Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Chơng 2. Điều khiển liên tục trong miền phức (miền liên tục_tuyến tính)
Bài 1. phép biến đổi fourier
1.1. ảnh Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Xét tín hiệu tuần hoàn:
( )
=
tcosA)t(x
0
với tần số dao động
0

.
áp dụng công thức Cauchy:
asin.jacose
j
+=

, thì tín hiệu x(t) sẽ đợc biểu diễn đợc:
( )
tjtj
00
e.ce.ctx

+=
Trong đó c =
j
e.
2
A
và

c
là ký hiệu chỉ số phức liên hợp của c.
Mở rộng cách biểu diễn trên cho một tín hiệu tuần hoàn x(t) bất kỳ ta đợc. Nếu tín hiệu
x(t) thoả mãn:
- x(t) = x(t+T) với mọi t, (tuần hoàn chu kỳ T)
- x(t) liên tục từng khúc trong khoảng 0 t T,
- tại điểm không liên tục t
0
[0, T) thoả mãn: x(t
0
) =
( ) ( )
[ ]
0tx0tx
2
1
00
++
- x(t) trongkhoảng [0, T) chỉ hữu hạn các điểm cực trị thì tín hiệu x(t) biểu diễn đợc dới
dạng chuỗi Fourier nh sau:
( )


=


=
==
n
tjn

n
0k
k0k
0
e.ctkcos.A)t(x
với


=
T
0
tjn
n
0
e).t(x
T
1
c
(n = , -1, 0, 1, )
trong đó
nn
cc

=
nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực và
n
c
là giá trị phức liên hợp của c
n
.

Phép biến đổi x(t) {c
n
} là một đơn ánh (tuyến tính và nội xạ).
1.2. ảnh Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
Nếu một tín hiệu x(t) không tuần hoàn và thoả mãn:
-
( )
<



dttx
, tức là tích phân
( )
dttx



hội tụ,
- x(t) trong khoảng thời gian hữu hạn bất kỳ liên tục từng khúc,
- tại điểm không liên tục t
0
thoả mãn
( ) ( ) ( )
[ ]
0tx0tx
2
1
tx
000

++=
- x(t) trong khoang hữu hạn bất kỳ chỉ có hữu hạn các điểm cực trị,
thì x(t) biểu diễn đợc dới dạng tích phân Fourier nh sau:
( ) ( ){ } ( )
dtetxtxFjX
tj1




==
và
( ) ( ){ } ( )


==





dejX
2
1
txFtx
tj1
1
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
1
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

Hàm phức X(j) đợc gọi là ảnh Fourier của x(t). Khi x(t) là tín hiệu thực (có miền giá trị
thuộc R) hoặc phức nhng x(t) =
( )
tx
thì X(j

) sẽ còn thoả mãn:
( ) ( )
=
jXjX
1.3. tính chất của biến đổi Fourier
Toán tử Fourier F: x(t) X(j) có những tính chất sau:
1. Toán tử Fourier là một nội xạ, tức là nếu x(t) y(t) thì cũng có X(j) Y(j), trong đó
X(j), Y(j) lần lợt là ảnh Fourier của x(t) và y(t).
2. Toán tử Fourier là tuyến tính. Nếu x(t) có ảnh Fourier X(j) và y(t) có ảnh Y(j) thì
tổng tuyến tính z(t) = a.x(t) + b.y(t) của chúng sẽ có ảnh Z(j):
Z(j) = F{a.x(t) + b.y(t) } = a.X(j) + b.Y(j)
3. Nếu x(t) là hàm chẵn, tức x(t) = x(-t) thì ảnh Fourier X(j) của nó là hàm thuần thực
(phần ảo bằng 0).
4. Nếu x(t) là hàm lẻ, tức x(t) = -x(-t) thì ảnh Fourier X(j) của nó là hàm thuần ảo (phần
thực bằng 0).
5. Nếu X(j) là ảnh Fourier của x(t) thì ảnh của y(t) = x(t-T):
( ){ } ( )
Tj
ejXTtxF)j(Y

==
6. Nếu X(j), Y(j) là ảnh Fourier của x(t) và y(t) thì tích chập:
x(t)*y(t) =
( ) ( )





dtyx
có ảnh Fourier thì ảnh đó sẽ là:
F{x(t)*y(t) } = X(j) .Y(j)
7. Tích z(t) = x(t)*y(t) của x(t) và y(t) có ảnh Fourier X(j), Y(j) ảnh Z(j):
Z(j = X(j) *Y(j) =
( ) ( )
[ ]




djYjX
2
1

8. Gọi X(j) là ảnh của Fourier của x(t), vậy thì:
( ) ( )


=





djX

2
1
dttx
2
2
Bài 2. phép biến đổi laplace
2.1. phép biến đổi laplace thuận
2
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
2
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Toán tử Fourier là một công cụ hữu hiệu giúp cho việc khảo sát đặc tính tần số của một tín
hiệu x(t). Nhng nó cũng có nhợc điểm là bị giới hạn trong một lớp các tín hiệu khá nhỏ do chúng
phải thoả mãn các điều kiện để tồn tại ảnh Fourier X(j). Ngay cả khi những tín hiệu phổ thông
thờng gặp trong các điều kiện cụ thể nh tín hiệu bậc thang 1(t), tín hiệu tăng dần đều x(t) =
t.1(t) cũng không có ảnh Fourier. Lý do chính là điều kiện bắt buộc là:
( )
<



dttx
của tín
hiệu x(t).
Để mở rộng lớp các tín hiệu có ảnh trong miền tần số giống nh ảnh Fourier, ngời ta xây
dựng toán tử Laplace cho việc phân tích các tín hiệu liên tục, tức là tín hiệu x(t) thoả mãn x(t) = 0
khi t< 0 bằng cách tìm một hằng số dơng đủ lớn sao cho:
( ) ( )
txetx
t


=
thoả mãn điều kiện khắt khe
( )
<



dttx
. Điều đó có thể vì bây giờ ta cũng có thể tìm đợc
dơng đủ lớn để hàm e
-

t

tiến về 0 nhanh hơn x(t) một cách tuỳ ý. Do đó làm cho
( )
tx
~
lim
t
về 0
với vận tốc mà ta mong muốn và dẫn tới
( )
<


0
dttx
.

Khi đó phép biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) đợc biểu diễn nh sau:
( ) { }



==
0
st
dte).t(x)t(xLsX
và
( ) ( ){ } ( )

+



==
j
j
s t1
dse.sX
j2
1
sXLtx
trong đó s = + j. Giá trị đợc gọi là bán kính hội tụ của tích phân, s là biến toán tử
Laplace. Hàm phức X(s) là ảnh Laplace của tín hiệu liên tục x(t).
2.2. Tính chất của biến đổi Laplace
1. Tính đơn ánh: Phép biến đổi Laplace vừa có tính nội xạ tức là nếu x(t) y(t) thì cũng
có X(s) Y(s), trong đó X(s), Y(s) lần lợt là ảnh Laplace của x(t) và y(t), có tính tuyến tính: nếu
x(t) có ảnh Laplace X(s) và y(t) có ảnh Y(s) thì tổng tuyến tính z(t) = a.x(t) + b.y(t) của chúng sẽ

có ảnh Z(s):
Z(s) = F{a.x(t) + b.y(t) } = a.X(s) + b.Y(s)
2. Phép dịch trục: Nếu X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của y(t) = x(t-T) sẽ là:
Y(s) = X(s).e
-sT
3. Phép nén: Nếu X(s) là ảnh Laplace của x(t) thì ảnh của y(t) = x(t).e
-

t

sẽ là:
Y(s) = X(s+)
4. ảnh của tích chập: Nếu X(s), Y(s) là ảnh của x(t), y(t) thì tích chập
( ) ( )
==



dtyx)t(y*)t(x)t(z
5. ảnh của tích phân: Nếu X(s) là ảnh của x(t) thì y(t) =
( )


t
o
dx
có ảnh là:
( )
( )
s

sX
sY =
6. ảnh của đạo hàm: Nếu X(s) là ảnh của tín hiệu x(t) và đạo hàm y(t) =
( )
dt
tdx
thì y(t)
có ảnh là: Y(s) = s.X(s) x(+0)
3
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
3
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
7. Đạo hàm của ảnh: Nếu X(s) là ảnh của tín hiệu x(t) và Y(s) là ảnh của tín hiệu y(t) =
t
n
x(t) thì:
Y(s) = (-1)
n
.
n
n
ds
)s(Xd
8. Định lý về giới hạn thứ nhất: Nếu tồn tại giới hạn
( )
txlim
t
thì:
( ) ( )
ssXlimtxlim

0st
=
với X(s) là ảnh Laplace của x(t).
9. Định lý về giới hạn thứ hai: Nếu tồn tại giới hạn
( )
txlim
0t
thì:
x(+0) =
( ) ( )
ssXlimtxlim
s0t
=
với X(s) là ảnh Laplace của x(t).
Hai định lý về giới hạn có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị của tín hiệu x(t)
trực tiếp từ ảnh Laplace X(s) của nó mà không cần chuyển ngợc X(s) về miền thời gian. Điều
kiện để áp dụng là phải có giới hạn
( )
txlim
t
hay
( )
txlim
0t
.
2.3. Biến đổi cơ bản Laplace thuận
Xác định ảnh của một số tín hiệu đặc biệt:
1. Tín hiệu hằng (hàm xung) x(t) = k với t 0 có ảnh Laplace là X(s) = k
s
k

dte
0
st
=



2. Tín hiệu x(t) = k.e
-at
(hàm mũ tắt dần) thì ảnh Laplace là: X(s) =
as
k
+
3. Tín hiệu tăng dần đều x(t) = t.1(t) (hàm tỷ lệ thời gian) có ảnh Laplace:







===
0
2
s t
0
s t
0
s t
s

1
dt
s
e
s
e.t
dte.t)s(X
4. Theo tính chất trên ta có ảnh Laplace của tín hiệu
x(t) =
( ) ( )
t1.e.kt1.k)t(1e1k
T
t
T
t
=







là:
( )
( )
Ts1s
k
T
1

s
k
s
k
sX
+
=
+
=
5. Tín hiệu điều hoà (hàm lợng giác)
( ) ( ) ( )
t1.tsintx =
có ảnh Laplace là:

( )
dte.
j2
ee
dte.
j2
ee
sX
s t
0
)tjs()tjs(
s t
0
tjtj



+





=

=
( ) ( )
22
0
tjstjs
sjs
e
js
e
j2
1
+

=






+
+


=

+
Tín hiệu x(t) = cos(t).1(t):
( )
dte.
2
ee
dte.
2
ee
sX
s t
0
)tjs()tjs(
s t
0
tjtj


+




+
=
+
=

4
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
4
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
( ) ( )
22
0
tjstjs
s
s
js
e
js
e
j2
1
+
=






+
+

=

+

6. Hàm tích hợp lợng giác và dao động tắt dần
( ) ( ) ( )
t1.tsinetx
t
=

có ảnh Laplace là: X(s) =
( )
2
2
s ++

.
( ) ( ) ( )
t1.tcosetx
t
=

có ảnh Laplace là: X(s) =
( )
2
2
s
s
++
+
.
7. Tín hiệu trễ (hàm chuyển dịch):
Nếu ta có tín hiệu x(t) có ảnh Laplace là X(s) thì tín hiệu trễ x(t-a) có ảnh Laplace nh sau:
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

====


+




de.xede.xdte.xxLsX
st
0
s a)a(s
0
st
0
Vậy:
( ){ } ( )
sXeaxL
s a
=+
8. ảnh Laplace của đạo hàm các cấp tín hiệu x(t):
Đạo hàm cấp 1:
Nếu ta có tín hiệu x(t) có ảnh Laplace là X(s) thì đạo hàm
( )
dt
tdx
có ảnh Laplace nh sau:
Sử dụng tích phân từng phần với u = x(t) và v =
s
e

s t


khi đó
( )
dt
dt
tdx
du =
; dv = e
-st
dt
( ) ( ) ( ) ( )







+==
0
s t
0
s t
0
s t
dte.tx
dt
d

s
1
s
e
txdtetxsX
( )
( ) ( ) ( ) ( )






+=+=



dt
tdx
L
s
1
s
0x
dte.
dt
tdx
s
1
s

0x
sX
0
s t
Nếu lấy giá trị sơ kiện x(0) của x(t) tại t = 0. Thì ta có:
( )
( )
{ }
( ) ( )
0xssXtxL
dt
tdx
L
'
==






Đạo hàm các cấp:
( )
{ }
( ) ( ) ( )
0x0sxsXstxL
'2''
=
( )
{ }

( ) ( ) ( ) ( )
0x0sx0xssXstxL
'''23'''
=

( )
{ }
( ) ( )
( )
( )
0x 0xssXstxL
1n1nn'''
=
Nếu đồng nhất các giá trị sơ kiện ban đầu của tín hiệu x(t) tại thời điểm t = 0 là bằng 0:
( )
{ }
( )
sXstxL
nn
=
9. ảnh Laplace của tích phân các cấp tín hiệu x(t):
Tích phân cấp 1:
5
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
5
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Nếu ta có tín hiệu x(t) có ảnh Laplace là X(s) thì tích phân
( )

dttx

có ảnh Laplace:
Sử dụng tích phân từng phần với u = e
-st
và dv =
( )
dttx
khi đó
dte.sdu
s t
=
; v =
( )

dttx

( ) ( ) ( ) ( )
[ ]







+==
0
st
0
st
0

s t
dte.dttxsdttxedtetxsX
( ) ( ) ( )
[ ]



+=
0
st1
dte.dttxs0xsX
Nếu lấy giá trị sơ kiện x(0) của x(t) tại t = 0. Thì ta có:
Vậy:
( )
{ }
( ) ( )
s
0x
s
sX
dttxL
1
+=

Tích phân các cấp:
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( )
s

0x
s
0x
s
sX
txL
)2()1(
2
2


++=
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
s
0x

s
0x
s
0x
s
sX
txL
n
1n

)2n(
n
)1n(
n
n




++++=
Nếu đồng nhất các giá trị sơ kiện ban đầu của tín hiệu x(t) tại thời điểm t = 0 là bằng 0:
( )
( )
{ }
( )
n
n
s
sX
txL =

2.4. ứng dụng của biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace dùng để giải nhanh chóng các hệ thống phơng trình vi phân. Với biến
đổi Laplace, ta dễ dàng xác định đợc hàm truyền đạt, trên cơ sở đó xác định phơng trình đặc tính,
và cuối cùng là phơng trình vi phân để xác định hàm chuyển tiếp.
Đặc trng của một phơng trình vi phân:
W(s) =
( )
( )
( )

( )
01
1m
1m
m
m
01
1n
1n
n
m
asa sasa
bsb sbsb
sA
sB
tx
ty
++++
++++
==




với m n
Hàm truyền đạt của một hàm phân số, thông thờng tử số và mẫu số là các đa thức của s.
Nó có thể đặc trng cho các đặc điểm chủ yếu của HTĐK mà không cần lu ý đến các điều kiện
ban đầu hoặc hàm kích thích.
Y(s) = X(s).W(s)
Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt * Hàm kích thích.

Ta có thể tìm biến đổi X(s)của tín hiệu x(t) từ bảng, tiến hành theo 2 cách:
- Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tơng ứng với hàm đã biến đổi.
- Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng các hàm đơn giản hơn và sau đó dùng bảng để
biến đổi ngợc lại từng hàm đơn giản đó.
2.5. Biến đổi Laplace ngợc
Việc biến đổi ngợc đợc hiểu là xác định tín hiệu x(t) ngợc từ ảnh Laplace X(s) của nó. Tất
nhiên công việc này thực hiện trực tiếp với công thức định nghĩa:
( ) ( ){ } ( )

+



==
j
j
s t1
dse.sX
j2
1
sXLtx
6
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
6
Nghiệm đơn, bội
Nghiệm phức liên hợp
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Song để tiện lợi hơn khi sử dụng, ta sẽ làm quen với hai phơng pháp đơn giản đợc dùng
cho lớp tín hiệu x(t) có dạng ảnh Laplace đặc biệt. Đó là:
- Phơng pháp biến đổi ngợc X(s) có dạng hàm hữu tỷ

- Phơng pháp residuence cho X(s) khả vi ngoài hữu hạn các điểm cực.
2.5.1. Biến đổi ngợc hàm hữu tỷ
Giả sử tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) dạng:
W(s) =
( )
( )
( )
( )
01
1m
1m
m
m
01
1n
1n
n
m
asa sasa
bsb sbsb
sA
sB
tx
ty
++++
++++
==





với m n
Để tìm x(t) ta dựa vào tính đơn ánh, tính tuyến tính các kết quả ở trên để tiến hành các b-
ớc nh sau:
1. Phân tích X(s) thành tổng các hàm phân thức tối giản:
( )
( )
( )
( )

== =
+
+
+

+=
q
1k
2
k
2
k
kkkk
l
1k
r
1i
i
k
ki

s
CsB
as
A
AsX
k
trong đó: A, A
ki
, B
k
, C
k
là các hằng số
a
k
là các điểm cực thực bội r
k
và
k
+ j
k
là điểm cực phức của X(s), nói
cách khác: là điểm mà tại đó X(s) = (mẫu số bằng 0).
2. Xác định hàm gốc cho từng phần tử trong tổng nói trên:
*
{ } ( )
t.AAL
1
=


*
( )
( )
( )
t1
!1t
e.t
.A
as
A
L
ta
1i
ki
i
k
ki
1
k

=










*
( )
( )
( ) ( )
t1.tcos.e.B
s
sB
L
k
t
k
2
k
2
k
kk
1
k
=






+



*

( )
( ) ( )
t1.tsin.e.C
s
C
L
k
t
k
2
k
2
k
kk
1
k
=






+



2.5.2. Bài tập biến đổi Laplace ngợc hàm hữu tỷ
1. Cho
( )

( )
s1s
1
sX
2
+
=
. Phân tích X(s) thành tổng các phân thức tối giản:
Nghiệm đơn x = -1 và bội x = 0 X(s) =
2
s
1
s
1
s1
1
+
+
Ta đợc:
( )
( )
( )
t1t1etx
t
+=


2. Cho ảnh Laplace X(s) =
( )
( )

sT1s
sT1k
2
1
+
+
. Phân tích X(s) thành tổng các phân thức tối giản:
7
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
7
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Nghiệm đơn x = 0 và
2
T
1

X(s) =
2
T
1
s
B
s
1
+
+
với A = k và B =
( )
2
21

T
TTk
Ta đợc:
( ) ( ) ( )
t1.e.
T
TT
1kt1.e.BAtx
22
T
t
2
12
T
t









=









+=
3. Cho ảnh Laplace X(s) =
( )( )
sT1sT1
k
21
++
với T
1
T
2
.
Nghiệm đơn x =
1
T
1

và
2
T
1

X(s) =
21
T
1
s

B
T
1
s
A
+
+
+
Với
1221
TT
k
B,
TT
k
A

=

=
Ta đợc:
( ) ( ) ( )
t1.ee.
TT
k
t1.e.Be.Atx
221
T
t
1T

t
21
T
t
T
t










=








+=



4. Xét hàm hữu tỷ phức:

( )
22
qqDs2s
k
sX
++
=
, 0 < D < 1.
Vì có điều kiện 0 < D < 1 nên đa thức mẫu số X(s) có hai nghiệm phức:
s
1, 2
= Dq jq
2
D1

Gọi a = -Dq và b = q
2
D1
thì X(s) phân tích thành:
X(s) =
( )
2
2
bas
k
+

( ) ( ) ( )
t1.btsine
b

k
tx
at
=
5. Một tín hiệu liên tục x(t) có tín hiệu Laplace:
( )
( )
1DTs2sTs
k
sX
22
++
=
, 0 < D < 1.
Tơng tự phần 4 ta gọi a =
T
D

, b =
T
D1
2

. Khi đó hàm X(s) sẽ phân tích:
( )
( )
2
2
bas
Bs

s
A
sX
+
+=
, trong đó A = -B = k.

( ) ( ) ( ) ( )
t1.btsin
b
Ba
btcosBeAtx
at












+=
Chú ý: Giả sử rằng đa thức mẫu số A(s) và đa thức tử số B(s) là nguyên tố cùng nhau tức
là (không có chung nghiệm). Khi đó điểm cực của X(s) sẽ chính là nghiệm của A(s) = 0. Ký hiệu
8
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội

8
Hình 2.1.
Hình2.1. Dạng tín hiệu phụ thuộc vào vị trí điểm cực của ảnh của nó trong mặt phẳng phức.
j
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
các điểm cực đó là s
1
, s
2
, , s
n
và giả thiết rằng chúng là những nghiệm đơn của A(s) = 0. Do X(s)
phân tích đợc thành tổng các phân thức tối giản:
( )
n
n
2
2
1
1
ss
A

ss
A
ss
A
sX

++


+

=
Nên sau khi nhân cả hai vế với (s-s
k
) và cho s tiến tới s
k
ta sẽ có công thức xác định
nhanh những hệ số A
1
, A
2
, , A
n
. (Công thức Heaviside):
A
k
=
( ) ( )
k
ss
k
sXsslim


2.5.3. Phơng pháp Residuence
Trong phần biến đổi ngợc X(s) có dạng hàm hữu tỷ vừa trình bày, ta nhận thấy ngoài một
số hữu hạn các điểm cực là nghiệm của A(s) = 0, còn lại ở những điểm khác X(s) đều xác định và
có đạo hàm vô hạn lần. Nói cách khác X(s) là một hàm giải tích ngoài hữu hạn các điểm cực đó.

Dạng tín hiệu x(t) nhận đợc lại hoàn toàn đợc quyết định bởi vị trí của các điểm cực này trong
mặt phẳng phức. Hình 2.1 biểu diễn mối minh họa trực quan cho dạng tín hiệu x(t) có ảnh
Laplace:
( )
k
ss
1
sX

=

ứng với những vị trí khác
nhau của điểm cực:
s
k
=
k
+j.
k
.
Mở rộng điều
nhận xét trên ta có phơng
pháp Residuence để xác
định ngợc tín hiệu x(t) từ
ảnh Laplace X(s) của nó,
nếu nh X(s) là hàm giải
tích trừ một vài các điểm
cực rời nhau và hữu hạn,
đồng thời
( )

=

s
sXlim
.
Những hàm có tính chất nh vậy gọi chung là hàm phân hình (meromorph).
Bản chất của phơng pháp này là lấy từ tích phân Cauchy:
Gọi S là miền mà hàm z = f(s) giải tích trong nó và C là biên của miền S có chiều ng ợc
kim đồng hồ (miền S luôn nằm phía bên trái nếu đi dọc trên C theo chiều này), khi đó tại một
điểm s bất kỳ thuộc S luôn có:
( )
( )





= d
s
f
j2
1
sf
C
Đầu tiên ta đi từ công thức biến đổi Laplace ngợc:
( ) ( ) ( )
dsesX
j2
1
dsesX

j2
1
tx
s t
C
j
j
st


=

=

+

(*)
Trong đó: C là đờng cong khép kín chứa đờng thẳng +j với chạy từ - đến và là
bán kính hội tụ của tích phân (hình 2.2). Chiều của C là chiều đợc chọn để phù hợp với chiều của
từ - đến .
Ký hiệu miền đợc bao bởi C theo chiều dơng là D, tức là miền sẽ luôn nằm phái trái khi ta
đi dọc theo C và gọi s
1
, s
2
, , s
m
là các điểm cực của X(s). Do

là bán kính hội tụ nên tất cả m

điểm cực này phải nằm bên trong D. Mặt khác vì tích phân theo đờng cong khép kín của một hàm
có tính giải tích trong miền đợc bao bời đờng cong lấy tích phân đó luôn có giá trị bằng 0, nên
9
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
j


9
Hình 2.2. Mô tả ph ơng pháp Residuence
Ck
sk
C1
s1
si
Ci
j
+ j
- j
j
sk
C
Hình 2.3
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
theo tính chất về tích phân phức của Cauchy, công thức (*) sẽ đợc
biến đổi thành:
( ) ( )

=



=
m
1k
s t
C
dtesX
j2
1
tx
k
(**)
Trong đó: C
k
, k = 1, 2, , m là những đờng cong khép kín
bao quanh riêng một mình điểm cực s
k
theo chiều dơng (s
k
luôn
nằm bên trái khi ta đi dọc theo C
k
theo chiều đó). Đờng cong C
trong (*) đã đợc thay bằng họ các đờng cong C
k
, k = 1, 2, , m
trong công thức (**).
Ký hiệu tiếp:
( ) ( )
dsesX
j2

1
esXsRe
s t
C
s t
s
k
k


=
là giá trị residuence của X(s)e
st
tại s
k
, k = 1, 2, , m.
Đó chính là công thức thực hiện biến đổi ngợc X(s) theo phơng pháp Residuence.
2.5.4. Bài tập biến đổi ngợc sử dụng phơng pháp Residuence
1. Cho X(s) =
k
k
ss
A

. Hàm phân hình (meromorph) này có điểm cực là s
k
nên:
ds
ss
A

j2
1
ss
A
sRe
k
k
C
k
k
s
k



=

Trong đó: C là đờng tròn bán kính > 0 bao quanh s
k
theo chiều dơng (hình 2.3). Nh vậy
dọc theo C biến s sẽ có phơng trình:

=
j
k
ess
với 0 2.
Thay vào phơng trình của biến s vào công thức trên đợc:
( )
( )

k
2
0
k
2
0
j
j
k
k
k
s
AdA
2
1
ed
e
A
j2
1
ss
A
sRe
k
=

=

=






Chú ý: Một trong những đặc điểm của hàm phân hình (meromorph) là nó phân tích đợc
thành chuỗi vô hạn (chuỗi Taylor, chuỗi Lorenz, ). Gọi a
k
là các hệ số khi phân tích hàm X(s)e
st
thành chuỗi Lorenz trong lân cận điểm s
k
là:
( ) ( )


=
=
i
i
ki
s t
ssaesX
thì
( )
1
s t
s
aesXsRe
k


=
Theo công thức này, nếu một hàm X(s)e
st
có điểm cực là s
k
điểm bội l
k
thì giá trị
residuence của nó tại điểm cực sẽ là:
( )
( )
( ) ( )
[ ]
1l
l
k
s t
1l
ss
k
s t
s
k
k
k
k
k
ds
ssesXd
lim

!1l
1
esXsRe





=
(***)
và do đó việc tìm hàm ngợc tín hiệu gốc x(t) từ ảnh Laplace X(s) của nó theo phơng pháp
Residuence sẽ gồm 2 bớc:
- Xác định tất cả các điểm cực s
k
của X(s)e
st
cũng nh bậc l
k
của chúng.
- Tìm các giá trị Residuence của hàm X(s)e
st
tại những điểm cực đó theo (***).
- Tính x(t) theo (***) từ các giá trị residuence thu đợc.
2. Hàm phân hình
( )
( )
n
as
1
sX

+
=
có điểm cực s = -a bội n nên hàm gốc x(t) của nó là:
10
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
10
G(s)
C
s1
s2
j
s3
Hình 2.4
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
( ) ( )
( ) ( )
at1n
1n
s t1n
as
s t
a
et
!1n
1
ds
ed
lim
!1n
1

esXsRetx





=

==
với t 0.
Việc áp dụng phơng pháp Residuence để tìm hàm gốc x(t) của X(s) chỉ là một ứng dụng
nhỏ của nó. Phơng pháp này ngoài ra còn có ý nghĩa sử dụng lớn trong các bài toán xác định giá
trị tích phân thờng gặp của các công việc tổng hợp bộ điều khiển nh tìm bộ tham số tối u cho bộ
điều khiển.
3. Tính tích phân:
( )
( )



++
++
=
j
j
2
2
ds
1s2s2s
8s6s5

Q
Ta thấy hàm phân hình:
( )
( )
( ) ( ) ( )
1s
3
j1s
1
j1s
1
1s2s2s
8s6s5
sG
2
2

+

+
+
=
++
++
=
có 3 điểm cực là s
1
= -1 + j, s
2
= -1 j, s

3
= 1, trong đó chỉ có điểm cực nằm bên trái đ-
ờng lấy tích phân là trục ảo. Bởi vậy nếu thay đờng lấy tích phân đó bằng một đ-
ờng cong C khép kín chứa trục ảo thì chỉ có s
1
và s
2
thuộc miền D đợc bao bởi C
theo chiều dơng. Suy ra:
Hình 2.4:
( ) ( )
( )
sGsResGsRej2Q
21
ss
++=
= 2j(1+1) = 4j.
2.6. ứng dụng của Laplace giải phơng trình vi phân
Cho phơng trình vi phân tuyến tính:
m
m
n10
n
n
n10
dt
ud
b
dt
du

bub
dt
yd
a
dt
dy
aya +++=+++
với các hệ số a
0
,

a
1
, , a
n
và b
0
,

b
1
, , b
m
là những hằng số. Bài toán đặt ra là tìm nghiệm y(t) khi
biết trớc u(t) cũng nh các sơ kiện y(+0),
( )
dt
0dy +
,
( )

1n
1n
dt
0yd


+
.
Trớc hết ta giả sử u(t) và y(t) là các tín hiệu liên tục. Vậy khi lấy ảnh Laplace cả hai vế
của phơng trình đã cho:






+++=






+++
m
m
n10
n
n
n10

dt
ud
b
dt
du
bubL
dt
yd
a
dt
dy
ayaL
Sau đó áp dụng biến đổi Laplace cho đạo hàm các cấp của tín hiệu u(t) và y(t).
Ta sẽ có:
( )
[ ]
( )
[ ]
Bsb sbbsUAsa sayasY
m
n10
n
n10
+++=+++
Trong đó: A xác định từ a
k
và
( )
1k
1k

dt
0yd


+
, k = 1, 2, , n theo:
( )


=

=
+
=
1k
0i
i
i
i1k
n
1k
k
dt
0yd
saA
B xác định từ b
k
và
( )
1k

1k
dt
0ud


+
, k = 1, 2, , m theo:
( )


=

=
+
=
1k
0i
i
i
i1k
m
1k
k
dt
0ud
sbB
11
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
11
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform

Nh vậy ảnh Laplace của nghiệm y(t) sẽ là:
( )
( )
( ) ( )
n
n10
m
n10
sa saya
BAsUsb sbb
sY
+++
++++
=
Chuyển ngợc Y(s) sang miền thời gian t ta sẽđợc nghiệm y(t) vì ánh xạ Laplace là đơn ánh.
Ví dụ:
1. Giải phơng trình vi phân bằng toán tử Laplace:
Hãy tìm nghiệm của phơng trình vi phân:
0y2
dt
dy
3
dt
yd
2
2
=++
, với sơ kiện y(+0) = a và
( )
b

dt
0dy
=
+
Chuyển cả hai về phơng trình sang miền phức nhờ toán tử Laplace đợc:
0y2
dt
dy
3
dt
yd
L
2
2
=






++
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
0sY20yssY3
dt
0dy

0sysYs
2
=+++






+
+
( )
( ) ( )
ba3assY2s3s
2
++=++
( )
( )
2s
ba
1s
ba2
2s3s
ba3as
sY
2
+
+

+

+
=
++
++
=
Tra bảng:
( ) ( ) ( )
t2t
ebaeba2ty

++=
với t 0.
2. Giải phơng trình vi phân bằng toán tử Laplace
3y5
dt
dy
2
dt
yd
2
2
=++
với sơ kiện y(+0) =
( )
0
dt
0dy
=
+
.

Chuyển cả hai vế phơng trình sang miền phức nhờ toán tử Laplace đợc:
( )
( )
s
3
sY5s2s
2
=++
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
2
2
2
22
21s5
1s3
21s10
2.3
s5
3
5s3ss
3
sY
++
+


++
=
++
=
Tra bảng:
( ) ( ) ( )
t2cose
5
3
t2sine
10
3
5
3
ty
tt
=
với t 0.
2.7. Mối quan hệ giữa ảnh Laplace và Fourier
Cho tín hiệu liên tục x(t) có X(j) là ảnh Fourier và X(s) là ảnh Laplace. Một bài toán đặt
ra là với điều kiện nào thì ta có quan hệ X(j) =
( )
=js
sX
(*).
Bài toán này rất cần thiết vì không phải lúc nào cũng có đợc mối quan hệ trên ngay cả
khi tín hiệu x(t) có ảnh Fourier theo nghĩa rộng.
Ví dụ:
Tín hiệu bậc thang (Heaviside) có ảnh Laplace là:

( ){ }
s
1
t1L =
12
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
12
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Giả sử rằng tín hiệu bậc thang 1(t) có ảnh Fourier. Vậy ảnh đó phải là:
( ){ }
( )
Tj
T
T
0
tj
T
elim1
j
1
dtelimt1F






==

Vì:

( ) ( )
[ ]
0TsinjTcoslimelim
T
Tj
T
=



nên
( ){ }


j
1
t1F
Tức là, với hàm 1(t) ngời ta không xác định ảnh Fourier bằng cách thay s trong ảnh
Laplace bằng j. Thực chất, với sự giúp đỡ của lý thuyết hàm mở rộng, ngời ta đã chỉ ra rằng:
( ){ } ( )
+

=
j
1
t1F
Gọi c là bán kính hội tụ của tích phân:
( )
<




dtetx
0
ct
(**)
Khi đó nó cũng chính là điều kiện để tồn tại ảnh Laplace X(s) cho tín hiệu x(t).
Chỉ mặt phẳng phức thành 2 phần bởi đờng thẳng
c=
(hình). Phần mặt phẳng nằm bên
phải đờng phân chia là miền hội tụ của (**). Tơng tự, nếu ta chia mặt phẳng phức bởi trục ảo và
xem nửa mặt phẳng bên phải trục ảo là miền hội tụ của tích phân
( )
<


dttx
0
(***) cho tín hiệu
x(t) thì tín hiệu đó sẽ có ảnh Fourier X(j).
So sánh hai miền hội tụ ta thấy:
- Nếu c > 0 sẽ không có ảnh Fourier cho tín hiệu x(t) và do đó không thể thay thế s = j
trong X(s) để có đợc X(j).
- Nếu c < 0 thì do miền hội tụ của (***) nằm trong miền hội tụ của (**) nên khi thay s
= j trong X(s) để có đợc X(j).
- Nếu c = 0 thì hai miền hội tụ của (**) và (***) đồng nhất (trừ đờng biên là trục ảo).
Bởi vậy, khi X(s) liên tục trên trục ảo (không có điểm cực trên đó) thì ảnh X(j) se
chính là X(s) với s = j.
Từ những kết luận trên thì cho riêng trờng hợp X(s) có dạng đa thức hữu tỷ với bậc tử số
không lớn hơn mẫu số, ta có điều kiện cần và đủ để đợc quan hệ (*) là tất cả điểm cực của X(s)

phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm và khác 0) . Khi đó nó còn đợc gọi là hàm bền vững
(stable function).
bài 3. mô tả toán học của phần tử và hệ thống điều khiển
Để nghiên cứu và đánh giá quá trình làm việc của một phần tử hoặc một hệ thống điều
khiển tự động, cần phải biết mối quan hệ toán học giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, tức là biết mối
quan hệ tự động học của chúng đợc thể hiện bằng các phơng trình vi phân.
Khi nghiên cứu hệ thống ĐKTĐ, cần biết hệ thống đó gồm những thiết bị gì, có những
phần tử nào và mỗi phần tử đó cần đợc đặc trng bằng dạng mô tả toán học hoặc một mô hình toán
học tơng đơng. Sau đó thể hiện mối quan hệ ấy trong dạng sơ đồ chức năng (sơ đồ khối).
Thành lập mô hình toán học bằng cách viết phơng trình toán học của các phần tử ở các tín
hiệu ra và tín hiệu vào, từ những phơng trình đó xác định mối quan hệ giữa chúng bằng các thủ
thuật toán học. Trừ những hệ thống đơn giản, nói chung phơng pháp này đã tỏ ra khá phức tạp do
tác dụng tơng hỗ giữa các phần tử điều khiển khác nhau. Nhng nhờ có sơ đồ khối, có thể thể hiện
mối quan hệ phức tạp ấy một cách rõ ràng và dễ hiểu. Chất lợng điều khiển phụ thuộc rất nhiều
vào mô hình toán học mô tả hệ thống. Mô tả càng chính xác, hiệu suất công việc điều khiển càng
cao.
Việc xây dựng mô hình cho hệ thống đợc gọi là mô hình hoá. Ngời ta thờng chia ra các
phơng pháp mô hình hoá ra làm hai loại:
13
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
13
R
iR
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
- phơng pháp lý thuyết
- phơng pháp thực nghiệm (nhận dạng)
Phơng pháp lý thuyết là phơng pháp thiết lập mô hình dựa trên các định luật có sẵn về
mối quan hệ vật lý bên trong và giao tiếp với môi trờng bên ngoài của hệ thống. Các quan hệ này
đợc mô tả theo quy luật lý hoá, quy luật cân bằng, dới dạng những phơng trình toán học. Trong
các trờng hợp mà ở đó sự hiểu biết về những quy luật giao tiếp bên trong hệ thống cũng về mối

quan hệ giữa hệ thống với môi trờng bên ngoài không đợc đầy đủ để có thể xây dựng đợc một mô
hình hoàn chỉnh, nhng ít nhất từ đó có thể cho biết các thông tin ban đầu về dạng mô hình đề
khoanh vùng lớp (tập hợp) các mô hình thích hợp cho hệ thống thì tiếp theo ngời ta phải áp dụng
phơng pháp thực nghiệm để hoàn thiện nốt việc xây dựng một mô hình hệ thống bằng cách tìm ra
một mô hình thuộc lớp các đối tợng thích hợp đó trên cơ sở quan sát tín hiệu vào ra sao cho sai
lệch giữa nó với hệ thống so với các mô hình khác là nhỏ nhất. Phơng pháp này gọi là nhận dạng
(identification).
Tất cả các bài toán điều khiển đều phải làm việc với những mô hình hệ thống có chứa sai
lệch nhất định hoặc ít ra là có những tham số thay đổi nhiều. ở các bài toán điều khiển hiện nay
ngời ta thờng phải thực hiện thêm các nhiệm vụ theo dõi và chỉnh định lại mô hình sao cho phù
hợp với hệ thống thực hoặc phải thiết kế bộ điều khiển đảm bảo đợc chất lợng đề ra cho dù mô
hình có sai lệch (điều khiển thích nghi).
Do đó, nội dung của mô tả toán học nhằm giải quyết hai vấn đề sau:
- Xác định các mô hình toán học cho từng phần tử điều khiển điển lệnh.
- Xác định mối liên kết giữa các mô hình toán học riêng thành một mô hình toán học
chung cho toàn hệ thống điều khiển.
Đứng về mặt chức năng, thì bất cứ hệ thống điều khiển nào cũng gồm có ba cơ cấu chủ
yếu:
- Cơ cấu đo lờng và phát tín hiệu.
- Cơ cấu khuếch đại - biến đổi.
- Cơ cấu chấp hành.
Các cơ cấu (phần tử) ấy có thể là cơ khí, điện, dầu ép, khí ép, v.v
ở đây chỉ xét các cơ cấu điển hình và chúng đợc xem là các phần tử tuyến tính hoặc đã đ-
ợc tuyến tính hóa.
3.1. mô tả toán học phần tử điện
3.1.1. Các phần tử cơ bản mạch điện
1. Điện trở:
Quan hệ áp dòng: u(t) = R.i(t)
Quan hệ dòng - áp: i(t) =
( )

tu
R
1
Trở kháng Z(s) =
( )
( )
R
sI
sU
=

Quan hệ áp - điện tích: u(t) =
( )
dt
tdq
R
Điện dẫn
( )
( )
( )
G
R
1
sU
sI
sY ===
L
iL
uL
2. Điện cảm:

Quan hệ áp dòng: u(t) = L
( )
dt
tdi
Quan hệ dòng - áp: i(t) =
( )


du
L
1
t
0
Trở kháng: Z(s) =
( )
( )
Ls
sI
sU
=
14
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
14
C
uC
iC
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Quan hệ áp- điện tích:
( )
( )

2
2
dt
tqd
Ltu =
Điện dẫn:
( )
( )
( )
Ls
1
sU
sI
sY ==
3. Điện dung:
Quan hệ áp dòng: u(t) =
( )


di
C
1
t
0
Quan hệ dòng - áp: i(t) = C
( )
dt
tdu
Trở kháng: Z(s) =
( )

( )
Cs
1
sI
sU
=
Quan hệ điện tích: u(t) =
( )
tq
C
1
Điện dẫn: Y(s) =
( )
( )
Cs
sU
sI
=
3.1.2. Phơng pháp chuyển đổi mạch điện về hàm truyền đạt
a). Trờng hợp mạch đơn giản:
Với các mạch đơn giản ngời ta có thể chuyển đổi nó về các hàm truyền đạt bằng cách
viết các phơng trình vi phân cho mỗi phần tử trong mạch hoặc viết nó dới dạng chuyển đổi
Laplace. Để chuyển đổi mạch điện sang hàm truyền đạt ta cần phải thực hiện các bớc sau:
- Vẽ lại mạch gốc của mạch điện
-
L
R
C
u(t) y(t)
Hình 2.5

Chỉ ra các biến theo thời gian u(t), i(t), cũng nh
các biến đã đợc chuyển đổi sang Laplace U(s), I(s).
- Xác định các biến vào và đáp ứng ra.
Ví dụ:
1. Tìm hàm truyền đạt giữa tín hiệu điện áp trên tụ (đáp ứng ra) và điện áp đầu vào u(t), với
sơ đồ mạch điện hình 2.5.
Trong mạch điện này có thể chọn một vài biến ra nh điện áp trên cuộn dây, điện áp trên tụ
điện, điện áp trên điện trở hoặc dòng trên các phần tử này. Trong trờng hợp này, giả sử chọn điện
áp trên tụ là điện áp ra và điện áp đầu vào là u(t). Các giá trị sơ kiện tại thời điểm ban đầu là bằn
0.
Tổng điện áp của mạch điện đợc viết lại dới dạng phơng trình vi tích phân nh sau:
( )
( ) ( ) ( )
tudi
C
1
tRi
dt
tdi
L
t
0
=++

(1)
Thay biến dòng bằng biến điện tích ta có:
( ) ( )
( ) ( )
tutq
C

1
dt
tdq
R
dt
tqd
L
2
2
=++
(2)
Từ quan hệ điện áp và điện tích trên phần tử tụ điện:
( ) ( ) ( ) ( )
tCutqtq
C
1
tu
CC
==
(3)
Thay (3) vào (2) ta có:
15
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
15
u(t)
y(t)
C
L
R1
R2

Hình 2.6
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
( ) ( )
( ) ( )
tutu
dt
tdu
RC
dt
tud
LC
C
C
2
C
2
=++
(4)
Chuyển đổi (4) sang Laplace:
( )
( ) ( )
sUsU1RCsLCs
C
2
=++
(5)
Từ (5), hàm truyền đạt:
( )
( )
( )

( )
( )
LC
1
s
L
R
s
LC
1
sU
sU
sU
sY
sG
2
C
++
===
2. Tìm hàm truyền đạt giữa tín hiệu điện áp trên tụ (đáp ứng ra) và điện áp đầu vào u(t), với
sơ đồ mạch điện hình 2.5.
Ta sẽ tính thông qua giá trị dòng điện i(t) chạy qua mạch điện R-L-C nối tiếp.
Chuyển các phần tử trong mạch R-L-C nối tiếp sang giá trị trở kháng. Ta sẽ có phơng
trình Laplace của mạch điện nh sau:
( ) ( )
sUsI
Cs
1
RLs =







++
(1)
mà: U
C
(s) =
( )
Cs
1
sI
(2)
Thay (2) vào (1) ta sẽ đợc quan hệ giữa điện áp đầu ra (tụ điện) với điện áp đầu vào:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
LC
1
s
L
R
s
LC

1
sU
sU
sU
sY
sG
Cs
1
RLs
1
sU
sCsU
2
CC
++
===
++
=
3. Cho một mạch điện trên hình 2.6. Biết giá trị C và L và R
1
, R
2
là những phần tử trong
mạch điện. Hãy xác định mô hình mạch điện dới dạng phơng trình vi phân mô tả quan hệ giữa tín
hiệu vào là điện áp u(t) và tín hiệu ra y(t) là điện áp trên R
2
.
Theo định luật Kirchoff có:
( ) ( ) ( )
tututu

1RC
=+
(1)
( ) ( ) ( )
tututu
1R2RL
=+
(2)
( ) ( ) ( )
tititi
C1RL
=+
(3)
với
( )
2R
uty
=

Từ các công thức trên ta thực hiện biến đổi để tìm cách loại các biến đã đợc định nghĩa
thêm để cuối cùng đa đến phơng trình chỉ còn chứa hai biến là u(t) và y(t).
Đạo hàm hai vế phơng trình (1)
( )
( )
( )
dt
tdu
dt
tdu
dt

tdu
1R
C
=+
( ) ( )
( )
dt
tdu
dt
tdu
C
ti
1R
C
=+

( ) ( ) ( )
( )
dt
tdu
dt
tdu
C
titi
1R1RL
=+
+

16
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội

16
u(t) y(t)C
L
R
Hình 2.7
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
( )
( ) ( )
( )
dt
tdu
dt
tdu
R
tu
R
ty
C
1
1R
1
1R
2
=+









+
(4)
Thay (2) vào (4):
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
dt
tdu
tytu
dt
d
CR
tytu
RC
ty
L
1
L
2
=++
+
+
( )
( )
( )
( )
( )

dt
tdu
dt
tid
L
dt
tdy
dt
tdi
.
CR
L
ty
CR
1
CR
1
2
L
2
L
121
=+++









+
( )
( ) ( ) ( )
dt
tdu
dt
tyd
R
L
dt
tdy
.1
RCR
L
ty
CR
1
CR
1
2
2
22121
=++









++








+
Suy ra:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
dt
tdu
RCRtyRR
dt
tdy
LRCR
dt
tyd
CLR
212121
2
2

1
=++++
(*)
Mô hình mạch điện ở dạng phơng trình vi phân:
( ) ( )
( )
( )
dt
tdu
btya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
101
2
2
2
=++
Với
21112211210
RCRb;CLRa;LRCRa;RRa ==+=+=
Nếu đa sang miền ảnh Laplace ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ssURCRsYRRssYLRCRsYsCLR*
212121
2
1

=++++
Suy ra hàm truyền của mạch điện là:
( )
( ) ( )
2121
2
1
21
RRsLRCRsCLR
sRCR
sG
++++
=
4. Hãy xác định hàm truyền đạt của mạch điện có sơ đồ nh hình 2.7,
trong đó trị số L của cuộn dây, R của điện trở và C của tụ điện cho trớc.
Theo sơ đồ mạch điện ta có:
( ) ( ) ( )
tytutu
L
+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
sYsIsILssYsLsIsYsUsU
RCLL
L
++=+=+=
( ) ( ) ( )
sY1
R

Ls
CLssYsY
R
1
CsLs
2






++=+






+=
Ta có hàm truyền của mạch điện:
( )
( )
( )
1s
R
L
CLs
1
sU

sY
sG
2
++
==
b). Trờng hợp mạch phức tạp: Tiến hành theo các bớc sau
17
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
17
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
u(t)
y(t)
C
L
R1
Hình 2.8
R2
1. Chuyển mạch điện với các phần tử trong mạch sang
Laplace và trở kháng cộng theo điều kiện ban đầu (sơ kiện).
2. Sử dụng các phơng pháp giải mạch điện:
- Dòng điện nhánh, dòng điện vòng
- Điện áp hai nút
- Phơng pháp xếp chồng
Để xây dựng phơng trình liên hệ mô tả mạch điện.
3. Từ phơng trình đặc tính định ra các đại lợng ra, vào.
Ví dụ:
1. Cho mạch điện nh hình 2.8, với các thông số L, C, R
1
, R
2

đã biết hãy tìm quan hệ giữa
dòng và áp
( )
( )
sU
sI
2
Sử dụng phơng pháp dòng điện vòng
Xét mạch vòng thứ nhất I
1
(s):
( ) ( ) ( ) ( )
sUsLsIsLsIsIR
2111
=+
(1)
Xét mạch vòng thứ hai I
2
(s):
( ) ( ) ( )
0sLsIsLsIsIR
1222
=+
(2)
Ta có hệ phơng trình:

( ) ( ) ( ) ( )
sUsLsIsLsIsIR
2111
=+

( ) ( ) ( )
0sLsIsLsIsIR
1222
=+
Ta có:
Cs
1
RLsLs
LsLsR
2
1
++
+
=
Do vậy:
( )
( )
( )

=


+
=
sLsU
0Ls
sULsR
sI
1
2

Vậy hàm truyền đạt cần tìm:
( )
( )
( ) ( ) ( )
121
2
21
2
2
RsLCRRsRRLC
LCsLs
sU
sI
sG
++++
=

==
18
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
18
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
e0(t)
e1(t)
C2
R2
Hình 2.9
R1
C1
2. Cho mạch điện có sơ đồ nh hình 2.9. Tìm hàm

truyền đạt giữa tín hiệu ra e
1
(t) với tín hiệu vào e
0
(t) biết các thông số R
1
, R
2
, C
1
,C
2
.
Phơng pháp dòng điện vòng
Xét mạch vòng 1:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
sEsIRsIsI
sC
1
01221
1
=++
(1)
Xét mạch vòng 2:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
0sIRsI

sC
1
sIsI
sC
1
212
1
21
2
=+++
(2)
Giải hệ phơng trình tơng tự bài trên, ta có:
( )
( ) ( )
1CRCRCRssCRCR
sC
sE
sI
221211
2
2211
1
0
2
++++
=
(*)
Ta có E
2
(s) có giá trị bằng điện áp rơi trên R

1
cho nên:
( ) ( )
121
RsIsE
=
(3)
Thay (3) vào (*), ta đợc hàm truyền cần tìm:
( )
( )
( ) ( )
1CRCRCRssCRCR
sCR
sE
sE
sG
221211
2
2211
11
0
1
++++
==
3.2. Mô tả toán học phần tử cơ khí
3.2.1. Hàm truyền đạt của hệ cơ học chuyển động tịnh tiến
Nh trên ta đã mô hình hoá mạch điện dới dạng hàm truyền đạt G(s). Hàm truyền đạt biểu
diễn quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào dới dạng chuyển đổi Laplace.
Hệ thống cơ học cũng có thể viết dới dạng một hàm truyền đạt. Hệ đợc hình thành trên cơ
sở của những phần tử cơ bản: 2 trong 3 phần tử đóng vai trò lu trữ năng lợng còn một là phần tử

tiêu tán. Ngời ta ký hiệu K là hệ số đàn hồi (phần tử tích luỹ), f
v
là hệ số ma sát nhớt của phần tử
giảm chấn (phần tử tiêu tán) và M là hệ số khối lợng (phần tử tích luỹ).
Bảng 1 biểu diễn mối quan hệ lực vận tốc; lực dịch chuyển; hàm truyền đạt của
phần tử.
Đơn vị đo: lực f(t): [N]; chuyển dời x(t): [m]; vận tốc v(t): [m/s]; hệ số đàn hồi K: [N/m];
hệ số ma sát nhớt f
V
:[N-m/m]; khối lợng M: :[kg], trong đó kg = :[N-s
2
/m].
Phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hệ cơ học đợc gọi là phơng trình chuyển
động. Để thiết lập phơng trình chuyển động ta tiến hành các bớc sau:
- Vẽ sơ đồ khối tách hệ thành các phần tử tự do
- Dùng định luật Newton để thành lập phơng trình vi phân.
Bảng 1. Mô tả toán học của các phần tử thuộc hệ cơ học tịnh tiến
19
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
19
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
x(t)
f(t)
Phần tử tích luỹ năng l ợng
K (đàn hồi)
x(t)
f(t)
fv (ma sát)
Phần tử tiêu tán năng l ợng
Phần tử tích luỹ năng l ợng

x(t)
f(t)
M
M khối l ợng
Thành phần
Lực vận tốc
( ) ( )
=

dKtf
t
0
( ) ( )
tftf
V
=
( )
( )
dt
td
Mtf

=
Lực chuyển dời
f(t) = K.x(t)
( )
( )
dt
tdx
ftf

V
=
( )
( )
2
2
dt
txd
Mtf =
Z(s) = F(s)/X(s)
K
fV.s
M.s2
20
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
20
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Ví dụ 1:
Tìm hàm truyền đạt cho hệ cơ học sau: (hình 2.10).
K
fV
x(t)
f(t)
Hình 2.10
Chuyển phơng trình vi phân sang dạng Laplace.
Tách hệ cơ học thành các phần tử tự do dới dạng cân bằng, thay thế các phần tử đàn hồi
và phần tử giảm chấn tác động lên khối lợng chuyển động M (hình 2.11).
Từ đó viết phơng trình vi phân mô tả chuyển động:
( ) ( )
( ) ( )

tftKx
dt
tdx
f
dt
txd
M
v
2
2
=++
Chuyển đổi sang dạng laplace với điều kiện ban đầu là bằng 0:
x(t)
f(t)
K.x(t)
( )
dt
tdx
( )
2
2
dt
txd
M
Hình 2.11
( ) ( ) ( ) ( )
sFsKXsxXfsXMs
v
2
=++

( )
( ) ( )
sFsXKxfMs
v
2
=++
Xác định quan hệ lực và chuyển dời. Hàm truyền đạt đợc viết:
( )
( )
( )
KsfMs
1
sF
sX
sG
v
2
++
==
Ví dụ 2: Xác định hàm truyền đạt của hệ cơ học dới dạng dịch chuyển của phần tử M
2
và lực tác
dụng f(t) (hình 2.12).
21
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
M
2
M
1
21

Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
x1(t) x2(t)
K1 K3
fV3
fV1 fV2
f(t)
Hình 2.12
M1
K1X1(s)
fv1sX1(s)
M1s2X1(s)
F(s)
fv3sX1(s)
K2X1(s)
Hình 2.13
Tách cơ hệ thành các phần tử tự do:
+). Tách phần tử M
1
: (hình 2.13)
Xét ảnh hởng của lực tác dụng lên M
1
do chuyển dịch M
2
gây ra: (hình 2.14)
M1
fv3sX2(s)
K2X2(s)
Hình 2.14
fv3sX2(s)
K2X2(s)

(K1+)X1(s)
(fv1+fv3)sX1(s)
Ms2X1(s)
F(s)
Hình 2.15
Tổng hợp toàn bộ các lực đặt lên M
1
sẽ là: (hình 2.15)
+). Tách phần tử M
1
: (hình 2.16)
22
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
22
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
Tiến hành lần lợt các bớc tơng tự nh trên ta đợc tổng hợp các lực đặt lên vật M
2
.
M2
(+K3)X2(s)
(fv2+fv3)sX2(s)
M2s2X2(s)
fv3sX1(s)
K2X1(s)
Hình 2.16
+). Thiết lập hệ phơng trình chuyển động trên cơ sở hình 2.15 và 2.16:
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
sFsXKsfsXKKsffsM

223v1213v1v
2
1
=+++++
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
0sXKKsffsMsXKsf
2323v2v
2
2123v
=++++++
( ) ( )
( ) ( )
323v2v
2
223v
23v213v1v
2
1
KKsffsMKsf
KfKKsffsM
+++++
+++++
=
( )
( )
( )

+

==
23v
2
Kf
sF
sX
sG
Ví dụ 3:
Cho hệ cơ học dạng cơ cấu treo nh hình 2.17a. Hãy tìm hàm truyền đạt cho hệ dới dạng
dịch chuyển của phần tử M
2
và lực tác dụng f(t).
M2
M1
K1
fv1
fv2
f(t)
x1(t)
x2(t)
K2X2(s)
fv2sX2(s)
(+K1 )X1(s)
(fv1+ fv2)sX1(s)
M1
a).
b). c).
Hình 2.17
M2
fv1sX1(s)

K1 X1(s)
K2X2(s)
fv2sX2(s)
F(s)
+). Tách phần tử M
1
:
Xét tổng hợp các lực đặt lên M
1
đợc phân tích nh hình 2.17b.
+). Tách phần tử M
2
:
Xét tổng hợp các lực đặt lên M
2
đợc phân tích nh hình 2.17c.
+). Thiết lập hệ ph ơng trình chuyển động (trên cơ sở hình 2.17b.và 2.17c).
23
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
23
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
0sXKsfsXKKsff
222v1212v1v
=++++
[ ]
( )
[ ]

( ) ( )
sFsXsfKsXsfK
22v211v1
=++
( ) ( )
)sfK(sfK
KfKKsff
2v21v1
22v212v1v
++
++++
=
( )
( )
( )

+
==
23v
2
Kf
sF
sX
sG
3.2.2 . H m truyền đạt của hệ cơ học chuyển động quay
Đối với hệ thống cơ học chuyển động quay để biểu diễn nó ngời ta sử dụng 2 thông số
mômen và hệ số góc.
Trong hệ này gồm có 2 thành phần cơ bản là phần tử đàn hồi, giảm chấn nhớt, quán tính.
Đặc tính vật lý của các phần tử đợc biểu diễn ở bảng 2.
Đàn hồi

K
T(t) (t)
Giảm chấn nhớt
T(t) (t)
D
Quán tính
J
T(t) (t)
Phần tử Mômen-Vận tốc góc
Mômen- góc dịch chuyển Hàm
( )
=

dK)t(T
t
0
T(t) = D.(t)
( )
( )
dt
td
JtT

=
T(t) = K.(t)
( )
( )
dt
td
DtT


=
( )
( )
2
2
dt
td
JtT

=
K
D.s2
J.s2
Bảng 2. Mô tả toán học của các phần tử thuộc hệ cơ học quay
24
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
24
Automatic Control Engineering Lecture Laplace Tranform
ở đây, K đợc gọi là hệ số đàn hồi, D: hệ số ma sát nhớt, J là mômen quán tính.
T(t) = [N.m]; (t) = [Rad]; (t) = [Rad/s]; K = [N.m/Rad]; D = [N.m.s/Rad]; J = [Kg.m
2
].
T(t)
1(t) 2(t)
T(t)
1(t)
2(t)
D1 D2
K

J1 J2
Hình 2.18.
D1 D2ổ bi
a).
b).
Ví
dụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ cơ học có chuyển động quay
( )
( )
sT
s
2

nh hình 2.18. Hệ trục đợc đặt
trên 2 ổ bi ở 2 đầu trục và chịu xoắn. Mômen đợc đặt ở bên trái và do dịch chuyển đợc đo ở bên
phải.
Từ sơ đồ vật lý hình 2.18a cho thấy trục nằm giữa 2 gối đỡ bị xoắn và giả thiết trục nằm
có tính đàn hồi. Vì vậy hệ gần đúng có thể biểu diễn theo sơ đồ hình 2.18b.
+) J
1
đợc tự do đặt các lực tác động lên nó: (hình 2.19). Giả thiết hớng
1
(s) cùng chiều T(s)
J1
T(s) K1(s) +D1s1(s)+J1s21(s)
Hình 2.19
25
Đặng Thái Việt_Bộ môn Máy và Ma sát học_Khoa Cơ khí_Trờng ĐHBK Hà nội
25