Trang 1

CHNG I. PHẫP DI HèNH V
PHẫP NG DNG TRONG MT PHNG
oOo
CHUN B KIN THC:
1. Vect:
a) Cỏc nh ngha:
di vect
AB
kớ hiu
AB
bng
di on thng AB.
Hai vect c gi l cựng phng
nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau.
Hai vect c gi l bng nhau nu
chỳng cựng hng v cựng di.
Hai vect c gi l i nhau nu
chỳng ngc hng v cựng di. Vect i
ca vect
a

kớ hiu l -
a

; vect i ca
MN
l
NM

nờn ta cú
NMMN
.
Hai vect
a

v
b

cựng phng k
R:
a

= k
b

.

0.baba






Quy tc hỡnh bỡnh hnh: Nu
ABCD l hỡnh bỡnh hnh thỡ:

ACADAB


Quy tc ba im: Vi ba im A, B, C
tựy ý, ta cú:
ACBCAB

CBACAB

A, B, C thng hng
ACkAB
, k R
I l trung im AB
0

IBIA

G l trng tõm ABC
0

GCGBGA

b) Ta vect v ta im:
Cho hai vect
u

= (u
1
; u
2
),
v


= (v
1
; v
2
), ta cú:

vu

= (u
1
+ v
1
; u
2
+ v
2
)

vu

= (u
1
- v
1
; u
2
- v
2
)
k

u

= (ku
1
; ku
2
)

vu

.
= u
1
v
1
+ u
2
v
2


2
2
2
1
uuu



22

11
vu
vu
vu


Cho hai im A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B
), ta cú:

AB
= (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
AB =
AB

= 2

v
u
= -
1
3
b
a
b
a
v
u
hai vectụ baống nhau
hai vectụ ủoỏi nhau
caực caởp vectụ cuứng phửụng
D
A
B
C

Trang 2

Tọa độ trung điểm của AB: I(
2
;
2
BABA
yyxx
)
Tọa độ trọng tâm ABC: G(
3

;
3
CBACBA
yyyxxx
)
2. Đƣờng thẳng trong mặt phẳng:
Phương trình tham số của đường thẳng :
b)(a;VTCPcoù
)y;M(xquañi
00
u
là :
btyy
atxx
0
0
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng :
B)(A;VTPTcoù
)y;M(xquañi
00
n
là: A(x
- x
0
) + B(y - y
0
) = 0.
Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng có
vectơ pháp tuyến

);( BAn

.
Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương
);( bau

thì d có một vectơ
pháp tuyến
);( abn

. Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyến
n

= (A; B)
thì có một vectơ chỉ phương là
);( ABu

.
Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng:
Ax + By + C
1
= 0 (C ≠ C
1
).
Đường thẳng vuông góc đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng:
-Bx + Ay + C
2
= 0.
3. Đƣờng tròn:
Đường tròn (C):

Rkínhbaùn
baItaâm );(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
.
Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường
tròn (C) khi và chỉ khi a
2
+ b
2
- c > 0. Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán
kình là R =
cba
22
.
BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu
vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được bao nhiêu
điểm M' như thế?
ĐỊNH NGHĨA:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác
định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt

phẳng.

Trang 3

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M)
và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là
tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F
biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến
hình F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép
đồng nhất.
BÀI 2: PHÉP TỊNH TIẾN
I- ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng cho vectơ
v

. Phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm
M' sao cho
'MM
=
v

được gọi là phép tịnh
tiến theo vectơ
v

.


Phép tịnh tiến theo vectơ
v

thường được kí hiệu là
v
T

,
v

được gọi là
vectơ tịnh tiến.
Vậy:
vMMMMT
v


'')(

Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.
II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Nếu
')( MMT
v

,
')( NNT
v

thì

MNNM ''
và từ đó suy ra
M'N' = MN. Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.
Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính.

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (a; b), với mỗi điểm M(x;
y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

, khi đó:
byy
axx
'
'
(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
v
T

)


v

M'
M

Trang 4

BÀI 3: PHÉP ĐỐI XỨNG
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành
chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường
trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường
thẳng d hay phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục
của phép đối xứng trục hoặc đơn
giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường
được kí hiệu là Đ
d
.

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn
nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.
* Nhận xét:
Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu
vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó: M' = Đ
d
(M)
MMMM
00

'

M' = Đ
d
(M) M = Đ
d
(M').
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao
cho trục Ox trùng với đường
thẳng d. Với mỗi điểm M(x;
y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y')
thì:
yy
xx
'
'

Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy


2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao
cho trục Oy trùng với đường
thẳng d. Với mỗi điểm M(x;
y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y')

thì:
yy
xx
'
'

Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy

III- TÍNH CHẤT:
M
0
d
M'
M
(x'; y')
(x; y)
M
0
x
O
y
d
M'
M
M'
(x'; y')
(x; y)
M
0

x
O
y
d
M

Trang 5

Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
bất kì.
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác
bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H
nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình
có trục đối xứng.
Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:

BÀI 4: PHÉP QUAY

I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm O và góc lượng giác a. Phép biến hình biến điểm O thành
chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc
lượng giác (OM; OM') bằng a được gọi là phép quay tâm O góc a.
Điểm O được gọi là tâm quay còn a
được gọi là góc quay của phép quay
đó.
Phép quay tâm O góc a thường
được kí hiệu là Q

(O,a)
.

* Nhận xét:
1) Chiều dương của phép quay
là chiều dương của đường tròn lượng
giác nghĩa là chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ.



D
E
F
A
B
C
E
B
C
D
A
C
F
A
B
C
D
A
B

C
D
α
M'
O
M
α
M'
O
M
α
M'
O
M

Trang 6

Chiều quay dương Chiều
quay âm
2) Với k là số nguyên ta luôn có:
Phép quay Q
(O; 2k )
là phép
đồng nhất.
Phép quay Q
(O; (2k + 1) )
là
phép đối xứng tâm O.



II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến
đường thẳng thành đường
thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam
giác thành tam giác bằng nó,
biến đường tròn thành đường
tròn có cùng bán kính.


* Nhận xét: Phép quay góc a
với 0 < a < , biến đường thẳng
d thành đường thẳng d' sao cho
góc giữa d và d' bằng a (nếu 0 <
a
2
), hoặc bằng - a (nếu
2

a < ).

BÀI 5: KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH
VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:
Định nghĩa:
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm bất kì.
Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm
M', N' thì MN = M'N'.

* Nhận xét:
1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và
phép quay đều là các phép dời hình.
M'
O
M
R
R
C'
A'
B'
I'
O
I
B
A
C
O
d
d'
α
α
I
H
H'
O

Trang 7

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép

dời hình cũng là một phép dời hình.
II- TÍNH CHẤT:
Phép dời hình biến:
1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ
tự giữa các điểm;
2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó;
3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;
4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Chú ý:
a) Nếu một phép dời hình
biến tam giác ABC thành tam
giác A'B'C' thì nó cũng biến
trọng tâm, trực tâm, tâm các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp
của tam giác ABC tương ứng
thành trọng tâm, trực tâm, tâm
các đường tròn nội tiếp, ngoại
tiếp của tam giác A'B'C'.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến
đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.
III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:
Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng
nhau nếu có một phép dời hình biến hình
này thành hình kia.


BÀI 6: PHÉP VỊ TỰ
I- ĐỊNH NGHĨA:

Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M' sao cho
OMkOM .'
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số
k.
Phép vị tâm O, tỉ số k thường được
kí hiệu là V
(O,k)
.


G'
H'
I'
A'
B'
O'
C'
G
H
I
O
C
B
A
-6
0
0
H''
H'

H
v
O
O
M
M'

Trang 8



* Nhận xét:
1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.
3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
4) M' = V
(O,k)
(M) M =
)'(
)
1
,(
MV
k
O
.
II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Nếu phép vị tự
tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý
theo thứ tự thành M', N' thì

MNkNM .''
và M'N' =
k
.MN

Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số
k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng
thành ba điểm thẳng hàng và bảo
toàn thứ tự giữa các điểm;
b) Biến đường thẳng thành
đường thẳng song song hoặc
trùng với nó, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng;
c) Biến tam giác thành tam
giác đồng dạng với nó, biến góc
thành góc bằng nó;
d) Biến đường tròn bán kính
R thành đường tròn bán kính
k
R.


BÀI 7: PHÉP ĐỒNG DẠNG
I- ĐỊNH NGHĨA:
Phép biến hình F được gọi là phép
đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai
điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương
ứng của chúng ta luôn có M'N' =

kMN.

* Nhận xét:
N'
M'
M
N
O
B
A
C
B'
C'
A'
I
A
C
B
I
C'
A'
B'
R'
R
A'
O'
I
O
A
C'

N'
A'
B'
M'
A
B
C
M
N

Trang 9

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
k
.
c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng
dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.
II- TÍNH CHẤT:
Phép đồng dạng tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn
thứ tự giữa các điểm ấy;
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành
góc bằng nó;
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.
* Chú ý:
a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác
A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp,

ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm
các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'.
b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến
đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

III- HÌNH ĐỒNG DẠNG:
Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một
phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
A
B
C
I