan đến phương pháp chéo hóa, tam giác hóa.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình sẽ
làm sáng tỏ một số kiến thức liên quan đến dạng thu gọn Jordan của một tự đồng
cấu.
3

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phép thu gọn các tự đồng cấu.
- Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu về phép thu gọn các tự đồng cấu
6. Bố cục đè tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài “Phép thu gọn các
tự đồng cấu” bao gồm ba chương:
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu và một ma trận
1.2. Không gian riêng
1.3. Đa thức đặc trưng
1.4. Đa thức tối tiểu
CHƯƠNG 2: PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
2.1. Chéo hóa
2.1.1. Tự đồng cấu chéo hóa được, ma trận chéo hóa được
2.1.2. Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận
2.1.3. Các bước chéo hóa ma trận A
∈
Mat(n, K)

2.1.4. Ứng dụng của việc chéo hóa ma trận
2.2. Tam giác hóa
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
2.2.2. Cờ của một không gian véctơ
2.2.3. Cơ sở tương thích với cờ của một không gian véctơ
2.2.4. Các bước tam giác hóa ma trận A∈ Mat(n, K)
2.3. Phân tích Dunford – thu gọn Jodan
2.3.1. Tự đồng cấu lũy linh
2.3.2. Phân tích Dunford
2.3.3. Thu gọn Jordan
4

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG
3.1. Bài tập về chéo hóa.
3.2. Bài tập về tam giác hóa.
3.3. Bài tập về thu gọn Jordan.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Sản phẩm khoa học: Đề tài nghiên cứu, tìm hiểu, tổng hợp về phép thu gọn
các tự đồng cấu và giải một số bài tập về phép thu gọn các tự đồng cấu.
- Sản phẩm thực tiễn: Đề tài là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên chuyên
ngành Toán nói riêng và các sinh viên khác nói chung muốn tìm hiểu về phép thu
gọn các tự đồng cấu.












5


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu và một ma trận
Cho V là K - không gian véctơ, kí hiệu: EndV là tập các tự đồng của V.
1.1.1. Định nghĩa
Cho f
∈
EndV,
λ∈
K,
λ
được gọi là giá trị riêng của f nếu
∃

x
∈
V(
x
≠

0
) sao
cho f(
x
) =

λ
x
. Khi đó
x
được gọi là véctơ riêng ứng với giá trị riêng
λ
.
Tập các giá trị riêng của f gọi là phổ của f, kí hiệu: Sp
K
(f).
1.1.2. Định nghĩa
Cho n
∈
N
*
, A
∈
Mat(n, K),
λ∈
K,
λ
được gọi là giá trị riêng của A nếu
∃
X
∈
Mat(n, K), X
≠
0 sao cho AX =
λ
.X. Khi đó X được gọi là véctơ riêng ứng

với giá trị riêng
λ
.
Tập các giá trị riêng của A gọi là phổ của A, kí hiệu: Sp
K
(A).
1.1.3. Nhận xét
Giả sử f là tự đồng cấu của V. Khi đó với mỗi cơ sở của V
n
tồn tại ma trận A
(vuông cấp n) của f và f có biểu thức toạ độ: X
′
= AX (1)
Do đó nếu
x

là véctơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ thì f(
x
) = λ
x
nên từ
(1) ta có λX = AX. Khi đó X cũng là véctơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
Hay nói cách khác giá trị riêng và véctơ riêng của một tự đồng cấu f chính là
giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A của f đối với một cơ sở nào đó.
1.2. Không gian riêng
1.2.1. Định nghĩa
Gi
ả
s
ử


λ
là giá tr
ị
riêng c
ủ
a t
ự

đồ
ng c
ấ
u f: V
→
V. Không gian véct
ơ
con
6

Ker (f -
λ
.id
V
) c
ủ
a V g
ồ
m véct
ơ
0


và các véct
ơ
riêng c
ủ
a f
ứ
ng v
ớ
i gi
á
tr
ị
riêng
λ

đượ
c g
ọ
i là không gian con riêng c
ủ
a f liên k
ế
t v
ớ
i giá tr
ị

λ
.

Kí hi
ệ
u: P
λ


Nhận xét: Giả sử A là ma trận của tự đồng cấu f đối với cơ sở nào đó của V,
theo 1.1.3 thì không gian riêng của A cũng được gọi là không gian riêng của f .
1.2.2. Các tính chất


i) Cho V là K- không gian véct
ơ
,
λ∈
K ta có:

λ∈
Sp
K
(f)
⇔
Ker( f -
λ
.id
V
)
≠
{
0

}
⇔
f -
λ
.id
V
không là
đơ
n ánh.

ii) Cho n
∈
N
*
, A
∈
Mat(n, K),
λ∈
K ta có:

λ∈
Sp
K
(A)
⇔
Ker(A -
λ
.I
n
)

≠
{
0
}
⇔
A -
λ
.I
n

∉
GL(n, K)
⇔
hang(A -
λ
.I
n
)
<
n
1.3. Đa thức đặc trưng
1.3.1. Định nghĩa
i) Cho A
∈
Mat(n, K), X
∈
K,
đ
a th
ứ

c det(A - X.I
n
) b
ậ
c n
ẩ
n X
đượ
c g
ọ
i là
đ
a
th
ứ
c
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a A. Kí hi
ệ
u: P
A
(X).

ii) Cho f
∈
EndV, A là ma tr

ậ
n c
ủ
a t
ự

đồ
ng c
ấ
u f
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
nào
đ
ó c
ủ
a V.
Khi
đ
ó
đ
a th
ứ
c
đặ

c tr
ư
ng c
ủ
a A
đượ
c g
ọ
i là
đ
a th
ứ
c
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a f.
Kí hi
ệ
u: P
f
(X).



Nhận xét:
+) Nếu A, B là hai ma trận của cùng một tự đồng cấu f nào đó thì:
P

A
(X)
=
P
B
(X).
+) Hai ma trận A, B đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng. Vì A ∼ B
nên ∃P ∈
GL(n, K)
, B = P
-1
AP, khi đó:
det(B
-
λ
.I
n
) = det P
-1
(A
-
λ
.I
n
)P =det(A
-
λ
.I
n
), vậy P

A
(X)
=
P
B
(X).

7

1.3.2. Tính chất
i) Gi
ả
s
ử
n
∈
N\{0, 1}, A = (a
ij
)
∈
Mat(n, K), khi
đ
ó
∀λ∈
K ta có:

P
A
(
λ

) =(-1)
n

λ
n
+ (-1)
n-1

∑
=
n
i
ii
a
1
.
λ
n-1
+ + detA,
đặ
c bi
ệ
t deg P
A
(
λ
) = n.
Chứng minh
Kí hiệu A = (a
ij

), giả sử λ∈K, ∀(i, j) ∈ {1,…, n}
2
, α
ij
=





≠
=−
)(
)(
jia
jia
ij
ij
λ

Khi đó det(A - λI
n
) =
nnn
n
αα
αα


1

111
⋮⋮
⋮⋮
=
nn
S
n
)(1)1(
)sgn(
σ
σ
σ
αασ
∑
∈

∀σ∈ S
n
\ Id
{1,…,n}
, sgn(σ) α
σ(1)1
…α
σ(n)n
là một đa thức với bậc ≤ n – 2
Mặt khác: α
11
α
nn
= (a

11
- λ) ( a
nn
- λ) = (-λ)
n
+ ( a
11
+ + a
nn
)(-λ)
n
+
do đó deg(det(A - λI
n
)) = n và các hạng tử tại λ
n
và λ
n-1
tương ứng là (-1)
n
λ
n
và
(-1)
n-1
∑
=
n
i
ii

a
1
.λ
n-1
khi đó hạng tử không đổi của det(A - λI
n
) là detA.
ii) +
∀
f
∈
EndV, Sp
K
(f) = [P
f
(X)]
-1
({0})
+)
∀
A
∈
Mat(n, K), Sp
K
(A) = [P
A
(X)]
-1
({0})
Chứng minh

+) ∀ λ∈K, λ∈Sp
K
(f) ⇔ Ker(
f -
λ
.Id
V
) ≠ {
0
} ⇔
f -
λ
.Id
V
không là
đơn ánh
⇔ det(
f -
λ
.Id
V
) = 0, vậy P
f
(λ) = 0.
+) Tương tự λ ∈ Sp
K
(A) ⇔ Ker(
A -
λ
.I

n
) ≠ {
0
} ⇔
A -
λ
.I
n
không là
đơn ánh
⇔ det(
A -
λ
.I
n
) = 0 hay P
A
(λ) = 0.
iii)

Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV,
λ
0
∈

Sp
K
(f), s
0
là c
ấ
p b
ộ
i c
ủ
a
λ
0
, d
0
= dim P
λ
.
Khi
đ
ó ta có: 1
≤
d
0
≤

s
0



8

Chứng minh
Vì
P
λ

= Ker(f - λ
0
.id
V
) ≠ {
0
} nên ta có: d
0
≥ 1,
P
λ

có ít nhất một cơ sở
{
}
0
, ,
1 d
ee
, khi đó ∃ cơ sở
{
}
nd

ee , ,
1
0
+
∈ V sao cho β =
{
}
n
ee , ,
1
là một cơ sở
của V. Khi đó ∃C ∈ Mat(d
0
×(n - d
0
), K), B∈ Mat(n - d
0
, K) sao cho ma trận A của f
đối với cơ sở β có dạng: A=








B
CI
d

0
0
0
λ

Khi đó ∀λ ∈K, ta có:
P
f
(λ) = det








−
−
−
0
0
0
)(
0
dn
d
IB
CI
λ

λλ
= )det()(
0
0
0 dn
d
IB
−
−−
λλλ
=
0
)(
0
d
λλ
−
P
B
(λ)
Vì P
B
(λ) là một đa thức nên
0
)(
0
d
λλ
−
 P

f
(λ), do vậy d
0
≤ s
0
.
1.3.3.
Định lý Cayley - Hamilton
i).
∀
A
∈
M(n, K), P
A
(A)
ii).
∀
f
∈
EndV, P
f
(f) = 0
Chứng minh


i)
Gọi B là ma trận phụ hợp của ma trận (A - λ.I
n
). Vì phần bù tuyến tính của
mọi phần tử trong ma trận (A - λ.I

n
) đều là đa thức của X với bậc không quá n - 1
nên B(X) = B
n - 1
.X
n - 1
+ … + B
0
, trong đó B
0
,…, B
n - 1
là các ma trận vuông cấp n
với các phần tử trong K.
Theo nhận xét ở (cuối Định lí 5 chương 3, tài liệu tham khảo [5] ) ta có:
(A - λ.I
n
). B(X) = det(A - λ.I
n
).I
n

= P
A
(X).I
n

Thay A vào đẳng thức trên ta có:
P
A

(λ).I
n
= (A - A.I
n
).B(A) = 0. B(A) = 0, vậy

P
A
(A) = 0.

ii)
Nếu A là ma trận của f∈ EndV thì P
f
(X) = P
A
(X) do đó P
f
(f) = P
A
(A) = 0

9

1.3.4.
Định lý các hạt nhân
Gi
ả
s
ử
f

∈
EndV, n
∈
N
∗
, P
1
,P
2
, ,P
n

∈
K[X]
đ
ôi m
ộ
t nguyên t
ố
cùng nhau khi
đ
ó: không gian véct
ơ
con Ker( P
i
(f) ) (1
≤
i
≤
n) có t

ổ
ng tr
ự
c ti
ế
p và
))((
1
fPKer
i
n
i
=
⊕
=
= Ker [(
∏
=
n
i
i
P
1
)(f)]

Chứng minh
Kí hiệu: P =
1
n
i

i
P
=
∏
, ∀ i∈ {1, , n}, Q
i
=
∏
≠
≤≤
ij
nj
j
P
1

Khi đó: ∀ i∈ {1, , n}, P
i
Q
i
= P, vì ∀ i∈ {1, , n}, P
i
(f).Q
i
(f) = P(f) nên ta có:
Ker P
i
(f) ⊂ Ker P(f) do vậy
∑
=

n
i
i
fPKer
1
)((
⊂ Ker P(f).
Ta sẽ chứng minh Q
1
, , Q
n
nguyên tố cùng nhau
Giả sử π là đa thức bất khả qui ∈ K[X] sao cho ∀ i∈ {1, , n}, π | Q
i

Vì π bất khả qui và π | Q
1
= P
2
P
3
P
n
nên ∃ i∈ {2, , n} thoả mãn π | P
i
và bởi vì π
bất khả qui, π | Q
i
nên ∃ j ∈ {1, , n}\{i} thoả mãn π | P
j

. Khi đó π | P
i
, π | P
j
, i ≠ j
điều này mâu thuẫn với giả thiết ( P
i
, P
j
) = 1.
Vậy Q
1
, ,Q
n
nguyên tố cùng nhau.
Khi đó ∃ U
1
, U
2
, , U
n
∈ K[X] sao cho
∑
=
n
i
ii
QU
1
= 1 ⇒

∑
=
n
i
ii
fQfU
1
)()(
= id
V

Giả sử
x
∈ Ker P(f), kí hiệu:
i
x
= Q
i
(f).U
i
(f)(
x
), ∀ i∈{1, , n}, ta có:
x
= Id
V
(
x
) =
∑

=
n
i
i
x
1
,∀i∈{1, , n}, P
i
(f)(
x
) = [U
i
(P
i
Q
i
)](f)(
x
) = (U
i
(f))[P(f)(
x
)] =
0

Do đó
i
x
∈ Ker P
i

(f),∀ i∈ {1, , n} vậy Ker P(f) =
∑
=
n
i
i
fPKer
1
)((

Cho (
1
x , ,
n
x
) ∈ V
n
sao cho





=
∈∈∀
∑
=
n
i
i

ii
x
fKerPxni
1
0
)(},, ,1{

10
Giả sử j ∈ {1, , n} ta có:
0
= Q
i
(f)(

∑
=
n
i
i
x
1
) =
∑
=
n
i
ii
xfQ
1
))((


∀j∈ {1, , n}, P
i
| Q
j
, do vậy Q
j
(f)(
j
x
) =
0
⇒ Q
j
(f)(
j
x
) =
0

Mà Id
V
=
∑
=
n
i
ii
fQfU
1

)()(
⇒
j
x
= Id
V
(
j
x
) =
∑
=
n
i
iii
xfQfU
1
))(()(
=
0

Do đó tổng
∑
=
n
i
i
fPKer
1
)((

là tổng trực tiếp.
1.4. Đa thức tối tiểu
1.4.1. Mệnh đề
Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV,
∃
P
0
∈
K[X] sao cho
∀
P
∈
K[X] ta có P(f) = 0
⇔
P
0
|
P.
Chứng minh
Xét I
f
= { P∈ K[X], P(f) = 0 }, I
f
là idean của vành giao hoán K[X] vì:

+ 0 ∈ I
f

+ ∀ P, Q ∈ I
f
thì ( P + Q )(f) = P(f) + Q(f) = 0, ⇒ (P + Q) ∈ I
f

+ ∀ P∈ I
f
, U∈ K[X] thì (UP)(f) = U(f).P(f) = U(f).0 = 0, ⇒ UP ∈ I
f

Vì K[X] là vành chính nên I
f
là Idean chính. Vậy ∃P
0
∈K[X] sao cho
I
f
= {UP
0
, U ∈K[X] } = P
0
K[X] ⇒ P
0
| P.
1.4.2. Định nghĩa
Đ
a th

ứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a t
ự

đồ
ng c
ấ
u f (
đượ
c kí hi
ệ
u b
ở
i
π
f
(X) )
là
đ
a th
ứ
c v
ớ
i h

ệ

s
ố
cao nh
ấ
t b
ằ
ng m
ộ
t và có b
ậ
c nh
ỏ
nh
ấ
t trong s
ố
nh
ữ
ng
đ
a th
ứ
c khác không nh
ậ
n
f làm nghi
ệ
m.

1.4.3. Mệnh đề
Giả sử A∈ Mat(n, K) khi đó tồn tại một đa thức duy nhất kí hiệu là π
A
(X)

sao cho {P∈ K[X] , P(A) = 0 } = {π
A
(X)
.Q, Q∈ K[X] }, π
A
(X)
được gọi là đa thức
tối tiểu của A.


11
Chứng minh
Vì Mat(n, K) hữu hạn chiều với số chiều n
2
nên họ ( I
n
, A, A
2
, ,
2
n
A
) phụ
thuộc tuyến tính.Vậy ∃P∈K[X] ( bậc ≤ n
2

) sao cho P ≠ 0 và P(A) = 0 hay A thừa
nhận một đa thức tối tiểu.
















12
CHƯƠNG 2: PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
2.1. Chéo hoá
2.1.1. Tự đồng cấu chéo hoá được – Ma trận chéo hoá được
2.1.1.1. Định nghĩa

i) Cho f
∈
EndV, f
đượ
c g
ọ

i là chéo hoá
đượ
c n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a V sao
cho ma tr
ậ
n c
ủ
a f
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở


β
là ma tr
ậ
n chéo.

ii) Cho A
∈
Mat(n, K), A
đượ
c g
ọ
i là chéo hoá
đượ
c n
ế
u
∃
P
∈
GL(n, K), ma
tr
ậ
n chéo D
∈
Mat(n, K) sao cho A = PDP
-1
.

Nhận xét: Nếu A là ma trận của một tự đồng cấu f của V


thì A chéo hoá được
⇔ f chéo hoá được.
Chứng minh
Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở β của V sao cho ma trận D của f
đối với cơ sở β có dạng chéo.
Gọi A là ma trận của f đối với cơ sở nào đó của V, khi đó tồn tại ma trận P
chuyển từ cơ sở α sang β, P∈ GL(n, K) sao cho: D
=
PAP
-1
⇔ A = PDP
-1

Vậy A chéo hoá được.
2.1.1.2. Định nghĩa
Đ
a th
ứ
c f(X)
∈
K[X] b
ậ
c n
đượ
c g
ọ
i là tách
đượ
c trên K n
ế

u:

m
s
m
s
XXaXf ) ()(.)(
1
1
λλ
−−=
, trong
đ
ó: n =
∑
=
m
i
i
S
1
, a
∈
K.
2.1.1.3. Định lý
Cho f
∈
EndV, f chéo hoá
đượ
c khi và ch

ỉ
khi tho
ả
mãn hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:


i)

P
f
(X)
tách
đượ
c trên K

ii) V
ớ
i m
ỗ
i giá tr
ị
riêng
λ
c

ủ
a f, dim P
λ
b
ằ
ng b
ộ
i c
ủ
a
λ
.
13
Chứng minh


Với mỗi giá trị riêng

λ của f, kí hiệu d(λ) = dim P
λ
và s(λ) là bội của λ

trong P
f
(X).
Giả sử f chéo hoá được, ta có:
∀λ∈Sp
K
(f), d(λ) ≤ s(λ), n =
∑

∈ )(
)(
fSp
K
d
λ
λ

M
ặ
t khác vì f chéo hoá
đượ
c nên nên
∃
m
ộ
t c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a V và (
λ
1
, ,
λ
n

)
∈
K
n
sao
cho ma tr
ậ
n c
ủ
a f
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở

β
có d
ạ
ng A =











n
λ
λ
0
0
1
⋱

V
ậ
y ta có:
∀λ∈
K, P
f
(
λ
)
= det(A -
λ
I
n
) =
1
( )
n
i
i
λ λ

=
−
∏
do đó
P
f
(X)
tách
đượ
c
Đả
o l
ạ
i, gi
ả
s
ử
P
f
(X)
tách
đượ
c và
∀λ∈
Sp
K
(f), d(
λ
) = s(
λ

). Vì P
f
(X)
tách
đượ
c và nghi
ệ
m c
ủ
a P
f
(X)
là các giá tr
ị
riêng c
ủ
a f nên
∑
∈
)(
)(
fSp
K
s
λ
λ
= n
do
đ
ó

∑
∈ )(
)(
fSp
K
d
λ
λ
= n. V
ậ
y f chéo hoá
đượ
c.
Nhận xét:
Gi
ả
s
ử
A là ma tr
ậ
n c
ủ
a f
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở


β
nào
đ
ó c
ủ
a V, vì f chéo
hoá
đượ
c nên A chéo hoá
đượ
c.

M
ặ
t khác vì P
A
(X)
= P
f
(X),
không gian riêng c
ủ
a A c
ũ
ng là không gian riêng c
ủ
a f
nên A chéo hoá
đượ

c n
ế
u tho
ả
mãn hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
+) P
A
(X)
tách
đượ
c trên K
+) V
ớ
i m
ỗ
i giá tr
ị
riêng
λ
c
ủ
a f, dim P
λ
b

ằ
ng b
ộ
i c
ủ
a
λ

2.1.1.4. Hệ quả
Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV, n
ế
u f có n giá tr
ị
riêng phân bi
ệ
t (trong
đ
ó n = dim V) thì f
chéo hoá
đượ
c.

14
Chứng minh

Gi
ả
s
ử

λ
1
,…,
λ
n
là n giá tr
ị
riêng phân bi
ệ
t c
ủ
a f và
1
x
,…,
n
x là các véct
ơ
riêng
ứ
ng v
ớ
i các riêng
λ
1

,…,
λ
n
. Khi
đ
ó {
1
x
,…,
n
x } là h
ệ
véct
ơ

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính trong
không gian véct
ơ
V nên nó là c
ơ
s
ở
c
ủ
a V. V

ậ
y f chéo hoá
đượ
c.
Nhận xét
: Gi
ả
s
ử
A
∈
Mat(n, K) là ma tr
ậ
n c
ủ
a f
đố
i v
ớ
i m
ộ
t c
ơ
s
ở
nào
đ
ó c
ủ
a

V, vì Sp
K
(A) = Sp
K
(f) nên n
ế
u A có n giá tr
ị
riêng phân bi
ệ
t thì A chéo hoá
đượ
c.
2.1.1.5. Định lý

i) Gi
ả
s
ử
V là K - không gian véct
ơ
n chi
ề
u (n
≥
1), f
∈
EndV, f chéo hoá
đượ
c

⇔

π
f
(X) tách
đượ
c và có các nghi
ệ
m
đơ
n.
ii) Gi
ả
s
ử
A
∈
Mat(n, K), A chéo hoá
đượ
c
⇔

π
A
(X) tách
đượ
c và có các
nghi
ệ
m

đơ
n.
Chứng minh
i) Gi
ả
s
ử
f chéo hoá
đượ
c, khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i
đ
a th
ứ
c tách
đượ
c và có các nghi
ệ
m
đơ
n P
∈
K[X] sao cho P(f) = 0. ( vì
π
f

(X)

|
P nên
π
f

(X)
tách
đượ
c và có các nghi
ệ
m
đơ
n).

Đả
o l
ạ
i: Gi
ả
s
ử

π
f
(X)
tách
đượ
c và có các nghi

ệ
m
đơ
n, vì
π
f
(f) = 0 nên f chéo hoá
đượ
c.
ii) Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
.
2.1.1.6. Điều kiện để chéo hóa ma trận
a) Định lí 1:
M
ộ
t ma tr
ậ
n vuông chéo hóa
đượ
c khi và ch
ỉ
khi nó là ma tr
ậ
n c
ủ

a
m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u có m
ộ
t h
ệ
véct
ơ
riêng là c
ơ
s
ở
c
ủ
a không gian.
Chứng minh
Coi A nh
ư
ma tr
ậ
n c
ủ
a m

ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u f: V
→
V
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
(
ε
).
A là ma tr
ậ
n vuông chéo hóa
đượ
c khi và ch
ỉ
khi có m
ộ
t ma tr
ậ

n T sao cho:
15
T
-1
AT = B =
1
2
0 0
0 0
0 0
n
k
k
k
 
 
 
 
 
 
…
…
… … … …
…
.
Đ
i
ề
u này, ch
ỉ

x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi B là ma tr
ậ
n c
ủ
a f
đố
i v
ớ
i m
ộ
t c
ơ
s
ở

(
)
'
ε
mà
f
(
)
'
j j j
k

ε ε
=
 
, v
ớ
i m
ọ
i j
∈
{1, 2, , n}, ngh
ĩ
a là
(
)
'
ε
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
g
ồ
m nh
ữ
ng véct
ơ

riêng.

□

b) Hệ quả
: N
ế
u A là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n mà
đ
a th
ứ
c
đặ
c tr
ư
ng |A – kI| có n
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t thì A s
ẽ
chéo hóa
đượ
c.
□

c) Định lí 2

Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n; k
1
, k
2
, , k
n
là các nghi
ệ
m c
ủ
a
đ
a th
ứ
c
đặ
c
tr
ư
ng | A – kI|, m

i
là s
ố
b
ộ
i c
ủ
a nghi
ệ
m k
i
, v
ớ
i m
ọ
i i
∈
{ 1, 2, , p}, m
1
+ m
2
+ +
m
p
= n, t
ứ
c là:
| A – kI| = (-1)
n
(k – k

1
)
m
1
(k-k
2
)
m
2
(k-k
p
)
m
p

Và h
ạ
ng (A-k
i
I) = n - m
i
. Khi
đ
ó A chéo hóa
đượ
c.
Chứng minh
Gi
ả
s

ử
A là ma tr
ậ
n c
ủ
a t
ự

đồ
ng c
ấ
u f: R
n
→
R
n

đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c. G
ọ
i W
i

là
không gian riêng
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
riêng k
i
.
Vì h
ạ
ng (A - k
i
I) = n - m
i
nên dimW
i
= n – (n – m
i
) = m
i
.
V
ớ
i m
ỗ
i i
∈
{1, 2, , p}, ta ch

ọ
n m
ộ
t c
ơ
s
ở

1 2
{ , , , }
i
i i im
ξ ξ ξ
  
c
ủ
a W
i
.
H
ệ
véct
ơ

2 1 2
11 12 1 21 22 2
{ , , , , , , , , , , , , }
i p
m m p p pm
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

        
(1)
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

1 2 2 1 1
11 11 1 1 21 21 2 2
, ,
i p p
m m m m p p pm pm
r r r r r r
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
+ + + + + + + + +
     
=
0

(2)

Đặ
t véct
ơ

1 1
i i i
r
α ξ
=
 
+ +
i i
im im
r
ξ

v
ớ
i m
ọ
i i
∈
{1, 2, , p}, (2) tr
ở
thành:
16

1 2
0
p

α α α
+ + + =
   
. (3)
Vì
i
α


∈
W
i
nên nó là véct
ơ
riêng
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
riêng k
i
. Nh
ư
ng các h
ệ
k
i
là nh
ữ

ng
giá tr
ị
riêng
đ
ôi m
ộ
t phân bi
ệ
t c
ủ
a f. H
ệ
véct
ơ
{
1 2
, , ,
p
α α α
  
}
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. T
ừ


(3) suy ra
1 1
i i i
r
α ξ
=
 
+ +
i i
im im
r
ξ

=
0

.
Theo cách ch
ọ
n, h
ệ

1 2
{ , , , }
i
i i im
ξ ξ ξ
  

độ

c l
ậ
p tuy
ế
n tính. Do
đ
ó các h
ệ
s
ố
r
ij
= 0, v
ớ
i
m
ỗ
i i
∈
{ 1, 2, , p} và m
ọ
i j
∈
{ 1, 2, , m
j
}. Vì dim
R
n
= n và h
ệ

(1) g
ồ
m n véct
ơ

riêng
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên nó là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
R
n
. Theo
đị
nh lí 1, A chéo hóa
đượ
c.
□

2.1.2. Đa thức tự đồng cấu - Đa thức ma trận

2.1.2.1. Định nghĩa
Cho P = a
0
+ a
1
X+ + a
n
X
n

∈
K[X]


+) V
ớ
i f
∈
EndV, khi
đ
ó P(f) = a
0
.id
V
+ a
1
f + + a
n
.f
n

c
ũ
ng là m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u
c
ủ
a V
đượ
c g
ọ
i là
đ
a th
ứ
c t
ự

đồ
ng c
ấ
u.

+) V

ớ
i A
∈
Mat(n, K), khi
đ
ó P(A) = a
0
I
n
+ a
1
A + + a
n
A
n
c
ũ
ng là m
ộ
t ma
tr
ậ
n
đượ
c g
ọ
i là
đ
a th
ứ

c ma tr
ậ
n.

+) Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV, P
∈
K[X]
đượ
c g
ọ
i là
đ
a th
ứ
c tri
ệ
t tiêu c
ủ
a f n
ế
u P(f) = 0

+) Gi
ả

s
ử
A
∈
Mat(n, K),
∈
K[X]
đượ
c g
ọ
i là
đ
a th
ứ
c tri
ệ
t tiêu c
ủ
a A n
ế
u
P(A) = 0
2.1.2.2. Các tính chất
i) Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV,

λ∈
Sp
K
(f), x
∈
P
λ

, khi
đ
ó
∀
P
∈
K[X], (P(f))( x ) = P(
λ
)( x )
ii) Gi
ả
s
ử
A
∈
Mat(n, K),
λ∈
Sp
K
(A), V
∈
P

λ
, khi
đ
ó
∀
P
∈
K[X], P(A)V = P(
λ
)V
Chứng minh
i) Ch
ứ
ng minh qui n
ạ
p:
∀
k
∈
N, f
k
( x ) =
λ
k
.
x (1)
17
Tính ch
ấ
t hi

ể
n nhiên
đ
úng v
ớ
i k = 0, k = 1
Gi
ả
s
ử
(1)
đ
úng v
ớ
i
∀
k
∈
N ta có: f
k+1
( x ) = f(f
k
( x )) = f(
λ
k
x ) =
λ
k
f( x ) =
λ

k+1
x
Khi
đ
ó
∀
P =
∑
=
n
k
k
k
Xa
0
∈
K[X], (P(f))( x ) = (
∑
=
n
k
k
k
fa
0
)( x ) =
∑
=
n
k

k
k
xfa
0
)( =
=
∑
=
n
k
k
k
xa
0
λ
= P(
λ
) x
ii) Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự

2.1.2.3. Định lý
i) Gi
ả
s
ử

V là K – không gian véct
ơ
n chi
ề
u, f
∈
EndV, f chéo hoá
đượ
c khi và
ch
ỉ
khi
∃
P
∈
K[X] tách
đượ
c trên K và có các nghi
ệ
m
đơ
n sao cho P(f) = 0.
ii) Gi
ả
s
ử
n
∈
N
*

, A
∈
Mat(n, K), A chéo hoá
đượ
c khi và ch
ỉ
khi
∃
P
∈
K[X]
tách
đượ
c trên K và có các nghi
ệ
m
đơ
n sao cho P(A) = 0.
Chứng minh
i) Gi
ả
s
ử
f chéo hoá
đượ
c,
λ
1
,
λ

2
, ,
λ
m
là các giá tr
ị
riêng c
ủ
a f. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i
c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a V sao cho ma tr
ậ
n A c
ủ
a f
đố
i v

ớ
i c
ơ
s
ở

β
là:
A =








m
dm
d
I
I
λ
λ
0
0
1
1

∀

k
∈
{1, , m}, d
k
= dim P
λ
, xét P =
∏
=
−
m
k
k
X
1
)(
λ

P(A) =
∏
=
−
m
k
mk
IA
1
)(
λ
=















−
−
m
dm
d
I
I
)(
)(
0
1
12
2
λλ
λλ
⋱
















−
−
0
)(
)(
2
1
2
1
⋱
dm
dm
I
I
λλ

λλ
= 0
V
ậ
y
∃
P
∈
K[X] tách
đượ
c trên K, có các nghi
ệ
m
đơ
n tho
ả
mãn P(f) = 0 .
Đả
o l
ạ
i: Gi
ả
s
ử

∃
P
∈
K[X] tách
đượ

c trên K, có các nghi
ệ
m
đơ
n tho
ả
mãn P(f) = 0.
Khi
đ
ó
∃

α∈
K\{0}, p
∈
N
∗
,
λ
1
,
λ
2
, ,
λ
p

∈
K
đ

ôi m
ộ
t phân bi
ệ
t:
18
P =
α

∏
=
−
p
k
k
X
1
)(
λ
, xét A
k
=
1
( )
j k
j
j p
X
λ
≠

≤ ≤
−
∏
vì
λ
1
,
λ
2
, ,
λ
p

∈
K
đ
ôi m
ộ
t phân bi
ệ
t nên
ta có:
∀
k
∈
{1, , p}, A
k
(
λ
k

) =
∏
≠
≤≤
−
kj
pj
jk
1
)(
λλ

≠
0
Kí hi
ệ
u: u
k
=
)(
1
kk
A
λ
∈
K, khi
đ
ó v
ớ
i

∀
k
∈
{1, , p}
đ
a th
ứ
c 1 -
∑
=
p
k
ki
Au
1
có
b
ậ
c
≤
n – 2 và tri
ệ
t tiêu t
ạ
i
λ
1
,
λ
2

, ,
λ
p
.
Vì
∀
j
∈
{1, , p}, (
∑
=
p
k
ki
Au
1
)(
λ
j
) = u
j
A
j
(
λ
j
) = 1 nên
∑
=
p

k
ki
Au
1
= 1
Ta có: Id
v
= 1(f) =
∑
=
p
k
ki
fAu
1
)(
,
Gi
ả
s
ử

x
∈
V ta có:
x
= Id
v
(
x

) = (
∑
=
k
k
ki
fAu
1
)(
)(
x
) =
∑
=
p
k
ki
xfAu
1
)()]([

Kí hi
ệ
u:
k
x
= u
k
[A
k

(f)](x) v
ớ
i k
∈
{1, , p}
Khi
đ
ó:
x
=
∑
=
p
k
k
x
1
, (f -
λ
k
Id
v
)(
k
x
) = ( X -
λ
k
)u
k

[A
k
(f)](
x
) = [u
k
( X -
λ
k
)A
k
](f)(
x
)
= [
α
-1
u
k
P](f)(
x
) = 0(
x
) = 0.
V
ậ
y
∀
k
∈

{1, , p},
k
x

∈
ker(f -
λ
k
id
v
) thì V =
∑
=
−
p
k
vk
idfKer
1
)(
λ

Ta có: Sp
k
(f)
⊂
{
λ
1
,

λ
2
, ,
λ
p
} và
∀
k
∈
{1, , p},
λ
k

∉
Sp
k
(f)
Do
đ
ó ker(f -
λ
k
id
v
) = {
0
},
∑
∈ )(
fSp

k
λ
=
∑
=
−
p
k
vk
idfKer
1
)(
λ

V
ậ
y f chéo hoá
đượ
c.
ii) Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự

2.1.3. Các bước chéo hoá ma trận A
∈
Mat(n, K)


Bước 1
: Xác
đị
nh
đ
a th
ứ
c
đặ
c tr
ư
ng P
A
(X)

19
Bước 2
: Tìm các giá tr
ị
riêng và véct
ơ
riêng
Bước 3
: + Xác
đị
nh ma tr
ậ
n chéo D
∈
Mat(n, K) (trong

đ
ó: D là ma tr
ậ
n mà các
ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trên
đườ
ng chéo chính là các giá tr
ị
riêng).
+ Xác
đị
nh ma tr
ậ
n P (trong
đ
ó P là ma tr
ậ
n mà m
ỗ
i c
ộ
t c
ủ
a nó là t

ọ
a
độ
c
ủ
a véct
ơ
riêng
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị
riêng c
ủ
a ma tr
ậ
n D)



Bước 4
: Tính P
-1
, khi
đ
ó A = PDP
-1
, trong
đ

ó: P
∈
GL(n, K)

Ví dụ
: Cho A =










−
−−
−
11141
781
680
, ch
ứ
ng minh ma tr
ậ
n A chéo hóa
đượ
c và hãy
chéo hoá A

Chứng minh

P
A
(
λ
) =
λ
λ
λ
−−
−−−
−−
11141
781
68
= (2 -
λ
)(
λ
+ 2)(
λ
- 3)
Vì ma tr
ậ
n A có 3 giá tr
ị
riêng phân bi
ệ
t nên A chéo hoá

đượ
c
Ta có: X =










z
y
x

∈
P
- 2

⇔






=+−
=+−−

=+−
01314
076
0682
zyx
zyx
zyx

⇔
x = y = z
V
ậ
y P
- 2
có s
ố
chi
ề
u là 1, có m
ộ
t c
ơ
s
ở
là
V
1
=











1
1
1
, X =










z
y
x

∈
P
2


⇔






=+−
=+−−
=+−−
0914
0710
0682
zyx
zyx
zyx

⇔




=
=
zy
xy
23
2

V

ậ
y P
2
có s
ố
chi
ề
u là 1, có m
ộ
t c
ơ
s
ở
là
V
2
=










3
2
1

, X =










z
y
x

∈
P
3

⇔






=+−
=+−−
=+−−
0814

0711
0683
zyx
zyx
zyx

⇔




=
=
yx
zy
23
35

20
V
ậ
y P
3

có s
ố
chi
ề
u là 1, có m
ộ

t c
ơ
s
ở
là V
3
=










5
3
2

Do
đ
ó: D =











−
300
020
002
và P =










531
321
211

Khi
đ
ó A = P
-1
DP trong
đ
ó P

-1
=










−
−−
−
121
132
111

2.1.4. Ứng dụng của việc chéo hoá ma trận
2.1.4.1. Tính các luỹ thừa của một ma trận vuông
Gi
ả
s
ử
A
∈
Mat(n, K), A chéo hoá
đượ
c thì

∃
P
∈
GL(n, K), ma tr
ậ
n chéo
D
∈
Mat(n, K) sao cho A= PDP
-1
. Khi
đ
ó A
k
= PD
k
P
-1
,
∀
k
∈
N (1)
Th
ậ
t v
ậ
y:
+ V
ớ

i k = 0, k = 1 tính ch
ấ
t này hi
ể
n nhiên
đ
úng
+ Gi
ả
s
ử
(1)
đ
úng v
ớ
i n = k . Ta có: A
k+1
= A
k
.A = (PD
k
P
-1
)

(PDP
-1
) =
= P(D
k

D)P
-1
= PD
k+1
P
-1
Ví dụ
: Cho A =










−
−−
−
11141
781
680
. Tính A
k
v
ớ
i
∀

k
∈
N.
Giải
Theo ví d
ụ

ở
m
ụ
c 2.1.3 ta có:

P
A
(
λ
) =
λ
λ
λ
−−
−−−
−−
11141
781
68
= (2 -
λ
)(
λ

+ 2)(
λ
- 3)
Vì A có 3 giá tr
ị
riêng phân bi
ệ
t nên A chéo hoá
đượ
c, A = P
-1
DP trong
đ
ó
21
P =










532
321
211
, D =











−
300
020
002
và P
-1
=










−
−−
121

132
111

Khi
đ
ó
∀
k
∈
N ta có:
A
k


= PD
k
P
-1


=













+−−−−+−+−−
+−−−−+−+−−
+−−−−+−+−−
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
3.52.3)2(3.102.9)2(3.52.6)2(
3.32.2)2(3.62.6)2(3.32.4)2(
3.22.1)2(3.42.3)2(3.22.2)2(

2.1.4.2. Dãy các truy hồi tuyến tính đồng thời cấp 1 với hệ số không đổi
Gi
ả
s
ử
n
∈
N
*
, A=(a
ij
)
∈
Mat(n, K), (
α
1
, ,

α
n
)
∈
K
n
, xét dãy các truy h
ồ
i tuy
ế
n
tính
đồ
ng th
ờ
i c
ấ
p 1 v
ớ
i h
ệ
s
ố
không
đổ
i (x
1, k
)
k∈N
, , (x

n, k
)
k∈N
xác
đị
nh b
ở
i:
(E)





=∈∀∈∀
=∈∀
∑
=
+
n
i
ikjikj
jj
xaxNknj
xnj
0
1,
0,
,},, ,1{
},, ,1{

α

Ta c
ầ
n tính các x
j,k
kí hi
ệ
u: X
k
=
1,
,

k
nk
x
x
 
 
 
 
 
ta
đư
a E v
ề
d
ạ
ng

1
0
1


n
k k
X
X AX
α
α
+

 

 
=

 
 


 




=




∀k∈N, X
k
= A
k
.X vi
ệ
c tính X
k

đượ
c quy v
ề
vi
ệ
c tính A
k
.
Ví dụ
: Gi
ả
s
ử
(u
n
)
n∈N
,(v
n
)

n∈N
, (w
n
)
n∈N

đượ
c xác
đị
nh b
ở
i:





















++=
++=
++=
∈∀
===
+
+
+
)2(
4
1
)(
3
1
)2(
4
1
22,22,0
1
1
1
000
nnnn
nnnn
nnnn
wvuw
wvuv
wvuu

Nk
wvu
. Tính u
n
, v
n
, w
n
.

22

Giải
Kí hi
ệ
u: A =



















2
1
4
1
4
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
2
1
v
ớ
i ∀ n∈ N, X
n

=











n
n
n
w
v
u

Ta có: ∀ n∈ N, X
n+1
= A.X
n
, v
ậ
y ∀ n∈ N, X
n
= A
n
.X
0
P
A
(λ) =

λ
λ
λ
−
−
−
2
1
4
1
4
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
2
1
= (1 - λ)(
λ
−
4
1
)(

λ
−
12
1
)
Vì A có 3 giá tr
ị
riêng phân bi
ệ
t nên A chéo hoá
đượ
c.
Khi
đ
ó P
1
,
4
1
P
,
12
1
P
là các không gian con m
ộ
t chi
ề
u có c
ơ

s
ở
t
ươ
ng
ứ
ng là:
V
1
=










1
1
1
, V
2
=











−
1
0
1
, V
3
=










−
3
8
3

Ta có: P =











−−
311
801
311
, D =



















12
1
00
0
4
1
0
001
, P
-1
=
22
1










−
−
121
11011
868


Khi
đ
ó: ∀ n∈ N, X
n
= A
n
.X
0
=
=PD
n
P
-1
X
0
=
22
1










−−

311
801
311










−
−
n
n
1200
040
001











−
−
121
11011
868










22
22
0

23
V
ậ
y ∀ n∈ N,





−+=
+=

−−=
−−
−
−−
nn
n
n
n
nn
n
w
v
u
12.34.1114
12.814
12.34.1114

2.1.4.3. Dãy các truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi

Gi
ả
s
ử
P ∈ N
∗
, (a
0
, a
1
, ,a

p-1
) ∈ K
p
. Xét dãy truy h
ồ
i tuy
ế
n tính v
ớ
i h
ệ
s
ố

không
đổ
i (u
n
)
n∈N
xác
đị
nh b
ở
i:






++==∈∀
∈
∑
−
=
−+−++
−
1
0
1101
110
,
), ,,(
p
i
pnpninin
p
p
uauauauNn
Kuuu


Ta c
ầ
n tính u
n
theo n (∀n∈N). Kí hi
ệ
u: A =















−− 120

10
10
pp
aaa
, X
n
=
1
1

n
n
n p
u
u

u
+
+ −
 
 
 
 
 
 
 

Ta có:
∀
n
∈
N, X
n+1
=
1
2

n
n
n p
u
u
u
+
+
+

 
 
 
 
 
 
 
=














−− 120

10
10
pp
aaa
1
1


n
n
n p
u
u
u
+
+ −
 
 
 
 
 
 
 
= AX
n

V
ậ
y vi
ệ
c tính u
n

đượ
c
đư
a v

ề
vi
ệ
c tính các lu
ỹ
th
ừ
a c
ủ
a A.

Ví dụ
: Tính u
n
bi
ế
t



+−=∈∀
===
+++ 213
210
113945,
22,22,1
nnnn
uuuuNn
uuu



Kí hi
ệ
u: A =










− 113945
100
010
, P
A

(
λ
) =
λ
λ
λ
−−
−
−
113945

10
01
= (5 -
λ
)(
λ
- 3)
2

Khi
đ
ó dimP
3
= 1 nên A không chéo hoá
đượ
c, P
3
có c
ơ
s
ở
là V
1
=











9
3
1

dimP
5
= 1, P
5
có c
ơ
s
ở
là V
3
=










25

5
1

24
Ch
ọ
n V
2
=










z
y
x
sao cho AV
2
= 3V
2
+ V
1

Ta có: AV

2
= 3V
2
+ V
1

⇔




+=
+=
69
13
xz
xy
Ch
ọ
n V
2
=











9
6
0

Kí hi
ệ
u: P =










2569
513
101
, T =











500
030
013
ta có P
-1
=
4
1










−
−−
−−
169
21630
165

Và A = PTP
-1


Ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p:
∀
n
∈
N, T
n
=










−
n
n
nn
n
500

030
03.3
1

∀
n
∈
N, X
n
= PT
n
P
-1
X
0
=












++−
++−

+−
++
+
−
21
1
1
53).2(4
53)1.(4
53.4
nn
nn
nn
n
n
n

2.2. Tam giác hoá
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
2.2.1.1 Định nghĩa

i) Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV, f
đượ
c g

ọ
i là tam giác hoá
đượ
c n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a V
sao cho ma tr
ậ
n c
ủ
a f
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở


β
là ma tr
ậ
n tam giác.


ii) Gi
ả
s
ử
A
∈
Mat(n, K), A
đượ
c g
ọ
i là tam giác hoá
đượ
c n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i ma
tr
ậ
n tam giác T
∈

Mat(n, K), P
∈
GL(n, K) sao cho A = PTP
-1
.

Nhận xét
: Cho f
∈
EndV có ma tr
ậ
n A
đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở
nào
đ
ó c
ủ
a V, khi
đ
ó: f tam
giác hoá
đượ
c
⇔

A tam giác hoá
đượ
c
2.2.1.2 Định lý

i) Gi
ả
s
ử
A
∈
Mat(n, K), khi
đ
ó hai tính ch
ấ
t sau t
ươ
ng
đươ
ng:

25
+) A tam giác hoá
+) P
A
(X)

tách
đượ
c trên K

ii) Gi
ả
s
ử
f
∈
EndV, khi
đ
ó hai tính ch
ấ
t sau t
ươ
ng
đươ
ng:
+) f tam giác hoá
+) P
f
(X) tách
đượ
c trên K
Chứng minh
i) Gi
ả
s
ử
A tam giác hoá
đượ
c, khi
đ

ó
∃
T =










nn
t
t
⋱
11
∈
Mat(n, K)

sao cho A
∼
T
V
ậ
y
∀λ

∈

K, P
A
(
λ
) = P
f
(
λ
) =
∏
(t
ii
-
λ
) do
đ
ó P
A
(X)

tách
đượ
c trên K
Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p theo n
V
ớ

i n = 1 tính ch
ấ
t
đ
úng
Gi
ả
s
ử
tính ch
ấ
t
đ
úng v
ớ
i n
∈
N
∗
và A
∈
Mat(n+1, K) sao cho P
A
(X) tách
đượ
c
trên K. Khi
đ
ó A có ít nh
ấ

t m
ộ
t giá tr
ị
riêng
λ
1
và m
ộ
t véct
ơ
riêng V
1

Do v
ậ
y
∃
L
∈
Mat(1
×
n, K),
A
2
∈
Mat(n, K) sao cho A
∼










2
1
0 A
L
λ

∀λ

∈
K, P
A
(
λ
) = det








−

−
n
IA
L
λ
λλ
2
1
0
= (
λ
1
-
λ
)

P
A
(
λ
)
Vì P
A
(X) tách
đượ
c trên K nên
2
A
P
(X)


tách
đượ
c trên K nên theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p
∃
Q
∈
GL(n, K), T
∈
Mat(n, K)sao cho A
2
= QTQ
-1
.
Kí hi
ệ
u: R =









Q
0
01
∈
Mat(n+1, K) kh
ả
ngh
ị
ch và R
-1
=








−
1
0
01
Q


Ta s
ẽ
ch

ứ
ng minh
∃
X
∈
Mat(1
×
n, K) sao cho v
ớ
i T
1
=








T
X
0
1
λ
ta có: