Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Ch ơng I : Lời nói đầu
I- Cơ sở lý luận.
Tìm tòi lời giải là một bớc quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó
quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh
hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bớc này là biết định hớng đúng để
tìm ra đợc đờng đi đúng. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải đợc
mọi bài toán cả.
Một vài kinh nghiệm giải toán đó là:
- Sử dụng các bài toán đã giải.
- Biến đổi bài toán.
- Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn.
- Mò mẫm, dự đoán bằng nhiều cách thử một số trờng hợp có thể xảy
ra.
Hoặc tự đặt ra cho mình câu hỏi:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng khác?
- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể
dùng đợc không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?
- Nếu bạn cha giải đợc bài toán thì hãy giải bài toán có liên quan mà dễ
hơn. Hoặc giải một phần bài toán, biến đổi bài toán, thay đổi ẩn của bài
toán
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay cha? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện
hay cha? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán hay cha?
Để thực hiện những ý đồ s phạm nhất định, trong từng tình huống cụ
thể đối với từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khả năng làm dễ đi
những bài toán khó, làm khó những bài toán dễ,tạo ra những bài toán có mức
độ khó khăn, phức tạp nh nhau hoặc khác nhau, đa dạng hoá các bài toán theo
một chủ đề nhất định để đạt đợc những mục tiêu dạy học. Do vậy, việc khai

thác một bài toán là hết sức cần thiết.
1
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Ii- cơ sở thực tiễn.
Trờng THCS Tiên Hiệp là một trờng có số lợng học sinh ít, nằm
cách xa trung tâm huyện. Trờng chỉ có 8 lớp. Hầu hết các em đều là con em
của các gia đình thuần nông, thu nhập chính là làm ruộng. Đời sỗng của các
gia đình còn gặp nhiều khó khăn. Chính vì thế, các gia đình cha thực sự quan
tâm nhiều đến việc học tập của con em mình. Học sinh của trờng nói chung
có sức học chỉ ở mức trung bình, nhiều học sinh ở mức yếu, đặc biệt là về
môn toán. Hầu hết là do các em cha có cách học, cha chăm làm bài tập và do
hoàn cảnh gia đình, các em phải giúp gia đình nên các em cha thật sự quan
tâm đến việc học tập của mình.
Là một giáo viên trẻ mới ra trờng, khi nhận công tác tại trờng THCS
Tiên Hiệp, tôi gặp rất nhiều khó khăn vì những lý do đó. Tôi luôn luôn suy
nghĩ, trăn trở làm thế nào để các em học tốt hơn, làm thế nào để các em say
mê môn toán hơn, yêu thích môn toán hơn. Vì tôi nghĩ rằng, các em có yêu
thích, có say mê thì các em mới có hứng thú để chăm chỉ hơn trong việc học
toán. Và làm thế nào để các em học kém học tốt hơn, các em học khá giỏi thì
học vững vàng hơn.
Sau một thời gian giảng dạy trực tiếp trên lớp, tôi nhận thấy rằng nếu
ngời giáo viên biết khai thác tốt một bài toán thì bài học sẽ trở nên dễ hiểu và
học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi giải các bài toán. Đặc biệt, trong giờ
Luyện tập, cả học sinh kém lẫn học sinh giỏi đều cố gắng suy nghĩ tìm ra lời
giải vì bài tập đã đợc cô gợi ý rất chi tiết và dễ hiểu.
Chính vì thế, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với nội dung Các hớng
khai thác một bài toán. Đồng thời, sự quan tâm giúp đỡ, đóng góp ý kiến của
các đồng nghiệp trong trờng đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình tôi thực hiện
sáng kiến kinh nghiệm này.

Đây là sáng kiến kinh nghiệm đầu tiên tôi thực hiện nên còn gặp nhiều
sai sót. Tôi rất mong muốn nhận đợc những ý kiến đóng góp của các đồng chí
để tôi rút ra đợc những kinh nghiệm cho phơng pháp giảng dạy của mình tốt
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Giáo viên
2
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Hoàng Phơng Mai
Nội dung chính của đề tài gồm:
Ch ơng I : Lời nói đầu
Ch ơng II : Các hớng khai thác một bài toán
I- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán
II- tìm thêm kết quả mới
III- các tri thức phơng pháp
iV- Thay đổi bài toán theo mục đích dạy học
v- một số con đờng tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu
Ch ơng Iii : phần thực nghiệm
Ch ơng Iv : kết luận
3
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Ch ơng II : Các hớng khai thác một bài toán
I- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán:
Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho
ta một cách giải khác nhau. Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán giúp ta
tái hiện đợc nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức thuộc nhiều mục
khác nhau. Cần nhiều cách giải cho một bài toán giúp cho học sinh khắc sâu
kiến thức, hệ thống kiến thức, nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta

giải các bài toán khác. Vì vậy việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán là hết
sức cần thiết. Song vì thời gian làm bài có hạn nên việc chọn lời giải để trình
bày lại là một nghệ thuật của ngời giải toán.
Bài toán 1: Cho ABC cân tại A, đờng trung tuyến CD. Trên tia đối
của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng CD =
CK
2
1
Lời giải: Nếu nhìn bài toán dới góc độ là một tam giác cân và
giải quyết bài toán bằng những kiến thức về tam giác cân và đờng trung bình
của tam giác thì ta có cách giải nh sau:
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của CK
CI =
CK
2
1
CBI = CBD (c.g.c)
CI = CD =
CK
2
1

Cách 2: Gọi E là trung điểm của AC thì BE =
CK
2
1
Chứng minh:
BE = CD do CBI = CBD (c.g.c)
4

A
D
B
I
C
K
K
A
D
B
C
E
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Hớng tạo thứ 2 là tạo ra đoạn thẳng
gấp đôi CD ta có cách giải sau:
Cách 3: Trên tia đối của tia CB lấy CM = CB
CD là đờng trung bình của ABM
AM = 2CD
Sau đó chứng minh: AM = CK
do ACM = KBC (c.g.c) vì AC=KB (gt)
CM = BC (cách dựng)
ACM = KBC
Cách 4:
Trên tia đối của tia CAlấy CN=CA
thì BN = 2CD
(vì CD là đờng trung bình của ABN).
Do BCN = CBK (c.g.c). Vì BC chung
BCN = CBK = A + B = A + C
(góc ngoài của )

NC = KB
Cách 5:
Trên tia đối của tia DC lấy E sao cho:
DE = DC BE = AC, BE // AC
(Vì BDE = ACD (c.g.c)
Sau đó chứng minh: CBE = CBK (c.g.c)
Từ đó suy ra: CE = CK
CK = 2 CD
Cách giải 1, 2, 3, 4 sử dụng các kiến thức về đờng trung bình của tam giác.
Cách giải 5 sử dụng tính chất của tam giác cân và góc ngoài của tam giác.
5
A
D
B
K
M
C
A
D
B
K N
C
K
A
D
E
B C
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Bài toán trên, vẻ ngoài nhìn rất đơn giản nhng nếu ngời giải toán biết

cách khai thác bài toán thì sẽ lĩnh hội đợc nhiều tri thức cũng nh phơng pháp
ghép hình từ bài toán trên.
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có trung tuyến cũng là
phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Cách 1: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D
sao cho: MA = MD
Xét AMB và DMC
có: AM = BM (cách dựng)
AMB = DMC (đối đỉnh)
MB = MC (AM là trung tuyến)
Vậy AMB = DMC (c.g.c)
A
1
= D
1

(góc tơng ứng của tam giác bằng nhau)
Mà A
1
= A
2
(gt)
A
2
= D
1
ADC cân
AC = DC
Lại có: AB = DC
AB = AC hay ABC cân tại A

Nếu sử dụng tính chất đờng trung bình của tam giác thì ta có các cách
giải sau:
Cách 2:
Trên tia đối của tia AB lấy K sao cho AK =
AB
AM là đờng trung bình củ a BKC
A
1
= K (góc đồng vị của AM và KC)
6
C
A
B
M
D
1 2
1

2
1

K
A
B M
C
1 2
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
A2 = C1 (so le trong)
Mà AK = AC (tính chất tam giác cân)

AB=AK(Cách dựng)AB =AC ABC cân
Cách 3:Chứng minh bằng phản chứng
Giả sử AB > AC. Trên cạnh AB
lấy AD = AC thì ADC cân.
Gọi I là giao điểm của CD và AM
ADCcân có AI là phân giác
ứng với cạnh đáy nên DI = IC
Mà MC = MC (gt)
IM là đờng trung bình của CBD
BD // IM
Điều này trái với giả thiết là BD cắt AM ở A
Giả sử AB < AC cũng chứng minh tơng tự
dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy AB = AC hay ABC cân tại A
Nếu sử dụng trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông thì ta có cách
giải sau:
Cách 4:
Vẽ MH AB; MK AC
Sau đó chứng minh: AK = AH, BH = CK
AB = AC
7
A
D
I
C
MB
A
H
K
B M C

1
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n GV:
Hoµng Ph¬ng Mai
⇒ ∆ ABC c©n t¹i A
NÕu sö dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n ta còng cã lêi gi¶i sau:
8
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Cách 5:
- Giả sử AB > AC. Trên cạnh AB lấy D
sao cho AD = AC ta có:
AMD = AMC (c.g.c)
D
1
= C (1)
MD = MC. Ta lại có MC = MB (gt)
MB = MD
DMB cân
B = D
2
(2)
Từ (1) và (2): B + C = D
1
+ D
2
= 180
o
(vô lý)
- Giả sử AB < AC. Cũng làm tơng tự nh trên
dẫn đến mâu thuẫn

Vậy AB = AC hay ABC cân tại A
Một số bài toán tuy rất đơn giản nếu ta chỉ giải một cách đơn thuần mà
ta cũng có thể nhận ra, quên đi việc tìm nhiều cách giải thì sẽ mất sự thú vị sẽ
không thấy cái hay của bài toán.
II- tìm thêm kết quả mới:
Nếu ta biết cách khai thác triệt để giả thiết bằng cách tìm thêm các kết
quả mới thì không những hiểu sâu về bài toán mà còn trải ra cho ta một con đ-
ờng để đi tìm kiến thức mới.
Ví dụ 1: Gọi H là trực tâm và AP, BN, CM là các đờng cao của ABC
có các góc nhọn. Chứng minh rằng tứ giác AMHN và BMCN nội tiếp.
9
A
D
B
M C
1
2
A
M
N
B
P
C
K
H
G
I1
1
2
Các hớng khai thác một bài toán GV:

Hoàng Phơng Mai
Nhận xét 1: Bì ABC nhọn nên vai trò M, N, P là nh nhau. Do đó ta có
thể đề xuất thêm câu hỏi: Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ.
Nhận xét 2: Xét BHC có HP BC, NC BH, MB HC mà 3 đờng
cao HB, NC, BM đồng quy tại A A là trực tâm của BHC.
Đề xuất kết quả mới: Chứng minh rằng mỗi đỉnh của ABC là trực tâm
của tam giác tạo bởi H và 2 đỉnh còn lại.
Nhận xét 3: Do AMHN nối tiếp A
1
= N
1
(cùng chắn cung MH)
ANPB nội tiếp A
1
= N
2
(cùng chắn cung BP)
N
1
= N
2
NH là phân giác trong của MNP
Đề xuất kết quả mới: Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp MNP
Nhận xét 4:
NH là phân giác trong của MNP
Mà CN HN (gt)
NC là phân giác ngoài của góc MNP (1)
Do NH là phân giác trong của MNP

NG

MN
HG
HM
=
(Tính chất phân giác trong)
Do NC là phân giác ngoài của góc MNG trong MNG nên:
CG
MC
HG
HM
=
(2) (Tính chất phân giác ngoài)
Từ (1) và (2)
CG
CM
NG
MN
HG
HM
==
Kết quả mới: Chứng minh rằng:
CG
MC
HG
HM
=
:
BK
BN
HK

HM
=
:
AI
AP
HI
HP
=
Nhận xét 5: Xét MNP ta có MC là phân giác trong của góc NMP còn
PC, CN là phân giác ngoài của góc MPN và MNP C là tâm đờng tròn bàng
10
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
tiếp MNP. Nên ta có thể đề xuất kết quả mới: Chứngminh rằng các đỉnh A,
B, C là các tâm đờng tròn bàng tiếp của MNP.
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức:
(x - y)
3
+ (y - x)
3
+ (z - x)
3
= 3 (x-y) (y-z) (z-x)
Nhận xét: (x - y) - (y - z) - (z - x) = 0
Đặt x - y = A, y - z = B, z - x = C
A + B + C = 0
A = -(B + C)
A
3
= [(B

3
+ C
3
+ 3 (B + C)]
A
3
= -B
3
- C
3
+ 3 ABC
Từ bài toán này ta đề xuất 2 kết quả mới:
Chứng minh rằng nếu A + B + C = 0 thì A
3
+ B
3
+ C
3
= 3 ABC
Chứng minh rằng nếu A + B + C = 0 thì A
3
+ B
3
+ C
3
: A.B.C
III- các tri thức ph ơng pháp:
Nếu ngời giáo viên chỉ chăm chú vào việc giải toán mà không rút ra tri
thức phơng pháp thì học sinh chỉ biết những bài tập đó ma không biết phơng
pháp để giải những bài toán tơng tự hay tổng quát hơn.

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức
B =
3122113
Giải: B =
3243332133122113 ==
=
11133 ==
Tri thức phơng pháp:
- Khai căn từ trong ra.
- Chú ý hằng đẳng thức:
AA =
- Chú ý tích 2 số để xác định số thứ nhất, số thứ hai
11
.
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
iV- Thay đổi bài toán theo mục đích dạy học:
Để đảm nhiệm đợc vai trò "ngời trọng tài" ngời giáo viên phải có khả
năng thay đổi bài toán làm bài toán dễ đi, làm bài toán khó lên theo mục đích
dạy học phù hợp với từng đối tợng học sinh.
Giải hệ bất phơng trình:
5x - 9 < 2x - 3 3x < 6 x < 2
5x - 10 > 20 - 3x 5x > 30 x > 6 x
3x + 5 -2x + 9 x -4 x -4
Vậy hệ bất phơng trình vô nghiệm.
Muốn là bài toán khó hơn ta đa một phơng trình tích vào:
Ví dụ: Giải hệ bất phơng trình:
(3x - 1) (5x + 2) 0
5x - 10 > 20 - 3x
3x + 5 -2x + 9

Giải bài toán này sẽ khó hơn bài toán trên. Dành cho đối tợng học sinh
khá. Tuy nhiên ta cũng có thể làm cho bài toán dễ đi.
Ví dụ: Giải hệ bất phơng trình:
3x - 1 0
5x - 10 0
x - 2 > 0
v- một số con đ ờng tạo ra bài toán mới từ bài toánban đ ầu
I- Tác dụng của việc tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu:
Để đảm nhận đợc vai trò Ngời thiết kế xây dựng nội dung giảng dạy,
thiết kế những tình huống để học sinh tự giác học tập, tự giác tham gia các
12
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
hoạt động giải toán, ngời giáo viên phải có năng lực tạo ra các bài toán mới
phù hợp với yêu cầu của tiết dạy, phù hợp với trình độ thực tế của học sinh.
Bài toán mới có thể la bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào
sâu khai thác những bài toán đã biết. Thật ra, khó có thể tạo nên một bài toán
hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung, phơng pháp với những bài toán đã
có. Để thực hiện những ý đồ s phạm, trong từng tình huống cụ thể, đối với
từng loại đối tợng học sinh, giáo viên phải có khă năng làm dễ đi những bài
toán khó, làm khó thêm những bài toán dễ, tạo ra những bài toán có mức độ
khó khăn, phức tạp nh nhau hoặc đa dạng hoá các loại bài toán theo một chủ
đề nhất định.
Dới đây là một số con đờng dẫn đến cácbài toán mới từ bài toán ban
đầu.
iI-các con đờng tạo ra bài toán mới
1. Lập bài toán tơng tự với bài toán ban đầu
Ví dụ 1: Bài toán ban đầu: Cho tỉ lệ thức
d
c

b
a
=
Chứng minh rằng:
dc
c
ba
a

=

Bài toán mới: Giữ nguyên giả thiết trên nhng thay kết luận bằng:
Chứng minh rằng:
dc
dc
ba
ba
32
32
32
32

+
=

+
Cách giải bài toán mới và bài toán ban đầu tơng tự nhau nhng chúng đã
tạo cho học sinh những kết quả mới và quan trọng. Hơn nữa, với phơng pháp
và kinh nghiệm thu đợc qua việc giải các bài toán trên, học sinh có thể tự
13

BàI
TOáN
BAN
ĐầU
BàI
TOáN
MớI
Lập bài toán tơng tự
Lập bài toán đảo
Thêm một số yếu tố, đặc biệt hóa
Bớt một số yếu tố, khái quát hóa
Thay đổi một số yếu tố
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
mình tìm ra những kết quả khác từ các bài toán ban đầu. Chẳng hạn, từ tỉ lệ
thức:
d
c
b
a
=
học sinh có thể chứng minh các kết quả sau:
;;
22
22
dc
ba
cd
ab
dc

dc
ba
ba


=

+
=

+
v .v
2. lập bài toán đảo của bài toán ban đầu:
Con đờng thứ hai đi đến bài toán mới là bài toán đảo của bài toán ban
đầu. Để lập đợc bài toán đảo, ta cần biết cách lập mệnh đề đảo của mệnh đề
cho trớc.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu tam giác vuông có một góc bằng 30
0
thì
cạnh đối diện với góc ấy bằng một nửa cạnh huyền.
Giả sử ABC góc A bằng 90
0
, B = 30
0
. Ta phải chứng minh AC =
2
1
BC
Bài toán có dạng: P (A = 90
0

) Q(B = 30
0
) => R (AC =
2
1
BC). Ta có
thể lập đợc 3 mệnh đề đảo:
Mệnh đề đảo 1: P => P Q
AC =
2
1
BC => A = 90
0
; B = 30
0
Mệnh đề đảo 2: P R => Q
A = 90
0
; AC =
2
1
BC => B = 30
0
Mệnh đề đảo 3: Q R => P
B = 30
0
; AC =
2
1
BC => A = 90

0
Vì mệnh đề đảo 1 sai, mệnh đề 2 và 3 đúng nên ta có hai bài toán đảo
nh sau:
Bài toán đảo 1: Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc bằng
30
0
và cạnh đối diện với góc bằng nửa của một trong 2 cạnh còn lại thì tam
giác đó là tam giác vuông.
14
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Ví dụ 2: Trong tam giác cân, trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đ-
ờng cao, đờng phân giác.
Định lý đảo 1: Trong tam giác cân, đờng cao ứng với cạnh đáy cũng là
phân giác trung tuyến.
Định lý đảo 2: Trong tam giác cân, phân giác ứng với cạnh đáy cũng là
đờng cao trung tuyến.
Hai định lý này là nội dung của định lý thuận.
Định lý đảo 3: Nếu một tam giác có đờng cao cũng là trung tuyến thì
tam giác đó là tam giác cân.
Định lý đảo 4: Nếu một tam giác có đờng cao cũng là trung tuyến thì
tam giác đó là tam giác cân.
Định lý đảo 5: Nếu một tam giác có phân giác cũng là trung tuyến thì
tam giác đó là tam giác cân.
3. Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố đặc biệt hoá bài toán:
Để tạo ra bài toán mới ta có thể thêm vào bài toán ban đầu một số yếu
tố. Có thể thêm vào giả thiết một số dữ kiện hoặc thêm vào kết luận một số
điều phải chứng minh. Việc thêm yếu tố vào bài toán ban đầu có thể làm cho
nó phức tạp hơn nhng cũng có thể làm cho nó trở nên dễ dàng hơn cho việc
giải bài toán.

Ví dụ 1: Từ bài toán ban đầu.
Hãy tính tổng sau:
A =
10.9
1
9.8
1
_
4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
Bài toán mới: Hãy tính tổng sau:
B =
132
1
110
1
90
1
72
1
56
1
42
1
30

1
20
1
+++++++
Khi giải bài toán ban đầu, ta đã có sẵn các mẫu của các phân số đợc viết
dới dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong khi giải bài toán sau ta phải làm
thêm công việc phân tích các mẫu thành tích của hai số có đặc điểm nh trên.
Việc này không phải bao giờ cũng nhận thấy ngay và gây khó khăn cho ngời
giải.
15
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Mức độ phức tạp của bài toàn càng tăng nếu ta lại tăng thêm công việc
phải làm. Chẳng hạn: Hãy tính tổng sau:
C =
156
3
132
3
110
3
90
3
72
3
56
3
42
3
30

3
20
3
+++++++
Ví dụ 2: Bài toán đầu: Cho ABC cân có góc A = 100
0
. Trong góc C vẽ
tia Cx sao cho góc BCx = 30
0
. Tia này cắt tia phân giác của góc B tại E.
Chứng minh rằng AB = EB và tính góc AEB.
Bài toán này vào loại khó vì nó đòi hỏi phải vẽ thêm đờng phụ khá đặc
biệt. Vì vậy, để làm bài toán dễ giải hơn, ta có thể thêm câu hỏi nhằm gợi ý
cho việc giải bài toán.
Bài toán mới: Cho ABC cân có góc A bằng 100
0
. Trong góc C vẽ tia
Cx sao cho góc BCx bằng 30
0
. Tia này cắt phân giác của góc B tại E.
a) Vẽ ABC đều (A và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC).
Chứng minh rằng DA là phân giác của góc BDC.
b) Chứng minh rằng AB-EB và tính góc AEB.
Rõ ràng việc đa thêm câu hỏi a là nhằm gợi ý cho việc giải câu b.
Trong trờng hợp, việc đa thêm một số yếu tố của bài toán ban đầu có
thể chuyển việc nghiên cứu đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp
đã cho. Nói cách khác, khi đa thêm các điều kiện hạn chế, ta chuyển từ trờng
hợp chung sang trờng hợp riêng, đã tiến hành đặc biệt hoá bài toán ban đầu.
Ví dụ 3: Bài toán ban đầu: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
xy = x + y + 1995

Phơng trình đã cho tơng đơng với:
(x - 1) (y-1) = 1996, giả sử x y
x 1997 999 500 0 -1 -3
y 2 3 5 -1995 -997 -498

Bài toán mới: Tìm nghiệm nguyên lớn hơn 4 của phơng trình:
xy = x + y = 1995
16
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Việc đa thêm điều kiện "Lớn hơn 4 đã thu hẹp tập nghiệm của phơng
trình chỉ còn một cặp số (500,5) là thoả mãn. Phơng trình sẽ trở thành vô
nghiệm nếu thêm vào điều kiện "Lớn hơn 5".
4. Bớt đi một số yếu tố của bài toán khái quát hoá bài toán ban đầu.
Khi đề xuất bài toán mới bằng cách bớt đi một số yếu tố của bài toán
hai đầu, ta có thể bỏ đi một vài điều kiện đã cho, bỏ đi một vài điều kiện ràng
buộc hoặc bỏ đi một vài đòi hỏi của kết luận. Việc bớt đi một số yếu tố phải
hợp lý, nhằm tạo ra bài toán mới một cách xác định. Khi đó ra mở rộng phạm
vi của bài toán, hoặc tăng số lời giải hoặc tăng mức độ phức tạp của bài toán.
Khi bớt đi một hoặc một số điều kiện của giả thiết, ta đã chuyển việc
nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp lớn
hơn tập hợp ban đầu. Ta đã chyển bài toán từ trờng hợp đặc biệt sang trờng
hợp tổng quát hơn, nói cách khác ta đã khái quát hoá bài toán.
Ví dụ 1: Bài toán ban đầu: Tìm các giá trị của x sao cho 2<x<5 là
nghiệm đúng của phơng trình: x - 2 + 4x-5 = 9
Bài toán mới: Bỏ điều kiện ràng buộc 2<x<5
Giải phơng trình x-2 + 4x-5 = 9
Bài toán mới phức tạp hơn bài toán đầu vì phải xét dấu các biểu thức
trong dấu giá trị tuyệt đối của ba khoảng x 2, 2<x<5, x 5. Ngoài nghiệm x
= 3 còn có thêm nghiệm x =6.2

Ví dụ 2: Bài toán ban đầu: Cho nhọn ABC. Hai đờng cao BD và CE
cắt nhau tại H. Cho biết AB = HC. Tính góc C.
Bài toán mới: Bỏ yếu tố "Nhọn" của ABC ta có bài toán mở rộng hơn
nh sau: Cho ABC. Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Cho biết AB =
HC. Tính góc C. Bài toán ban đầu chỉ có một đáp số là số đo của góc C bằng
45
0
còn bài toán mới, do bỏ điều kiện "Nhọn" của ABC nên ta có thể một
đáp số nữa là số đo của góc C bằng 135
0
.
5. Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu:
Khi thay đổi một số yếu tố của bài toán đã cho, ta có thể thay đổi một
vài dữ kiện, giả thiết; cũng có thể thay đổi một vài điều phải tìm, phải chứng
17
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
minh: hoặc cũng có thể thay đổi vài điều nằm trong giả thiết và kết luận của
bài toán. Việc thay đổi này nhằm làm cho bài toán đã cho trở thành bài toán
khác, có thể dễ hơn hay khó hơn, có thể chuyển sang một thể loại khác, phải
dùng phơng pháp giải khác so với bài toán ban đầu.
Ví dụ: Bài toán ban đầu (Bài toán 1):
Cho ABC và đờng cao AH. Biết rằng AH =
2
1
BC và góc C bằng 75
0
.
Chứng minh rằng ABC là cân.
Bài toán này có nhiều cách giải. Một trong những cách giải là nh sau:

Dựng ABC (B và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AC).
Gọi I là trung điểm của BC
Dễ thấy AHC = CID (c.g.c)
nên góc CID = góc AHC = 90
0
DI là đờng trung trực của BC nên ta có DB = DC
Góc BDC = 150
0
ABC = BDA (c.g.c)
BC = BA
ABC cân đỉnh B
Nghiên cứu lời giải của bài toán trên, ta thấy ABC cân ở đỉnh B có
góc B bằng 30
0
. Nếu BD cắt AC ở K thì BK cũng là phân giác. Ta đi tới bài
toán mới tơng tự bài toán 1 nh sau:
18
A
K
C
H
I
D
B
H1
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Bài toán 2: Cho ABC, đờng cao AK. Biết rằng AK
2
1

BD và góc ABC
bằng 15
0
Chứng minh rằng ABD cân.
Dựa vào kết quả của bài toán 1 và bài toán 2, ta suy ra bài toán mới nh sau:
Bài toán 3: Cho ABC (AB = AC) có góc B bằng 30
0
. Kẻ đờng cao BK.
Trên BK lấy điểm D sao cho BD= AC. Chứng minh rằng ADC đều.
Nghiên cứu ABC cân ở đỉnh góc B bằng 30
0
, ta nhận thấy nếu biết
cạnh bên AB = BC=1 thì ta tính đợc cạnh đáy AC =
32
. Nhng trong hình
1 có AC = AD=BD nên ta có thể đề xuất bài toán 4 nh sau:
Bài toán 4: Tính độ dài cạnh bên của một tam giác cân có góc ở đỉnh
bằng 130
0
và cạnh đáy có độ dài bằng 1.
Xem xét kỹ BKC (Góc K bằng 90
0
), góc KBC bằng 15
0
, góc KCD
bằng 60
0
, BC = DC, ta có thể đề xuất gbài toán 5 nh sau:
Bài toán 5: Không dùng bảng số và máy tính hãy tính tg15
o

Thật vậy, xét BKC vuông nói trên.
Gọi KC = a (H2) ta có CD=BD = 2a
KD = a
3
KB=KD+DB
= a
3
+ 2a = a(2 +
3
)
=
( )
32
32
1
32
=
+
=
+
=
a
a
KB
KC
Cũng có thể dùng tính chất đờng phân giác để giải nh sau: (H3)
Vẽ KDC có góc KDC = 30
o
.
Tia phân giác của góc KDC cắt KC tại E.

Đặt KC = a ta lần lợt có: tg15
o
= tg góc KED
=
32
23
1
23
=
+
=
+
=
+
+
==
aa
a
DCKD
CEKE
CD
CE
DK
KE
19
B
D
K C
a
H.2

D
K C
E
H.3
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
Nh vậy, căn cứ vào cách giải của bài toán 1, ta thay đổi một số yếu tố
của bài toán ban đầu để lần lợt tạo ra các bài toán mới, bài toán thu đợc do
khai thác phơng pháp và kết quả của bài toán trớc đó.
Việc vận dụng các con đờng nh đã trình bày ở trên sẽ tạo ra đợc vô số
các bài toán khác dễ sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Vừa giảng , vừa
luyện trong tiết lý thuyết, luyện tập trong mỗi tiết ôn tập và kiểm tra, phù đạo
học sinh kém, bồi dỡng học sinh giỏi
Ch ơng Iii : phần thực nghiệm
Tôi đã tiến hành kiểm tra hai nhóm học sinh. Mỗi nhóm gồm 10 học
sinh.
- Nhóm 1: Hớng dẫn giải bài tập bình thờng
- Nhóm 2: Hớng dẫn giải bài tập và khai thác theo các hớng trên.
Kết quả nh sau:
nhóm 1 nhóm 2
stt điểm stt điểm
1.
6 1. 7
2. 5 2. 7
3. 7 3. 8
4. 6 4. 7
5. 7 5. 8
6. 6 6. 7
7. 6 7. 7
8. 7 8. 8

9. 8 9. 9
10. 7 10. 8
20
Các hớng khai thác một bài toán GV:
Hoàng Phơng Mai
trung bình
6.5
trung bình
7.6
Nh vậy có thể kết luận đợc rằng. kết quả của nhóm 2 cao hơn của nhóm
1.
Ch ơng Iv : kết luận
Qua quá trình giảng dạy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm tôi đã rút
ra một số kinh nghiệm nh sau:
Trong dạy học toán cho học sinh nói chung và học sinh THCS nói
riêng, việc dạy học các bài tập là vô cùng quan trọng. Để làm tốt đợc nhiệm
vụ này, ngời giáo viên nhất thiết phải trang bị cho mình những kiến thức, kĩ
năng về các hớng khai thác một bài tập. Có đợc những kiến thức, kĩ năng này
ngời giáo viên sẽ có điều kiện dạy tốt nhiều đối tợng học sinh trong cùng 1
bài toán, có điều kiện giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu kiến thức, biết phân
biệt đợc các yếu tố chính, cơ bản trong mỗi bài tập. Khai thác tốt bài tập giúp
học sinh học ít mà hiểu nhiều, rèn đợc óc sáng tạo, khả năng tìm tòi, phán
đoán, khái quát hoá.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm,các hớng khai thác
một bài toán là vô cùng phong phú và sinh động, hơn nữa là một giáo viên trẻ
mới ra trờng, năng lực còn hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm này không
tránh khỏi có những sai sót. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các
đồng chí để tôi giảng dạy ngày một tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trờng THCS Tiên Hiệp, các
đồng chí trong tổ Khoa học tự nhiên, các thầy cô giáo trong Hội đồng s phạm

nhà trờng đã giúp tôi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này.
Hà Nam. ngày 10 tháng 4 năm 2005
Giáo viên
21
C¸c híng khai th¸c mét bµi to¸n GV:
Hoµng Ph¬ng Mai

Hoµng Ph¬ng Mai
22