SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vò: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh
Mã số:……………………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện: Lý Thò Loan Thảo
Lónh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục……………
Phương pháp dạy học bộ môn:……… 
Phương pháp giáo dục…
Lónh vực khác: ……………………………
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2011 - 2012
1
SƠ LƯC LÍ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Lý Thò Loan Thảo
2. Ngày tháng năm sinh: 18 – 11 - 1980
3. Chức vụ:
+ Đảng : Đảng viên
+ Chính quyền:
4. Đơn vò công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
+ Trình độ: Thạc só
+ Tốt nghiệp: Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
Đã trực tiếp tham gia giảng dạy 10 năm
Sáng kiến kinh nghiệm trong 5 năm gần đây:

- Sử dụng hàm số để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình vô tỉ
- Một số ứng dụng của tam thức bậc hai
- Phương trình bậc cao
- Dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian.
2
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vò:………………………………. Độc Lập – Tự Do – Hạnh phúc
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Họ và tên tác giả: Lý Thò Loan Thảo . Đơn vò ( Tổ) : TOÁN.
Lónh vực:
Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy học bộ môn:……
Phương pháp giáo dục:……… Lónh vực khác:…………………………….
1. Tính mới:
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả:
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành với hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao.
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vò có hiệu quả cao.
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vò có hiệu quả cao.
3. Khả năng áp dụng:
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch đònh đường lối, chính sách:
Tốt Khá Đạt
- Đưa ra giải pháp khuyến nghò có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt

-Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả cao, có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
( Ký, ghi rõ họ tên) ( Ký ghi rõ họ tên, đóng dấu)
3
SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài tập áp dụng :
Ví du 1ï:
a) Vẽ đồ thò hàm số :
xxxfy −−−== 312)(
b) Giải phương trình :
2)( =xf
c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
2 1 3x x m− − − =
Giải
a) Xét hàm số
2 1 3y x x= − − −
y
+) Phá dấu giá trò tuyệt đối ta được
( )
1
-x - 2 nêu x<
2
1
3x - 4 nêu x 3
2
x + 2 nêu x >3
y f x





= = ≤ ≤





y = m 2
-2
+) Từ đó có đồ thò của hàm số (hình vẽ)
I. Giải phương trình:
1.Cơ sở lí thuyết
• Hoành độ giao điểm của đồ thò hàm số
( )
y f x
=
và đồ thò hàm số
( )
y g x
=
là
nghiệm của phương trình :
( ) ( )
f x g x=
.
• Nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g x=

là hoành độ giao điểm của đồ thò hàm
số
( )
y f x=
và đồ thò hàm số
( )
y g x=
.
2. Phương pháp
• Tìm tập xác đònh D của phương trình .
• Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )
f x g x=

(thường
( )
y g x=
là một đường thẳng phụ thuộc tham số ).
• Vẽ đồ thò hàm số
( )
y f x=
và đồ thò hàm số
( )
y g x=
trên tập D.
• Dựa vào đồ thò suy ra kết luận.
4
x
-4 -2 0 ½ 2 3
b). Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thò hàm số

( )
y f x
=
và
đường thẳng y=2 Dựa vào đồ thò ta thấy phương trình có 2 nghiệm x = - 4; x = 2.
c). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò hàm số
( )
y f x
=
và đường
thẳng y= m
Dựa vào đồ thò có:
- Nếu m < - 5/2 , phương trình vô nghiệm
- Nếu m = - 5/2 , phương trình có nghiệm x = ½
- Nếu m > - 5/2 , phương trình có 2 nghiệm.
Ví du 2ï: Cho hàm số : y = x
2
+3x
a) Vẽ đồ thò (P) của hàm số
b) Dùng đồ thò, biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
2
+3x – m + 1 = 0
Giải
a) Vẽ đồ thò (P) có đỉnh (
3 9
; )
2 4
− −
và hướng bề lõm lên phía trên (hình vẽ )

b). Phương trình đã cho tương đương với phương trình : x
2
+3x = m– 1
Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò
(P): y =x
2
+ 3x và (d): y = m –1
- Vẽ (P): là parabol có đỉnh (
3 9
; )
2 4
− −
và hướng bề lõm lên phía trên
- (d): y= m–1 là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
Dựa vào đồ thò ta có:
- Nếu m – 1
9 5
4 4
m< − ⇔ < − ⇒
(d) không cắt (P),vậy phương trình vô nghiệm
y
xO
4
9
−
m-1
-3/2
(P)
(d)
5

- Nếu m –1=-9/4
5
4
m
⇔ = − ⇒
(d) tiếp xúc (P) tại M (
3 9
; )
2 4
− −
⇒
pt có nghiệm kép x=-
3/2
- Nếu m–1
9 5
4 4
m
> − ⇔ > − ⇒
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
⇒
pt có 2 nghiệm phân
biệt.
Ví du 3ï: Cho phương trình : x
2
+5x + 3m – 1 = 0
a).Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.
b).Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: x
1
< - 1 < x
2.

c).Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn -1 .
Giải
Ta có phương trình
⇔
x
2
+5x =1–3m
⇒
nghiệm của phương trình là hoành độ
giao điểm của (P) : y=x
2
+5x và (d) : y=1– 3m .
+ Đồ thò hàm số (P): y = x
2
+5x ( hình vẽ ).
+ (d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox
a). Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt
⇔
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm bên trái trục oy.
Dựa vào đồ thò ta thấy bài toán thỏa mãn
⇔
25 1 29
1 3 0
4 3 4
m m− < − < ⇔ < <
b). Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x
1
< - 1 < x
2
⇔

(d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của đt x= -1
y
xO
4
25
−
2
5
−
(P)
(d)1-3m
-1
-4
6
Dựa vào đồ thò ta thấy bài toán thỏa mãn

⇔
1 – 3m > - 4
⇔
m < 5/3.
c. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn – 1

⇔
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn – 1 ( tức là 2 giao điểm nằm
về bên trái đường thẳng x= - 1 ).
Dựa vào đồ thò ta thấy bài toán thỏa mãn
⇔
25 5 29
1 3 4
4 3 4

m m− < − < − ⇔ < <
Ví du 4ï:
a). Vẽ đồ thò hàm số
2
5 6y x x= − +
b). Tìm m để phương trình :
2
5 6x x m− + =
có 4 nghiệm pb.
Giải
a) Đặt f(x)

= x
2
– 5x + 6
Ta có



<−
≥
==
0)()(
0)()(
)(
xfnếuxf
xfnếuxf
xfy
(C’)
từ đó suy ra cách vẽ:

- Vẽ (C) : y = f(x) .
- Giữ phần đồ thò (C) nằm phía trên trục ox.
- Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục ox qua trục ox
Đồ thò hàm số (C’) là hai phần đồ thò thu được.
b). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C’) của hàm số
( )
x
y f=
và đường thẳng (d): y = m. Dựa vào đồ thò ta có : phương trình có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(d) cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt
⇔
0 < m < 1/4
7
O 2 3 x
y
m
¼
Ví du 5 ï: Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương :

3 4 0x x m
− − − =
Giải
Phương trình
3 4x x m⇔ − − =
.
Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thò (C) của hàm số
3 4y x x= − −
và đường thẳng (d): y = m. y
Vẽ đồ thò hàm số

3 4y x x= − −
.
Có
2
2
3 4 nêu x< 3
3 4 nêu x 3
x x
y
x x

− + −
=

− − ≥

0 2 4 x
Cách vẽ: -1
- vẽ đồ thò hàm số y = - x
2
+3x – 4 , y=m
lấy phần đồ thò ứng với x < 3. -4
- vẽ đồ thò hàm số y = x
2
– 3x – 4 ,
lấy phần đồ thò ứng với
x 3≥
Đồ thò ( C) là hai phần đồ thò thu được.
+) (d) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
+)Để phương trình có nghiệm dương thì (d) phải cắt (C ) tại ít nhất một điểm có hoành

độ dương (điểm nằm bên phải trục oy). Dựa vào đồ thò ta thấy với m > – 4 thì (d) và
(C) có giao điểm có hoành độ dương. Vậy với m > – 4 thì phương trình có nghiệm
dương.
II. Giải bất phương trình:
1.Cơ sở lí thuyết
Nghiệm của bất phương trình
)()( xgxf >
là hoành độ của những điểm thuộc đồ
thò hàm số
( )
y f x=
nằm hoàn toàn phía trên so với đồ thò hàm số
( )
y g x=
.
2. Phương pháp
• Tìm tập xác đònh D của bất phương trình .
• Biến đổi bất phương trình về dạng
)()( xgxf >
• Vẽ đồ thò hàm số
( )
y f x=
và đồ thò hàm số
( )
y g x=
trên tập D.
• Dựa vào đồ thò suy ra kết luận.
Bài tập áp dụng :
8
Ví dụ 1: Cho hàm số y= f(x) = x

2
– 4x + 3 có đồ thò (P).
a) Vẽ đồ thò hàm số (P). Dựa vào đồ thò hàm số (P), tìm các giá trò x sao cho f(x) <
0.
b) Dùng đồ thò hàm số , giải bất phương trình : x
2
– 4x + 3 > x-1
Giải:
a) Vẽ đồ thò hàm số (P) có đỉnh (2,-1) như hình vẽ.
Ta có những giá trò x thỏa f(x)< 0 là hoành độ những điểm thuộc (P) nằm phía dưới
trục hoành.
Dựa vào đồ thò, ta có f(x) < 0
⇔
1 < x < 3
b) Vẽ đt (d) : y = x-1 trên cùng hệ trục với (P).
Nghiệm bất phương trình x
2
– 4x + 3 > x-1 là hoành độ của những điểm thuộc (P)
nằm hoàn toàn phía trên so với đt (d).
Dựa vào đồ thò, ta có nghiệm bất phương trình : x <1 hoặc x > 4
Ví dụ 2: Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm :

mxx >+− 2
2
Giải: - Đặt f(x)

= -x
2
+ 2x có đồ thò (P)
- Vẽ đồ thò hàm số (P) có đỉnh (1,1) như hình vẽ.

- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
y
x
O
-1
1 2 3 4
(P) (d)
y
O 1 2
x
(P)
(d)
1
m
9
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) nằm phía dưới (P).
- Dựa vào đồ thò ta có bất phương trình có nghiệm
⇔
m< 1
Ví dụ 3: Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm :

22
xxmxx
−<+−
Giải: Bất p/trình
222
xxmxxxx −<+−<−⇔




>+−
>
⇔
mxx
m
2
0
2

Đặt (P) : y = -x
2
+ 2x
- (P
2
) có đỉnh (1,1) như hình vẽ
- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) nằm phía dưới (P) và nằm trên Ox.
Dựa vào đồ thò ta có bất phương trình có nghiệm
⇔
0< m < 1
Ví dụ 4: Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm :

xmxx −<+− 33
2
Giải:
Bất p/trình
xmxxx −<+−<−⇔ 333
2







<−+−
>++−
⇔
032
034
2
2
mxx
mxx






>++−
<−+−
⇔
mxx
mxx
32
34
2
2

Đặt (P
1
) : y = -x
2
+ 4x -3 và (P
2
) : y= -x
2
+ 2x +3
- Vẽ (P
1
) có đỉnh (2,1) ; (P
2
) có đỉnh (1,4) như hình vẽ
- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
y
1
m
0 1 x
(P)
10
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) nằm phía dưới (P
2
) và nằm trên (P
1
).
- Dựa vào đồ thò ta có bất phương trình có nghiệm
⇔
m < 4

Ví dụ 5 : Giải và biện luận bất phương trình theo m :

mxx <−− 32
2
Giải:
Bất phương trình



<++−
<<−
∨



<−−
≥∨−≤
⇔
mxx
x
mxx
xx
32
31
32
31
22
Đặt (P
1
) : y = x

2
-2x -3 và (P
2
) : y= -x
2
+ 2x +3
- Vẽ (P
1
) có đỉnh (1,-4) ; (P
2
) có đỉnh (1,4) như hình vẽ
- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
O 1 2 3
x
(P
1
)
(P
2
)
1
4
3
m
(d)
y
-1 O 1 3 x
y
4
m

(d)
(P
1
)
(P
2
)
11
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) nằm phía trên (P
2
) và (P
1
).
Ta có :
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P
1
) là nghiệm của phương trình :
x
2
-2x -3 = m
⇔
x
2
-2x -3 - m = 0
4141
41
++=∨+−=⇔ mxmx
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P
2

) là nghiệm của phương trình :
-x
2
+2x +3 = m
⇔
x
2
-2x -3 + m = 0
mxmx −+=∨−−=⇔ 4141
32
- Dựa vào đồ thò ta có
*
0
≤
m
: bất phương trình vô nghiệm
* 0< m < 4 : bất phương trình có nghiệm
4321
xxxxxx <<∨<<
*
4
≥
m
: bất phương trình có nghiệm
41
xxx <<
Ví dụ 6 : Cho hệ






≤−−
≤++
064
02
2
2
axx
axx

a)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm
b)Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
Giải:
Hệ bất phương trình





−
≥
−−≤
⇔





≤−−

≤++
6
4
2
064
02
2
2
2
2
xx
a
xxa
axx
axx
Đặt (P
1
) : y = -x
2
-2x và (P
2
) :
6
4
2
xx
y
−
=
- Vẽ (P

1
) có đỉnh (1,1) ; (P
2
) có đỉnh (2,
3
2
−
) như hình vẽ
- Vẽ đường thẳng (d) : y = a là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
- (P
1
) giao (P
2
) tại 2 điểm O(0,0) và
)
49
48
,
7
8
(−A
12
y
(P
2
)
A 1
O 2 4
-2 -1 -2/3 x
a (d)

(P
1
)
Các điểm M(x,a) thỏa mãn hệ bất phương trình nằm trong phần gạch chéo,
Dựa vào đồ thò , ta có :
a) Hệ bất phương trình có nghiệm
10
≤≤⇔
a
b) Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất



=
=
⇔
1
0
a
a
Ví dụ 7 : Cho bất phương trình
3
2
<−+ mxx
(1) . Đònh m để :
a).Bất phương trình (1) có nghiệm .
b).Bất phương trình (1) có nghiệm âm
c).Bất phương trình (1) thỏa mãn với mọi
)0,1(−∈x
.

Giải:
Bất phương trình (1)

33
333
22
222
++−<<−+⇔
−<−<−⇔−<−⇔
xxmxx
xmxxxmx
Đặt (P
1
) : y = -x
2
+x +3 và (P
2
) : y= x
2
+ x -3
- Vẽ (P
1
) có đỉnh






4

13
,
2
1
; (P
2
) có đỉnh






−−
4
13
,
2
1
như hình vẽ
- Vẽ đường thẳng (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò x ứng với phần của đường
thẳng (d) nằm phía trên (P
2
) và (P
1
).
13
Do đó :
a) Bất phương trình (1) có nghiệm

⇔
(d) nằm giữa 2 Parabol
3
14
3
14
<<−⇔ m
b) Bất phương trình (1) có nghiệm âm
3
3
14
<<−⇔ m
c) (P
1
) : x = -1
1=⇒ y
(P
2
) : x = -1
3−=⇒ y
Bất phương trình (1) thỏa mãn với mọi
)0,1(−∈x

13 <<−⇔ m
Ví dụ 7 : Giải và biện luận bất phương trình theo m :

mxxx ≤+−
2
(1)
Giải:

Ta có :
mxxx ≤+−
2














≤
≥



≤−
<<



≤−
≤
⇔

mx
x
mxx
x
mxx
x
2
2
2
)3(1
2
)2(10
2
)1(0
Đặt (P
1
) : y = x
2
- 2x và (P
2
) : y= -x
2
+ 2x ; (P
3
) : y = x
2
- (C) là đồø thò của (P
1
) thỏa (1) , (P
2

) thỏa (2) , (P
3
) thỏa
(3)
-3
-14/3
1
-1 ½ 0 ½ x
y = m
14
y
13/4
3

- (P
1
) có đỉnh (1,-1) , bề lõm hướng lên
- (P
1
) có đỉnh (1,1) , bề lõm hướng xuống
- (P
1
) có đỉnh (0,0) , bề lõm hướng lên
- (d) : y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với
trục Ox.
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trò
x ứng với phần của đường thẳng (d) nằm phía trên (P
1
) ; (P
2

) và (P
3
).m
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P
1
) là nghiệm của
phương trình
x
2
-2x = m
⇔
x
2
-2x - m = 0 .

101'
−≥⇔≥+=∆
mm
phương trình có nghiệm :
))1((11
1
domx +−=
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P
2
) là nghiệm của
phương trình
-x
2
+2x = m
⇔

x
2
-2x + m = 0 .
101'
≤⇔≥−=∆
mm
phương trình có nghiệm :
))2((11
2
domx −−=
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P
3
) là nghiệm của
phương trình
0 1 x
y
m
1
(P
2
)
(P
1
) (P
3
)
(d)
15
x
2

= m



=
≥
⇔
))3((
0
3
domx
m
Vaäy :
-
0
<
m
: phöông trình voâ nghieäm
-
0=m
: phöông trình coù nghieäm x = 0
-
10
<<
m
: phöông trình coù nghieäm
21
xxx <<
-
1≥m

: phöông trình coù nghieäm
31
xxx <<
16
BÀI TẬP:
1. Cho phương trình :
2 8 3 6x x m− − − =
a.Giải phương trình với m = - 6 .
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
c.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1,
x
2
thỏa mãn:
1 2
14
2 0;2
5
x x− < ≤ < ≤
.
2. Cho phương trình :
2
3 18x x m− − =
.
a.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
b.Tìm m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương.
3. Tìm m để phương trình :
2
4 8 5x x m− − =

có 4 ngiệm phân biệt.
4. Cho phương trình :
2 2
3 5 0x x x m− + − − =
a.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
b.Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm này lớn hơn 2.
5. Giải và biện luận phương trình :
2 2
2x x m x x
+ + = − + +
.
6. Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm :
23
2
>+−−
xmxx
7. Giải và biện luận bất phương trình theo m :
mxxxx 23
22
≤−+−
8. Giải và biện luận bất phương trình theo m :
xmxx
>+−
2
9. Giải và biện luận bất phương trình theo m :
23
22
++>++
xxmxx
10. Cho bất phương trình

xmxx 23
2
−<−+
(1) . Đònh m để :
a) Bất phương trình (1) có nghiệm
b) Bất phương trình (1) có nghiệm dương
c) Bất phương trình (1) thỏa với mọi
)2,1(∈x
11. Đònh m để bất phương trình đúng với mọi x thuộc R :
mmxxx
≥−++
2
2
12. Đònh m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất :





≤−++
≤−++
04
04
22
22
mxyx
myyx
17