1
























ĐA
̣
I HO
̣
C QUÔ

́
C GIA HA
̀
NÔ
̣
I
TRƢƠ
̀
NG ĐA
̣
I HO
̣
C KHOA HO
̣
C TƢ
̣
NHIÊN



PHẠM TUẤN HOÀN



LÝ THUYẾT ĐIỆN YẾU TẠI NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN VÀ
THẾ HÓA KHÁC KHÔNG



LUÂ

̣
N VĂN THA
̣
C SI
̃
KHOA HO
̣
C






H Ni - 2012

2

























ĐA
̣
I HO
̣
C QUÔ
́
C GIA HA
̀
NÔ
̣
I
TRƢƠ
̀
NG ĐA
̣
I HO
̣
C KHOA HO
̣

C TƢ
̣
NHIÊN



PHẠM TUẤN HOÀN



LÝ THUYẾT ĐIỆN YẾU TẠI NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN VÀ
THẾ HÓA KHÁC KHÔNG
Chuyên ngnh : Vật lý lý thuyết v vật lý Toán
Mã số : 60 44 01

LUÂ
̣
N VĂN THA
̣
C SI
̃
KHOA HO
̣
C


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. PHAN HỒNG LIÊN



H Ni - 2012

3
MỤC LỤC
Mở đầu …………………………………………………………………….….3
1.Lí do chọn đề tài…… ……………………………………………….…3
2. Mục tiêu đề tài và phương pháp nghiên cứu …………………… 4
3.Cấu trúc của luận văn ………………………………………………… 5
Chƣơng 1. Mô hình Weinberg – Salam – Glashow ………… ………… ….6
1.1.Lagrangian của trường chuẩn và vô hướng L
gauge
+
L
scalar
…….…….……………………………………………………………… 7
1.2. Lagrangian của fermion L
fermion
….……………… …………………13
1.3. Lagrangian tương tác đỉnh ba L
Yuk
…………………… …… 18
Chƣơng 2. Lý thuyết điện yếu tại nhiệt đ hữu hạn v thế hóa khác
không …………………… …… ………………………………….……22
2.1. Lagrangian………… …………… …………………………… 22
2.2. Trường hợp
0
2
m 0 , e g’  
… ………….………….… … 31
2.3. Trường hợp

22
0m


……………………………… …… ….33
2.3.1. Trường hợp
0g 

và
0g' 
,
0
const


….…… ……….33
2.3.2. Trường hợp
0g 
và
0g' 
,

22
0m


. ……….………35
Chƣơng 3 . Sự chuyển pha trong lý thuyết điện yếu ……………………… 37
3.1. Các hàm truyền tại nhiệt độ hữu hạn ………… ………………… 37
3.2. Sự chuyển pha trong lý thuyết điện yếu …………… …………… 41

Kết luận …… …………………………………………………………………44
Ti liệu tham khảo ……………………………………………………………45
Phụ lục ….…………………………………………………………………… 47
Phụ Lục A … ……………………………… …………………….… 47
Phụ Lục B… ……………………………………………………… 49
Phụ Lục C… …………………………………………………………51
Phụ Lục D… ……………… ……………………………………… 53

4

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Phá vỡ đối xứng tự phát tại T = 0.…………………………………….8
Hình 3.1 : Giản đồ pha theo nhiệt độ và thế hóa trong Chuyển pha loại hai … 42






















5

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề ti
Về bản chất Chuyển pha là một hiện tượng không nhiễu loạn và không kết
hợp [8;10;21]. Đây là một quá trình vật lí rất phức tạp liên quan chặt chẽ đến sự
phá vỡ hoặc khôi phục tính đối xứng của hệ lượng tử và có thể dẫn đến những
trạng thái đặc biệt của vật chất, như chuyển pha kim loại – siêu dẫn [7;22],
chuyển pha từ trạng thái hadron sang trạng thái quark – gluon – plasma [14],
chuyển pha liên quan đến các tính chất vật lí của vật chất đông đặc trong hạt
nhân, sao notron [20] …
Thời gian gần đây vấn đề chuyển pha được đề cập đến khá nhiều trong các
công trình được công bố trên các Tạp chí Quốc tế cả về lý thuyết và thực nghiệm
[12;16;17] vì nó liên quan đến việc trả lời hàng loạt các vấn đề quan trọng hiện
nay của vật lí và công nghệ. Cơ chế vật lí và ứng dụng của ngưng tụ Bose –
Einstein ( giải Nobel vật lí năm 2001), các hiện tượng lân cận vùng chuyển pha.
Chúng ta biết rằng có một sự song song rất thú vị giữa sự phá vỡ đối xứng
tự phát trong lý thuyết chuẩn với những quá trình vật lí và các tương tác trong tự
nhiên . Bắt đầu từ mô hình Weinberg - Salam - Glashow thống nhất tương tác
điện từ và tương tác yếu ( tại T = 0 ), cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát đã làm cho
các boson chuẩn và các fermion trở nên có khối lượng. Tuy nhiên cũng như
QED khi xung lượng k  , có thể dẫn đến sự phân kì của các tích phân trên
các loops trong các giản đồ Feynman. Nhưng do tính bất biến chuẩn của lý
thuyết, t’Hooft (1971) và Veltman (1974) đã chứng minh rằng có thể khử các

phân kỳ này và lý thuyết tái chuẩn hóa được.
Những kết quả thực nghiệm về sau đã cho thấy, tính toán lý thuyết từ mô
hình có độ chính xác đáng kinh ngạc ( đến hai chữ số thập phân ), nhất là khi tiên
đoán khối lượng của top quark. Ngoài ra mô hình Weinberg – Salam còn có khả

6
năng mô tả cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và sự ngưng tụ Bose – Einstein một
cách đồng thời nhưng độc lập với nhau.
Mặt khác, khi nghiên cứu lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn S.Weinberg
[19], Dolan và Jackiw [15], A.D.Linde [9;11] đã chỉ ra rằng sự phá vỡ đối xứng
tự phát có thể được khôi phục trên nhiệt độ tới hạn T
C
, tại đó xảy ra sự chuyển
pha của vật chất nếu có một lưỡng tuyến Higgs. Tuy nhiên Mohapatra và
Senjanovic [18] khi mở rộng mô hình với ba lưỡng tuyến Higgs, đã chứng minh
rằng không có sự khôi phục đối xứng ở bất kì nhiệt độ nào. Ngoài ra thế hóa


không bị ràng buộc phải bằng không với bất kì giá trị nào của nhiệt độ T [13].
Khi khối lượng m là thực, không có sự chuyển pha nếu

2
< m
2
, nhưng chuyển
pha diễn ra nếu

2
>m
2

và khi

2
tăng nhiệt độ của hệ càng tăng lên.
Vì thế, việc nghiên cứu cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát với thế hóa
bosonic khác không trong mô hình Weinberg – Salam tại nhiệt độ và mật độ hữu
hạn sẽ cho phép xác định cấu trúc pha của các quá trình tương tác điện yếu thông
qua điện tích e và các tham số thực nghiệm.
Với những lý do đề cập đến ở trên, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu lý
thuyết điện yếu tại nhiệt độ hữu hạn và thế hóa khác không , cùng với sự chuyển
pha trong các hệ tương tác điện yếu và một số đại lượng vật lý đặc trưng .
2. Mục tiêu của đề ti v phƣơng pháp nghiên cứu
Mục tiêu
Nghiên cứu sự chuyển pha ( tính chất, cơ chế phá vỡ đối xứng tại nhiệt độ
và thế hóa khác không, nhiệt độ tới hạn và một số đại lượng vật lí đặc trưng của
hệ lượng tử…) trên lý thuyết điển hình đối với một trong những quá trình tương
tác cơ bản, đó là chuyển pha trong các hệ tương tác điện yếu .
Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn, vấn đề được tiếp cận tại nhiệt độ T  0 trên cơ
sở mô hình Weinberg – Salam – Glashow thống nhất tương tác yếu và tương
tác điện từ, phù hợp thực nghiệm với độ chính xác rất cao.

7
Trong luận văn đã sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trường
lượng tử tại nhiệt độ và mật độ hữu hạn.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm các phần Mở đầu, Nội dung được viết thành ba chương ,
Kết luận , Tài liệu tham khảo và 4 Phụ lục.
Chƣơng I. Giới thiệu tổng quan về lý thuyết điện yếu trên cơ sở mô hình truyền
thống Weinberg – Salam – Glashow tại nhiệt độ T = 0.

Chƣơng II. Nghiên cứu lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ hữu hạn và thế hóa khác
không. Cụ thể đã xác định được trung bình chân không khi

 0 , và xét hai
trường hợp

2
> m
2
> 0 và m
2
< 0 

2

đã thu được các hệ thức tán sắc và sự phân
tách khối lượng của các boson chuẩn khi, trong đó thế hóa

đóng vai trò như
một tham số tác dụng lên cơ chế phá vỡ đối xứng.
Chƣơng III. Nghiên cứu tính chất chuyển pha trong các hệ tương tác điện yếu
và xác định nhiệt độ tới hạn.
Kết quả luận văn được đăng trong Kỷ yếu tóm tắt Hội nghị khoa học lần
thứ 15 của Học viện Kỹ thuật Quân sự, tr. 51 ( 2011).













8
Chƣơng 1
Mô hình Weinberg – Salam – Glashow

Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát mô hình Weinberg -
Salam - Glashow hay lý thuyết điện yếu tại nhiệt độ không , với đối xứng
chuẩn định xứ (local) SU(2)  U(1)
Trong lý thuyết trường chuẩn, đối với mỗi đối xứng chuẩn định xứ, đạo
hàm hiệp biến có dạng đầy đủ:

1
23
2 2 2
i
i
g
D i YB ig A ig G


    

    

Số hạng thứ hai biểu diễn đối xứng U(1), B


là trường spin1 cần để duy trì
bất biến chuẩn , Y là vi tử của các phép biến đổi U(1) và là một hằng số nhưng
có thể khác nhau đối với các fermion khác nhau , g
1
là hằng số tương tác đối với
nhóm U(1) giá trị của nó được xác định bằng thực nghiệm.
Tương tự đối với các số hạng SU(2) và SU(3) các trường boson A
i


và G


( boson chuẩn) để duy trì bất biến chuẩn , với các vi tử

i
và


. Chúng ta
đưa ra dưới dạng A
i

2
i

và G



2



. Mỗi

số hạng có hằng số tương tác g
2
và g
3

tương ứng. Tổng lấy theo các chỉ số:
i =1,2,3.
1 1 2 2 3 3ii
A A A A
   
   
  


=1,2, ,8.
8
1
GG
   








Lý thuyết tƣơng tác điện yếu SU(2)  U(1)
Mụ hỡnh Weinberg - Salam - Glashow
Vào những năm 1960 và đầu 1970 Glashow (1961), Weinberg (1967),
Salam(1968) đề xuất mô hình và sau đó đến năm 1971 t’Hooft(1971) tiếp tục
phát triển chứng minh được tính tái chuẩn hóa của lý thuyết thống nhất tương

9
tác điện từ và tương tác yếu. Đây là mô hình rất phù hợp với các thông tin thực
nghiệm.
Trong mô hình SU(2)  U(1) , đạo hàm hiệp biến có dạng

1
22
i
i
2
g
D i YB ig A
   

   

trong đó
i
A

: là các trường boson ứng với nhóm SU(2),


B

: là các trường boson ứng với nhóm U(1).
Lagrangian SU(2)  U(1) tổng quát có dạng
L = L
gauge
+ L
scalar
+ L
fermion
+ L
Yuk
.
và bất biến đối với các phép biến đổi :
SU(2)
   
' exp
2
i
i
U i x

     

   



U(1)
   

' expU i Y

     
   

1.1.Lagrangian của trƣờng chuẩn v vô hƣớng L
gauge
+ L
scalar

Ta bắt đầu từ trường chuẩn vô hướng phức, hay từ phần bosonic của
Lagrangian đối xứng SU(2)  U(1)
   
11
44
ii
L F F B B D D V
  
  
   

    

(1.1.1)
trong đó

i i i ijk j k
F A A g A A
      


   
(1.1.2)
là tensor của trường đối với nhóm chuẩn SU(2).

B B B
    
  
là tensor của trường đối với nhóm chuẩn U(1) .
Đạo hàm hiệp biến

'
22
i
i
g
D i Y B igA
    

  
   
(1.1.3)
với g là hằng số tương tác đối với nhóm SU(2).
g’ là hằng số tương tác đối với nhóm U(1).

10

Y

là siêu tích của trường vô hướng ,
1Y



.
Một trường phức vô hướng lưỡng tuyến sẽ hoàn toàn phá vỡ đối xứng
SU(2), biểu thức của thế năng có dạng

   
2
2
Vm
      
  
  
(1.1.4)
trong đó
0








,

> 0 để thế hữu hạn.
Để lý thuyết tái chuẩn hóa
được , phải dừng ở số hạng bậc
hai (


+

)
2
. Bằng cách cực tiểu
hóa thế năng
0
V





, ta sẽ thu
được giá trị kì vọng chân không
khác không
22
22
mv





với
0
1
v
2






Hỡnh 1.1 Phỏ vỡ đối xứng tự phát tại T = 0.

trong đó v là hằng số thực. Các boson chuẩn có khối lượng sẽ xuất hiện từ số
hạng
2
D




0
1
22
2
i
i
i
D gA g'YB
v
  




  







3 1 2
1 2 3
0
0
0
22
2
B
A A iA
i g g'
B
A iA A
v

  

  





  













12
3
0
22
2
A iA
i gv g' v
B
A







  











2
2
m



2
2
m




V
O

11

12
3
2
2

2
A iA
g
iv
gA g' B











(1.1.5)
và
     
 
 
12
2
1 2 3
3
'
8
'
g A iA
v

D D g A iA gA g B
gA g B

     





   






    
 
2
2
2 1 2 1 2 3
'
8
v
g A iA A iA gA g B
     
    
(1.1.6)
 
2

1 2 1 2 3
2 2 2
2
22
22
'
2
'
88
22
'
A iA A iA gA g B
g v v
gg
gg
     

  
  
  

  


  


Định nghĩa các trường mới tương ứng với ba boson có khối lượng :

12

1
()
2
W A iA
  

 
(với
2
W
gv
m 

) (1.1.7)


3
22
1
( ' )
'
Z gA g B
gg
  
  


(với
22
Z

v
m g g'
2

)
(1.1.8)
và tổ hợp tuyến tính trực giao với Z

tương ứng với boson chuẩn không khối
lượng (được đồng nhất với photon).

 
3
22
1
A gA g' B
g g'
  


(m
A
=0) (1.1.9)
khi đó

     
 
22
22
'

48
gv v
D D W W g g Z Z

   



  


22
1
2
WZ
m W W m Z Z




(1.1.10)
Góc Weinberg được định nghĩa bởi công thức :

12

W
22
g
cos
g g'





và
W
22
g'
sin
g g'



, hay :
W
g'
tan
g


(1.1.11)
Với định nghĩa trên, ta có

3
WW
Z A cos B sin
  

  
(1.1.12)


3
WW
A A cos B sin
  


(1.1.13)
và

22
2
W
W
2 2 2
Z
mg
cos
m g g'



(1.1.14)
Như vậy khối lượng của
W


và
Z


trong các quá trình trao đổi là không
độc lập với nhau vì
W Z W
m m cos


hay
W
Z
W
m
m
cos


.
Từ đây ta suy ra tỉ số

2
22
1
W
ZW
m
m cos



(1.1.15)
Tiên đoán của mô hình chuẩn rằng


= 1 phù hợp rất tốt với thực nghiệm .
Hiện nay người ta có thể đo độc lập m
W
và m
Z
.
Đối với trường vô hướng  bất kì , ta có thể viết :

 
1
0
1
2
U
v h( x )







và
v

  

trong đó
( x,t )



và
h( x,t )

là hai trường độc lập và

 
 
exp
2
ii
U x i
v






với U là phép biến đổi chuẩn unita và
i
i
v





 

0
1
2
2
ii
' exp i
v h x
v

  


   






Đây chính là phép biến đổi chuẩn SU(2) , sao cho

       
11
'
i i i i i i
A A U A U U U
   
      



   



13

1
B B ' B
g' 2
   

   

Ba trường
 
i
x

chính là các Goldstone boson ứng với các vi tử của
nhóm chuẩn SU(2), với cơ chế Higgs các Goldstone boson này trở thành phần
dọc của các boson chuẩn có khối lượng W

, Z . Trường h(x) được gọi là trường
vô hướng Higgs mô tả hạt mà mới đây 99% được tìm thấy trên các máy gia tốc
lớn LHC tại CERN.
11
44
ii
gauge
L F F B B

 
 
  
(1.1.16)
 
2
2
2
scalar
L D m

     

  
(1.1.17)
trong đó thành phần
2
D


được tính theo biểu thức
2
' ' ' '
2 2 2 2
ii
ii
ii
D igA g B igA g B
      


  


   
      

   
   



 
 
 
 
22
11
22
WZ
h x h x m W W m Z Z
  
  

     


2
2
1
4 2cos

W
gh
W W Z Z





  




2
2
2
()
2 cos
W
vh g
g W W Z Z





(1.1.18)

   
 

 
 
 
4
2
0
1
0
24
V m v h x v h x
v h x



    





 
 
     
2 2 2 3 4
1
3
24
mvh x m h x vh x h x const



      
(1.1.19)
ở đây :
2 2 4
11

24
const m v v



Tóm lại Lagrangian (1.1.1) là bất biến đối với phép biến đổi chuẩn vô
cùng bé

14

1
i i ijk i k
AA
g

   
   


i
là tham số của phép biến đổi SU(2).

1
'2

B
g





là tham số của phép biến đổi U(1) .

2
i
i
i iY


   
  
vỡ
' exp( )iY

   
  
(1.1.20)
Chọn

1
=

2
=0, Với

0









và
 
i
U
  



3
0 0 0
3
0
10
2
01
0
2
ii

  

 
  

  


     

   

     



     



(1.1.21)
và sau đó chọn :

3
=

;

=

/2 thì ta có thể đưa về phép biến đổi U(1)
QED

.

'
i
e

  



Tóm lại , sự phá vỡ đối xứng của nhóm SU(2)  U(1) có thể được biểu
diễn theo sơ đồ sau










=




1 2 3
,,A A A
  










Đối xứng
SU(2) U(1)

B


U(1)
EM

photon A


Phá
vỡ

3 trường có
khối lượng
12
0
1
()

2
W A iA
Z
  


 


15
Ta thấy có 4 trường : 3 Goldstone boson


,

0
và một trường thực gọi là
trường Higgs.
Siêu tích
Y

được xác định từ công thức :

3
2
Y
QI
suy ra
3
0

3
1
Q 1;I Y 1
2
1
Q 0;I Y 1
2



    
     

Như vậy cả trường vô hướng và tích điện đều có siêu tích
Y1


.
     
2
2
Lm


      


    
(1.1.22)


0








,
12
2
i





,
0
34
2
i






2222

1 2 3 4
2






Thế năng

 
 
2
2
Vm
     

  
(1.1.23)
là bất biến đối với phép biến đổi định xứ

       
' exp
2
x x i x x

   

  







i

là các ma trận Pauli và

i

là các tham số .
Cực tiểu hóa thế năng
 
 
2
2
Vm
     

  

, ta được

 
 
2
0
V
m


   




   

, suy ra
22
22
mv





Nếu chọn
1 2 4
0
  

và
3
v


, thì giá trị trung bình chân không là

0

0
1
2
v





hay
0
v
2



1.2. Lagrangian của fermion L
fermion


16
Các fermion (quark và lepton) được biểu diễn qua lưỡng tuyến SU(2)
trái (kí hiệu : L) và đơn tuyến SU(2) phải (kí hiệu : R) .
Ví dụ : electron và notrino của nó có dạng lưỡng tuyến :

 
2, 1
e
e
L

LY
e



  




trong đó
 
5
1
1
2
L
e



, số 2 ở trên thể hiện lưỡng tuyến của SU(2).
Dạng đơn tuyến

 
1, 2
R
eY
với
 

5
1
1
2
R
e





1
2 ,
3

a
aL
a
u
QY
d











4
1,
3
aR
uY





2
1,
3
aR
dY

 



ở đây a là kí hiệu các chỉ số màu
Thực ra, biểu diễn chính xác hơn phải là tổ hợp tuyến tính của d và s
(trong phép gần đúng đầu tiên).

CC
d dsin scos





và tổ hợp trực giao với nó

-
CC
s dsin scos




trong đó

C
là góc Cabbibo ,
0 22
C
sin . .



Như vậy, Lagrangian đầy đủ của các fermion có dạng

R
L R R
ferm
L,e
Q ,u ,d
L i D




  



(1.2.1)
với

e
e
L
L
e






;

a
L
a
L
u
Q
d







17
Đối với tương tác yếu, Lagrangian của các lepton bất biến đối với phép
biến đổi SU(2).

2
i
i
e e e
L L’ exp i L



  




R R’

và phép biến đổi U(1)
 
' exp i Y
   


Các số hạng U(1)

 
 
1
22
e
ferm L e R R R
g g'
L U ,lepton L i i Y B L e i i Y B e



   

   
   
(1.2.2)
ở đây siờu tớch Y có các giá trị phân tách cho các fermion khác nhau thậm chí
cho cỏc thành phần phải và trái , kí hiệu Y
L
và Y
R
. Trong không gian SU(2) thì
L
e
là lưỡng tuyến , trong khi g’YB

là một số nên

e
e L L L L

L L e e
  
    



 
 
 
1
2
ferm L L L L L R R R
g'
L U ,lepton Y e e Y e i e
  
    

   

(1.2.3)
Đối với các số hạng SU(2), vì
i
A


là một ma trận 2 x 2 nên chỉ có các số
hạng lepton khác không.

 
 

2
2
i
ee
i
ferm
SU ,lepton L iL igA L










 
3 1 2
L
LL
1 2 3
L
A A iA
v
g
e
A iA A
e
2

  

  












 
3
L
LL
3
L
A 2W
v
g
e
e
2
2W A



















 
3
LL
LL
3
LL
A v 2W e
g
e
2
2W v A e
















18

 
33
L L L L L L L L
g
A 2 e W 2e W e e A
2
   
   
       

    

(1.2.4)
Bảy số hạng trong (1.2.3) và (1.2.4) là nội dung đầy đủ mô tả tất cả tương
tác của các lepton trong Lagrangian fermion.
Ta biết rằng tương tác điện từ của các hạt tích điện Q là


EM L L R R
L QA e e e e







(1.2.5)
còn lại các notrino ( trung hoà ) không có tương tác điện từ, các số hạng có chứa
LL

là
3
22
L L L
g' g
Y B A


  




.
Cỏc boson chuẩn trung hũa
A


( tương ứng với photon ) và
Z

được định
nghĩa như sau

3
L
2 2 2
L
gB g'Y A
A
g g' Y





(1.2.6)
3
L
2 2 2
L
gB g'Y A
Z
g g' Y






(1.2.7)
Đối với các electron, từ (1.2.4) và (1.2.5) ta có các số hạng

 
3
22
L L R R LL
g' g
e Y B A e e g'Ye B

 

 








(1.2.8)
Từ hệ phương trình (1.2.6) và (1.2.7) ta suy ra

L
2 2 2
L
gA g'Y Z

B
g g' Y





(1.2.9)

L
3
2 2 2
L
g'Y A gZ
A
g g' Y





(1.2.10)
thay vào (1.2.8) ta được

2 2 2 2 2 2
2
LR
L L R R
LL
gg'Y gg'Y

A e e e e
g g' Y g g' Y





  






19
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22
L R L
L L R R
LL
g' Y g g' Y Y
Z e e e e
g g' Y g g' Y












(1.2.11)
Số hạng 𝐴
ỡ
phải là dòng điện từ như trong phương trình (1.2.5). Số hạng
𝑍
ỡ
có thể là tương tác thêm vào, vì vậy nó phải được kiểm tra bằng thực nghiệm.
So sánh (1.2.5) và (1.2.11) ta có

L
2 2 2
L
R
2 2 2
L
gg'Y
Qe
g g' Y
gg'Y
e
2 g g' Y
  





suy ra
2 2 2
L
R L L
g g' Y
Y 2Y ;Y e
gg'

  
(1.2.12)
Vì chỉ có tổ hợp
L
g'Y
xuất hiện nên ta có thể chọn
1
L
Y 

và định nghĩa
lại g’ cho phù hợp để hấp thụ bất kì thay đổi nào trong
L
Y
. Với
1
L
Y 
, ta có :
22
gg'

e
g g'


(1.2.13)
Như vậy lý thuyết chứa phần tương tác điện từ (1.2.5) thông thường cho
các electron và các notrino, cộng với tương tác dòng trung hòa với 𝑍
ỡ
cho cả
electron và notrino. Với định nghĩa góc Weinberg trong phần (1.1), ta suy ra

W
e
g
sin



W
e
g'
cos


(1.2.14)
Như vậy sự liên kết của các boson chuẩn được mô tả chỉ bởi hai tham số :
điện tích e của electron và góc trộn

W
.

Tương tự, Lagrangian tương tác yếu của các quark và boson có dạng

2 2 2
i
i
quark aL aL R R
g' g'
L Q i igA i B Y Q u i i B Y u

    




       






2
RR
g'
d i i B Y d




  



(1.2.15)

20
Tóm lại Lagranian liên kết của các trường fermion và các trường chuẩn
   
12
2 2 2
i
i
ferm e e R R
g' g'
L L i igA i B L e i i B e

    




         





1
2 2 2
i
i

aL aL
g'
Q i igA i B Q

  




    





42
2 3 2 3
aR aR aR aR
g' g'
u i i B u d i i B d

   

   
   
      
   
   
   
   

(1.2.16)
Chú ý : Số hạng khối lượng - m



không bất biến đối với nhóm
SU(2)U(1) bởi mỗi thành phần

L
và

R
biến đổi khác nhau . Thực vậy :

 
 
 
L R L R L R R L
m m m
        
      
(1.2.17)
mà
e R R e
L e e L
không bất biến đối với SU(2)

2
i
i

ee
L exp i L








RR
e e


2
i
i
e R e R
L e exp i L e








2
i
i

R e R e
e L e exp i L







Hơn nữa, số hạng khối lượng không bất biến đối với U(1)

     
 
e R e L R R e R R L
L e L exp i Y exp i Y e L e exp i Y Y
  
    
(1.2.18)
( với
2 1 1 0
RL
YY      
)
Tuy nhiên, trường vô hướng mà ta đưa vào phá vỡ đối xứng cũng dẫn đến
các số hạng khối lượng fermion.
1.3. Lagrangian tƣơng tác đỉnh ba L
Yuk

Số hạng tương tác giữa trường vô hướng và trường fermion gọi là tương tác
Yukawa hay còn gọi là tương tác đỉnh ba, nó là bất biến chính.


21
Chứng minh :
eR
Le

cú (
1 1 2 0Y    
) và
Re
eL


có (
2 1 1 0Y    
) là bất biến đối với
SU(2), hay

22
ii
ii
e R e R e R
L e exp i L exp i e L e

    
   
  
   
   
(1.3.1)


22
ii
ii
R e R e e R e
e L e exp i L exp i L e L

    
  
   
  
   
   
(1.3.2)
đồng thời cũng bất biến đối với U(1)
2 2 2
R e R R L e
g' g' g'
e L e exp i Y exp i Y exp i Y L



     
  
     
     


 
2

R e R L R e
g'
e L exp i Y Y Y e L




   



(1.3.3)
( vì
2 1 1 0
RL
Y Y Y

      
)
để kết cặp với u
R
, bắt buộc phải đưa vào

2
i
  


 
1Y



để

aL R
Qu

bất biến
14
10
33
   

và
aL R
Qd

bất biến
12
10
33
   

Sau khi phá vỡ đối xứng, với

=
0
1
vh
2





thì
   
00
11
22
Yuk e L L R d aL aL aR
L e e u d d
v h v h
  
   

   

   


 
1
0
2
u aL aL aR
vh
u d u h.c









2 2 2
e L R d aL aR u aL aR
v h v h v h
e e d d u u h.c
  
  
   
(1.3.4)
do đó khối lượng các hạt tương ứng

22

ee
v
m
2



uu
v
m
2




dd
v
m
2



0m


(1.3.5)
Như vậy, các fermion quark và lepton có khối lượng do phá vỡ đối xứng
tự phát . Các notrino ( theo mô hình chuẩn ) không có khối lượng .
Lagrangian của tương tác Yukawa có dạng
     
Yuk e L R R L e L R R L d aL aR aR aL
h
L m e e e e m e e e e m d d d d
v
      


     
d aL aR aR aL u aL aR aR aL u aL aR aR aL
hh
m d d d d m u u u u m u u u u
vv
     
(1.3.6)

Tãm l¹i , Lagrangian toàn phần của lý thuyết điện yếu với đối
xứng SU(2) U(1) cã d¹ng tæng qu¸t nh- sau

gauge scalar lepton quark Yuk lepton Yuk quark
L L L L L L L     

11
44
ii
gauge
L F F B B
 
 
  

   
2
2
scalar
L D D m


      


  

R
lepton e e R R
L L i D L e i D e






,
R
R
quark R
q u d
L Qi D Q q i D q







 
Yuk lepton e e R R e
L L e e L
  

  



 
 
Yuk quark u R R d R R

L Q u u Q Q d d Q
     

    

trong ®ã
e
L
v
L
e




và
a
a
L
u
Q
d






i i i ijk j k
F A A g A A

      
     
lµ tensor cường độ trường trong biến
đổi SU(2)

23
B B B
    
  
lµ tensor cường độ trường trong biến đổi U(1)
i
i
g'
D igA i YB
22
   

   



R
g'
D i YB
2
  
  

Ở Chương này ta mới chỉ nghiên cứu lý thuyết tương tác điện yếu tại nhiệt
độ T = 0 và cũng chưa chịu sự ảnh hưởng của thế hóa µ. Khi nghiên cứu lý

thuyết tương tác điện yếu tại nhiệt độ T ≠0, dưới tác dụng của thế hóa µ, ta sẽ
dẫn đến sự phụ thuộc giá trị trung bình chân không và khối lượng của các boson
chuẩn vào thế hóa µ Nghiên cứu tiếp Chương 2 sẽ giúp ta thu được các kết quả
này.
















24
Chƣơng 2
LÝ THUYẾT ĐIỆN YẾU TẠI NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN
VÀ THẾ HÓA KHÁC KHÔNG

Như chúng ta đã biết, mô hình Weinberg – Salam – Glashow là sự thống
nhất của tương tác điện từ và tương tác yếu với nhóm đối xứng tối thiểu là
SU(2)U(1) . Tuy nhiên, lý thuyết chỉ được tái chuẩn hóa bằng cơ chế Higgs ,
trong đó bất biến chuẩn bị phá vỡ tự phát (t’Hooft 1971) . Đây là lý thuyết chuẩn
hiện thực đầu tiên mô tả dữ liệu thực nghiệm với độ chính xác rất cao , đến 2 chữ

số thập phân. Hơn thế nữa, cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát có khả năng làm sáng
tỏ bản chất của hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein.
Chương này trình bày chi tiết sự phá vỡ đối xứng tự phát tại nhiệt độ T
hữu hạn và thế hóa μ khác không trong lý thuyết điện yếu . Chúng ta xét hai
trường hợp
2

> m
2
>0 và m
2
<0


2
. Từ đó xác định các hệ thức tán sắc và nhiệt
độ tới hạn mà tại đó xảy ra sự chuyển pha và ngưng tụ của vật chất.
2.1.Lagrangian
Chúng ta xuất phát từ phần Higgs của mật độ Lagrangian trong lý thuyết
điện yếu trên cơ sở nhóm đối xứng SU(2)  U(1).

   
 
2
2
00
L D i D i m
   
        




    



11
44
aa
F F B B
 
 

(2.1.1)
trong đó

là thế hóa ,

là hằng số tương tác ,

> 0 để đảm bảo thế hữu hạn,
D

là đạo hàm hiệp biến được xác định như sau

2
a
a
D igA ig’YB
   


   

còn
a
F

và B

là các tenxơ cường độ trường tương ứng với phép biến đổi SU(2)
và U(1) lần lượt được xác định bởi

25

a a a b c
abc
F A A g A A
      

   


B B B
    
  

ở đây các chỉ số a, b, c =1, 2, 3 ;

,


= 0, 1, 2, 3 .
Chúng ta đưa thêm vào Lagrangian (2.1.1) một số hạng nguồn J


B

, tức
là

L L J B



(2.1.2)
trong đó
00
J J



,
0B


.
Khi đó mật độ Lagrangian (2.1.4) trở thành :

00
2 2 2 2
aa

aa
BB
L igA ig' i igA ig' i

     

   


   
        

   
   



 
2
2
11
44
aa
m F F B B J B
  
  
    

    



   
 
 
00
L i

      



      


+
 
 
1
4
a a a
a
g A g' B g A g' B


   



+
 

 
a a a a
i g A g' B g A g' B

   
     


    




   
a a 2 2
00
g A g' B m
     

   


 
2
11
44
a
F B B J B
 
  

  

   
(2.1.3)

Như trên ta thấy, thế năng

     
2
22
V – m
       
  
  
(2.1.4)
có cực tiểu khi

 
   
0
22
V
– m 2

    






   

(2.1.5)
tại các giá trị trung bình sau của các trường vô hướng