Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 2005
19.1
Ước lượng độ biến động
(rủi ro) và hệ số tương
quan
Chương19
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.2
Tiếp cận chuẩn trong ước lượng
rủi ro (trang 461)

Định nghĩa σn là rủi ro theo ngày, tính từ ngày n-1
đến ngày n, ước lượng vào cuối ngày n-1

Định nghĩa Si là biến giá trị thị trường tại cuối ngày i

Định nghĩa ui= ln(Si/Si-1)
σ
n n i
i
m
n i
i
m
m
u u
u
m
u
2 2
1
1

1
1
1
=
−
−
=
−
=
−
=
∑
∑
( )
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.3
Những đơn giản hóa thường được
sử dụng (trang 462)

Định nghĩa ui là (Si-Si-1)/Si-1

Có thể thấy rằng giá trị trung bình của ui
bằng 0

Thay m-1 bằng m
Kết quả như sau
σ
n n i
i
m
m

u
2 2
1
1
=
−
=
∑
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.4
Áp dụng trọng số
Thay vì quan niệm trọng số bằng nhau
cho các quan sát, chúng ta có thể áp dụng
trọng số αi cho quan sát i.
trong đó
∑
∑
=
=
−
=
=
m
i
i
m
i
inin
u
1
1

22
1
α
ασ
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.5
Mô hình ARCH(m) (trang 463)
Trong mô hình ARCH(m) chúng ta cũng ấn
định trọng số cho phương sai lãi suất dài hạn,
VL:
trong đó :
∑
∑
=
=
−
=+
+=
m
i
i
m
i
iniLn
uV
1
1
22
1
αγ
αγσ

Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.6
Mô hình EWMA

Trong mô hình trung bình di động trọng số
mũ, trọng số cho u2 giảm theo hàm số mũ,
lùi dần theo chiều thời gian

Kết quả là
2
1
2
1
2
)1(
−−
λ−+λσ=σ
nnn
u
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.7
Nhận xét rút ra từ EWMA

Đòi hỏi lưu trữ tương đối ít dữ liệu

Chúng ta chỉ cần lưu trữ ước lượng
phương sai suất sinh lợi hiện hành và quan
sát biến thị trường tại thời điểm mới nhất

Đường rủi ro thay đổi

Đo lường rủi ro sử dụng λ = 0.94 cho dự

báo rủi ro theo ngày
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.8
Mô hình GARCH (1,1) trang 465
Trong mô hình GARCH (1,1) chúng ta ấn
định trọng số cho trung bình phương sai của
tỷ suất dài hạn
Trong đó tổng các trọng số phải bằng 1
γ + α + β =1
2
1
2
1
2
−−
βσ+α+γ=σ
nnLn
uV
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.9
Mô hình GARCH (1,1) tiếp theo
Đặt ω = γV mô hình GARCH (1,1) là như
sau:
và
β−α−
ω
=
1
L
V
2
1

2
1
2
−−
βσ+α+ω=σ
nnn
u
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.10
Ví dụ (ví dụ 19.2, trang 465)

Giả định

Phương sai tỷ suất dài hạn là 0.0002 do
đó rủi ro dài hạn tính theo ngày sẽ là1.4%.
σ σ
n n n
u
2
1
2
1
2
0 000002 013 0 86
= + +
− −
. . .
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.11
Ví dụ tiếp theo

Giả định rằng ước lượng rủi ro tính theo

ngày là 1.6% và mức thay đổi của biến thị
trường mới nhất là 1%.

Phương sai tỷ suất mới sẽ là
Rủi ro mới là 1.53% / ngày
0 000002 013 0 0001 0 86 0 000256 0 00023336. . . . . .
+ × + × =
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.12
GARCH (p,q)

σ ω α β σ
n i n i j
j
q
i
p
n j
u
2 2
11
2
= + +
−
==
−
∑∑
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.13
Phương pháp tối đa xác suất xảy ra

Trong phương pháp tối đa xác suất chúng

ta lựa chọn những thông số sao cho xác
suất của các quan sát có thể xảy ra cao
nhất
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.14
Ví dụ 1

Chúng ta quan sát thấy rằng một sự kiện
nào đó xảy ra 1 lần qua 10 lần thử. Theo
ước lượng của chúng ta tỷ lệ sự kiện đó xảy
ra, p, là bao nhiêu?

Xác suất của một sự kiện xảy ra qua 1 lần
thử mà không phải trong lần thử khác là

Chúng ta tối đa hóa giá trị công thức này để
xác suất xảy ra cao nhất. Kết quả là : p=0.1
9
)1( pp
−
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.15
Ví dụ 2
Ước lượng phương sai của các quan sát từ phân
phối chuẩn với trung bình kỳ vọng bằng 0
tối đa hóa
logarithm hóa công thức trên tương đương với tối
đa hóa
Kết quả là :
∏
=















−
m
i
i
v
u
v
1
2
2
exp
2
1
π
∑
=







−−
m
i
i
v
u
v
1
2
)ln(
∑
=
=
m
i
i
u
m
v
1
2
1

Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.16
Áp dụng vào GARCH

Chúng ta chọn các thông số sao cho tối
đa hóa
∑
∏
=
=






−−








−
m
i
i
i
i
i
i
m

i
i
v
u
v
v
u
v
1
2
2
1
)ln(
hay
2
exp
2
1
π
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.17
Áp dụng vào Excel (Bảng 19.1, trang 469)

Khởi đầu với các giá trị ω, α, và β bất kỳ

Cập nhật phương sai

Tính

Sử dụng solver để tìm giá trị ω, α, và β sao cho tối đa hoá
hàm


Ghi chú quan trọng : lập biểu sao cho 3 số mà bạn tìm được
thể hiện bằng cùng một đơn vị cho dễ so sánh (xem trang
470)
∑
=






−−
m
i
i
i
i
v
u
v
1
2
)ln(
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.18
Phương sai mục tiêu

Một cách áp dụng GARCH(1,1) là tăng
tính ổn định bằng cách sử dụng phương
sai mục tiêu


Chúng ta đặt trung bình rủi ro dài hạn
bằng với phương sai của mẫu

Khi đó chỉ có 2 tham số cần phải ước
lượng
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.19
Mô hình có tốt ?

Kiểm định thống kê Ljung-Box về hệ số tự
tương quan

Chúng ta so sánh hệ số tự tương quan
của ui2 với hệ số tự tương quan của
ui2/σi2
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.20
Dự báo rủi ro tương lai
(phương trình 19.3, trang 472)
Với một vài phép tính đại số cho thấy
rằng
Tỷ suất phương sai cho một quyền chọn
đáo hạn ngày m là
)()(][
22
Ln
k
Lkn
VVE
−σβ+α+=σ
+

[ ]
∑
−
=
+
σ
1
0
2
1
m
k
kn
E
m
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.21
Dự báo rủi ro tương lai
tiếp theo (phương trình 19.4, trang 473)
Định nghĩa
Rủi ro của quyền chọn T-ngày tính theo năm là
βα
+
=
1
lna
[ ]









−
−
+
−
L
aT
L
VV
aT
e
V )0(
1
252
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.22
Cấu trúc rủi ro (Bảng 19.4)

Hàm GARCH (1,1) khuyến cáo rằng, khi tính
vega, chúng ta cần để rủi ro vị thế mua thấp
hơn rủi ro vị thế bán

Ảnh hưởng của 1% thay đổi rủi ro tức thời đối
với đồng Yên Nhật:
Thời gian tồn tại của
quyền chọn (ngày)
10 30 50 100 500
Mức tăng rủi ro (%)

0.84 0.61 0.46 0.27 0.06
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.23
Hệ số tương quan và hiệp phương
sai (trang 475-477)
Định nghĩa xi=(Xi-Xi-1)/Xi-1 và yi=(Yi-Yi-1)/Yi-1
Đồng thời
σx,n: rủi ro theo ngày của X tính cho ngày n-1
σy,n: rủi ro theo ngày của Y tính cho ngày n-1
covn: hiệp phương sai tính cho ngày n-1
Hệ số tương quan sẽ là covn/(σu,n σv,n)
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.24
Cậo nhật hệ số tương quan

Chúng ta có thể sử dụng những mô hình
tương tự để tính rủi ro

Trong mô hình EWMA
covn = λ covn-1+(1-λ)xn-1yn-1
Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 200519.25
Điều kiện xác định hữu hạn dương
Ma trận phương sai - hiệp phương sai, Ω,
nhất quán nội tại nếu điều kiện bán xác định
dương
cho tất cả các vector w
w w
T
Ω ≥
0