Đồ án tốt nghiệp


Trang 1
LỜI NÓI ĐẦU
Khoa học tự nhiên nói chung và toán học nói riêng trong nhiều thập kỷ
qua đã đạt được nhiều thành tựu vô cùng to lớn. Những thành công to lớn đó đã
tạo điều kiện cho con người từng bước giải mã các quy luật của tự nhiên. Một
khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển của
các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt nguyên tắc.
Trong toán học, bên cạnh hình học Eucilide cổ điển với các tiên đề (định đề) về
điểm, đường thẳng, mặt phẳng và hình học Lobachevsky (hình học hyperbolic)
dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song của hình học Euclide thì
đến năm 1975 xuất hiện thêm hình học phân hình. Các bạn thử nghĩ xem, chúng
ta đã học nhiều về Hình học Euclide như hình tròn, hình vuông, hình đa giác
nhưng chúng đều là những hình lí tưởng, có mấy khi xuất hiện trong thực tế?
Mandelbrot đã nói rằng: "Các đám mây không phải hình cầu, các ngọn núi không
phải hình nón". Và chính ông đã đề xướng ra khái niệm Fractal để chỉ các đối
tượng hình học có hình dáng gồ ghề, không lí tưởng trong tự nhiên. Từ khi xuất
hiện đến nay, hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú
nghiên cứu. Các cấu trúc phân hình cơ sở và vẻ đẹp của những hình ảnh do
chúng tạo nên thực sự lôi cuốn hơn nhiều so với các đối tượng toán học đã từng
được biết đến. Hình học phân hình đã cung cấp cho các nhà khoa học một môi
trường phong phú cho sự khám phá và mô hình hoá tính phức tạp của tự nhiên.
Hình học phân hình luôn đi đôi với lý thuyết hỗn độn. Khi xét đến sự phát
triển của một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật
ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc
mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật
ngữ của hình học phân hình là bộ môn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” của sự
hỗn độn đó. Trong ngữ cảnh nào đó hình học phân hình là ngôn ngữ đầu tiên để
mô tả, mô hình hoá và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên.

Nếu như các phần tử của ngôn ngữ truyền thống như đoạn thẳng, đường tròn và
hình cầu được dùng để hiển thị hình học cổ điển thì các dạng và cấu trúc được
dùng để hiển thị hình học phân hình nhờ sự biến đổi của máy tính.
Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới
cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này, tôi chỉ mới thực hiện nghiên
Đồ án tốt nghiệp


Trang 2
cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó. Nội dung của
đề tài gồm có bốn chương được trình bày như sau:
Chương I: Trình bày các kiến thức tổng quan về lịch sử hình học phân
hình, về các kết quả của cơ sở lý thuyết.
Chương II: Trình bày các kỹ thuật cài đặt hình học phân hình thông qua
sự khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở, thuật toán chi tiết để tạo nên các cấu trúc
này. Trên cơ sở đó, minh họa một vài đối tượng trong tự nhiên.
Chương III: Kết quả cài đặt chương trình.
Chương IV: Kết luận và hướng phát triển.
Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy Mai Cường Thọ đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài này, chân thành cảm
ơn quý thầy cô khoa Công nghệ thông tin Trường Đại học Nha Trang đã tận tình
giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong suốt quá trình
học tập. Em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ, và bạn bè đã ủng
hộ, giúp đỡ và động viên em trong suốt quá trình thực tập.
Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết
sức cố gắng hoàn thành nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót
nhất định. Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của các thầy
cô, bạn bè nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển các đề tài ứng dụng liên
quan trong tương lai.
Nha Trang, ngày 8/12/2007

Sinh viên thực hiện
Lê Thị Đào


Đồ án tốt nghiệp


Trang 3
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN






















Đồ án tốt nghiệp


Trang 4

MỤC LỤC

CHƯƠNG I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ HÌNH HỌC PHÂN HÌNH Trang 6
I.1. SỰ RA ĐỜI CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 6
I.1.1. Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên 6
I.1.2. Định nghĩa Fractal (Phân dạng) 10
I.1.3. Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học
Eulide cổ điển 13
I.2. SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 14
I.3. CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 15
I.3.1. Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính 15
I.3.2. Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh 16
I.3.3. Ứng dụng trong khoa học cơ bản 21
I.4. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 21
I.4.1. Độ đo Fractal 21
I.4.2. Các hệ hàm lặp IFS 25
CHƯƠNG II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 30
II.1. ĐỒ HỌA CON RÙA (TURTLE GRAPHIC) 30
II.2. HỌ ĐƯỜNG VON KOCK 31
II.2.1. Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake 32
II.2.2. Đường Von Kock-Gosper 34
II.2.3. Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn 35
II.2.4. Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn 36
II.2.5. Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn 37
II.2.6. Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn 38

II.2.7. Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn 39
II.3. HỌ ĐƯỜNG PEANO 41
II.3.1. Đường Peano nguyên thuỷ 41
II.3.2. Tam giác Cesaro 42
II.3.3. Tam giác Polya 43
II.3.4. Đường Peano-Gosper 44
II.4. HỌ ĐƯỜNG SIERPINSKI 45
II.4.1. Sierpinski Gasket (Tam giác Sierpinski) 45
II.4.2. Đường Sierpinski Carpet. 46
Đồ án tốt nghiệp


Trang 5
II.5. CÂY FRACTAL 46
II.5.1. Các cây thực tế 47
II.5.2. Biểu diễn toán học của cây 47
II.6. HỆ THỐNG HÀM LẶP (IFS) 50
II.6.1. Các phép biến đổi Affine trong không gian R
2
50
II.6.2. IFS của các pháp biến đổi Affine trong không gian R
2
51
II.6.3. Giải thuật lặp ngẫu nhiên 52
II.7. TẬP MANDELBROT 54
II.7.1. Đặt vấn đề 54
II.7.2. Công thức toán học 55
II.7.3. Thuật toán thể hiện tập Mandelbrot 56
II.8. TẬP JULIA 61
II.8.1. Đặt vấn đề 61

II.8.2. Công thức toán học 61
II.8.3. Thuật toán thể hiện tập Julia 62
II.9. HỌ CÁC ĐƯỜNG CONG PHOENIX 64
II.10. HỌ ĐƯỜNG CONG DRAGON 67
II.11. ĐƯỜNG CONG HILBERT 68
II.12. MỘT SỐ ĐƯỜNG FRACTAL KHÁC 69
CHƯƠNG III. CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH 74
III.1. Vấn đề đặt ra cho chương trình 74
III.2. Giải quyết chương trình 74
III.3. Thiết kế giao diện 74
III.4. Một số hàm đồ họa sử dụng trong chương trình 75
III.5. Cách sử dụng chương trình 77
CHƯƠNG IV. KẾT LUẬN 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO 81
Đồ án tốt nghiệp


Trang 6
CHƯƠNG I
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ HÌNH HỌC PHÂN HÌNH
I.1. SỰ RA ĐỜI CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH
Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình là kết quả của nhiều thập kỷ nổ
lực giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt
là vật lý và toán học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình được xây
dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế kỷ 20. Các
vấn đề đó bao gồm:
 Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự
nhiên.
 Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học
Euclide cổ điển.

I.1.1. Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên
Các công thức lặp có dạng:
X
n+1
= f(X
n
)
thường được sử dụng trong các ngành khoa học chính xác để mô tả các quá trình
lặp đi lặp lại có tính xác định. Các quá trình được xác định bởi công thức trên,
trong đó f thể hiện mối liên hệ phi tuyến giữa hai trạng thái nối tiếp nhau X
n
và
X
n+1
, được quan tâm đặc biệt. Các khảo sát trong những thập niên gần đây đã
phát hiện ra các cư xử kỳ dị của các tiến trình lặp như vậy.
Khảo sát chi tiết đầu tiên được nhà khí tượng học Edward N. Lorenz tiến
hành vào năm 1961 khi nghiên cứu hệ toán học mô phỏng dự báo thời tiết. Về
mặt lý thuyết, hệ này cho ra các kết quả dự đoán chính xác về thời tiết trong một
khoảng thời gian dài. Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, khi bắt đầu tính toán lại
dựa vào dữ liệu cho bởi hệ tại một thời điểm tiếp sau đó không giống với các kết
quả dự đoán ban đầu. Hơn nữa sai số tính toán sẽ tăng lên nhanh chóng theo thời
gian. Điều này dẫn đến kết luận là nếu tiến trình dự đoán lại từ một thời điểm
nào đó trong tiến trình dự báo, khoảng thời gian để các kết quả dự báo tiếp theo
vẫn còn chính xác sẽ bị thu hẹp lại tức là không thể dự báo chính xác về thời tiết
Đồ án tốt nghiệp


Trang 7
trong một khoảng thời gian khá lớn. Vấn đề được Lorenz tìm thấy ở đây ngày

nay được gọi là sự hiện diện của tính chất hỗn độn trong các tiến trình lặp xác
định.
Tiếp theo sau phát hiện của Lorenz, vào năm 1976 Robert May trong bài
viết với tựa đề “Các mô hình toán học đơn giản với các hệ động lực phức tạp” đã
đề cập đến một vấn đề tương tự. Đó là sự hỗn độn của quá trình phát triển dân số
trong tự nhiên, vốn được xem là đã được xác định rất rõ ràng và chi tiết nhờ mô
hình dân số Verhulst xây dựng dưới đây.
Nếu ký hiệu:
- R là tốc độ gia tăng dân số mỗi năm.
- P
o
là lượng dân số khởi điểm (của một quốc gia, một thành phố,…).
- P
n
là lượng dân số có được sau n năm phát triển.
Ta có quan hệ sau: )1(0,
1




n
P
PP
R
n
nn

Để ý là nếu dân số phát triển đều, tức là R không đổi từ năm này sang
năm khác, từ (1) ta sẽ có:

P
n+1
= f(P
n
) = (1+R)P
n

Do đó sau n năm, lượng dân số khảo sát sẽ là:
P
n
= (1+R)
n
.P
o

Công thức này chỉ ra sự gia tăng dân số theo hàm mũ là một điều không
thực tế. Vì vậy Verhulst đề nghị R thay đổi cùng với lượng dân số được khảo sát.
Một cách cụ thể, Verhust cho R tỉ lệ với tốc độ phát triển dân số theo môi trường
(P-P
n
) / N. Trong đó N là lượng dân số tối đa có thể có ứng với điều kiện môi
trường cho trước. Như vậy có thể biểu diễn R dưới dạng:
)2(









N
PN
rR
n

Với r là hệ số tỷ lệ gọi là tham số phát triển theo môi trường.
Đồ án tốt nghiệp


Trang 8
Từ (1) và (2) suy ra:










N
PN
r
P
PP
n
n
nn 1


Do đó:
)3(1
1









N
P
r
N
P
N
PP
n
n
nn

Đặt:
N
P
P
k
k

 , ta có: )4()1(
1
n
n
nn
Pr
P
PP




Suy ra: P
n+1
= P
n
+ rP
n
(1 – P
n
)
Phương trình này được gọi là phương trình dân số Verhust. Rõ ràng
phương trình được xác định rất đơn giản. Do đó, kể từ khi được đưa ra, người ta
áp dụng mà không nghi ngờ gì về tính ổn định của nó. Tuy nhiên khi May khảo
sát phương trình này thì với r thay đổi trong phạm vi khá lớn, ông đã khám phá
ra sự bất ổn định về tỉ lệ phát triển dân số theo môi trường P
k
.
Các kết quả quan sát chi tiết cho thấy khi số lần lặp n trở nên khá lớn ta có
các trường hợp sau:

- Với 0 < r < 2: Dãy (P
n
) tiến đến 1, tức là sự phát triển dân số đạt
mức tối đa.
- Với 2 < r < 2,449: Dãy (P
n
) dao động tuần hoàn giữa hai giá trị, tức
là sự phát triển dân số biến động giữa hai mức xác định. Hình vẽ
dưới đây minh hoạ cho trường hợp r = 2.3 và P
o







Dân số
Thời gian
Hình I.1. Với r = 2.3 và P
0
= 0.01
Đồ án tốt nghiệp


Trang 9
- Với 2,449 < r < 2,570: Dãy (P
n
) dao động ổn định với các giá trị
được lặp lại theo chu kỳ lần lượt được nhân đôi khi giá trị r chạy từ

2,449 đến 2,570. Hình vẽ (I.2) minh hoạ trường hợp r = 2.5 và sự
dao động ở đây có chu kỳ 4.





- Với r > 2.570: Dãy (P
n
) không còn tuần hoàn nữa mà trở nên hỗn
độn, theo nghĩa các giá trị của dãy được chọn một cách hoàn toàn
xác định nhưng không thể dự đoán chính xác. Hình vẽ (I.3) minh
hoạ trường hợp r = 3.0 và P
o
= 0.1







Một kết quả lý thuyết cũng đã được chứng minh bởi Jame York và Tiên
Yien Li trong bài viết “Các chu kỳ 3 chứa đựng sự hỗn độn” vào tháng 12/1975.
York và Li đã chỉ ra rằng mọi hàm số được xác định tương tự như phương trình
dân số có một chu kỳ tuần hoàn 3 thì cũng có chu kỳ tuần hoàn n, với n là số tự
nhiên khác 0 và 1. Điều này dẫn đến sự kiện là vô số các tập giá trị tuần hoàn
khác nhau được sản sinh bởi loại phương trình này.
Dân số
Thời gian

Hình I.2. Với r = 2.5
Dân số
Thời gian
Hình I.3. Với r = 3.0 và P
o
= 0.1
Đồ án tốt nghiệp


Trang 10
Vào năm 1976, Mitchell Feigenbaum đã nghiên cứu phương trình này
một cách độc lập với May và York. Feigenbaum xét phương trình dân số ở dạng
đơn giản: y = x(1- x) và thể hiện nó trên sơ đồ phân nhánh. Nếu gọi r
n
là giá trị
tham số phát triển theo môi trường của mô hình Verhulst tại lần rẻ nhánh thứ n
(là lúc ứng với r
n
đó, chu kỳ 2
n
trở nên không ổn định nữa và chu kỳ 2
n+1
đạt
được sự ổn định), thì tỷ số của các khoảng liên tiếp 
n
xác định bởi:
nn
nn
n
rr

rr





1
1


sẽ tiến về giá trị  = 4.669 khi n. Tính chất này cũng được tìm thấy trong các
tiến trình có chu kỳ lần lượt được nhân đôi và khác với tiến trình Verhulst. Do đó
giá trị này ngày nay được gọi là hằng số phổ dụng Feigenbaum (trong lý thuyết
hỗn độn).
I.1.2. Định nghĩa Fractal (Phân dạng)
Fractal là một hình hình học mà mỗi yếu tố con của nó lại đồng dạng với
toàn hình đó hay fractal là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc
trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: Mỗi phần giống
như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy, fractal có vô tận
các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại
khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán
học, theo phép hồi quy. Từ fractal được nói đến lần đầu vào năm 1975 bởi
Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là "đứt gãy". Trước đó, các
cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là "đường cong quỷ": Lấy một
đoạn thẳng, bỏ 1/3 đoạn thẳng ở giữa để thay vào đó một chữ V lộn ngược với
hai cạnh bằng đoạn thẳng bỏ đi. Đối với mỗi đoạn thẳng, ta lại thực hiện tương
tự như đoạn thẳng gốc. Và liên tiếp như thế – cuối cùng ta thu được một fractal
có hình đồng dạng với từng yếu tố con của nó.

Phân dạng ban đầu được nghiên cứu như một vật thể toán học. Hình học

phân dạng là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của phân dạng;
Đồ án tốt nghiệp


Trang 11
những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ngành
này có ứng dụng trong khoa học, công nghệ, và nghệ thuật tạo từ máy tính. Ý
niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật
thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclide và giải tích thất bại khi
mô tả các fractal.
Fractal tạo từ hình toán học

Một fractal Mandelbrot
z
n+1
= z
n
2
+ c

Fractal trông
giống bông hoa


Một fractal của tập
hợp Julia

Một fractal
Mandelbrot khác


Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng

Kéo hai tấm nhựa
trong suốt có dính
keo ra khỏi nhau, ta
có được một cấu trúc
phân dạng.


Phóng điện cao thế
trong một khối
nhựa trong suốt, ta
thu được hình
Lichtenberg có cấu
trúc phân dạng.

Các vết nứt có cấu
trúc phân dạng
trên bề mặt đĩa
DVD, sau khi đưa
đĩa này vào lò vi
sóng.

Xúp lơ xanh
Romanesco có
những cấu trúc
phân dạng tự
nhiên

Việc định nghĩa các đặc tính của fractal, có vẻ dễ dàng với trực quan, lại

cực kỳ khó với đòi hỏi chính xác và cô đọng của toán học.
Mandelbrot đã định nghĩa fractal là “một tập hợp mà trong đó chiều
Hausdorff-Besicovitch lớn hơn chiều tôpô học”. Chiều Hausdorff là khái niệm
sinh ra để đo kích thước của fractal, thường không phải là một số tự nhiên. Đây
là một đặc trưng quan trọng của fractal. Một hình vẽ fractal trên tờ giấy 2 chiều
có thể bắt đầu có những tính chất của vật thể trong không gian 3 chiều, và có thể
Đồ án tốt nghiệp


Trang 12
có chiều Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một fractal hoàn toàn tự đồng dạng,
chiều Hausdorff sẽ đúng bằng chiều Minkowski-Bouligand.
Các vấn đề liên quan đến định nghĩa fractal gồm:
 Không có ý nghĩa chính xác của “gấp khúc”.
 Không có định nghĩa duy nhất của "chiều”.
 Có nhiều cách mà một vật thể có thể tự đồng dạng.
 Không phải tất cả mọi phân dạng đều tìm được bằng phép đệ quy.
Ví dụ:













Fractal có ý nghĩa rất lớn trong nhiều ngành nghiên cứu khác nhau vì
nhờ nó mà người ta lí giải được những hình thù và cấu trúc phức tạp trong tự
nhiên, từ hệ thống các mạch máu hay cấu trúc một bông hoa súp lơ, thậm chí
cả xung thần kinh của một bệnh nhân tâm thần.
Đám mây

R
ừng cây

bông tuyết.
Đồ án tốt nghiệp


Trang 13
I.1.3. Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học
Eulide cổ điển
Vào các năm 1890 & 1891, trong khi tìm kiếm các đặc trưng bất biến của
các đối tượng hình học qua các phép biến đổi đồng phôi trong lý thuyết topô, các
nhà toán học Peano & Hilbert đã phát minh ra các đường cong có tính chất rất
đặc biệt. Đó là các đường cong không tự cắt theo một quy luật được chỉ ra bởi
Peano và Hilbert, chúng lấp đầy mọi miền hữu hạn của mặt phẳng. Hình học
Euclide cổ điển quan niệm các đường cong như vậy vẫn chỉ là các đối tượng một
chiều như các đường thẳng. Tuy nhiên trực quan cho thấy cách nhìn như vậy về
số chiều là rất gò bó. Do đó người ta bắt đầu nghĩ đến một sự phân lớp mới,
trong đó các đường có số chiều bằng 1 được đại diện bởi đường thẳng, các đối
tượng hai chiều được đại diện bởi mặt phẳng, còn các đường cong lấp đầy mặt
phẳng đại diện cho các đối tượng có số chiều giữa 1 và 2. Ý tưởng cách mạng
này đã dẫn đến việc hình thành và giải quyết bài toán số chiều hữu tỷ gây ra
nhiều tranh luận toán học trong các thập kỷ gần đây.
Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà toán học Thụy Điển Helge Koch đã đưa ra

một loại đường cong khác với những đường cong của Peano và Hilbert. Các
đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng nhưng lại có độ dài thay đổi
một cách vô hạn mặc dù chúng được chứa trong một miền hữu hạn. Những
đường cong như vậy có rất nhiều trong tự nhiên và dường như thiên nhiên rất tiết
kiệm cho nên sáng tạo nhiều đối tượng theo cùng một quy tắc như: Hình thái
chia nhánh các cây, đường đi của không khí trong phế quản, hình dạng các
đường bờ biển, các đám mây, các hoa, các núi, đường biên của một bông hoa
tuyết, các đám mây,… Tất cả các đường cong này đều một tính chất đặc trưng là
đồng dạng. Nó được biểu hiện bởi sự giống nhau giữa một phần rất nhỏ của
đường cong được phóng lớn với một phần khác lớn hơn của cùng một đường
cong đó. Tính chất này giữ một vị trí quan trọng trong việc hình thành nên các
dạng cấu trúc vô cùng phức tạp của tự nhiên, nhưng vào thời Von Koch lại được
hiểu biết rất sơ lược.
Chỉ với sự giúp đỡ của máy tính điện tử, bản chất của tính đồng dạng mới
được nghiên cứu đầy đủ và chi tiết trong tác phẩm “Hình học phân hình trong tự
nhiên” của Benoit B. Mandelbrot xuất bản năm 1982. Trong tác phẩm của mình,
Mandelbrot đã phân rã các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên thành các thành
phần cơ bản gọi là fractal. Các fractal này chứa đựng các hình dáng tự đồng dạng
Đồ án tốt nghiệp


Trang 14
với nhiều kích thước khác nhau. Mandelbrot đã tạo nên những bức tranh fractal
trừu tượng đầu tiên và nhận thấy rằng đằng sau các đối tượng tự nhiên như các
đám mây, các dãy núi, các khu rừng, vv… là các cấu trúc toán học tương tự
nhau. Chúng có khuynh hướng hài hòa về màu sắc và cân đối về hình thể. Ngoài
ra, Mandelbrot cũng thiết lập cách xác định số chiều và độ dài của các dạng
fractal cơ sở. Chính với định nghĩa về số chiều này, bài toán số chiều không
nguyên mới được giải quyết một cách hoàn chỉnh. Có thể nói công trình của
Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý thuyết hình học phân hình sau

hơn nửa thế kỷ nghiên cứu liên tục.
I.2. SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH
Kể từ khi ra đời một cách chính thức vào năm 1982 cho đến nay, lý thuyết
hình học phân hình đã phát triển một cách nhanh chóng.
Sau khi đặt nền móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot cùng với các
nhà toán học khác như A. Douady và J.Hubbard đã phát triển lý thuyết về các
mặt fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu
trúc fractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia. Ngoài ra, các nghiên cứu cũng
cố gắng tìm kiếm mối liên hệ giữa các cấu trúc này.
Dựa trên các công trình của Mandelbrot (trong những năm 1976, 1979,
1982) và Hutchinson (1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và
M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở
lý thuyết về các hệ hàm lặp (IFS). Các IFS này bao gồm một bộ hữu hạn các
phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh các
đối tượng trong tự nhiên. Theo lý thuyết này, hình học Euclide cổ điển rất có
hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một toà nhà, một cổ
máy nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của
thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có. Nếu như trong hình
học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông,… thì lý
thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật toán
để vẽ nên các fractal của tự nhiên.
Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết, hình học phân hình còn được
bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các
khoa học chính xác khác, như dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát triển lý
Đồ án tốt nghiệp


Trang 15
thuyết biến đổi phân hình áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy tính,
là một lĩnh vực đòi hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại.

Hiện nay nhiều vấn đề về lý thuyết phân hình vẫn đang được tiếp tục
nghiên cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các
độ đo đa phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các
khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng
liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên.
I.3. CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH
Hiện nay có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học phân hình, bao
gồm:
▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.
▪ Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.
▪ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.
I.3.1. Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính
Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm
gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi,
animation video,… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Công nghệ này đòi hỏi sự
mô tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự
tốn kém rất lớn về thời gian và công sức. Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm
nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các
đối tượng tự nhiên. Với hình học phân hình, khoa học máy tính có trong tay một
công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ.
Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học phân hình còn có mặt
trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính. Các hệ này cho phép
người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các hiệu
ứng vẽ rất tự nhiên hết sức hoàn hảo và phong phú như hệ phần mềm thương mại
Fractal Design Painter của công ty Fractal Design. Hệ này cho phép xem các
hình ảnh dưới dạng hình họa vector cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các
đối tượng. Như đã biết, các ảnh bitmap hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp
cho các ứng dụng mang tính tốc độ, các ảnh vector mất nhiều thời gian hơn để
trình bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi rất ít
Đồ án tốt nghiệp



Trang 16
vùng nhớ làm việc. Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng này sẽ
giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ phần mềm này trong
việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao.
I.3.2. Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh
Hiện nay, việc sử dụng ảnh số (ảnh hành không, ảnh
viễn thám, ảnh mặt đất…) trong quản lý Nhà nước về tài
nguyên và môi trường, điều tra cơ bản, thành lập bản đồ, theo
dõi diễn biến thời tiết, tích hợp và phân phối thông tin … đã
tương đối phổ biến. Một trong những mục tiêu quan trọng hàng
đầu của công nghệ xử lý hình ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực
với đầy đủ tính phong phú và sống động trên máy tính. Tuy nhiên do trong quá
trình sử dụng vấp phải một số khó khăn trong việc lưu trữ (không gian lưu trữ
thông tin vượt quá khả năng lưu trữ của các thiết bị thông thường), trao đổi,
truyền trên mạng thông tin do dung lượng ảnh rất lớn, nhất là các ảnh màu, có độ
phân giải cao Việc nghiên cứu và ứng dụng Fractal trong nén, giải nén ảnh số
phục vụ xử lý, phân tích, đánh giá thông tin là hoàn toàn cần thiết và sẽ đem lại
hiệu quả phục vụ thực tiễn.
Các nhà sản xuất máy tính đang quảng cáo những sản phẩm mới nhất
nhằm đáp ứng lĩnh vực đồ họa. Trong khi đó các nhà lập trình thì biết rất rõ là
những máy tính hiện nay chưa thể làm việc với các loại ảnh màu thực bởi lẽ
lượng thông tin quá lớn của từng ảnh. Chẳng hạn như 1 ảnh có chất lượng gần
như chụp đòi hỏi vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, để hiện ảnh đó trên màn hình
mày tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768 cần xấp xỉ 2.25Mb. Với
các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạt cảnh trong thời gian 10
giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức là bằng sức chứa của một đĩa CD-ROM.
Như vậy khó có thể đưa công nghệ multimedia lên PC vì nó đòi hỏi một cơ sở dữ
liệu ảnh và âm thanh khổng lồ hay để có bộ phim trên máy vi tính tương đương

chất lượng với chương trình vô tuyến cần phải lưu một lượng thông tin là 22 MB
trong 1 giây.
Đứng trước bài toán này, khoa học máy tính đã giải quyết bằng những cải
tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm. Tất cả các cải tiến đó dựa trên ý
tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp. Những phương pháp thường (như
Compress trong hệ UNIX) không đem lại hiệu quả: Tỷ lệ nén dữ liệu cho hình
Đồ án tốt nghiệp


Trang 17
ảnh không quá 2:1. Nhưng với những phương pháp chuyên dụng có thể đạt tới
30:1. Hai phương pháp nén hình ảnh nổi tiếng nhất hiện nay là của nhóm chuyên
gia về hình ảnh động (Motion Picture Experts Group - MPEG) và liên hiệp các
nhóm chuyên gia về hình ảnh (Joint Photo Graphic Experts Group - JPEG).
Những phương pháp này đã trở thành chuẩn công nghiệp. Những yếu điểm cơ
bản của các phương pháp này là sự mất mát thông tin và hiệu quả nén không cao
đối với những hình ảnh phức tạp.
Các phương pháp nén thông tin hình ảnh gần đây đều có 1 trong 2 yếu
điểm sau:
● Cho tỉ lệ nén không cao. Đây là trường hợp của các phương pháp nén
không mất thông tin.
● Cho tỉ lệ nén tương đối cao nhưng chất lượng ảnh nén quá kém so với
ảnh ban đầu. Đây là trường hợp của các phương pháp nén mất thông
tin, ví dụ chuẩn nén JPEG.
Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt một tỷ lệ nén hiệu quả (kích
thước dữ liệu nén giảm so với ban đầu ít nhất hàng trăm lần), phương pháp nén
mất thông tin là bắt buộc. Tuy nhiên một vấn đề đặt ra là làm thế nào có được
một phương pháp nén kết hợp cả tính hiệu quả về tỷ lệ nén lẫn chất lượng ảnh so
với ảnh ban đầu? Phương pháp nén ảnh phân hình được áp dụng gần đây bởi
Iterated System đáp ứng được yêu cầu này.

Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn
tồn tại một điểm bất động x
r
sao cho:
X
r
= f(x
r
)
Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co
f.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một
“điểm” bất động x
r.
. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất
động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó
trên các kết quả thu được ở mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được
càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Dựa vào nhận xét này, người ta
đề nghị xem ảnh cần nén là “điểm bất động” của một họ ánh xạ co. Khi đó đối
Đồ án tốt nghiệp


Trang 18
với mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này làm giảm đi
rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.
Việc tìm ra các ảnh co thích hợp đã được thực hiện tự động hoá nhờ quá
trình fractal một ảnh số hoá do công ty Iterated System đưa ra với sự tối ưu về
thời gian thực hiện. Kết quả nén cho bởi quá trình này rất cao, có thể đạt tỷ lệ
10000: 1 hoặc cao hơn. Một ứng dụng thương mại cụ thể của kỹ thuật nén phân
hình là bộ bách khoa toàn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta” được
đưa ra vào tháng 12/1992. Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100

hoạt cảnh, 800 bản đồ màu cùng với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả, con người,
phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hoá dưới dạng các dữ liệu fractal và chỉ
chiếm xấp xỉ 600Mb trên một đĩa compact.
Ngoài phương pháp nén phân hình của Barnsley, còn có một phương pháp
khác cũng đang được phát triển. Phương pháp đó do F.H.Preston, A.F.Lehar,
R.J.Stevens đưa ra dựa trên tính chất của đường cong Hilbert. Ý tưởng cơ sở của
phương pháp là sự biến đổi thông tin n chiều về thông tin một chiều với sai số
cực tiểu. Ảnh cần nén có thể xem là một đối tượng 3 chiều, trong đó hai chiều
dùng để thể hiện vị trí điểm ảnh, chiều thứ ba thể hiện màu sắc của nó. Ảnh được
quét theo thứ tự hình thành nên đường cong Hilbert chứ không theo hàng từ trái
sang phải như thường lệ để đảm bảo các dữ liệu nén kế tiếp nhau đại diện cho
các khối ảnh kế cạnh nhau về vị trí trong ảnh gốc. Trong quá trình quét như vậy,
thông tin về màu sắc của mỗi điểm ảnh được ghi nhận lại. Kết quả cần nén sẽ
được chuyển thành một tập tin có kích thước nhỏ hơn rất nhiều vì chỉ gồm các
thông tin về màu sắc. Phương pháp này thích hợp cho các ảnh có khối cùng tông
màu lớn cũng như các ảnh dithering.
 Phương pháp nén ảnh Fractal (Fractal Image ompession): Đây là phương
pháp cho hiệu quả nén rất cao và hạn chế mất thông tin.
Vài khái niệm trong lĩnh vực nén ảnh
Tất cả các phương pháp nén ảnh đều dựa trên một nguyên lý đơn giản:
Trong dữ liệu có nhiều phần tử thừa và nén ảnh dựa trên cơ sở tìm ra những phần
tử đó và mã hóa chúng. Ví dụ, như số 9999997777 có thể mã hóa thành 6947.
Các hình ảnh trên màn hình máy vi tính đặc trưng bởi số điểm (pixel) và số bit
dành cho mã màu của mỗi điểm (bit/pixel).
Đồ án tốt nghiệp


Trang 19
Phần lớn các hình ảnh (nhất là có độ phân giải cao) không có quy luật giữa
các điểm gần nhau, do đó các phương pháp thông dụng hiện nay như biến đổi

cosin rời rạc, Wavelet Image Compession (WIC) (theo chuẩn JPEG và MPEG)
phải dùng đến biến đổi toán học và xấp xỉ các mối tương quan giữa các pixel.
Với các phương pháp này bạn có thể nén ảnh tới tỷ lệ 20:1 - 30:1. Nhưng những
ảnh này (vì bị mất thông tin) chỉ là những ảnh gần đúng với ảnh ban đầu, ngoài
ra còn có thể xuất hiện biến dạng hình ảnh như đối với phương pháp biến đổi
cosin rời rạc.
Hình học Fractal và biến đổi Fractal
Một cuộc cách mạng trong vấn đề xử lý ảnh "thế giới thực" đã xảy ra cùng
với sự ra đời cuốn sách "Hình học Fractal của tự nhiên" (the Fractal Geometry of
Nature) của tác giả Mandelbrot. Theo tác giả, khái niệm Fractal là cấu trúc thể
hiện sự gần giống nhau về hình dạng của các hình thể kích cỡ khác nhau. Nếu
bạn nghiền một củ khoai tây rán giòn bạn sẽ có vô số những mảnh vỏ lớn nhỏ,
các mảnh này có thể gọi là Fractal. Mandelbrot chỉ ra rằng, có thể tìm ra các cấu
trúc và qui luật để tạo các hình dạng Fractal, do đó có thể coi Fractal như là các
hình cơ bản của hình học phẳng Euclide cùng với đường thẳng, hình chữ nhật,
hình tròn. Fractal không phụ thuộc vào độ phân giải của hình, đó là những hình
ảnh nhỏ, có thể vẽ được bằng một bộ hữu hạn thuật toán như quay hình, co dãn,
biến đổi từ một hình nào đó. Các phép toán trên thực hiện với các hệ số được gọi
là hệ số affin. Một bức tranh có thể được fractal hóa và ta có thể khôi phục nó
nhờ các hệ số affin. Trên thực tế đối với các hình rất ngẫu nhiên thì các hệ số
affin tìm được rất khó. Trước kia tính bằng tay, người ta phải mất hàng ngày,
hàng tuần. Hiện nay công việc đó có thể làm trong 5 phút. Quá trình Fractal hóa
đã được hãng Integrated Systems nghiên cứu và giữ bản quyền. Sau đây là một
số bước của quá trình đó.
 Nén hình ảnh
o Chia ảnh thành những vùng không phủ nhau, còn gọi là domen (chẳng
hạn bằng các đường thẳng ngang và đứng). Các vùng này phải phủ kín
hình ảnh.
o Lấy bộ các vùng cơ sở, các vùng này không nhất thiết phủ kín bề mặt bức
tranh.

Đồ án tốt nghiệp


Trang 20
o Thực hiện biến đổi Fractal. Với mỗi vùng domain ta tìm vùng cơ sở mà
sau biến đổi affin xấp xỉ nhất với domen.
o Lưu các hệ số affin vào file. File này gồm 2 phần: Đầu file chứa thông tin
về vị trí các domen và vùng cơ sở sau đó là bảng các thông số affin cho
từng domen.
 Vẽ lại hình ảnh
o Tạo hai hình ảnh cùng cỡ A và B. Kích cỡ các ảnh này có thể khác với
ảnh ban đầu. Các ảnh này có thể là trắng hay đen. Biến đổi các điểm của
A vào B. Để làm điều đó trước hết chia B thành các domen như quá trình
nén ảnh trên, với mỗi domen của B ta thực hiện biến đổi affin áp dụng với
vùng cơ sở A (các hệ số affin lấy từ file), kết quả có được ta ghi vào B.
o Biến đổi giá trị của B vào A y như lần trước, chỉ có điều đổi vị trí chúng.
o Thực hiện biến đổi trên nhiều lần cho đến khi A và B không khác gì nhau.
o Quá trình này dẫn đến việc là ta khôi phục được bức tranh ban đầu mà độ
chính xác phụ thuộc vào độ chính xác của các biến đổi affin.
o Thuật toán quá trình nén và tời ảnh được công ty Integrated Systems đưa
ra sử dụng số học nguyên cùng các phương pháp làm giảm sự tăng dần
của sai số trong các phép toán làm tròn. Các thuật toán đã được tối ưu về
mặt thời gian thực hiện. Tuy thế quá trình nén ảnh do phải thực hiện một
khối lượng tính toán lớn nên đòi hỏi khá nhiều thời gian so với việc tời
ảnh. Với máy 386, tốc độ 33 MHz và màn hình VGA các trình thí nghiệm
đã thử phim video màu với tốc độ 20 ảnh loại này trong một giây.
Những ưu điểm của phương pháp Fractal
Trong quá trình Fractal hóa, bạn sẽ nhận được bộ các chữ số rất nhỏ thể
hiện hình ảnh. Do đó hệ số nén của phương pháp là rất lớn, tuy thế chất lượng
ảnh sau khi nén được bảo đảm khá chính xác. Phương pháp rất hiệu quả với

những ảnh có độ phân giải cao. Phương pháp này đã được áp dụng không những
trong nén dữ liệu mà còn để thể hiện các mối quan hệ giữa các phần tử của các
ánh xạ.
Đồ án tốt nghiệp


Trang 21
I.3.3. Ứng dụng trong khoa học cơ bản
Có thể nói cùng với lý thuyết topo, hình học phân hình đã cung cấp cho
khoa học một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ như đã trình bày trong
phần I.1, vật lý học và toán học thế kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của tính hỗn
độn trong nhiều quá trình có tính quy luật của tự nhiên. Từ sự đối đầu đó, trong
những thập niên tiếp theo đã hình thành một lý thuyết mới chuyên nghiên cứu về
các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết hỗn độn. Sự khảo sát các bài toán phi tuyến đòi
hỏi rất nhiều công sức trong việc tính toán và thể hiện các quan sát một cách trực
quan, do đó sự phát triển của lý thuyết này bị hạn chế rất nhiều. Chỉ gần đây với
sự ra đời của lý thuyết fractal và sự hỗ trợ đắt lực của máy tình, các nghiên cứu
chi tiết về sự hỗn độn mới được đẩy mạnh. Vai trò của hình học phân hình trong
lĩnh vực này thể hiện một cách trực quan các cư xử kỳ dị của các tiến trình được
khảo sát, qua đó tìm ra được các đặc trưng hoặc các cấu trúc tương tự nhau trong
các ngành khoa học khác nhau. Hình học phân hình đã được áp dụng vào nghiên
cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết các phức chất trong hoá học, lý thuyết tái định
chuẩn và phương trình Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ phương
trình phi tuyến được giải dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp của Newton trong
giải tích số,… Các kết quả thu được giữ vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực
tương ứng.
I.4. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN
HÌNH
I.4.1. Độ đo Fractal
□ Số chiều Hausdorff của một tập hợp A R

n

Cho trước các số thực dương s và . Gọi h
s

(A) là độ đo Hausdorff s-chiều
của tập A thì h
s
(A) được xác định bởi:
với:

Trong đó: diam (U
i
) = sup [ d(x,y): x,y  U
i
], với d là metric Euclide
trong không gian R
n
, [U
1
, U
2
,… ] là một phủ mở của A và diam(U
i
) < , i.
Hausdorff đã chứng minh được sự tồn tại của một số D
H
(A) sao cho:




h
s

(A) = inf  diam(U
i
)
s


i=1

h
s
(A) = lim h
s

(A)
0
Đồ án tốt nghiệp


Trang 22






)(

)(0
)(
ADskhi
ADskhi
Ah
H
H
s

Giá trị D
H
(A) được gọi là số chiều Hausdorff của tập A.
Định nghĩa này giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết hình học phân hình
hiện đại nhưng không có tính thực tiễn vì việc xác định số chiều theo định nghĩa
này rất phức tạp ngay cả với trường hợp tập A rất đơn giản. Do đó, xuất phát từ
định nghĩa này, Mandelbrot đã đưa ra khái niệm số chiều fractal tổng quát dễ xác
định hơn với ba dạng đặc biệt áp dụng cho từng loại đối tượng (tập A) cụ thể.
Sau đây tôi sẽ trình bày các định nghĩa về các dạng đặc biệt đó, đồng thời chỉ ra
mối liên hệ giữa chúng với định nghĩa số chiều của Hausdorff.
□ Số chiều tự đồng dạng (Số chiều Hausdorff-Bescovitch)
Cho trước một cấu trúc tự đồng dạng được chia thành N phần, hệ số thu
nhỏ của mỗi phần so với cấu trúc ban đầu là r. Ký hiệu D
S
là đại lượng xác định
bởi:

Khi đó D
S
được gọi là số chiều tự đồng dạng của cấu trúc đó.
Ví dụ:

◊ Xét một hình vuông được chia thành 9 hình vuông nhỏ với tỷ lệ đồng
dạng là 1/3. Khi đó số chiều tự đồng dạng của hình vuông ban đầu
được xác định bởi:


◊ Xét một khối lập phương được chia thành 27 khối lập phương nhỏ hơn
với tỷ lệ đồng dạng 1/3. Ta có số chiều của tự đồng dạng của khối lập
phương được xác định bởi:


log N
D
S
=
log 1/r


D 2
3 log
2
3 log
3
1
1
log
9 log
s


D 3

3 log
3
3 log
3
1
1
log
27 log
s

Đồ án tốt nghiệp


Trang 23
Hai ví dụ trên cho thấy định nghĩa số chiều tự đồng dạng phù hợp với
định nghĩa thông thường của hình học Euclide.
□ Số chiều Compa
Số chiều được xác định theo định nghĩa này được áp dụng cho các đường
cong không phải là các đường cong tự đồng dạng hoàn toàn (như các đường bờ
biển, các con sông,…), nhưng có thể sử dụng nhiều đơn vị khác nhau để xác định
độ dài của chúng.
Định nghĩa: Xét một đường cong không tự đồng dạng. Biểu diễn số đo
của đường cong trên hệ toạ độ log / log với:
- Trục hoành: Thể hiện logarit của độ chính xác trong phép đo chiều dài
đường cong. Độ chính xác được đặc tả bởi 1/s, với s là đơn vị đo độ dài.
Ở đây giá trị s càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo càng lớn.
- Trục tung: Thể hiện logarit của độ dài u đo được ứng với một đơn vị đo s.
- d: Là hệ số góc của đường thẳng hồi qui dùng để xấp xỉ các giá trị đo u
đo được dựa trên phương pháp bình phương cực tiểu. Ta có quan hệ:
log u = d . log (1/s + b), b là hệ số tự do.

Khi đó số chiều compa D
C
được xác định bởi: D
C
= 1 + d
Ví dụ:




















initiator
generator
generator
Xét đường cong

3/2 được xây
dựng theo kỹ
thuật initiator /
generator chỉ ra
bởi hình vẽ bên:

Đồ án tốt nghiệp


Trang 24
Biểu diễn các đại lượng có liên quan trên hệ toạ độ log/log đã được trình
bày ở trên với chú ý sau bước tạo sinh thứ k, đường cong gồm 8
k
đoạn, mỗi đoạn
có độ dài s = 1 / 4
k
nên độ dài của đường cong sẽ là 8
k
.1/4
k
= 2
k
.
Khi đó giá trị trên trục hoành là log
4
1 / 1 / 4
k
= k ứng với giá trị trên trục
tung là: log
4

2
k
= k / 2. Do đó ta xác định được d = 0.5.
Vậy: D
C
= 1 + 0.5 = 1.5
□ Số chiều Box-Counting
Số chiều xác định theo định nghĩa này được áp dụng cho các đường cong
fractal không thể xác định số chiều theo 2 cách vừa trình bày. Cách tính số chiều
này có thể áp dụng cho mọi cấu trúc trong mặt phẳng và mở rộng cho cấu trúc
trong không gian.
Định nghĩa
Xét một cấu trúc fractal bất kỳ. Lần lượt đặt cấu trúc này lên một dãy các
lưới có kích thước ô lưới s giảm liên tiếp theo tỉ lệ ½. Gọi N(s) là các ô lưới có
kích thước s có chứa một phần cấu trúc. Ta xây dựng hệ toạ độ log/log như sau:
- Trục hoành biểu thị giá trị của đại lượng log
2
(1/s).
- Trục tung biểu thị giá trị của đại lượng log
2
N((s)).
- D
B
là hệ số góc của đường thẳng hồi qui đối với tập hữu hạn các
điểm (s, N(s)) của hệ toạ độ.
Khi đó ta có:


D
B

được gọi là số chiều box-counting của cấu trúc fractal đã cho.

log
2
N(2
–
(k+1)
) – log
2
N(2
–
k
) N(2
–
(k + 1)
)
D
B
= = log
2

log
2
2
k + 1
– log
2
2
k
N(2

– k
)

Đồ án tốt nghiệp


Trang 25
□ Số chiều Box-Counting trong mối liên hệ với số chiều Hausdorff
Khó khăn chủ yếu khi tính số chiều Hausdorff là việc xác định tổng vơ hạn
S
i
i
Udiam


1
)( . Số chiều Box-Counting đơn giản hóa thao tác này bằng cách thay
các số hạng diam(U
i
)
s
bởi

các số hạng 
S
. Ta có một định nghĩa hình thức của số
chiều Box-Counting D
B
trên một tập con bị chặn A của R
n

như sau:
Định nghĩa:
Gọi N

(A) là giá trị nhỏ nhất của các tập hợp có khả năng phủ A và có
đường kính tối đa là . Khi đó ta có:








Tuy nhiên 2 định nghĩa số chiều này khơng phải ln cho kết quả giống
nhau. Ví dụ xét tập các số hữu tỷ trong khoảng đóng [0, 1]. Tập này có số chiều
Box-counting là 1 trong khi số chiều Hausdorff tương ứng bằng 0. Kết quả này
còn có thể mở rộng cho tập con trù mật A của R
n
, vớI D
B
(A) = n và D
H
(A)  n.
I.4.2. Các hệ hàm lặp IFS
□ Khơng gian ảnh Hausdorff
Giả sử (X, d) là một khơng gian metric đầy đủ. Ở đây X được giới hạn
bằng R
2
và d là metric Euclide. Ký hiệu H(X) là khơng gian các tập con compact

khác rỗng của X. Ta có các định nghĩa sau:
i,)
i
diam(U và A của hạn hữumột phủ là } ,
2
U,
1
U {
: đó trong
}
s

1i
{ inf
s
. (A)N
: vì hơngiản đơn (A)
B
D đònh xác nhiên Tuy
. (A)
H
D của nghóa đònh với tự tương (A)
B
D của nghóa đònh ràng rõVậy
}
s
. (A)N : s { sup } 0
s
. (A)N : s { inf (A)
b

D
: đó Do
(A)
b
D s khi
(A)
b
D s khi0
s
. (A)N
: rằng rachỉ trên nghóa Đònh
1
log
(A)
N

log
0
lim(A)
b
D
















δ
δΣδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ