ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




CHU VĂN THỊNH


NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN
YẾU TRONG GẦN ĐÚNG 1 PHOTON
e
e
m
m n n g® + + +
%





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC





Hà Nội – 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Chu Văn Thịnh


NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU TRONG
GẦN ĐÚNG 1 PHOTON
e
e
m
m n n g® + + +
%


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn





Hà Nội – 2011

MỤC LỤC


Mở đầu
1
Chương 1. Quá trình phân rã muon
4
1.1. Yếu tố ma trận của quá trình phân rã
e
e  

  

4
1.2. Tốc độ phân rã của quá trình
e
e  

  

10
Chương 2. Đóng góp của bổ chính tương tác điện từ cho phân rã muon
13
2.1. Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá trình


e
e   

   

13

2.2. Phương pháp
min

cho quá trình
e
e   

   

17
2.3. Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho quá trình


e
e   

   

24
Kết luận
33
Tài liệu tham khảo
34
Phụ lục A. Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên
36
Phụ lục B. Vận dụng vào mô hình tự tương tác của trường vô hướng


3
int

Lg


39

1
MỞ ĐẦU

Quá trình phân rã muon
e
e
m
m n n® + +
%
, xảy ra do tương tác yếu là một quá
trình phân rã điển hình đã được thực nghiệm và lý thuyết nghiên cứu từ lâu. Việc
tính thêm sự đóng góp của tương tác điện từ vào quá trình này
e
e
m
m n n g® + + +
%
có ý nghĩa xem xét quá trình phân rã với sự hấp thụ và bức
xạ photon vì các hạt tham gia phân rã có mang điện tích. Bài toán này có ý nghĩa
trong việc xây dựng lý thuyết thống nhất điện yếu[5; 6; 15]. Các lượng tử của
trường điện từ là các photon với khối lượng nghỉ bằng không, nên phân kỳ hồng
ngoại[17] sẽ xuất hiện trong tất cả các quá trình vật lý mà ta xem xét. Mục đích chủ
yếu của luận văn này là giới hạn nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần
đúng một photon thực
e

e
m
m n n g® + + +
%
, và đi sâu vào các phương pháp khử
phân kỳ hồng ngoại khác nhau: Phương pháp
min
l
[11; 17] và phương pháp điều
chỉnh thứ nguyên, đồng thời tiến hành so sánh các kết quả thu được.
Nội dung luận văn Thạc sĩ này bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận,
tài liệu dẫn và hai phụ lục, chúng được trình bày theo trình tự sau:

Chương 1. Ta nghiên cứu quá trình phân rã
e
e
m
m n n® + +
%
do tương tác yếu
gây nên, và tính tốc độ phân rã của quá trình này. Chương này gồm hai mục:
Mục 1.1. ta viết Hamiltonien tương ứng
e
e
m
m n n® + +
%
, vẽ sơ đồ phân rã ở
bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu G, viết yếu tố S –
ma trận. Từ yếu tố S – ma trận rút ra được biểu thức cho biên độ bất biến của phép

dời chuyển
()
fi
T
m
ứng với quá trình kể trên.
Mục 1.2. ta tính tốc độ phân rã dựa trên công thức tổng quát và biểu thức biên
độ của phép dời chuyển, tương ứng với giản đồ Feynman đã tìm được ở mục 1.1.
2
Chương 2. Dành cho việc tính toán thêm bổ chính ở bậc thấp nhất của tương
tác điện từ cho quá trình phân rã
e
e
m
m n n® + +
%
gây nên bởi tương tác yếu, có
nghĩa trong gần đúng một photon thực mềm
e
e
m
m n n g® + + +
%
. Chương này
gồm ba mục:
Mục 2.1. Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá trình
e
e
m
m n n g® + + +

%
bằng cách tổng quát hóa các kết quả đã nhận được ở mục 1.2.
của chương 1.
Mục 2.2. Dành cho việc giới thiệu phương pháp
min
l
và vận dụng nó vào việc
tách phân kỳ hồng ngoại trong biên độ của phép dời chuyển đã tìm được ở mục 2.1.
Mục 2.3. Chúng tôi giới thiệu phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và áp dụng
nó cho phân kỳ hồng ngoại trong bài toán này.
Phần kết luận tóm tắt các kết quả đã nhận được, đồng thời tiến hành so sánh
các biểu thức tìm được bằng hai cách tách phân kỳ khác nhau: Phương pháp
min
l
[11, 17], Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và thảo luận hướng nghiên cứu
bài toán này trong tương lai.
Phụ lục A. Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên
và dẫn các tích phân cần thiết được tính trong tọa độ cầu của không gian (n – 1)
chiều.
Phụ lục B. Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vào mô hình tự
tương tác của trường vô hướng
3
int
Lgj=
.
Trong bản luận văn này chúng ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c==h
,
và metric giả Euclide (metric Feynman), tất cả bốn thành phần vector 4-chiều ta
chọn là thực

0
( , )A A A=
r
gồm một thành phần thời gian và các thành phần không
gian, các chỉ số
(0,1,2, 3)m=
, và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến
của vector 4-chiều, ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên.

0 0 1 2 3
( , ) ( , , , )
def
A A A A A A A A
m
= = =
r
.
3
Các vector phản biến là tọa độ

0 1 2 3
( , , , ) ( , )x x t x x x y x z t x
m
= = = = = =
r
,
Thì các vector tọa độ hiệp biến

0 1 2 3
( , , , ) ( , )x g x x t x x x y x z t x

m
m mn
= = = = - = - = - = -
r
,
Vector năng xung lượng

( , , , ) ( , )
x y z
p E p p p E p
m
==
r
.
Tích vô hướng của hai vector được xác định

00
AB g A A A A A B AB
m n m
mn m
= = = -
r
r
.
Tensor metric có dạng

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

gg
mn
mn
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
==
ç
÷
ç÷
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-

÷
ç
èø
.
Chú ý: tensor metric là tensor đối xứng
gg
mn nm
=
và
gg
mn
nm
=
. Thành phần của
vector hiệp biến được xác định bằng cách sau:

0
0
,,
k
k
A g A A A A A
n
m mn
= = = -
.
Các chỉ số hy lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.











4
Chƣơng 1
QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ MUON
Trong chương này chúng ta xem xét quá trình phân rã do tương tác yếu gây
nên, và tính tốc độ phân rã ở bậc thấp nhất của hằng số tương tác yếu G. Với góc độ
phương pháp luận ta xét cụ thể quá trình phân rã hạt muon, mà nó đã được nghiên
cứu rất kỹ cả lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, và kết quả thu được phù hợp với
sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man cho tương tác yếu của các hạt tích điện [6]. Quá
trình phân rã diễn ra theo sơ đồ sau đây:

e
e
m
m n n® + +
%
(1.1)
trong đó
m
-muon; e - electron;
e
n
%
- phản neutrino electron;

m
n
- neutrino muy.
Phương trình này thỏa mãn các định luật bảo toàn: xung lượng, năng lượng,
điện tích, tích Baryon, tích Lepton.
Một số đặc trưng của các hạt trên như[1]:
Khối lượng:
0,5 , 105,66 , 0
e
e
m Mev m Mev m m Mev
m
m n n
= = » »
%
.
Spin: tất cả bốn hạt trên đều có spin bằng
1
2
J =
.
Điên tích: điện tích của electron bằng điện tích của muon và bằng – e, còn các
hạt neutrino không tích điện.
Tích lepton L:
1, 1
e
e
L L L L
m
m n n

= = = = -
%
.

1.1. Yếu tố ma trận của quá trình phân rã
e
e
m
m n n® + +
%

Tất cả các quá trình có sự tham gia của tương tác yếu đều được mô tả bằng lý
thuyết (V – A)
1
tương tác giữa các dòng – dòng với hằng số tương tác chung G. Cụ
thể trong lý thuyết (V – A) quá trình phân rã (1.1) được mô tả bởi Hamiltonien
tương tác như sau:

1
Chữ (V-A) có nghĩa là cấu trúc (vector-vector trục) của dòng thực hiện tương tác yếu.
5

( )( )
(
( )
( )
)
int,0 5 5
55
( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )

2
( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )
= + + +
+ + +
e
e
e
e
G
H x x x x
x x x x
m
m
l
n
l m n
l
m
l n n
y g g y y g g y
y g g y y g g y
(1.2)
trong đó G là hằng số tương tác yếu. Thừa số
( )
1/ 2
đưa vào để duy trì định nghĩa
đầu tiên của đại lượng G, và G không chứa
5
g
. Còn

()
e
x
n
y
là hàm sóng chỉ việc hủy
hạt
e
n
tức sinh hạt
e
n
%
;
()x
m
y
là hàm sóng của hạt muon; còn
( ), ( )
e
xx
m
n
yy
là hàm
liên hợp Dirac chỉ việc sinh e,
m
n
. Hay viết dưới dạng gọn hơn là tích các dòng như
sau:


( )
int .0 ( ) ( )
( ) ( ) .
2
e
G
H l x l x h c
l
ml
+
=+
. (1.3)
trong đó h.c là liên hợp ecmite của
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ; ,
ee
l x l x l l
l
m l m
+
là dòng lepton muon và
dòng electron được xác định:

( ) 5
( ) ( ) (1 ) ( ), ,
l
ll
l x x x l e
ll

n
y g g y m= + =
(1.4)
Biểu thức cho yếu tố S – ma trận tương ứng với phân rã (1.1) sẽ là[2]:
{ }
4
int
expS T i H d x=-
ò
, trong đó Hamiltonien tương tác được xác định bằng
công thức (1.2) hay (1.3). Khai triển S – ma trận theo hằng số tương tác G, ta có:

( )
( ) (1) (2)
1
44
int,0 ( ) ( )
1
1 1 ( ) ( ) .
2
n
n
n
e
S S S S
G
i H d i d x l x l x h c
l
ml
=¥

=
+
= = + + + =
= - + = - + +
å
òò
. (1.5)

Vì chúng ta tạm bỏ qua tương tác điện từ, nên các toán tử trong
( ) ( )
,
e
ll
m
chỉ tác dụng
lên trạng thái electron (muon), và ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng
số tương tác yếu G, nên yếu tố ma trận có thể viết dưới tích của hai thừa số sau:

(1) 4
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
; ; , ; ; ,
2
e
iG
q s q s q s S p s d x q s q s q s l l p s
m
= - =
ò

6


4
3 3 ( ) 1 1 2 2 ( )
( ) , ; ( ) 0
2
e
iG
d x q s l x p s qs q s l x
l
ml
+
=-
ò
. (1.6)
Công thức (1.6) tương ứng với giản đồ Feynman ở bậc thấp nhất của lý thuyết
nhiễu loạn được trình bày ở (Hình 1.1). Muon với xung lượng p và spin s, phân rã
thành
m
n
- neutrino muy với xung lượng q
3
và spin s
3
,
e
n
%
- phản hạt neutrino electron
với xung lượng q
2

và spin s
2
, electron với xung lượng q
1
và spin s
1
.







Toán tử trường
()xy
được xác định bằng [5]:

{ }
1
2
2
3
3
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
(2 )
ikx ikx

s s s s
s
m
x d k a k u k e b k k e
E
yn
p
-+
=
æö
÷
ç
÷
=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
å
ò
(1.7)
trong đó các toán tử, sinh hủy phản hạt được ký hiệu là: b
+
và b nó tuân theo các
biểu thức phản giao hoán như các toán tử a
+
và a ( a
+

và a là các toán tử sinh, hủy
hạt fecmion ):

''
''
(3)
' ' '
( ) ( ') ( ') ( ) 0
( ) ( ') ( ') ( ) 0
( ) ( ') ( ') ( ) ( ' )
s s s s
s s s s
s s s s ss
a k a k a k a k
a k a k a k a k
a k a k a k a k k kdd
+ + + +
++
+=
+=
+ = -
(1.8)
Tính toán các yếu tố dưới đấu tích phân của biểu thức (1.6):
v


Hình 1.1
p,s



q
3
,s
3
G
e
q
1
,s
1
q
2
,s
2
e
v

7

3
3
1/ 2
( ' )
33
3 3 ( ) 3
3 0 0
', '
3
1
( ) , ' '

(2 ) ' '
ix q p
ss
mm
q s l x p s d p d q e
pq
mn
ml
p
-
+
éù
êú
=´
êú
êú
ëû
å
ò


3
()
()
3 3 5 3 3 ' 3 '
( ' , ' ) (1 ) ( ', ') ( ' ) ( ') , ,
ss
q s p s q s a q a p p s
m
n

m
ml
n g g m
+
´+
(1.9)

12
12
1/ 2
( ' ' )
33
1 1 2 2 ( ) 1 2
3 0 0
''
12
1
; ( ) 0 ' '
(2 ) ' '
ix q q
e
e
ss
mm
q s q s l x d q d q e
qq
l
n
p
+

éù
êú
=´
êú
êú
ëû
å
ò


12
()
()
1 1 5 2 2 1 1 2 2 ' 1 ' 2
( ' , ' ) (1 ) ( ' ' ) ; ( ' ) ( ' ) 0
e
e
e s s
e q s q s q s q s a q b q
n
l
g g n
+
+
´+
. (1.10)
Khi tính toán chúng ta coi hai neutrino có khối lượng nhỏ nào đó xấp xỉ bằng
nhau (ký hiệu là
m
n

) và khác không. Bằng cách này ta có thể vẫn sử dụng cách tái
chuẩn hóa thông thường và các toán tử chiếu. Trong kết quả cuối cùng ta cho khối
lượng của neutrino dần đến không.
Ta sử dụng các biểu thức giao hoán (1.8) đối với các toán tử sinh, hủy để tính
toán các yếu tố ma trận:

''
(3) (3)
' ' '
0 ( ') , 0 ( ') ( ) 0
0 | 0 ( ') 0 ( ) ( ') 0 ( ')
s s s
ss s s ss
a p p s a p a p
p p a p a p p pd d d d
+
+
==
= - - = -
. (1.11)
nên

3 3 3
33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 ' 3 ' 3 ' 3 '
( ) ( )
( ) ( )
3 ' 3 '

( ' ) ( ') , 0 ( ) ( ' ) ( ') ( ) 0
0 ( ) ( ' ) 0 0 ( ') ( ) 0
s s s s s s
s s s s
q s a q a p p s a q a q a p a p
a q a q a p a p
m m m
mm
n n n
m m m
nn
mm
++
+
+
+
=
=


'
33
()
(3) ( ) (3)
3 3 '
( ' ). ( ').
ss
SS
q q p p
m

n
m
d d d d= - -
(1.11a)
Tương tự

1 2 1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) (3) (3 )
1 1 2 2 ' 1 ' 2 ' 1 1 ' 2 2
; ( ' ) ( ' ) 0 ( ' ). ( ' ).
ee
ee
s s S S s s
q s q s a q b q q q q q
nn
d d d d
+
+
= - -
(1.11b)
thay (1.11a) và (1.11b) vào (1.9) và (1.10) ta được:

3
1
2
()
3 3 ( ) 3 3 5
3 0 0
3

1
( ) , ( , ) (1 ) ( , ) .
(2 )
ix q p
v
mm
q s l x q s q s p s e
pq
m
m l m l
n g g m
p
-
+
éù
êú
=+
êú
êú
ëû
(1.12)
8

12
1
2
()
1 1 2 2 ( ) 1 1 5 2 2
3 0 0
12

1
; ( ) 0 ( , ) (1 ) ( . ) .
(2 )
ix q q
e
ee
mm
q s q s l x e q s q s e
qq
ll
n
g g n
p
+
éù
êú
=+
êú
êú
ëû
(1.13)
thay phương trình (1.12), (1.13) vào phương trình (1.6) và lấy tích phân theo d
4
x ta
thu được biểu thức yếu tố S – ma trận ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn,
tương ứng với quá trình phân rã điện yếu biểu diễn tại (Hình 1.1) như sau:

(1) 4
1 1 2 2 3 3 3 3 ( ) 1 1 2 2 ( )
; ; , ( ) , ; ( ) 0

2
e
iG
q s q s q s S p s d x q s l x p s q s q s l x
l
ml
+
= - =
ò


1/ 2
2
(4)
1 2 3
2 0 0 0 0
1 2 3
1 1 5 2 2 3 3 5
1
()
4
2
( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ).
e
e
m m m
iG
q q q p
q q q p
e q s q s q s p s

mn
l
ml
d
p
g g n n g g m
éù
êú
= - + + - ´
êú
êú
ëû
´ + +
(1.14)
mặt khác:

(1) 4 (4)
(2 ) ( ). .
f i fi
f S i i p p N Tpd=-
. (1.15)
trong đó:

1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2
11
.
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
if
if
N

EEpp
=
ÕÕ
(1.16)
So sánh (1.14) và (1.15) suy ra được biểu thức cho biên độ của phép dời
chuyển bất biến T cho phân rã muon.
1
2
,0 1 1 5 2 2 3 3 5
4
( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ).
2
fi e e
G
T m m m e q s q s q s p s
l
m n m m
g g n n g g m
éù
= - + +
êú
ëû
(1.17)
Tính bình phương biên độ của phép dời chuyển T (1.17), lấy tổng spin trạng
thái cuối và lấy trung bình các spin trạng thái đầu:

( ) ( )
( )
1 2 3
2

2
22
,0 1 1 5 2 2
, , ,
2
3 3 5
8 ( , ) (1 ) ( , )
( , ) (1 ) ( , )
fi e e
Spins s s s s
T m m m G e q s q s
q s p s
l
mn
ml
g g n
n g g m
= + ´
´+
åå
. (1.18)
Để tính (1.18) trước tiên ta tính các biểu thức sau đây:
9
( ) ( )
( )
( )
( )
*
0
1 1 5 2 2 1 1 5 2 2

0
2 2 5 1 1
00
2 2 5 1 1
( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )
( , ) (1 ) ( , )
( , ) (1 ) ( , )
ee
e
e
e q s q s e q s q s
q s e q s
q s e q s
ll
l
l
g g n g g g n
n g g g
n g g g g
+
+
+
+ + + +
+
+ = +
=+
=+


( )

00
2 2 5 1 1
( , ) (1 ) ( , )
e
q s e q s
l
n g g g g
+
=+
, (1.19)
và
4
11
1
( ) ( ) ,
rr
r
r
qq
a t at
e w w d
=
=
å
(1.20)
( )
12
3
2
1 1 5 2 2

,0
( , ) (1 ) ( , )
e
ss
e q s q s
l
l
g g n
=
+=
åå

( )( )
12
3
*
1 1 5 2 2 1 1 5 2 2
, , 0
( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )
ee
ss
e q s q s e q s q s
lr
lr
g g n g g n
=
= + +
åå

( )

( )
( )
( )
12
34
1 1 5 2 2 2 2 5 1 1
, , 0 , , , 1
( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )
ee
ss
e q s q s q s e q s
lr
a b d e
ab de
l r a b d e
g g n n g g
==
= + +
å å å
( )
( )
( )
12
34
1 1 5 2 2 2 2 5 1 1
, , , ,
( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )
ee
ss
e q s q s q s e q s

lr
a b d e
ab de
l r a b d e
g g n n g g
æö
÷
ç
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
ç
÷
èø
å å å å
( ) ( )
1
34
2
1 1 5 5 1 1
, , , ,
( , ) (1 ) (1 ) ( , )
2
s
qm
e q s e q s
m

lr
n
ae
ab de
l r a b d e
n
bd
g g g g
æö
-+
/
÷
ç
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ååå

1
34
2
1 1 5 5 1 1
,,
( , ) (1 ) (1 ) ( , )

2
s
qm
e q s e q s
m
lr
n
ae
l r a e
n
ae
g g g g
æö
-+
/
÷
ç
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ååå

3 4 4
21

1 5 5 1
, , , 1
( ) (1 ) (1 ) ( )
22
rr
e
r
r
e
q m q m
qq
mm
lr
n
at
l r a e t
n
ae et
e w g g g g w
=
æ ö æ ö
- + +
//
÷÷
çç
÷÷
çç
= + +
÷÷
çç

÷÷
÷÷
çç
è ø è ø
ååå

34
21
55
,,
(1 ) (1 )
22
e
e
q m q m
mm
lr
n
at
l r a t
n
at
d g g g g
æö
- + +
//
÷
ç
÷
ç

= + +
÷
ç
÷
÷
ç
èø
åå

1
5 2 5 1
4 (1 )( ) (1 )( )
ee
m m Tr q m q m
lr
nn
g g g g
-
êú
éù
= + - + + +
//
êú
êú
ëû
ëû

10

1

5 2 1
2 4 (1 ) ( )
ee
m m Tr q q m
lr
n
g g g
-
êú
éù
= - + +
//
êú
êú
ëû
ëû
. (1.21)
( ta đã thay
2
55
(1 ) 2(1 )gg+ = +
và m
v
= 0 )
2
2
5 2 1 4 3
2 (1 ) ( ) (1 ) ( ) .
fi e
Spi ns

T G Tr q q m Tr q p m
lr
l r m
g g g g g g
éù
éù
= + + + +
/ / / /
êú
êú
ëû
ëû
å
(1.22)
Tính vết trong biểu thức (1.22), ta cần áp dụng công thức sau:
Vết của tích một số lẻ các ma trận Dirac thì bằng 0

55
32 ( . )( . ) ( . )( . ) ,
32 ( . )( . ) ( . )( . ) ,
Tr a b Tr c d a c bd ad bc
Tr a b T r c d a c bd a d bc
lr
lr
lr
lr
g g g g
g g g g g g
éù
éù

éù
//
=+
//
êú
êú
êú
ëû
ëû
ëû
éù
éù
éù
//
=-
//
êú
êú
êú
ëû
ëû
ëû
(1.23)

5
0Tr a b Tr c d
lr
lr
g g g g g
éù

éù
//
=
//
êú
êú
ëû
ëû
.
với quy ước
0123
1e =+
, chúng ta có

( ) ( )
4Tr g g g g g g
l n r s mn rs mr ns ms nr
g g g g = - +
,

( )
5
4Tr i
m n r s mnrs
g g g g g e=
. (1.24)
và đồng thời sử dụng hệ thức

22
l arb b a s b

l srt s t a t
e e d d d d=-
(1.25)
Ta thu được kết quả

2
( ) 2
2 1 3
1
64 ( )( )
2
fi
Spins
T G pq q q
m
=
å
. (1.26)
Ta sẽ sử dụng biểu thức biên độ dời chuyển (1.26) để tính tốc độ phân rã cho
quá trình (1.1) trong mục 1.2.
1.2. Tốc độ phân rã của quá trình
e
e
m
m n n® + +
%

Công thức tổng quát để tính tốc độ phân rã có dạng [5]:
11


( )
33
2
(4)
1
34
1
1 1 1
W
2 2 2
(2 )
n
f i fi
n
Spins
an
d p d p
p p T
E E E
m
d
t
p
-
= = -
å
ò
. (1.27)
trong đó
a

E
là năng lượng của hạt ban đầu phân rã,
12
,
n
E E E
và
12
, ,
n
p p p

là năng lượng và xung lượng của các hạt sản phẩm của quá trình phân rã;
;fi
pp
là tổng xung lượng cuối và xung lượng đầu. Lưu ý
( )
3
/
ii
d p E
là đại lượng bất
biến Lorentz. Còn
fi
T
chính là biên độ bất biến mà nó cần tính theo giản đồ
Feynman tương ứng (Hình 1.1).
Áp dụng cho quá trình phân rã
e
e

m
m n n® + +
%
được diễn tả trên
(Hình 1.1) thay (1.26) vào (1.27) ta có:

3 3 3
2
(4)
1 2 3
0 1 2 3 2 1 3
5 0 0 0 0
1 2 3
1
( )( )( ).
2 2 2
d q d q d q
G
W q q q p pq q q
p q q q
m
d
t
p
= = + + -
ò
(1.28)
Ta lấy tích phân theo các xung lượng
2
q

, và
3
q
.
Áp dụng công thức tính tích phân sau đây cho (1.28):

3 3 3
(4)
1 2 3
3 1 2 3 1 2
1 2 3
( ) ( )
2 2 2
d p d p d p
J P p p p f p p
E E E
dº - - - =
ò


4 4 0 0 0 0 2 2
2 3 2 2 3 2 1
( ) ( ) ( ) ( )d p d p Q p p p Q p md
éù
= Q - Q Q - - ´
êú
ëû
ò



2 2 2 2 2
2 2 3 3 2 2
( ) ( ) ( )p m p m f Qp mdd´ - - -
. (1.29)
trong đó ta đưa vào vector bốn chiều
Q
được định nghĩa như sau:

3
Q P p
m m m
=-

đặt
1
p q P-=
chúng ta thu được:

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
3
2
2
00
1
0 1 1
4 0 0
1

2
1 1 1 1 1
1
.
24 2
.2
dq
G
W p q p q
pq
p p q q p q p q pq
m
t
p
éù
= = Q - Q -
êú
êú
ëû
é ùé ù
- - + -
ê úê ú
ë ûë û
ò
. (1.30)
Chúng ta tiến hành tính toán trong hệ nghỉ của muon, hơn nữa chúng ta sẽ bỏ qua
khối lượng nhỏ của electron để có:
12

0 3 2

1 0 1
, , ,p m q q E d q d E dE
m
= = = = W

Hàm
Q
giới hạn vùng lấy tích phân để

( ) ( )
2
2
0
20
mE
m E E m m E
m
m m m
í
ï
->
ï
ï
ì
ï
- - = - >
ï
ï
î


Điều đó có nghĩa là năng lượng cực đại của electron là
2
m
m
bằng một nửa
năng lượng tổng cộng ban đầu. Sau khi lấy tích phân theo góc đặc, tốc độ phân rã
trở thành

2
2
2
0
3
0
1
(3 4 ).
12
m
Gm
W E dE m E
m
m
m
m
t
p
= = -
ò
(1.31)
Sau khi lấy tích phân theo dE trong (1.31) ta thu được công thức tốc độ phân

rã như sau:

25
0
3
.
192
Gm
W
m
p
=
(1.32)
Như vậy chúng ta đã tìm được công thức để cho tốc độ phân rã của quá trình
phân rã
e
e
m
m n n® + +
%
, gây nên bởi tương tác yếu (1.32) là một giá trị hữu hạn.












13
Chƣơng 2
ĐÓNG GÓP CỦA BỔ CHÍNH TƢƠNG TÁC ĐIỆN TỪ CHO PHÂN RÃ
MUON
2.1. Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá
trình
e
e
m
m n n g® + + +
%

Trong chương 1, ta đã tính phần đóng góp vào quá trình phân rã

e
e
m
m n n® + +
%
, từ tương tác yếu, trong gần đúng bậc nhất (bậc một) theo G –
hằng số tương tác yếu, và đã thu được biểu thức hữu hạn cho tốc độ phân rã. Các
hạt tham gia quá trình
e
e
m
m n n® + +
%
có

m
và
e
mang điện. Chính vì vậy ta phải
kể thêm phần đóng góp của tương tác điện từ, có nghĩa các hạt tích điện trong quá
trình phân rã, đồng thời lại tham gia tương tác với trường bức xạ điện từ.
Hamintonian tương tác điện từ
int
em
H J A
mm
=
, trong đó dòng điện tích
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e
J x ie x x ie x e x
m m m m
y g y m g==
. Việc kể thêm đóng góp của bức xạ hãm
(bức xạ và hấp thụ photon) sẽ làm các biểu thức biên độ bất biến T của phép dời
chuyển và biểu thức cho tốc độ phân rã xuất hiện phân kỳ hồng ngoại [13,17], ở
vùng năng xung lượng thấp. Các photon thực cũng như hạt ảo có năng xung lượng
rất nhỏ so với năng xung lượng của hạt tham gia quá trình phân rã, thì người ta coi
chúng là photon ” mềm”.
Phân kỳ hồng ngoại liên quan trực tiếp đến các trường mà lượng tử của nó có
khối lượng nghỉ bằng không. Ví dụ, như photon trong QED, graviton trong hấp dẫn
lượng tử Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green,
mà còn ở các yếu tố ma trận, nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý
thuyết trường lượng tử. Khó khăn này chúng ta đã gặp phải ngay cả khi nghiên cứu
các bài toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học

cổ điển [9]. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng: Sự bức xạ hay hấp thụ một
photon có xác suất lớn hơn sự bức xạ hay hấp thụ hai, hay một số lượng lớn các
photon [4]. Chính vì vậy trong luận văn này ta mới chỉ tính đóng góp bổ chính của
14
tương tác điện từ vào quá trình phân rã hạt muon trong gần đúng một photon thực
mềm.
Việc tách phân kỳ hồng ngoại trong biểu thức của biên độ của phép dời
chuyển ở đây được tiến hành đồng thời bằng hai cách: phương pháp
min
l
[11, 17] và
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên.
Trong chương này ta tính đến biên độ của phép dời chuyển tương ứng với quá
trình phân rã điện yếu, xảy ra đồng thời do hai tương tác: tương tác yếu và tương tác
điện từ. Đây là bài toán rất phức tạp, trong giới hạn bản luận văn này ta chỉ giới hạn
tương tác điện yếu trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số
tương tác yếu (G) và gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác điện từ (e), đồng
thời ta chỉ xem xét các photon thực “mềm”. Giản đồ Feynman tương ứng với phân
rã điện yếu muon trong gần đúng bậc nhất như đã trình bày, có thể biểu diễn trong
(Hình 2.1). Cụ thể, quá trình phân rã có thể viết như sau:

e
e
m
m n n g® + + +
%
. (2.1)












Các photon thực được hấp thụ hay bức xạ đều liên quan tới dòng muon –
electron. Biên độ dời chuyển tương ứng với hai giản đồ (Hình 2.1) của quá trình
(2.1), có dạng sau:
Hình 2.1


k



p
1



q
2
G
e
p
2
q

1
e




k



p
1


q
2

G
e
p
2

q
1
e


15

1

, 5 5
22
1
( (1 ) ( ) )( (1 ) )
()
2
fi e
p k m
G
T e e
p k m
m
l
g m l
m
n g g e m g g n
ớ
ổ
ù
-+
ù
ỗ
ù
ỗ
= + + +
/
ỡ
ỗ
ỗ
ù


ỗ
ù
ố
ù
ợ


*
2
55
22
2
( (1 ) )( ( ) (1 ) )
()
e
e
e
p k m
ee
p k m
l
ml
n g g m e g g n
ử
++
ữ
ữ
+ + + +
/

ữ
ữ
ữ
+-
ứ


1
55
22
1
( (1 ) ( ) )( (1 ) )
()
e
p k m
Ee
p k m
m
l
ml
m
mg g e n n g g
ổ
-+
ỗ
ỗ
+ + + +
/
ỗ
ỗ


ỗ
ố


*
2
55
22
2
( (1 ) )( ( ) (1 ) )
()
e
e
e
p k m
v v e e
p k m
l
ml
mg g e g g
ửỹ
ù
++
ữ
ù
ữ
+ + +
/
ý

ữ
ữ
ù
ữ
+-
ứ
ù
ỵ
. (2.2)
trong ú
*
vee
//
l cỏc vector phõn cc ca photon
Vit gn li di dng:

1
, 5 5
22
1
*
2
55
22
1
( (1 ) ( ) )( (1 ) )
()
2
( (1 ) )( ( ) ( (1 ) ) .
()

fi e
e
e
e
p k m
G
T e e
p k m
p k m
e e h c
p k m
m
l
g m l
m
l
ml
n g g e m g g n
n g g m e g g n
ớ
ổ
ù
-+
ù
ỗ
ù
ỗ
= + + +
/
ỡ

ỗ
ỗ
ù

ỗ
ù
ố
ù
ợ
ỹ
ử
ù
++
ữ
ù
ữ
+ + + +
/
ý
ữ
ữ
ù
ữ
+-
ứ
ù
ỵ
. (2.3)
h.c thay cho phn liờn hp ecmit ca s hng ng trc.


, 2 2 5 1 1 2 2 5 1 1
1
*
2
2 2 2 2
12
( ( , ) (1 ) ( , ))( ( , ) (1 ) ( , ))
2




( ) ( )
fi e
e
e
G
T q s p s e p s q s
p k m
p k m
e
p k m p k m
l
g m l
m
m
n g g m g g n
ee
Â
= + +

ổử
-+
++
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
//
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- - + -
ữ
ỗ
ốứ
. (2.4)
s dng:

* * *
2 2 2
( ) ( ) 2 .
ee
p m m p pe e e+ = - +
/ / /
(2.5)
mt khi lng
2 2 2 2

12
,
e
p m p m
m
==
, ta b qua cỏc giỏ tr

k
trong t s ca
(2.4), v xột trong trng hp photon mm
22
11
0 , ( ) 2k p k m p k
m
đ - - =

v
22
2 2 2
( ) 2p k m p k+ - =
ta thu c:
16

*
21
, ,0 ,0
21

()


em
fi fi fi
pp
T T e T J
p k p k
r
gr
ee
ổử
//
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ốứ
, (2.6)
T
fi,0
c xỏc nh nh cụng thc (1.17)

21
21


em
pp
Je
p k p k
rr
r
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
(2.7)
Chỳng ta nhn thy rng biờn
,fi
T
g
cha hai tha s: tha s th nht l
biờn ca phộp di chuyn khụng cú bc x photon, cũn tha s th hai l dũng
ca phộp di chuyn
em
J
r

. Biu thc cho
em
J
r
l dng biu thc duy nht tha
món phng trỡnh liờn tc
0kJ =
cú cc im ti
0k =
, v nú l nguyờn nhõn ca
phõn k hng ngoi.
Bỡnh phng biu thc (2.6), ly tng theo cỏc trng thỏi Spin cui, trung bỡnh
theo trng thỏi Spin u, v tng cỏc trng thỏi phõn cc ca photon, ta cú:

2
*
2
2
2
21
, ,0
,
21


fi fi
Spin phancu c Spin phancuc
pp
T T e
p k p k

g
ee
ổử
//
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ốứ
ồ ồ ồ
(2.8)
p dng cụng thc tc phõn ró (1.27) cho quỏ trỡnh (2.1), ta thu c:
3 3 3
23
2
(4)
1 2 2
1 2 2 1 ,
0 5 0 0 0 3
,
1 1 2 2 0
( ) ,
2 (2 ) 2 2 2 2 (2 )
fi

Spin
d q d q d p
G d k
W q q p p k T
p q q p k
g
a
d
pp
= + + - +
ồ
ũ

(2.9)
trong ú
1a =
l ch s phõn cc ca photon.
S dng (2.8), suy ra

2
*
3
2
21
0
3
21
0

.


2 (2 )
phancuc
pp
dk
W W e
p k p k
k
ee
p
ớỹ
ùù
//
ùù
=-
ỡý
ùù
ùù
ợỵ
ồ
ũ
(2.10)
Vic ly tng tt c cỏc trng thỏi phõn cc ca photon, ta thc hin nh sau:

**
2 1 2 1
1
2 1 2 1
. . . .
,

. . . .
k k k k
x x y y
p p p p
J J J J
p k p k p k p k
a a a a
a
e e e e
=
ổ ửổ ử
//
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
- - = +
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ố ứố ứ
ồ
(2.11)
17

21
21


pp
J
p k p k
mm
m
=-
. (2.12)
Tuy nhiên, từ điều kiện bảo toàn dòng
0kJ
m
m
=
, và như vậy
0 z
JJ=
, ta có
thể viết:

00
.
x x y y x x y y z z
J J J J J J J J J J J J J J
m
m
+ = + + - = -
(2.13)
từ (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) suy ra:

3
21

22
21
00
3
2 1 2 1
0
. . . .
2 (2 )
R
pp
pp
dk
W W e W e I
p k p k p k p k
k
mm
mm
p
æö
æö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
= - ´ - - =
÷

÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
èø
èø
ò
, (2.14)
trong đó
R
là vùng lấy tích phân. Phần phân kỳ sẽ được ký hiệu:

3
21
21
3
2 1 2 1
0
. . . .
2 (2 )
R
pp
pp
dk

I
p k p k p k p k
k
mm
mm
p
æö
æö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
= - - -
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
èø
èø

ò
. (2.15)
Sau đây chúng ta sẽ áp dụng hai phương pháp để khử phân kỳ này đó là
phương pháp
min
l
[11, 17], và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên.

2.2. Phƣơng pháp
min
l
cho quá trình
® + + +
%
e
e
m
m n n g
.
Trong lý thuyết trường (trong QED) ta hay gặp phải các phân kỳ hồng ngoại
(khi đó các tích phân sẽ không hội tụ ở các vùng năng lượng thấp). Muốn cho các
tích phân hội tụ ta phải quy cho photon một khối lượng bổ trợ
min
l
nào đó, trong
biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay tạm thời hàm truyền của photon
2
1
k
bằng

hàm truyền
2 2 1
min
()k l
-
+
, trong đó
22
min
ml <<
, và m là khối lượng của các hạt
lepton (electron, hay muon). Điều này tương đương với việc cắt tích phân ở giới
hạn dưới nào đấy khi
min
k l»
và trong kết quả cuối cùng ta cho
min
0l ®
.
Để tiện cho tiện thảo luận kết quả trong mục 2.3 ta viết lại công thức trong
(2.15) và ký hiệu là (2.16). Tích phân chứa phân kỳ hồng ngoại có dạng:
18

3
21
21
3
2 1 2 1
0
,

. . . .
2 (2 )
R
pp
pp
dk
I
p k p k p k p k
k
mm
mm
p
ổử
ổử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
= - - -
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
ũ
(2.16)
trong ú:
R
c xỏc nh bi iu kin
22
0,k E p meÊ Ê = +
, cho
gn ta vit
l
thay th cho
min
l
v
22
00
,,k k pk pk Ekle= + = -
r
r
l gii hn
cho tớch phõn (2.16) l phõn k hng ngoi. Nu
22
1,2
0pm+=

, v
32
d k k k d=W
r
. Chỳng ta cú:
2
22
3
22
2 2 2 2 2 2
0
2 2 1 1
1
16
( ) ( )
k d k d
mm
I
k
E k p k E k p k
e
p
l
ll
ớ
ù
W
ù
ù
= - + +

ỡ
ù
+
+ - + -
ù
ù
ợ
ũ
r
rr
rr


12
2 2 2 2
2 2 1 1
2
( )( )
pp
E k p k E k p kll
ỹ
ù
ù
+
ý
ù
+ - + -
ù
ỵ
rr

rr
rr
. (2.17)
õy
dW
l yu t gúc c cha xung lng photon
k
. Bõy gi chỳng ta s dng
ng nht thc:

1
2 2 2 2 2 2 2
1
2 2 1 1
11
,
2
( )( ) ( )
zz
dz
E k p k E k p k E k p kl l l
-
=
+ - + - + -
ũ
r r r
r r r
(2.18)
vi


1 2 1 2
1 1 1 1
(1 ) (1 ) , (1 ) (1 ) ,
2 2 2 2
zz
p z p z p E z E z E= + + - = + + -
r r r
(2.19)
2
22
3
2 2 2 2 2 2 2 2
0
2 2 1 1
1
16
( ) ( )
k d k d
mm
I
k E k p k E k p k
e
p
l l l
ớ
W
ù
ù
ù
= - + +

ỡ
ù
+ + - + -
ù
ù
ợ
ũ
r
rr
rr


1
12
2 2 2
1
()
zz
dz
pp
E k p kl
-
ỹ
ù
ù
+
ý
ù
+-
ù

ỵ
ũ
rr
r
r
. (2.20)
19
vỡ
2 2 2 2 2
2 2 2
4
.
()
()
d
k E p E
E k pk
p
l
l
W
=
-+
+-
ũ
r
r
(2.21)
tht vy, ta i tớnh (2.21):


2
2 2 2 2 2 2
00
sin
( ) ( cos )
dd
d
E k pk E k p k
pp
qq
j
l l q
W
=
+ - + -
ũ ũ ũ
rr
rr
. (2.22)
trong ú ta ó thay
sind d dq q jW=
. tớnh tớch phõn (2.22), ta t:

22
os ,t E k p k clq= + -
r
r


22

22
(0)
sin ,
()
t E k p k
dt p k d
t E k p k
l
qq
pl
ớ
ù
= + -
ù
ù
ị=
ỡ
ù
= + +
ù
ù
ợ
r
r
r
r
r
, (2.23)
thay (2.23) vo (2.22), ly tớch phõn theo gúc
j

, kt qu thu c:

22
22
2 2 2
22
2
22
()
21
2.
E k p k
E k p k
d
E k pk
E k p k
dt
t
p k t p k
E k p k
l
l
l
l
p
p
l
++
+-
W

=
+-
++
ổử
ữ
ỗ
ữ
= = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
+-
ũ
ũ
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
rr
r



2 2 2 2
2 1 1
pk
E k p k E k p k
p
ll
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
+ - + +
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
r
rr
r
rr



2 2 2 2 2
4
()k E p E
p
l
=
-+
r
. (2.24)
ỏp dng (2.21) cho (2.20):
2
22
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22
0
1 1 1 2 2 2
1
12
2 2 2 2 2
1
4
16 ( ) ( )
()
z z z
k d k
mm
I
k E p E k E p E
k

dz
pp
k E p E
e
p
p l l
l
l
-
ớ
ù
ù
= - + +
ỡ
ù
- + - +
+
ù
ợ
ỹ
ù
ù
+
ý
ù
-+
ù
ỵ
ũ
ũ

r
rr
rr
r
. (2.25)
Ta cú th d dng ch ra rng:
20

2
2 2 2 2 2 2 2
0
()
k d k
k E p E k
e
ll
=
ộự
- + +
ờỳ
ởỷ
ũ
r


2 2 2 2
1 2 1
ln ln ,
2
Ep

E
E p E p
p E p
e
l
+
=-

-
r
rr
(2.26)
thc vy:
2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
00
()
1
( ) ( )
k d k k E p d k
Ep
k E p E k k E p E k
ee
l l l l
-
==
ộ ự ộ ự
-
- + + - + +

ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
ũũ
rr
2 2 2 2 2
22
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
00
()
1
( ) ( )
k E p E d k d k
E
Ep
k E p E k k E p E k
ee
l
l
l l l l
ớỹ
ù ộ ự ù
-+
ùù
ờỳ
ùù
ởỷ
=-
ỡý
ùù

ộ ự ộ ự
-
- + + - + +
ùù
ờ ỳ ờ ỳ
ùù
ở ỷ ở ỷ
ợỵ
ũũ
rr

22
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2
00
1
()
d k d k
E
Ep
k k E p E k
ee
l
l l l
ớỹ
ùù
ùù
ùù
=-
ỡý

ùù
ộự
-
+ - + +
ùù
ờỳ
ùù
ởỷ
ợỵ
ũũ
rr


{ }
22
12
22
1
,I E I
Ep
l=-
-
(2.27)
trong ú

1
2 2 2 2
0 0 0
,
1

1
k
d
dk
du
I
ku
k
e
ee
l
l
l
l
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
= = =

++
ổử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ũ ũ ũ
r
r
r
(2.28)
t

2
2
ln 1 , ,
1
du
x u u dx
u
= + + ị =
+
(2.29)

vi
2
(0) 0
.
( ) ln 1
x
e
x
e
e
l
ll
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ù
ổử
ỡ
ữ
ỗ
ù
ữ
= + +
ỗ
ữ
ù
ỗ

ữ
ỗ
ù
ốứ
ù
ù
ợ

21
(2.28) cú th vit li:

2
()
ln 1
1
22
0 (0)
0
x
x
dk
I dx x
k
e
ee
e
l
ll
l
ổử

ữ
ỗ
ữ
++
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
= = =
+
ũũ
r
.

2
2
ln 1 ln , ( 0)
e e e
l
l l l
ổử
ữ
ỗ
ữ
= + + = đ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ốứ
. (2.30)
Tớnh

2
2 2 2 2 2 2 2
0
,
()
dk
I
k E p E k
e
ll
=
ộự
- + +
ờỳ
ởỷ
ũ
r
(2.31)
t
22
k
t
k l

=ị
+
r
r

22
2
2
1
t
k
t
l
=
-
r
(2.32)

2
2 2 3/ 2
()
dt d k
k
l
l
=ị
+
r



( )
3/ 2
22
2
2
2 2 3/ 2
2 2 3/ 2
2
1
()
1
t
t
k
d k dt dt dt
t
l
l
ll
ll
ổử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

-
+
ốứ
= = =
-
r

vi
22
0 ớ 0
ớ 1, ( 0)
k th t
k th t
e
el
el
ớ
ù
==
ù
ù
ù
ỡ
ù
= = = đ
ù
ù
+
ù
ợ

r
r
(2.33)

2
2 2 2 2 2 2 2
0
()
dk
I
k E p E k
e
ll
==
ộự
- + +
ờỳ
ởỷ
ũ
r
r


( )
1
3/ 2
2 2 2 2
2
0
2 2 2 2 2

22
1
1
()
11
dt
tt
t
E p E
tt
l
ll
ll
==
ổử
-
ữ
ỗ
ữ
- + +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ốứ
ũ
r


22

1
1
2 2 2 2 2
2
0
0
1 1 1 1
ln ln
22
E t p E p
dt
E t p
E p E t p E p E p
ll
l
++
= = =
-

ò
rr
r
r r r r
. (2.34)
Thay (2.30) và (2.34) vào (2.27) thu được (2.26).
Sử dụng (2.26) và (2.25), suy ra:
1
1 1 2 2

12
1 2 1 2
2 2 2
1
1 1 1 2 2 2
1 2 1
2 ( ) ln ln ln
2
4
zz
E p E p
EE
dz
I p p E E
Ep
p E p p E p
e
l
p
-
í
éù
ï é ù
++
ï
êú
ï
êú
= - + - + -
ì

êú
êú
ï
-

êú
êú
ï
ëû
ëû
ï
î
ò
rr
rr
r
r r r r


1
1 2 1 2
22
1
( ) ln
zz
z
zz
z z z
Ep
E

dz
p p E E
Ep
p E p
-
ü
ï
+
ï
+-
ý
ï
-
-
ï
þ
ò
r
rr
r
rr
. (2.35)
Trong hệ nghỉ của muon
1
0p =
r
, ta đặt
22
2 , 2 ,E mch y p msh y==
r

và chú ý
rằng
2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
;2
zz
E p ch y z sh y p p E E m ch y- = - - = -
r r r
.
Thật vậy, thay E
2
, p
2
vào E
z
và p
z
ta nhận được:

22
1
(1 ) (1 ) 2 1 2 (1 2 )
22
z
m
E z m z mch y ch y z ch y
m ch y zsh y
é ù é ù
= + + - = + + -

ê ú ê ú
ë û ë û
éù
=-
êú
ëû


12
11
(1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) ,
22
z
p z p z p m z sh y m z shychy
éù
= + + - = - = -
êú
ëû
r r r


2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
,
z
E m ch y zsh y m ch y m z sh y
éù
= - = -
êú
ëû



2 2 2 2 2
(1 ) ,
z
p m z sh ych y=-
r


2 2 2 2 2 2
,
zz
E p m ch y z sh y
éù
- = -
êú
ëû
r


2
1 2 1 2 1 2
2,p p p p E E m ch y= - = -
rr

suy ra

1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1

1 ( ) ( )
2
zz
dz dz chy zshy chy zshy
dz
chy
E p ch y z sh y ch y z sh y
+
- - -
- + +
==
- - -
ò ò ò
r