Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Với nội dung chương trình hiện hành yêu cầu chứng minh định lí đối với
học sinh được giảm nhiều. Việc tiếp cận định lí đối học sinh được thực hiện từ
đo ,vẽ, trực quan. Song thời gian để vận dụng định lí, rèn kĩ năng có nhiều hơn.
Nhưng không phải học sinh nào cũng vân dụng thành thạo và ghi nhớ định lí tốt
sau khi tiếp cận định lí. Với những học sinh trung bình trở nên nếu được vận
đúng định lí vào một chuỗi những bài tập có mức độ khó dần thì chắc chắn tư
duy của học sinh xẽ được nâng nên. Học sinh khá giỏi sẽ có nhận thức tổng hợp,
logicvề kiến thức toán, rèn được tư duy sáng tạo. Với cách nhìn nhận như vậy
tôi thường chuẩn bị một số bài tập vận dụng định lí, đối với những định lí quan
trọng có tính thực hành thực tiễn nhiều.
Bài viết sau đây là một ví dụ về cách dạy và rèn kĩ năng vận dụng định lí đối với
học sinh.
II. CƠ SỞ KHOA HỌC:
Định lí Py-ta-go về liên hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông
là một định lí đẹp của Hình học. Theo chương trình cũ học sinh học định lí vào
cuối học kì 2 lớp 8. Theo chương trình mới, định lí này được học ngay từ học kì
1 của lớp 7. Nên với câu hỏi " Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu?" Với học sinh lớp 8 năm học 2003-2004
là lúng túng vì lớp 8 đó chưa học căn bậc hai. Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho học
sinh lớp 7 từ cuối học kì 1 của năm học 2003-2004 thì em đó xẽ trả lời quá dễ.
Đáp số là
2
. Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách toán 7 mới giúp học
sinh 7, 8 có khả năng tiếp cân với nhiều bài toán tính độ dài, diện tích tam giác,
tứ giác.
Nét đẹp thứ hai: Định lí Py-ta-go là cầu nối giữa hình học và số học. Nếu các số
tự nhiên a,b,c là độ dài tương ứng của cạnh huyền và hai cạnh góc vuông của
một tam giác vuông thì bộ ba số tự nhiên (a,b,c) là nghiệm của phương trình x
2

= y
2
+ z
2
. Và được gọi là bộ ba số Py-ta-go. Phương trình Py-ta-go có vô số
Năm học 2008-2009
1
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
nghiệm. Nếu (a,b,c) là bộ ba số Py-ta-go thì (ka, kb, kc) cũng là bộ ba số Py-ta-
go, ( k là số tự nhiên).
Sau đây là một số bộ ba số Py-ta-go (a,b,c)
(5, 4, 3); (25, 24, 7); (41, 40, 9); (65, 56, 33); (85, 84, 13); (97, 72, 65).
(13, 12, 5); (29, 21, 20); (53, 45, 28); (65, 63, 16); (85, 77, 36).
(17, 15, 8); (37, 35, 12); (61, 60, 11); (73, 55, 48); (98, 80, 39).
III. PHƯƠNG PHÁP DẠY:
Phát vấn- giải quyết vấn đề.
Đã có tam giác vuông nào?
Độ dài cần tính là cạnh tam giác vuông nào?
Làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách nào? vẽ như thế nào?
Áp dụng định lí Py-ta-go vào những tam giác vuông nào ? được gì?
Biến đổi như thế nào để được phương trình ẩn là độ dài cần tìm?
Học sinh tham gia trình bàylời giải.
1V. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PY-TA-GO:
Định lí phát biểu với học sinh lớp 7 như sau:
a, Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương
hai cạnh góc vuông.
b, Nếu bình phương cạnh lớn nhất của một tam giác không bằng tổng bình
phương các cạnh còn lại thì tam giác đó khôngphải là tam giác vuông.
c, Trong một tam giác, nếu bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương
hai cạnh còn lại thì tam giác đó là vuông và góc vuông đối diện với cạnh lớn

nhất.
Việc chứng minh định lí Năm 1968, trong cuốn sách nói về định lí, Elisha Scott
đã thống kê phân loại 367 cách chứng minh khác nhau về định lí .
Đối với học sinh trong chương trình lớp 7 đã là quen song vì lí do sư
phạm mà không giới thiệu cách chứng minh. Đối với đối tượng học sinh khá,
giỏi thì có thể giới thệu một số cách chứng minh đơn giản.
Năm học 2008-2009
2
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Cách 1: Từ xã xưa, ở Hy lạp cũng như ở Trung quốc, người ta đã quen với hình
vẽ được gọi là "cối xay gió"dùng để chứng minh định lí .
Nội dung như sau:
∆
BFC =
∆
BAE nên diện tích cũng bằng nhau.
Nhưng : S
BFC
= 1/2 S
ABFJ
,
S
BAE
= 1/2 S
BIHE
, => S
ABFJ
= S
BIHE
.

Tương tự S
AKGC
= S
CIHD
.
Từ đó ta có định lí phát biểu bằng "ngôn ngữ diện
tích"là diện tích hình vuông BCDE bằng tổng diện
tích hai hình vuông ABFJ và ACGK.
Cách 2: Hai hình vuông ABDE và GHIK cùng
có cạnh bằng b + c.
Gọi S
a
, S
b
, S
c
lần lượt là diện tích các hình
vuông cạch a, b, c ( a là độ dài cạch huyền, b
và c là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông).
Ta có :
S
ABDE
=(b + c)
2
= S
b
+ S
c
+4.bc/2. (1).

S
GHIK
= ( b+c)
2
= S
a
+ 4. bc/2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra : S
a
= S
b
+ S
c
.
hay a
2
= b
2
+c
2
.

Năm học 2008-2009
3
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Cách 3: Dựng hình vuông có độ dài cạnh là b
+c;
B thuộc AD, C thuộc AF.
Lấy I thuộc EF; K thuộc DE sao cho IF= KE =b.
Ta nhận thấy

∆
ABC =
∆
DKB =
∆
EIK =
∆
FCI.
BCIK là hình vuông.
=> S
BCIK
+S
ABC
+S
DKB
+S
EIK
+S
FCI
=S
ADEF
tương đương S
BCIK
+4.S
ABC
= S
ADEF
.
a
2

+4.bc/2 = (b+c)
2
.
a
2
= b
2
+c
2
.

Cách 4: Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho
CF = c; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE,
chứa điểm B , DE vuông AE, DE = b.
Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy
AB = c, DE = b, đường cao AE = b +c;
∆
ABC =
∆
ECD;
∆
BCD vuông cân tại C có cạnh a.
=> S
ABDE
= S
BCD
+S
ABC
+S
ECD.

.
S
ABDE
= S
BCD
+2.S
ABC.
hay (b+c)(b+c)/2 = a
2
/2 + 2.bc/2.
a
2
=b
2
+c
2
.
Cách 5: Tiếp tục quan sát biểu thức cần chứng
minh theo hướng khác ,
a
2
= b
2
+c
2
= ( b-c)
2
+2bc.
a
2

= ( b-c)
2
+4.bc/2.
Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng
hình chữ nhật ABA
'
C; Hình vuông BCED ( chứa
A
'
); trên BA
'
lấy điểm B
'
sao cho BB
'
= c; trên
DB
'
lấy điểm C
'
sao cho DC
'
= c; CA
'
cắt EC
'
tại .
D
'
.

Năm học 2008-2009
4
nh lớ Py-ta-go vi hc sinh THCS - Ngũi viột Phm Trung Lc-GV THCS NBK
Ta chng minh c nhng kt qu sau :

ABC =

A
'
CB =

B'BD =

C
'
DE =

D
'
EC.
V A'B'C'D'l hỡnh vuụng cnh b - c.
=> S
BCED
= S
A'B'C' D'
+ S
A'BC
+ S
B'BD
+ S

C'DE
+ S
D'EC.
<=> S
BCDE
= S
A'B'C' 'D'
+ 4S
ABC.
<=> a
2
= (b-c)
2
+4.bc/2 <=> a
2
+b
2
+c
2
.
V. BI TP RẩN K NNG VN DNG NH L, PHT TRIN T DUY
LOGIC GIA I S V HèNH HC
Bi 1: Tỡm di x, y trờn hỡnh 1.
Li gii:
p dng nh lớ Py-Ta-go vo cỏc tam giỏc vuụng
AHC, AHB ta cú:
x
2
= 16
2

+ AH
2;
y
2
= 9
2
+AH
2.
Do ú

x
2
- y
2
= (16
2
+ AH
2
)- ( 9
2
+ AH
2
) = 175 (1).
p dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuôngBAC:
x
2
+y
2
= (9 +16)
2

= 625 (2).
Từ (1) và (2) suy ra: x
2
= 400; y
2
= 225.
Do đó x = 20, y = 15.

(H
1
)
Bài 2: Một tam giác có độ dài cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 60
0
.
Tính độ dài cạnh còn lại.
Lời giải: ( hình 2).
Xét tam giác ABC có Â = 60
0
; AB = 8, AC = 3 .
Kẻ đờng cao AH. Tam giác vuông AHB có Â =
60
0
nên AH = AB: 2 = 8: 2 = 4.
Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và
CH = AH - AC = 4- 3 = 1.
áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông
CHB, AHB ta có :
BC
2
= BH

2
+ CH
2
= (AB
2
-AH
2
) + CH
2
= 8
2
- 4
2

+1
2
=49 Vậy BC = 7.
(H
2
)
(Cú th k ng vuụng gúc t C xung AB.)
Nm hc 2008-2009
5
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Bài 3:
Tính chu vi của đường gấp khúc ABCDEA
trên hình 3.
Lời giải:
Kéo dài AB và DE sao cho cắt nhau tại I.
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác

vuông AIE, ta tính được AE = 5, do đó chu
vi đường gấp khúc ABCDEA bằng 12.
(H
3
)
Bài 4:
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 dm. Tính
diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
Kẻ đường cao AH.
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta
có AH
2
= AC
2
-HC
2
= 1
2
-0,5
2
= 0,75.
Suy ra AH =
75.0
≈
0.866.
S
ABC
= (AH.BC):2
≈

0.433(dm
2
).
Bài 5:
Tính diện tích một tam giác có 3
cạmh bằng
.50;20,,10
Lời giải : Nhận thấy 10= 3
2
+1
2
.
20 = 2
2
+4
2
.
50 = (3+2)
2
+(1+4)
2
.
vẽ thêm các điểm D,H,E như trên
hình5
ta tính được
S
ABD
= 1,5; S
BHC
= 4; S

BDEH
= 2; S
AEC

(H
5
)
Năm học 2008-2009
6
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
=12,5.
Do đó S
ABC
= 12,5 -1,5 - 4 -2 =
5(đvdt)
( Có thể hạ đường vuông góc từ C xuống AB hoặc từ A xuống BC )
Bài 6:
Cho tam giác ABC có AB = 3 cm,
AC = 5 cm. Trung tuyến AM = 2 cm.
Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải :
Gọi K là trung điểm của AC. Ta chứng minh
được tam giác AMK thoả mãn định lí Py-ta-
go đảo nên góc AMK = 90
0
.
Ta tính được S
AMK
= 1,5 cm
2

.
Từ đó S
ABC
= 6 cm
2
.
Bài 7:
Tính diện tích tam giác ABC biết độ
dài 3 trung tuyến lần lượt là : 15cm.
36cm, 39cm.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có
đường trung tuyến AD = 36 cm. Lấy
K là trung điểm của GC. Tam giác
DGK thoả mãn định lí Py-ta-go đảo
nên góc GDK bẳng 90
0
.
Ta tính được S
DGK
= 30cm
2
.
Từ đó S
ABC
=360cm
2
.
Bài 8:
Năm học 2008-2009

7
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Tứ giác ABCD có AB = BC = 4, AD = DC =
DB = 8. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở
I. Tính độ dài IB, ID.
Hướng dẫn :
Đặt ID = x ta có IB = 8-x.
Ta có: BD là đường trung trực của đoạn AC
áp dụng định lí py-ta-go vào tam
giác vuông AIB và AID.
ta được 8
2
-x
2
= 4
2
-(8-x)
2
.
Từ đó x = 7. Vậy ID = 7, IB = 1.
Bài 9:
Hình thang ABCD có AB//CD, AC
⊥
BD, AC=
20, BD = 15. Tính độ dài đường trung bình
hình thang.
Hướng dẫn :
Qua B kẻ BE//AC cắt DC kéo dài ở E.
Ta có DBE vuông , BD = 15, BE = 20.
áp dụng định lí Py-ta-go tính được

DE = 25.
Bài 10:
Tứ giác ABCD có I là giao điểm của
hai đường chéo . Tính AD biết rằng
AB = 6, IA = 8, IB = 4, ID = 6.
Hướng dẫn:
Kẻ AH
⊥
IB. Đặt BH = x, AH = y.
Ta tính được:
x = 3/2, y
2
=135/4.
Độ dài AD=
166
.
Năm học 2008-2009
8
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Bài11:
Tam giác ABC có AC - AB = 7 cm, đường
cao AH ( H nằm giữa B và C). Tính độ dài
AB, AC biết HC = 15cm, HB = 6cm.
Lời giải: Đặt AB = y, AC = x .
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác
vuông AHB, AHC ta được:
AH
2
= x
2

- 15
2
, AH
2
= y
2
- 6
2

=> x
2
- y
2
= 15
2
- 6
2
(1)
Theo bài ra ta có : x - y = 7 (2).
Từ (1) và (2) ta tính được x = 17, y = 10.
Bài 12:
Cho tam giác ABC có Â= 60
0
, AB = 6 cm, AC = 8cm.
Tính độ dài BC, diện tích tam giác ABC?
Lời giải:
Kẻ đường cao BH, ta có : AH = AB/2= 3 cm.
Xét tam giác vuông ABH ta có :
BH
2

= AB
2
- AH
2
= 6
2
- 3
2
= 27.
Xét tam giác vuông BHC ta có :
BC
2
= BH
2
+ HC
2
= 27 + 5
2
= 52.
=> BC =
52
cm.
Diện tích tam giác ABC: S
ABC
= (27.8):2 = 108
cm
2
.
Bài 13:
Năm học 2008-2009

9
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Tam giác ABC có Â = 120
0
, BC = a, AC = b,
AB = c.
Chứng minh rằng: a
2
= b
2
+ c
2
+ bc.
lời giải:
Kẻ BH
⊥
AC, xét
∆
BHA vuông:
BH
2
= c
2
-(c/2)
2
= 3c
2
/4.
Xét tam giác vuông BHC:
BC

2
= CH
2
+ BH
2
= ( b + c/2)
2
+ 3c
2
/4= b
2
+ bc
+ c
2
.
hay a
2
= b
2
+ bc + c
2
.
Bài 14:
Tam giác ABC cân tại A, có AB = AC = 9 cm, BC = 12 cm, đường cao BH .
Tính độ dài CH và AH?
Lời giải:
Đặt CH = x, AH = y.
Ta có: x
2
- y

2
= ( BC
2
- BH
2
)- ( AB
2
- BH
2
) = BC
2
- AB
2
= 12
2
- 9
2
= 63.
Trường hợp H nằm ngoài cạnh AC (H14b) không xảy ra, vì khi đó x- y = 9,
suy ra x + y = =7, vô lí.
Vậy điểm H nằm trên cạnh AC ( H14a). Ta có x + y = 9. do dó x - y = 7.
Suy ra x = 8, y = 1 hay CH = 8 cm, AH =1cm.
Bài 15:
Cho tam giác ABC cân tạu A, đường cao BK, AB = 9 cm và AK = 7 cm.
Tính độ dài BC.
Năm học 2008-2009
10
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Lời giải:
Ta có AC = AB = 9 cm, suy ra KC = AC - AK = 2

cm.
∆
AKB vuông tại K nên theo định lí Py-ta-go ta có
:
BK
2
= AB
2
- AK
2
= 32 cm.
∆
AKC vuông tại K theo định lí Py-ta-go ta có :
BC
2
= BK
2
+ KC
2
= 36 hay BC = 6 cm.
Nhận xét : Rất nhiều học sinh khi giải bài toán này thường vẽ hình, bắt tay vào
giải và vui mừng với " kết quả đẹp"mình tìm ra được mà quên mất một việc
quan trong là phải xem lại bài toán có phụ thuộc vào hình vẽ hay không. Điều
này dẫn đến việc xét thiếu trường hợp nhiều bài toán, kể cả với những bài dễ.
Trong bài toán trên, độ dài BC phụ thuộc vào độ dài của BK và KC, trong đó độ
dài KC phụ thuộc vào độ dài của AK và AC.
Tuy nhiên KC = AC - AK hay KC = AC + KA còn phụ thuộc vào K nằm trong
hay nằm ngoài AC hay góc BAC nhọn hay tù( trường hợp vuông A trùng với K
không xảy ravì AK khác 0). Điều này rất quen rhuộc nhưng nhỉều bạn vẫn bỏ
qua.

Như vậy lời giả trên còn thiếu trường hợp góc BAC tù , khi đó tương tự trường
hợp trên ta tính được BC =
288
cm.
BàI 16:
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạmh AB tại D tính số
đo góc C biết rằng AC.BC = 2AD DB.
Tư duy: Bài toán tính ssô đo góc mà gt không
cho góc thì góc tính được xẽ đặc biết. Nhiều khả
năng sủ dụng py-ta-go đảo.
Giải:
Gọi E,F là các tiếp điểm của (O) tren cạnh CB,
Năm học 2008-2009
11
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
CA.
Ta có: AD = à, BD = BE, CE = CF.
Dặt AD = AF = x, BD = BE = y.
Theo gt ab = 2 xy. (1)
ta có :
AB + AC - BC = (x +y) =( x + CF)-( CE + y) =
2x
nên 2x = b+c - a.
Tương tự: 2y = a +c -b.
suy ra: 2x.2y = [c- (a-b)][c + ( a-b)]= c
2
- ( a-b)
2

= c

2
- a
2
+ 2ab - b
2 (2) .
Từ

(1) và (2) suy ra 2ab = c
2
- a
2
+2ab - b
2
.
hay a
2
+ b
2
= c
2
.
Theo định lý Py-t a-go đảo góc C = 90
o
.
VI. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1:
Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2 cạnh huyền cuả tam
giác có giá trị sát nhất với số nào trong các số sau:
2,6; 2,7; 2,8; 3.
Bài 2:

Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 7, góc xen giữa bằng 60
0
.
Tính độ dài cạnh thứ ba.
Bài 3:
Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen giữa bằng 120
0
.
Tính độ dài cạnh thứ ba.
Bài 4:
Tính các cạnh của một hình chữ nhật, bíêt rằng đường vuông góc kẻ từ
một đỉnh đến một đường chéo chia đường chéo đó thành hai đọan độ dài là 9
và 16.
Bài 5:
Năm học 2008-2009
12
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Cho hình vuông ABCD có đường chéo bằng 2a. Gọi d là đường thẳng bất
kì đi qua giao điểm của hai đường chéo. Tính tổng các bình phương của các
khoảng cách từ A, B, C, D đến đường thẳng d.
Bài 6:
Tam giác ABC có góc B =60
0
, AB = 8 cm, AC = 13 cm.
Tính độ dài BC.
Bài 7:
Hình thang ABCD có AB//CD, AB = 16 cm, CD = 44cm, AD = 17 cm,
BC = 25 cm.
a, Chứng minh rằng C và D là các góc nhọn.
b, Tính diện tích hình thang.

VIII. KẾT QUẢ THỰC TIỄN:
5 bài toán đầu với học sinh khối 7 được thực hiện trong 2 tiết có sự hướng
dẫn của thầy, các em học tập tích cực. ở mỗi học sinh cũng thu được kết quả
nhất định .
Với học sinh trung bình bước đầu vận dụng được định lí vào bài tập đòi hỏi tư
duy logíc và khả năng phân tích không nhiều và ứng dụng thực tế của định lí.
Với học sinh khá ngoài kĩ năng vân dụng phân tích có được sau bài học các em
thấy được mối liên hệ giữa đại số và hình học.
Những bài toán còn lại cũng vữa sứcđối với học sinh giỏi khối 7.
Học sinh đại trà khối 8 có sự hướng dẫn của thầy trong 4 tiết khả năng tiếp thu
của các em cũng nhẹ nhàng. Tạo cơ hội cho các em tái hiện kiến thức cũ đồng
thời thấy được khả năng thực tiễn lớn của định lí Py-ta-go và sự logic trong
toán học. Đặc biệt tư duy đại số, đại số hoá hình học của học sinh cũng được
khắc sâu. Các em tự tin hơn trước bài toán tính độ dài, diện tích.
IX. THAY CHO LỜI KẾT.
Năm học 2008-2009
13
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Nhiệm vụ nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng ươm mẫm học sinh giỏi
không dễ chút nào. Nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Trong đó việc thiết kế bài
giảng để học sinh tiếp cận kiến thức mới, củng cố kiến thức đại trà với nội dung
vừa sức lại logic đòi hỏi người thầy phải tìm tòi, làm việc nghiêm túc.
Trên đây là những suy nghĩ và cách làm của cá nhân tôi, chắc không tránh
khỏi thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học
sinh.
Vĩnh Bảo, ngày 20 tháng 01 năm 2009.
Người viết bài
Phạm Trung Lực

Năm học 2008-2009

14
Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngưòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK
Năm học 2008-2009
15