1

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 2
1. Lý do chọn đề tài 2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
4. Phương pháp nghiên cứu 3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3
6. Bố cục của đề tài 3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số 5
1.2. Định nghĩa và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 8
1.3. Một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương 9
Chương 2. CHUỖI SỐ DƯƠNG VỚI CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ
SUY RỘNG 18
2.1. Dấu hiệu Kummer 18
2.2. Dấu hiệu Bertrand 21
2.3. Dấu hiệu Gauss 22
2.4. Dấu hiệu Cauchy suy rộng 24
2.5. Dấu hiệu Logarithm 26
Chương 3. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY
RỘNG 29
KẾT LUẬN 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình
toán học, nó đóng vai trò khá quan trọng trong việc học tập ngành toán. Giải tích
toán học không chỉ quan trọng với việc học tập và nghiên cứu sâu thêm về
những ngành toán liên quan mà còn là cơ sở để học các môn toán khác và cả
những môn khoa học khác (Lí, Hoá, Kĩ thuật). Bởi vậy, việc nắm vững môn học
này là yêu cầu nhất thiết đối với sinh viên khoa Toán.
Giải tích toán học bao gồm cơ sở về lí thuyết giới hạn và chuỗi, về phép
tính vi phân, tích phân và những ứng dụng của chúng. Trong đó, lí thuyết về
chuỗi đóng vai trò rất quan trọng đối với môn học này, đặc biệt là việc xét sự hội
tụ của chuỗi số.
Trong quá trình nghiên cứu các giáo trình giải tích, quá trình làm các bài
tập liên quan đến chuỗi số dương, sinh viên thường gặp nhiều khó khăn khi
nghiên cứu và áp dụng các dấu hiệu để xét sự hội tụ của chuỗi số dương.
Các giáo trình giải tích toán học đã có nhiều tiêu chuẩn, dấu hiệu được
dùng để xét sự hội tụ của chuỗi số dương như: so sánh, Cauchy, D’Alambert,
Raabe, tích phân nhưng đôi khi gặp một số dạng chuỗi thì việc sử dụng các tiêu
chuẩn và dấu hiệu trên rất dài và phức tạp. Để thuận tiện hơn, ta có thể sử dụng
một số dấu hiệu khác gọi là các dấu hiệu hội tụ suy rộng. Các dấu hiệu hội tụ
suy rộng này không những giúp sinh viên khắc phục được phần nào những khó

khăn trong việc giải bài tập mà còn khắc sâu thêm những kiến thức lí thuyết và
làm các bài tập khác. Đồng thời với lí thuyết là các bài tập áp dụng dấu hiệu hội
tụ suy rộng, đó là những ví dụ hữu ích nhằm giúp cho người học có thể giải các
bài tập liên quan đến chuỗi số dương một cách đơn giản hơn. Ngoài ra, để tạo
điều kiện cho người học tiếp cận những kiến thức sâu hơn, chúng tôi có đưa vào
một số bài tập khó hơn mà khi áp dụng các dấu hiệu khác rất phức tạp.
Sử dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng giúp sinh viên bổ sung thêm những
kiến thức mới góp phần vào việc tháo gỡ những khó khăn, vướng mắc trong quá
trình học tập, nghiên cứu, giải các bài tập về xét sự hội tụ của chuỗi số dương, từ
đó nâng cao chất lượng và hiệu quả học tập của sinh viên.
Vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Chuỗi số dương với các dấu
hiệu hội tụ suy rộng”.


3

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu:
- Hệ thống một số lí thuyết chung về chuỗi. Nghiên cứu chuỗi số dương với các
dấu hiệu hội tụ suy rộng và ứng dụng của chúng trong việc xét sự hội tụ của
chuỗi số.
- Sử dụng một số dấu hiệu mới để xét sự hội tụ của chuỗi số dương.
• Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng và việc áp dụng
chúng trong giải các bài tập về sự hội tụ của chuỗi số.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Xét sự hội tụ của chuỗi số
- Phạm vi nghiên cứu: Chuỗi số dương
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc các tài liệu, giáo trình có liên quan tới

chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số, các dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút
ra được kinh nghiệm để xét sự hội tụ của chuỗi số bằng việc áp dụng các dấu
hiệu hội tụ suy rộng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo dùng cho sinh viên ngành sư phạm
Toán của trường đại học Hùng Vương khi quan tâm tới vấn đề này.
6. Bố cục của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo "Chuỗi số dương với
các dấu hiệu hội tụ suy rộng" bao gồm 3 chương sau:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về chuỗi số như: nêu ra các
khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số, định nghĩa chuỗi số
dương, các tiêu chuẩn xét sự hội của chuỗi số dương và một số dấu hiệu xét sự
hội tụ của chuỗi số dương.

• Chương 2: Chuỗi số dương với các dấu hiệu hội tụ suy rộng

4

Trong chương này, đề tài trình bày một số dấu hiệu hội tụ suy rộng bao gồm:
nội dung định lý, chứng minh các định lý, các ví dụ minh họa cho các định lý.
• Chương 3: Một số bài tập áp dụng các dấu hiệu hội tụ suy rộng
Chương này trình bày một số bài tập áp dụng, bài tập đề nghị tự giải của
các dấu hiệu hội tụ. Từ đó chúng ta so sánh các phương pháp đó với nhau để tìm
ra phương pháp giải hữu hiệu nhất.

5

Chương 1


KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Các khái niệm cơ bản và một số tính chất đơn giản của chuỗi số

1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Định nghĩa chuỗi số
Cho dãy số:
1 2 3
, , , , ,
n
u u u u

T
ổ
ng vô h
ạ
n:
1 2 3

n
u u u u
+ + + + +
=
1
n
n
u

∞
=
∑
(1.1)
đượ
c g
ọ
i là chu
ỗ
i s
ố
(hay g
ọ
i t
ắ
t là chu
ỗ
i). S
ố

n
u
đượ
c g
ọ
i là s
ố
h
ạ
ng th

ứ
n hay s
ố

h
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a chu
ỗ
i (1.1). T
ổ
ng c
ủ
a n s
ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên c
ủ
a chu
ỗ
i (1.1) là:
1 2 3
1


n
n k n
k
u u u u u S
=
+ + + + = =
∑
,
n
∈
ℕ

g
ọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1).
N
ếu có:
lim
n
n
S S
→∞
=

thì chu
ỗ
i (1.1)
đượ
c g
ọ
i là chu

ỗ
i h
ộ
i t
ụ
(hay còn g
ọ
i là h
ộ
i t
ụ
v
ề
S) và S
đượ
c g
ọ
i
là t
ổ
ng c
ủ
a nó. Khi
đ
ó ta kí hi
ệ
u:
1
n
n

S u
∞
=
=
∑

Còn n
ế
u
n
S
không có gi
ớ
i h
ạ
n thì chu
ỗ
i (1.1)
đượ
c g
ọ
i là chu
ỗ
i phân k
ỳ
.
1.1.2. Ví dụ về chuỗi số
•

Ví d

ụ
1.1. Xét chu
ỗ
i s
ố


2 1 1
1

n n
n
u uq uq uq uq
∞
− −
=
+ + + + + =
∑
(1.2)
trong
đ
ó: q là m
ộ
t s
ố
th
ự
c b
ấ
t kì,

u là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
khác không.
V
ớ
i q
≠
1, t
ổ
ng riêng th
ứ
n là:
1
1
n
n
q
S u
q
−
=
−


6


N
ế
u
q
< 1 thì
lim
1
n
x
u
S
q
→∞
=
−

N
ế
u
q

≥
1 thì th
ấ
y r
ằ
ng
n
S
không có gi

ớ
i h
ạ
n khi
n
→ ∞
.
V
ậ
y v
ớ
i
q
< 1 thì chu
ỗ
i (1.2) h
ộ
i t
ụ
và có t
ổ
ng là
1
u
q
−
,
v
ớ
i

q

≥
1 thì chu
ỗ
i (1.2) phân k
ỳ
.
•

Ví d
ụ
1.2. Xét chu
ỗ
i s
ố
:
n
S
=
1
1
( 1)
n
n n
∞
=
+
∑


Ta có
1
( 1)
+
n n
=
1 1
1
n n
−
+
(n=1,2,3, )
nên
n
S
=
1
1
( 1)
n
n n
∞
=
+
∑
=
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)
n n

+ + + +
+

hay
n
S
=
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4 1
n n
       
− + − + − + + −
       
+
       

=
1
1
1
n
 
−
 
+
 

V
ậ

y:
lim lim
n
n n
S
→∞ →∞
=
1
1
1
n
 
−
 
+
 
=1.
Do
đ
ó chu
ỗ
i
1
1
( 1)
n
n n
∞
=
+

∑
h
ộ
i t
ụ
v
ề
1.

•

Ví d
ụ
1.3. Xét chu
ỗ
i
1
1 1 1 1
1
2 3
n
n n
∞
=
= + + + + +
∑

S
ố
h

ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a chu
ỗ
i là:
n
u
=
1
0
n
→
(khi
n
→ ∞
).

7

Th
ấ
y r
ằ
ng các s
ố
h
ạ

ng c
ủ
a chu
ỗ
i gi
ả
m d
ầ
n nên:
1 1 1
1
2 3
n
A
n
= + + + +
>
1
.
n n
n
=
.
Do
đ
ó
n
A
→ ∞
khi

n
→ ∞
.
V
ậ
y chu
ỗ
i
đ
ã cho phân k
ỳ
.
Định nghĩa 1.2.
N
ế
u chu
ỗ
i (1.1) h
ộ
i t
ụ
v
ề
S thì hi
ệ
u

n
S S
−

=
n
r

đượ
c g
ọ
i là s
ố
d
ư
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố
. Khi
đ
ó

(
)
lim lim 0
n n
n x
r S S S S
→∞ →∞
= − = − =
.

1.1.3. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số
Cho chu
ỗ
i s
ố
(1.1), t
ừ
chu
ỗ
i
đ
ó ta thi
ế
t l
ậ
p
đượ
c dãy
{
}
1 2
, , , ,
n n
S S S S
=
(1.3)
ở

đ
ó

1 2
1

n
n k n
k
S u u u u
=
= = + + +
∑
.
Ng
ượ
c l
ạ
i, cho dãy
{
}
n
S
. T
ừ

đ
ó ta thi
ế
t l
ậ
p
đượ

c chu
ỗ
i s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng:
1 2 3

n
u u u u
+ + + + +
=
1
n
n
u
∞
=
∑
,
ở

đ
ó
1 1
u S
=

,
2 2 1
u S S
= −
,
…
1
n n n
u S S
−
= −
,

Theo
đị
nh ngh
ĩ
a v
ề
s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s

ố
(1.1) thì s
ự
h
ộ
i t
ụ

đ
ó t
ươ
ng
đươ
ng
v
ớ
i s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a dãy {
n
S
}.
Nh
ư

v
ậ
y, t
ừ
dãy s
ố
{
n
S
}, ta có th
ể
thi
ế
t l
ậ
p
đượ
c chu
ỗ
i s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng
1
n
n
u

∞
=
∑
.
Ng
ượ
c l
ạ
i, t
ừ
chu
ỗ
i s
ố

1
n
n
u
∞
=
∑
ta c
ũ
ng có th
ể
thi
ế
t l
ậ

p
đượ
c dãy s
ố
{
n
S
} t
ươ
ng
ứ
ng. Nh
ờ
m
ố
i quan h
ệ
này mà khi xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
và t
ổ
ng c
ủ
a chu
ỗ
i (1.1) ta hoàn

toàn có th
ể
chuy
ể
n sang xét s
ự
t
ồ
n t
ạ
i và giá tr
ị
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy (1.3).

8

Định lý 1.1.

Đ
i
ề
u ki

ệ
n
ắ
t có và
đủ

để
chu
ỗ
i (1.1) h
ộ
i t
ụ
là v
ớ
i s
ố

ε
> 0 cho tr
ướ
c
nh
ỏ
tùy ý, ta có:
1 2

n n n p
u u u
ε

+ + +
+ + + <

v
ớ
i m
ọ
i n
đủ
l
ớ
n và p là s
ố
nguyên d
ươ
ng b
ấ
t kì.
•

H
ệ
qu
ả
1.1. Tính ch
ấ
t h
ộ
i t
ụ

hay phân k
ỳ
c
ủ
a m
ộ
t chu
ỗ
i s
ố
không thay
đổ
i n
ế
u
ta thay
đổ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n s
ố
h
ạ
ng c

ủ
a chu
ỗ
i
đ
ó.
•

H
ệ
qu
ả
1.2. N
ế
u chu
ỗ
i
1
n
n
u
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
thì
lim

n
n
u
→∞
= 0
Chú ý
:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n trên ch
ỉ
là
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n;
đ
i
ề
u ng
ượ
c l
ạ

i ch
ư
a ch
ắ
c
đ
úng.
1.1.4. Một số tính chất đơn giản về chuỗi số
Định lý 1.2.
N
ế
u
1 2 3

n
u u u u
+ + + + +
=
1
n
n
u
∞
=
∑
= S,
thì
1 2
1


n n
n
au au au au aS
∞
=
+ + + + = =
∑

trong
đ
ó
a
là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
tùy ý.
Định lý 1.3.
Cho hai chu
ỗ
i h
ộ
i t
ụ

1
n
n

u S
∞
=
=
∑
và
1
n
n
v S
∞
=
=
∑
.
Th
ế
thì chu
ỗ
i
1
( )
n n
n
u v
∞
=
+
∑
c

ũ
ng h
ộ
i t
ụ
và có t
ổ
ng là
S S
+

1.2. Định nghĩa và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
1.2.1. Định nghĩa chuỗi số dương
Định nghĩa 1.3.
N
ế
u các s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố

1 2

n

u u u
+ + + +
(1.4)
là không âm (
n
u
≥
0) thì chu
ỗ
i (1.4)
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t chu
ỗ
i s
ố
không âm, hay
để

cho g
ọ
n, ta g
ọ
i là chu
ỗ
i s
ố

d
ươ
ng.

9

1.2.2. Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
ắ
t có và
đủ

để
chu
ỗ
i (1.4) h
ộ
i t
ụ
là dãy
{
n
S
} = {
1 2


n
u u u
+ + +
}
b
ị
ch
ặ
n trên.
1.3. Một số dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số dương
1.3.1. Dấu hiệu so sánh
Định lý 1.4.
Cho hai chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
1 2

n
u u u
+ + + +
(u)
và
1 2

n

v v v
+ + + +
(v)
N
ế
u có m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng c sao cho v
ớ
i m
ọ
i n mà ta có
n n
u cv
≤

thì t
ừ
tính h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ

i (v) suy ra tính h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i (u) và ng
ượ
c l
ạ
i t
ừ

tính phân k
ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i (u) suy ra tính phân k
ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i (v).
Ch
ứ

ng minh:
G
ọ
i S
n
và
n
σ
l
ầ
n l
ượ
t là t
ổ
ng riêng th
ứ
n c
ủ
a các chu
ỗ
i (u) và (v), th
ế
thì do
n n
u cv
≤
nên
S
n


≤
c
n
σ

M
ặ
t khác, vì chu
ỗ
i (v) h
ộ
i t
ụ
nên
n
σ
b
ị
ch
ặ
n trên, suy ra S
n
c
ũ
ng b
ị
ch
ặ
n
trên,

đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng chu
ỗ
i (u) h
ộ
i t
ụ
.
Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u chu
ỗ
i (u) phân k
ỳ
thì rõ ràng chu
ỗ

i (v) c
ũ
ng phân k
ỳ
.
Định lý 1.5.
Gi
ả
s
ử

lim
n
n
n
u
v
→∞
= A ( 0
≤
A
≤
+
∞
)
a) N
ế
u ( 0
≤
A < +

∞
) và chu
ỗ
i (v) h
ộ
i t
ụ
thì chu
ỗ
i (u) h
ộ
i t
ụ
.
b) N
ế
u ( 0 < A
≤
+
∞
) và chu
ỗ
i (v) phân k
ỳ
thì chu
ỗ
i (u) phân k
ỳ
.
Ch

ứ
ng minh:
a) Gi
ả
s
ử
chu
ỗ
i (v) h
ộ
i t
ụ
và 0
≤
A < +
∞


lim
n
n
n
u
v
→∞
= A
V
ớ
i
0

ε
> 0 nh
ỏ
tùy ý
đ
ã cho ta s
ẽ
có:

10

n
n
u
v
< A +
0
ε
v
ớ
i m
ọ
i n
đủ
l
ớ
n.
T
ừ


đ
ó

n
u
< ( A +
0
ε
)
n
v

Do chu
ỗ
i (v) h
ộ
i t
ụ
nên suy ra chu
ỗ
i (u) h
ộ
i t
ụ
.
b) Gi
ả
s
ử
chu

ỗ
i (v) phân k
ỳ
và 0 < A
≤
+
∞
.
Th
ế
thì

lim
n
n
n
u
v
→∞
= B =
1
A
v
ớ
i A
≠
+
∞

0 v

ớ
i A = +
∞
.
T
ứ
c là B < +
∞
.
T
ừ
s
ự
phân k
ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i (v) ta suy ra s
ự
phân k
ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i (u) vì n
ế
u chu

ỗ
i
(u) h
ộ
i t
ụ
thì theo ch
ứ
ng minh
ở
ph
ầ
n a) suy ra chu
ỗ
i (v) h
ộ
i t
ụ
.
Đ
i
ề
u này trái
v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t chu

ỗ
i (v) phân k
ỳ
.
•

Ví d
ụ
1.4. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i:
1
1
!
n
n
∞
=
∑

Gi
ả

i:
V
ớ
i m
ọ
i n
≥
1, ta có: n!
≥

1
2
n
−
. T
ừ

đ
ó
1
1 1
! 2
n
n
−
≤
Vì chu
ỗ
i
1

1
1
2
n
n
∞
−
=
∑
h
ộ
i t
ụ
, theo d
ấ
u hi
ệ
u so sánh ta suy ra chu
ỗ
i
1
1
!
n
n
∞
=
∑
h
ộ

i t
ụ
.
•

Ví d
ụ
1.5. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i:
1
sin
3
n
n
π
∞
=
∑

Gi
ả

i
:
Vì
sin
3
n
π
> 0 v
ớ
i m
ọ
i n và
sin
3
n
π
3
n
π
∼
khi n
→ +∞
. Chu
ỗ
i
1
sin
3
n
n

π
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ

(vì
đ
ó là c
ấ
p s
ố
nhân lùi vô h
ạ
n v
ớ
i công b
ộ
i
1
3
). Do
đ
ó theo d
ấ
u hi
ệ

u so sánh,
chu
ỗ
i
1
sin
3
n
n
π
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.

11
1.3.2. Dấu hiệu D’Alambert
Định lý 1.6.
Cho chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
1 2


n
u u u
+ + + +
(
n
u
> 0 v
ớ
i m
ọ
i n)
N
ế
u
1
lim
n
n
n
u
u
+
→∞
= l

thì v
ớ
i l < 1 chu
ỗ

i
đ
ó h
ộ
i t
ụ

l > 1 chu
ỗ
i
đ
ó phân k
ỳ

l = 1 ch
ư
a th
ể
nói gì v
ề
s
ự
h
ộ
i t
ụ
hay phân k
ỳ
c
ủ

a chu
ỗ
i.
Ch
ứ
ng minh:
Vì
n
u

≥
0 nên l
≥
0
a)

V
ớ
i l < 1. Ta ch
ọ
n s
ố

ε
> 0
đủ
bé
để
cho l +
ε

= q < 1.
Vì

1
lim
n
n
n
u
u
+
→∞
= l
Nên v
ớ
i n
đủ
l
ớ
n ta ph
ả
i có:

1
1
n
n
∞
=
∑

< l +
ε
= q

1
n n
u u q
+
⇒ <


2
2 1n n n
u u q u q
+ +
⇒ < <
…

k
n k n
u u q
+
⇒
<
Mà vì chu
ỗ
i
1
k
n

k
u q
∞
=
∑
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i m
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân v
ớ
i công b
ộ
i q (0 < q < 1)
nên chu
ỗ
i
đ
ó h
ộ
i t
ụ

, suy ra chu
ỗ
i
1
n
n
u
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.
b)

V
ớ
i l > 1. Lúc
đ
ó thì v
ớ
i m
ọ
i n
đủ
l
ớ
n ta ph

ả
i có
1
n
n
u
u
+
> 1
hay

1
n
u
+
>
n
u


12
Suy ra
n
u
không th
ể
d
ầ
n t
ớ

i 0 khi
n
→ ∞
. V
ậ
y chu
ỗ
i
1
n
n
u
∞
=
∑
phân k
ỳ
.
•

Ví d
ụ
1.6. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ

a chu
ỗ
i
1000 1000.1002 1000.1002.1004 1000.1002.1004 (998 2 )

1 1.4 1.4.7 1.4.7 (3 2)
n
n
+
+ + + + +
−

Gi
ả
i
:
S
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a chu
ỗ
i là:
n
u
=

1000.1002.1004 (998 2 )
1.4.7 (3 2)
n
n
+
−

và
1
n
u
+
=
1000.1002.1004 (998 2 )(998 2( 1))
1.4.7 (3 2)(3 1)
n n
n n
+ + +
− +

Ta có:
1
lim
n
n
n
u
u
+
→∞

=
lim
n
→∞
1000.1002.1004 (998 2 )(998 2( 1))
1.4.7 (3 2)(3 1)
n n
n n
+ + +
− +
.
1.4.7 (3 2)
1000.1002.1004 (998 2 )
n
n
−
+

=
1000 2 2
lim
3 1 3
n
n
n
→∞
+
=
+
< 1

V
ậ
y chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.
1.3.3. Dấu hiệu Cauchy
Định lý 1.7.
Cho chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
1 2

n
u u u
+ + + +
(1.5)
N
ế
u
lim

n
n
n
u
→∞
= l
thì v
ớ
i l < 1 chu
ỗ
i
đ
ó h
ộ
i t
ụ

l > 1 chu
ỗ
i
đ
ó phân k
ỳ

l = 1 ch
ư
a th
ể
nói gì v
ề

s
ự
h
ộ
i t
ụ
hay phân k
ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i.
Ch
ứ
ng minh:
Tr
ướ
c h
ế
t ta nh
ậ
n xét r
ằ
ng l
≥
0 vì
n
u
≥

0.
a)

V
ớ
i l < 1. Ta ch
ọ
n s
ố

ε
> 0
đủ
bé
để
cho l +
ε
= q < 1.
Vì

13
lim
n
n
n
u
→∞
= l
Nên v
ớ

i n
đủ
l
ớ
n thì

n
n
u
< l+
ε
= q

n
n
u q
⇒
<

Vì chu
ỗ
i
1
n
n
q
∞
=
∑
t

ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i m
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân v
ớ
i công b
ộ
i q < 1 (hi
ể
n
nhiên q < 0) nên chu
ỗ
i
đ
ó h
ộ
i t
ụ
, suy ra chu
ỗ
i (1.5) h
ộ

i t
ụ
.
b) V
ớ
i l > 1. Lúc
đ
ó thì v
ớ
i m
ọ
i n
đủ
l
ớ
n ta ph
ả
i có

n
n
u
>1
hay

n
u
>1
Suy ra chu
ỗ

i (1.5) phân k
ỳ
.
•

Ví d
ụ
1.7. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i
2
1 2

3 5 2 1
n
n
n
   
+ + + +
   
+
   


Gi
ả
i:
S
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a chu
ỗ
i là:
2 1
n
n
n
u
n
 
=
 
+
 

Ta có:

1

lim lim lim
2 1 2 1 2
n
n
n
n
n n n
n n
u
n n
→∞ →∞ →∞
 
= = =
 
+ +
 
< 1
V
ậ
y chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.
•


Ví d
ụ
1.8. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i sau:
( 1)
1
1
1
n n
n
n
n
−
∞
=
−
 
 
+
 
∑


Gi
ả
i:
Ta có:

n
n
a
=
1
1
1
n
n
n
−
−
 
 
+
 
=
1
2
1
1
n
n
−

 
−
 
+
 


lim
n
→+∞
n
n
a
=
lim
n
→+∞
1
2
1
1
n
n
−
 
−
 
+
 
=

lim
n
→+∞
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
−
+
+
 
 
−
 
 
+
 
 
 
=
2
e
−
< 1


14
V
ậ
y chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
theo d
ấ
u hi
ệ
u Cauchy.
1.3.4. Dấu hiệu Raabe
Định lý 1.8.
Cho chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
1 2

n
u u u

+ + + +

N
ế
u
1
lim 1
n
n
n
u
n
u
→∞
+
 
−
 
 
= l
thì v
ớ
i l > 1 chu
ỗ
i
đ
ó h
ộ
i t
ụ


l < 1 chu
ỗ
i
đ
ó phân k
ỳ

l = 1 ch
ư
a th
ể
nói gì v
ề
s
ự
h
ộ
i t
ụ
hay phân k
ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i.
Ch
ứ
ng minh:

Vì
n
u

≥
0 nên l
≥
0
a)

V
ớ
i l < 1. Ta ch
ọ
n s
ố

ε
> 0
đủ
bé
để
cho r = l -
ε
> 1
Vì

1
lim 1
n

n
n
u
n
u
→∞
+
 
−
 
 
= l
Cho nên v
ớ
i n
đủ
l
ớ
n ta có:

1
1
n
n
u
n
u
+
 
−

 
 
> r > 1
Hay là:

1
n
n
u
u
+
> 1 +
r
n

Ta l
ấ
y m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng s nào
đ
ó sao cho 1 < s < r
Rõ ràng:

1
1 1

lim '(0)
1
s
n
n
n
ϕ
→∞
 
+ −
 
 
=
v
ớ
i
( ) 1
x x
ϕ
= +
. Nh
ư
ng
'(0)
ϕ
= s < r cho nên v
ớ
i n
đủ
l

ớ
n thì:

1
1 1
1
s
n
r
n
 
+ −
 
 
<


15
hay
1
1
s
n
 
+
 
 
< 1
r
n

+

do
đ
ó

1
n
n
u
u
+
>
1
1
s
n
 
+
 
 
=
1
s
n
n
+
 
 
 


hay
1
( 1)
s s
n n
n u n u
+
> +

Đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng dãy
{
}
s
n
n u
v
ớ
i n

đủ
l
ớ
n là m
ộ
t dãy
đơ
n
đ
i
ệ
u gi
ả
m.
Vì v
ậ
y, nó b
ị
ch
ặ
n khi
n
→ ∞
. Nói cách khác, t
ồ
n t
ạ
i c > 0 sao cho:

s

n
n u
< c (n=1,2,…)
ho
ặ
c :
n
s
c
u
n
<

Vì chu
ỗ
i
1
1
s
n
n
∞
=
∑
v
ớ
i s > 1 là chu
ỗ
i h
ộ

i t
ụ
cho nên chu
ỗ
i
1
n
n
u
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.
b)

V
ớ
i l < 1. T
ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra r
ằ
ng v

ớ
i n
đủ
l
ớ
n ta có:
1
1
n
n
u
n
u
+
 
−
 
 
≤
1
T
ừ

đ
ó

1
1
n
n

u n
u n
+
+
≤

hay

1
( 1)
n n
nu n u
+
≤ +

Đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng dãy
{
}
n

nu
không gi
ả
m v
ớ
i n
đủ
l
ớ
n. Vì v
ậ
y n
ế
u
đặ
t
0
0
n
n u
= c thì v
ớ
i
0
n n
≥
ta s
ẽ
có
n

nu
≥
c hay là:

n
u
c
n
≥

Vì r
ằ
ng chu
ỗ
i
đ
i
ề
u hòa
1
1
n
n
∞
=
∑
là phân k
ỳ
cho nên chu
ỗ

i
1
n
n
u
∞
=
∑
là chu
ỗ
i phân k
ỳ
.
•

Ví d
ụ
1.9. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố



16
1
(2 1)!! 1
1 .
(2 )!! 2 1
n
n
n n
∞
=
−
+
+
∑

Gi
ả
i
Ta có:
2
1
2 (2 1)
(2 1)
n
n
u n n
u n
+
+

=
−

Vì
2 2
1
2 (2 1) (6 1)
1 1
(2 1) (2 1)
n
n
u n n n n
n n
u n n
+
 
 
+ −
− = − =
 
 
− −
 
 

cho nên
lim
n
→∞
2

1
(6 1)
1 lim
(2 1)
n
n
n
u n n
n
u n
→∞
+
 
−
− =
 
−
 
=
3
2
> 1.
V
ậ
y chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ

i t
ụ
.
•

Ví d
ụ
1.10. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố


1
!
( 1)( 2) ( )
n
n
x x x n
∞
=
+ + +

∑
, (
x
> 0 )
Gi
ả
i:
Ta có:

lim
n
→+∞
1
1
n
n
a
n
a
+
 
−
 
 
=
lim
n
→+∞
1
1

1
x n
n
n
+ +
 
−
 
+
 

=
lim
n
→+∞
.
1
n
x
n
+
=
x

Vì th
ế
theo d
ấ
u hi
ệ

u Raabe chu
ỗ
i h
ộ
i t
ụ
n
ế
u x > 1, phân k
ỳ
n
ế
u x < 1.
V
ớ
i x = 1 ta có chu
ỗ
i
1
1
1
n
n
∞
=
+
∑
phân k
ỳ
.

1.3.5. Dấu hiệu tích phân
Định lý 1.9.
Gi
ả
s
ử
ta có m
ộ
t chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng d
ạ
ng:
1
n
n
a
∞
=
∑
=
1
( )
n
f n
∞

=
∑
,
trong
đ
ó
( )
f n
là giá tr
ị
t
ạ
i x = n c
ủ
a m
ộ
t hàm
( )
f x
xác
đị
nh v
ớ
i
1
x
≥
, liên t
ụ
c

và
đơ
n
đ
i
ệ
u gi
ả
m.

17
N
ế
u
lim
n
→+∞
1
( )
x
f t dt
∫
= L <
+∞
thì chu
ỗ
i
1
n
n

a
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.
N
ế
u
lim
n
→+∞
1
( )
x
f t dt
∫
=
+∞
thì chu
ỗ
i phân k
ỳ
.
•

Ví d

ụ
1.11. Dùng d
ấ
u hi
ệ
u tích phân kh
ả
o sát s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i
2
1
ln
p
n
n n
∞
=
∑
, ( p > 1 )
Gi
ả

i:
Các s
ố
h
ạ
ng
1
ln
n
p
a
n n
=
là giá tr
ị
t
ạ
i x = n (n = 2,3,…) c
ủ
a hàm
( )
f x
=
1
ln
p
x x
(
2
x

≥
). Nguyên hàm c
ủ
a
( )
f x
là F(x)=
1
1
ln
1
p
x
p
−
−
. Vì 1 – p < 0
nên:
lim
n
→+∞
F(x)=
lim
n
→+∞

1
1
ln
1

p
x
p
−
−
=0
T
ừ

đ
ó:
lim
n
→+∞
2
( )
f t dt
∞
∫
=
lim
n
→+∞
(F(x) - F(2)) =
1
1
ln 2
1
p
p

−
−
.
Theo d
ấ
u hi
ệ
u tích phân thì chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.



18
Chương 2

CHUỖI SỐ DƯƠNG VỚI CÁC DẤU HIỆU HỘI TỤ SUY RỘNG
2.1. Dấu hiệu Kummer
2.1.1. Định lí
Xét chu
ỗ
i
1
n

n
a
∞
=
∑
,(
0
n
a
>
) (2.1)
Cho c
1
, c
2
, …, c
n
, …là dãy s
ố
d
ươ
ng tùy ý sao cho chu
ỗ
i
1
1
n
n
c
∞

=
∑
phân k
ỳ
.
G
ọ
i
n
K
=
1
1
n
n n
n
a
c c
a
+
+
−

a)
+) N
ế
u n > N,
n
K
δ

≥
v
ớ
i
δ
là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng thì chu
ỗ
i (2.1) h
ộ
i t
ụ
.
+) N
ế
u n > N, K
n
< 0 thì chu
ỗ
i (2.1) phân k
ỳ
.
b) (D

ấ
u hi
ệ
u Kummer d
ạ
ng gi
ớ
i h
ạ
n)
Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n ho
ặ
c vô h
ạ

n):
lim
n
x
K K
→∞
=

Khi
đ
ó n
ế
u K > 0 thì chu
ỗ
i (2.1) h
ộ
i t
ụ
.
K < 0 thì chu
ỗ
i (2.1) phân k
ỳ
.
2.1.2. Chứng minh
a)
+) Cho
n
K
=

1
1
n
n n
n
a
c c
a
+
+
−
0
δ
≥ >
(2.2) th
ỏ
a mãn
∀
n v
ớ
i
δ
là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng
tùy ý.

Nhân hai v
ế
c
ủ
a (2.2) v
ớ
i
1
0
n
a
+
>
. Ta có:
1 1 1
0
n n n n n
c a c a a
δ
+ + +
− ≥ >
(2.3)
⇒

1 1
0
n n n n
c a c a
+ +
− >

hay
1 1
0
n n n n
c a c a
+ +
> >
. Suy ra dãy
{
}
n n
c a
là dãy
đơ
n
đ
i
ệ
u
gi
ả
m và b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i b
ở
i 0 nên có gi

ớ
i h
ạ
n h
ữ
u h
ạ
n.
Ta có chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
1 1
1
( )
n n n n
n
c a c a
∞
+ +
=
−
∑
có t
ổ
ng riêng:
S

n
=
1 1
1
( )
n
k k k k
k
c a c a
+ +
=
−
∑
=
1 1
n n n n
c a c a
+ +
−


19
có gi
ớ
i h
ạ
n h
ữ
u h
ạ

n nên chu
ỗ
i
1 1
1
( )
n n n n
n
c a c a
∞
+ +
=
−
∑
h
ộ
i t
ụ
.
T
ừ
(2.3) theo d
ấ
u hi
ệ
u so sánh thì chu
ỗ
i
1
n

n
a
δ
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
suy ra chu
ỗ
i (2.1) h
ộ
i t
ụ
.
+) V
ớ
i n > N ta có:
n
K
=
1
1
n
n n
n
a
c c

a
+
+
−
0
≤
thì
1
1
n
n n
n
a
c c
a
+
+
≤


1 1 1
1
1
1
n n n n
n n n
n
a c c b
a c b
c

+ + +
+
⇔ ≥ = =
V
ớ
i
1 1
1
n
n n
n
b
c
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
.
Vì
1
1
n
n
c
∞
=
∑
phân k
ỳ
nên

1
n
n
b
∞
=
∑
c
ũ
ng phân k
ỳ

⇒

1
n
n
a
∞
=
∑
c
ũ
ng phân k
ỳ
.
b) T
ừ
gi
ả

thi
ế
t lim
n
n
K K
→∞
=
theo
đị
nh ngh
ĩ
a gi
ớ
i h
ạ
n
ε
∀
> 0 nh
ỏ
tùy ý,
∃
N sao
cho v
ớ
i
n N
∀ >
thì:

n
K K
ε
− <


n
K K K
ε ε
⇔ − < < +

+) Gi
ả
s
ử
K > 0 khi
đ
ó ch
ọ
n
ε
> 0
đủ
bé
để
cho K -
ε
= q > 0
Ta có K
n

> q > 0 v
ớ
i
n N
∀ >
khi
đ
ó theo cách ch
ứ
ng minh
ở
ph
ầ
n a) chu
ỗ
i
1
n
n
a
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.
+) T
ươ

ng t
ự
n
ế
u K < 0 ta ch
ọ
n
ε
> 0
đủ
bé
để
cho
0
K
ε
+ <

Ta có K
n
<
0
K
ε
+ <
v
ớ
i
n N
∀ >

khi
đ
ó theo cách ch
ứ
ng minh
ở
ph
ầ
n a)
chu
ỗ
i
1
n
n
a
∞
=
∑
phân k
ỳ
.

20
2.1.3. Nhận xét
1)
Đặ
t c
n
=1 (n= 1,2,…) khi

đ
ó ta th
ấ
y chu
ỗ
i
1
1
n
n
c
∞
=
∑
=
1
1
n
∞
=
∑
phân k
ỳ

và
n
K
=

1

1
n
n n
n
a
c c
a
+
+
−
=
1
1
1 1
n
n
a
a D
+
− = −
v
ớ
i D =
1
n
n
a
a
+


N
ế
u
lim
n
→∞
D
n
= D thì
1
lim 1
n
x
K K
D
→∞
= − =

Khi D > 1
⇒
K < 0 theo Kummer chu
ỗ
i (2.1) phân k
ỳ
.
Khi D < 1
⇒
K > 0 theo Kummer chu
ỗ
i (2.1) h

ộ
i t
ụ
.
Nh
ư
v
ậ
y ta nh
ậ
n
đượ
c d
ấ
u hi
ệ
u D’Alambert.
2)
Đặ
t c
n
= n (n = 1,2,…) khi
đ
ó ta th
ấ
y chu
ỗ
i
1
1

n
n
c
∞
=
∑
=
1
1
n
n
∞
=
∑
phân k
ỳ

và
n
K
=
1
1
n
n n
n
a
c c
a
+

+
− =
1
( 1) 1
n
n
n
a
n n R
a
+
− + = −
v
ớ
i R
n
=
1
( 1)
n
n
a
n
a
+
−


N
ế

u
lim
n
→∞
R
n
= R thì
lim
n
→∞
K
n
= K = R - 1
Khi R > 1
⇒
K < 0 theo Kummer chu
ỗ
i (2.1) phân k
ỳ
.
Khi R < 1
⇒
K > 0 theo Kummer chu
ỗ
i (2.1) h
ộ
i t
ụ
.
Nh

ư
v
ậ
y ta nh
ậ
n
đượ
c d
ấ
u hi
ệ
u Raabe.
3)
Đặ
t
ln
n
c n n
=
thì chu
ỗ
i
2 2
1 1
.ln
n n
n
c n n
∞ ∞
= =

=
∑ ∑
là chu
ỗ
i phân k
ỳ
theo d
ấ
u hi
ệ
u tích
phân.
Ta có:
n
K
=
1
1
n
n n
n
a
c c
a
+
+
−
= nln(n).
1
n

n
a
a
+
- (n+1)ln(n+1)
= n.ln(n).
1
n
n
a
a
+
- (n+1)ln[n(n+
1
n
)]
= nln(n).
1
n
n
a
a
+
- (n+1)ln(n) - ln
1
1
(1 )
n
n
+

+
= ln(n)[n(
1
n
n
a
a
+
- 1) - 1] - ln
1
1
(1 )
n
n
+
+

21
= B
n
- ln
1
1
(1 )
n
n
+
+
2.1.4. Ví dụ minh họa
•


Ví d
ụ
2.1. Kh
ả
o sát s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố
sau:
1
3 1
4 2
n
n
n
∞
=
+
−
∑


Gi
ả
i:
Ta có:
(
)
(
)
( )( )
( )
3 1 4 2
. 1
4 2 3 4
n
n n
K n n
n n
+ +
= − +
− +

=
( )
2
10
. 1
4 10 8
n
n n
n n

− +
− +

=
2
2
12 8
12 10 8
n
n n
− +
+ −


⇒

lim 1
n
n
K
→∞
= −

V
ậ
y chu
ỗ
i
đ
ã cho phân k

ỳ
theo d
ấ
u hi
ệ
u Kummer.
2.2. Dấu hiệu Bertrand
2.2.1. Định lí

Xét chu
ỗ
i
1
n
n
a
∞
=
∑
,(
0
n
a
>
) (2.4) v
ớ
i B
n
=ln(n)[n(
1

n
n
a
a
+
- 1) -1] = ln(n).(R
n
- 1)
Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n ho
ặ
c vô h
ạ
n):
lim

n
→∞
B
n
= B
Khi
đ
ó n
ế
u B > 1 thì chu
ỗ
i (2.4) h
ộ
i t
ụ
.
B < 1 thì chu
ỗ
i (2.4) phân k
ỳ
.
2.2.2. Chứng minh

Đặ
t
ln
n
c n n
=
thì chu

ỗ
i
2 2
1 1
ln( )
n n
n
c n n
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
phân k
ỳ
.
Ta có:

n
K
=

1
1
n
n n
n
a
c c
a
+

+
−
=
1
ln( ) ( 1)ln( 1)
n
n
a
n n n n
a
+
− + +

=
1
1
1
ln 1 1 ln 1
n
n
n
a
n n
a n
+
+
 
 
 
− − − +

 
 
 
 
 
 


22
=
1
1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1
n n
n n
B B
n n n
+
     
− + = − + − +
     
     

Do
đó:
lim
n
→+∞
n
K

=

lim
n
→+∞
(
1
n
B
−
) =
1
B K
− =

Từ đó:
- N
ếu K > 0 tức là B – 1 > 0 hay B > 1 theo Kummer chuỗi (2.4) hội tụ.
- N
ếu K < 0 tức là B - 1 < 0 hay B < 1 theo Kummer chuỗi (2.4) phân kỳ.
2.2.3. Nhận xét
Có th
ể xây dựng dấu hiệu Bertrand một cách trực tiếp nhưng dài và phức
t
ạp. Do vậy ta xây dựng nó gián tiếp thông qua dấu hiệu Kummer.
2.2.4. Ví dụ minh họa
• Ví dụ 2.2. Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
( )
3
1

1 !
n
n
n
∞
=
+
∑

Gi
ả
i:
Ta có:

1
ln 1 1
n
n
n
a
B n n
a
+
 
 
= − −
 
 
 
 

=
( )
( ) ( )
3
3
2 !
ln 1 1
1 ! 1
n n
n n
n n
 
 
+
− −
 
 
 
+ +
 
 
 

=
( )
( )
3
3
2
ln 1 1

1
n n
n n
n
 
 
+
− −
 
 
 
+
 
 
 
=
( )
4 3
3
2
ln 1 1
1
n n
n n
n
 
 
+
− −
 

 
 
+
 
 
 

=
( )
2
2
3
2
ln 2 1
1
n n
n n n
n
 
+
− − +
 
 
+
 
→ ∞
khi
n
→ ∞


2.3. Dấu hiệu Gauss
2.3.1. Định lí

Xét chu
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
1
n
n
a
∞
=
∑
, gi
ả
s
ử
t
ỷ
s
ố

1
n
n
a

a
+
bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c d
ướ
i d
ạ
ng:

1
n
n
a
a
+
=
2
n
n n
µ θ
λ
+ +

trong
đ

ó
λ
,
µ
là h
ằ
ng s
ố
,
n
θ
là
đạ
i l
ượ
ng b
ị
ch
ặ
n:
n
θ
≤
L v
ớ
i m
ọ
i n.
Khi
đ

ó n
ế
u
λ
> 1 ho
ặ
c
λ
= 1 và
µ
> 1 thì chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.
n
ế
u
λ
< 1 ho
ặ
c
λ
= 1 và
µ
≤

1 thì chu
ỗ
i
đ
ã cho phân k
ỳ
.

23
2.3.2. Chứng minh

Ta có:

1
2
lim lim
n
n n
n
a k
a n n
θ
λ λ
+
→+∞ →+∞
 
= + + =
 
 


Vì th
ế
, theo d
ấ
u hi
ệ
u D’Alambert thì:
- N
ế
u
λ
> 1, t
ứ
c là:

1
lim
n
n
n
a
a
+
→+∞
= D < 1
⇒
chu
ỗ
i h
ộ

i t
ụ
.
- N
ế
u
λ
< 1, t
ứ
c là:

1
lim
n
n
n
a
a
+
→+∞
= D > 1
⇒
chu
ỗ
i phân k
ỳ
.
Xét
λ
= 1. Áp d

ụ
ng d
ấ
u hi
ệ
u Raabe ta có:

1
1
n n
n
n
a
R n
a n
θ
µ
+
 
= − = +
 
 

Do
đ
ó:

lim lim
n
n

n n
R
n
θ
µ µ
→+∞ →+∞
 
= + =
 
 

T
ừ

đ
ó theo d
ấ
u hi
ệ
u Raabe thì:
- N
ế
u
µ
> 1 thì chu
ỗ
i phân k
ỳ
.
- N

ế
u
µ
< 1 thì chu
ỗ
i h
ộ
i t
ụ
.
- N
ế
u
µ
= 1. Áp d
ụ
ng d
ấ
u hi
ệ
u Bertrand ta có:

ln
ln ( 1) .
n n n
n
B n R
n
θ
= − =

Do
đ
ó :

lim
n
n
B
→+∞
=
ln
lim .
n
n
n
n
θ
→+∞
= 0
V
ậ
y theo d
ấ
u hi
ệ
u Bertrand chu
ỗ
i
đ
ã cho phân k

ỳ
.
2.3.3. Nhận xét
Nh
ư
v
ậ
y d
ấ
u hi
ệ
u Kummer là d
ấ
u hi
ệ
u t
ổ
ng quát nh
ấ
t c
ủ
a d
ấ
u hi
ệ
u
Raabe, D’Alambert và Bertrand. Và t
ừ
d
ấ

u hi
ệ
u Raabe, D’Alambert và Bertrand
ta t
ổ
ng h
ợ
p
đượ
c d
ấ
u hi
ệ
u Gauss. M
ỗ
i d
ấ
u hi
ệ
u
đề
u có th
ể
s
ử
d
ụ
ng
đố
i v

ớ
i m
ộ
t

24
s
ố
chu
ỗ
i nh
ấ
t
đị
nh nh
ư
ng ta th
ấ
y d
ấ
u hi
ệ
u Gauss m
ạ
nh h
ơ
n c
ả
. V
ớ

i d
ấ
u hi
ệ
u này
ta th
ấ
y xét chu
ỗ
i s
ố
h
ộ
i t
ụ
nhanh h
ơ
n.
2.3.4. Ví dụ minh họa
•

Ví d
ụ
2.3. Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
, phân k

ỳ
c
ủ
a chu
ỗ
i sau:

1
(2 1)!!
(2 )!!
p
n
n
n
+∞
=
 
−
 
 
∑
(p là tham s
ố
)
Gi
ả
i:
Ta có:
1
n

n
a
a
+
=
(2 1)!! (2 2)!!
.
(2 )!! (2 1)!!
p p
n n
n n
   
− +
   
+
   

=
(2 1)(2 3)!! (2 2)2 !!
.
2 (2 2)!! (2 1)(2 1)!!
p
n n n n
n n n n
 
− − +
 
− + −
 


=
(2 1)(2 3)!! (2 2).2 .(2 2)!!
.
2 (2 2)!! (2 1)(2 1)(2 3)!!
p
n n n n n
n n n n n
 
− − + −
 
− + − −
 

=
1
1
2 1
p
n
 
+
 
+
 

=
2 2
( 1) 1
1
2 1 2(2 1)

p p p
n n n
θ
−
 
+ + +
 
+ +
 
khi n
→
∞
.
Theo d
ấ
u hi
ệ
u Gauss, thì
N
ế
u p > 2 thì chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.
N

ế
u p < 2 thì chu
ỗ
i
đ
ã cho phân k
ỳ
.
(D
ấ
u hi
ệ
u Gauss là s
ự
t
ổ
ng h
ợ
p các d
ấ
u hi
ệ
u D’Alambert và Raabe).
2.4. Dấu hiệu Cauchy suy rộng

Nhi
ề
u khi g
ặ
p gi

ớ
i h
ạ
n
lim
n
→∞
n
n
a
mà ta không tính
đượ
c nh
ư
ng n
ế
u l
ấ
y c
ậ
n
trên c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n t
ứ
c là

lim
n
→∞
n
n
a
thì ta có th
ể
tính
đượ
c.
Đ
ó là n
ộ
i dung c
ủ
a d
ấ
u
hi
ệ
u Cauchy suy r
ộ
ng.
2.4.1. Định lí
Xét chu
ỗ
i s
ố
d

ươ
ng
1
n
n
a
∞
=
∑
, n
ế
u có
lim
n
→∞
n
n
a
= q thì
1) N
ế
u q < 1 chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.


25
2) N
ế
u q > 1 chu
ỗ
i
đ
ã cho h
ộ
i t
ụ
.
2.4.2. Chứng minh

1) Gi
ả
s
ử
q < 1 v
ớ
i
ε
> 0 c
ố

đị
nh th
ỏ
a mãn:

ε
< 1 - q.
Theo gi
ả
thi
ế
t
lim
n
→∞
n
n
a
= q suy ra
∃
N sao cho b
ắ
t
đầ
u t
ừ
N ta có b
ấ
t
đẳ
ng
th
ứ
c sau th
ỏ

a mãn:

1
1
0 ( )
N
N
a q
ε
+
+
≤ < +


2
2
0 ( )
N
N
a q
ε
+
+
≤ < +

…

0 ( )
n
n

a q
ε
≤ < +
v
ớ
i
q
ε
+
< 1

⇒

1 1
0 ( )
n n
i
i
i N i N
a q
ε
= + = +
≤ < +
∑ ∑

Ta có chu
ỗ
i
1
( )

n
n
q
ε
∞
=
+
∑
h
ộ
i t
ụ
vì có d
ạ
ng
1
n
n
q
∞
=
∑
(h
ộ
i t
ụ
v
ớ
i q < 1)
⇒


1
( )
n
i
i N
q
ε
= +
+
∑
h
ộ
i t
ụ
.
Theo d
ấ
u hi
ệ
u so sánh
⇒
chu
ỗ
i
1
i
i N
a
∞

= +
∑
h
ộ
i t
ụ
.
Ta th
ấ
y chu
ỗ
i
1
n
i
i N
a
= +
∑
là t
ổ
ng c
ủ
a n - N s
ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên c

ủ
a chu
ỗ
i
1
n
n
a
∞
=
∑

mà chu
ỗ
i
1
n
i
i N
a
= +
∑
h
ộ
i t
ụ

⇒
chu
ỗ

i
1
n
n
a
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.
M
ặ
t khác chu
ỗ
i
1
i
i N
a
∞
= +
∑
là ph
ầ
n d
ư
sau s

ố
h
ạ
ng th
ứ
N c
ủ
a chu
ỗ
i
1
n
n
a
∞
=
∑
(N < n)
⇒
chu
ỗ
i
1
n
n
a
∞
=
∑
h

ộ
i t
ụ
.
2) Gi
ả
s
ử
q > 1 v
ớ
i
ε
> 0 c
ố

đị
nh th
ỏ
a mãn 0 <
ε
< 1 - q. Khi
đ
ó
∃
M > 0 sao
cho v
ớ
i
∀
k > M lúc

đ
ó các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a dãy
k
n
a
th
ỏ
a mãn:
1
1
( ) 1
M
M
n
n
a q
ε
+
+
> − >

2
2
( ) 1

M
M
n
n
a q
ε
+
+
> − >

…
( ) 1
k
k
n
n
a q
ε
> − >