ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN HỮU TRUNG
VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN HỮU TRUNG
VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội - Năm 2011
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Toán tử Noether và chỉ số của toán tử Noether . . . . . . . 5
1.1.1 Toán tử Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính chất . . . 6
1.2 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Một số tính chất của SIFO . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Hàm dịch chuyển và hàm dịch chuyển Carleman . . 21
1.3.2 Toán tử dịch chuyển Carleman và một số tính chất . 25
2 Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp

một với dịch chuyển Carleman 29
2.1 Trường hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng . . . . . 29
2.1.1 Tiêu chuẩn Noether cho toán tử tích phân kỳ dị với
một nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Tiêu chuẩn Noether cho toán tử cặp đôi . . . . . . . 31
1
2.1.3 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một trong trường
hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng . . . . . 34
2.1.4 Chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy 38
2.1.5 Chỉ số của SIFO Kveselava-Vekua . . . . . . . . . . 41
2.1.6 Chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman
bảo toàn hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Trường hợp dịch chuyển Carleman ngược hướng . . . . . . . 51
2.2.1 Toán tử thu hẹp và toán tử liên kết . . . . . . . . . 52
2.2.2 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một với dịch chuyển
Carleman ngược hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận 58
2
Lời nói đầu
Lý thuyết hàm toán tử tích phân kỳ dị, phương trình tích phân
kỳ dị và các bài toán bờ Riemann của hàm giải tích biến phức đã được xây
dựng và phát triển trong nửa thế kỷ, từ những năm 1920 đến 1970. Các
kết qủa nghiên cứu gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học nổi tiếng
Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,. . . .
Để giải một lớp các phương trình tích phân kỳ dị người ta cần quan
tâm tới toán tử hàm tích phân kỳ dị (singular integral funtional opera-
tor(SIFO)). Việc giải phương trình tích phân kỳ dị không phải bao giờ
cũng thực hiện được tường minh nhưng từ việc nghiên cứu các toán tử
tích phân kỳ dị đó ta có thể dự đoán được một số tính chất của nghiệm
và tính giải được của phương trình. Tính chất Noether và chỉ số của SIFO

là những tính chất liên quan đến sự tồn tại nghiệm và mối liên hệ giữa số
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tích phân kỳ dị thuần nhất
với số điều kiện giải chuẩn.
Luận văn tập trung nghiên cứu tính Noether và xây dựng công thức
tính chỉ số của toán tử hàm tích phân kỳ dị cấp một với dịch chuyển Car-
leman.
Luận văn gồm phần mở đầu và được chia thành hai chương:
Chương 1: Giới thiệu về tiêu chuẩn Noether đối với một toán tử tuyến
tính, chỉ số của một toán tử Noether, toán tử hàm tích phân kỳ dị cùng
3
với hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển Carleman. Là cơ sở để xác
định tính chất Noether và công thức tính chỉ số của SIFO.
Chương 2: Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp
một với dịch chuyển Carleman. Đây là phần chính của luận văn, trước tiên
xây dựng tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số của SIO với một
nhân Cauchy, toán tử cặp đôi, SIFO Kveselava-Vekua cho hệ số của chúng.
Sau đó, tác giả phân chia dịch chuyển Carleman thành hai trường hợp bảo
toàn hướng và ngược hướng đồng thời xây dựng tiêu chuẩn Noether và
công thức tính chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội,
người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành
và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo, các thành viên,
các anh chị đồng nghiệp trong Seminar Giải tích trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu và
giúp đỡ tận tình trong thời gian qua.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học,
Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học tập tại trường.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, giới thiệu toán tử Noether, chỉ số của toán tử
Noether, toán tử tích phân kỳ dị, hàm dịch chuyển Carleman, toán tử dịch
chuyển Carleman và một số tính chất quan trọng.
1.1 Toán tử Noether và chỉ số của toán tử
Noether
1.1.1 Toán tử Noether
Trong mục này, ta giới thiệu về tiêu chuẩn Noether và toán tử Noether.
Cho X
1
và X
2
là các không gian Banach, L(X
1
, X
2
) là không gian Banach
các toán tử tuyến tính bị chặn A : X
1
→ X
2
, với chuẩn
||A|| = sup{||Ax|| : ||x|| = 1}
Định nghĩa 1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X
1
, X

2
) được gọi là
giải chuẩn nếu tập imA là đóng trong không gian X
2
nghĩa là:
imA = imA.
5
Không gian thương X
2
imA được gọi là đối nhân của toán tử A và
được kí hiệu bởi CokerA, kí hiệu β(A) = dim CokerA.
Định nghĩa 1.2. Một toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X
1
, X
2
) được
gọi là một toán tử Noether nếu:
1, A là một toán tử giải chuẩn.
2, α(A) và β(A) là những số hữu hạn.
1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính
chất
Định nghĩa 1.3. Số nguyên: indA = α(A) −β(A) được gọi là chỉ số của
toán tử Noether.
Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
A : X
1
→ X
2
được gọi là toán tử Noether nếu thỏa mãn hai điều kiện:
1, Toán tử A giải chuẩn (tức là: imA = imA),

2, Số α(A) = dim KerA và α(A
∗
) = dim KerA
∗
là hữu hạn.
A
∗
là toán tử liên hợp của toán tử A.
Định nghĩa 1.5. Số nguyên indA = α(A) −α(A
∗
) được gọi là chỉ số của
toán tử Noether A.
Định nghĩa 1.6. (Chỉ số của hàm số) Giả sử Γ là một chu tuyến đóng
trơn và G(t) là một hàm liên tục và không triệt tiêu trên trên Γ. Chỉ số
của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được hiểu là tỷ số độ tăng trưởng
(số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một lượt dọc theo chu
tuyến (theo chiều dương) và 2π.
6
ký hiệu {ω}
Γ
là độ tăng của ω dọc theo chu tuyến Γ thì chỉ số của
G(t) được viết dưới dạng IndG(t) =
1
2π
{arg G(t)}
Γ
.
Định nghĩa 1.7. (Toán tử compact) Giả sử E và F là các không gian định
chuẩn. Toán tử tuyến tính f được gọi là compact nếuf({x ∈ E : ||x|| ≤ 1})
là compact tương đối trong F . Nghĩa là bao đóng của nó là compact trong

F.
Toán tử compact có chỉ số bằng không.
Toán tử Fredholm là toán tử Noether với chỉ số bằng không.
A là toán tử Fredholm chính tắc nếu A = I + D, trong đó D là toán
tử compact.
Ví dụ 1.1. : toán tử
U : C[a, b] → C[a, b]
(Uϕ)(x) ≡ ϕ(x) + λ

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds.
trong đó K(x, s) là hàm liên tục trên miền [a,b]x[a,b].
Sau đây, ta giới thiệu một số định lý cơ bản về công thức tính chỉ số của
toán tử Noether: Nikolskii, Atkinson, Dieudonne, Mikhlin and Atkinson.
Định lý 1.1. (Nikolskii) Toán tử A ∈ L(X
1
, X
2
) là Fredholm khi và chỉ
khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
a, Toán tử A có biểu diễn
A = B + D,
trong đó B là toán tử khả nghịch liên tục và D là toán tử compact.
b, Toán tử A có biểu diễn A = B
1
+ K trong đó B
1
có nghịch đảo
7

liên tục, K là toán tử hữu hạn chiều.
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chứng minh điều kiện cần (b):
Cho x
1
(A), x
2
(A), . . . , x
α(A)
(A) và u
1
(A
∗
), u
2
(A
∗
), . . . , u
α(A)
(A
∗
) là cơ sở
của không gian con KerA và kerA
∗
. Vì toán tử A là Fredholm nên
α(A) = α(A
∗
) < ∞
nên tồn tại hệ {ξ
k
}

α(A)
k=1
∈ X
∗
1
và {ζ
k
}
α(A)
j=1
∈ X
2
trực giao với hệ: {x
k
}
α(A)
k=1
và {u
j
}
α(A)
j=1
chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử:
B
1
x ≡ Ax +
α(A)

j=1
ξ

j
(x)ζ
j
. (1.1)
Chúng ta có B
1
có nghịch đảo liên tục. Theo Định lý Banach nó là điều
kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình B
1
x = y, ∀y ∈ X
2
.
Chứng minh tính duy nhất của nghiệm: cho x
0
∈ X
1
là một nghiệm
của phương trình thuần nhất. Nghĩa là: B
1
x
0
= 0 thì: 0 = u
j
(B
1
x
0
) =
u
j

(Ax
0
+
α(A)

j=1
ξ
j
(x
0
)ζ
j
) = u
j
(Ax
0
)+
α(A)

j=1
ξ
j
(x
0
)u
j
(ζ) = A
∗
u
j

(x
0
)+ξ
j
(x
0
), j =
1, 2, . . . , α(A).
Do u
j
∈ KerA
∗
nên A
∗
u
j
(x
0
) = 0. Do {ξ
j
}
α(A)
j=1
và {u
j
}
α(A)
j=1
nên
u

j
(ξ
k
) = δ
jk
. Suy ra, x
0
∈ KerA vì Ax
0
=
α(A)

j=1
ξ
j
(x
0
) = 0. Nên ta có
biểu diễn:
x
0
=
α(A)

j=1
α
j
x
j
Do x

0
∈ KerA và {x
j
}
α(A)
j=1
là cơ sở của KerA với mỗi hằng số α
j
. Mặt
khác, 0 = ξ
j
(x
0
) = ξ
j
(
α(A)

j=1
) =
α(A)

j=1
α
k
ξ
j
(x
k
) = α

j
, j = 1, 2, , α(A). Dễ
thấy x
0
là nghiệm, hơn nữa nghiệm của phương trình B
1
x = y nếu tồn tại
thì duy nhất.
8
Bây giờ chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta
viết lại phương trình dưới dạng một hệ phương trình:







Ax = y −
α(A)

j=1
d
j
ξ
j
ξ
j
(x) = d
j

, j = 1, 2, . . . , α(A).
(1.2)
Vì A là một toán tử giải chuẩn nên ta có đẳng thức:
u
j
(y −
α(A)

k=1
d
k
ξ
k
) = 0, j = 1, 2, . . . , α(A) = α(A
∗
)
được thỏa mãn để phù hợp với phương trình
B
1
x ≡ Ax +
α(A)

j=1
ξ
j
(x)ζ
j
.
Cuối cùng chọn d
j

= u
j
(y) thì:
u
j
(y) −
α(A)

k=1
d
k
u
j
(ξ
k
) = u
j
(y) − d
j
= 0.
Do đó phương trình đầu của hệ (1.2) được giải. Khi đó nghiệm tổng quát
có dạng
x =

x +
α(A)

j=1
c
j

x
j
.
Trong đó c
j
là hằng số bất kỳ, chúng ta sẽ chọn sao cho các phương trình
trong hệ (1.2) cũng thỏa mãn.
Ta có:
d
j
= u
j
(y) = ξ
j
(x) = ξ
j
(

x +
α(A)

k=1
c
k
x
k
) = ξ
j
(


x) + c
j
, j = 1, 2, . . . , α(A).
(1.3)
Nó đủ để chọn
c
j
= u
j
(y) − ξ
j
(

x), j = 1, 2, . . . , α(A).
9
Sao cho đẳng thức (1.3) đúng. Nghĩa là B
1
là toán khả nghịch. Vì một
toán tử hữu hạn chiều là toán tử compact nên biểu diễn a, được chứng
minh.
Bây giờ ta chỉ ra a, là điều kiện đủ của định lý Nikolskii. Vì B là toán
tử khả nghịch, liên tục trong L(X
1
, X
2
) nên ta được hai phương trình sau
tương đương Ax = y và B
−1
Ax = B
−1

y. Do đó tính giải được của hai
phương trình trên đồng thời xảy ra (hoặc không đồng thời xảy ra).
Vì D
1
B
−1
D là một toán tử compact (D
1
là tích của một toán tử bị
chặn và một toán tử compact) thì toán tử B
−1
A = I + D
1
là một toán tử
Fredholm chính tắc. Vì toán tử ban đầu A cũng là Fredholm.
Định nghĩa 1.8. ta nói rằng một toán tử A có một chính quy trái (phải)
nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn R sao cho tích RA(AR) là một
toán tử Fredholm. Toán tử R được gọi là chính quy trái (phải) của toán
tử A. Toán tử A là có chính quy nếu nó đồng thời có chính quy trái và
phải.
Định lý 1.2. (Atkinson 1) Các khẳng địng sau của toán tử tuyến tính bị
chặn A là tương đương:
a, A là một toán tử Noether.
b, Toán tử A có một chính quy.
c, Tồn tại một cặp toán tử tuyến tính bị chặn B
1
∈ L(X
2
, X
1

) và
B
2
∈ L(X
2
, X
1
) sao cho B
1
A và AB
2
là những toán tử Noether.
Chứng minh. a, ⇒ b, cho A là một toán tử Noether. Vì α(A) < ∞ và
β(A) < ∞. Không gian Banach KerA và imA thuộc X
1
, X
2
. X
1
, X
2
có
các tổng trực tiếp:
X
1
= KerA


X
1

, X
2
= imA


X
2
.
Trong đó

X
2
là không gian con hữu hạn chiều với chiều β(A) và cơ sở
10
{z
j
}
β(A)
j=1
. Cho

A = A

X
1
kí hiệu thương của hai toán tử A và X
1
ta được
toán tử


A xác định một - một từ

X
1
vào imA. Hơn nữa, toán tử

A có một
toán tử nghịch đảo bị chặn:

A
−1
.
Xét toán tử chiếu: K
1
: X
1
→ KerA và K
2
: X
2
→

X
2
. chúng ta viết:
K
1
= −
α(A)


j=1
ξ
j
(x)x
j
, x ∈ X
1
K
2
= −
β(A)

j=1
ξ
j
(y)z
j
, y ∈ X
2
.
Trong đó hệ {ξ
j
}
α(A)
j=1
và {ζ
j
}
β(A)
j=1

là trực giao với các hệ {x
j
}
α(A)
j=1
và {z
j
}
β(A)
j=1
.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng toán tử R =

A
−1
(I − K
2
) là một chính quy của
toán tử A.
Toán tử K
1
và K
2
hữu hạn chiều có cùng vai trò như toán tử
D
1
: X
1
→ X
1

và
D
2
: X
2
→ X
2
.
Nếu x ∈ X
1
và y ∈ X
2
thì:
RAx =

A
−1
Ax =

A
−1
A(K
1
+ I − K
1
)x =

A
−1


A(I −K
1
)x = (I −K
1
)x
ARy = AR(K
2
+ I − K
2
)y = A

A
−1
(I −K
2
)y = (I − K
2
)y
nên a, ⇒ b, được chứng minh.
b, ⇒ c, được chứng minh tương tự.
c, ⇒ a, từ KerA ⊂ Ker(B
1
A), KerA
∗
⊂ Ker(AB
2
)
∗
. Ta thấy số chiều
của các không gian con KerA và KerA

∗
là hữu hạn nên số chiều của không
gian Ker(B
1
A) và Ker(AB
2
)
∗
là hữu hạn. Vì α(A) < ∞, β(A) < ∞ ta có
11
thể chỉ ra rằng imA đóng. Vì toán tử AB
2
là toán tử Noether, chúng ta
có:
X
2
= X
2,1

im(AB
2
)
trong đó dim X
2,1
≤ ∞. Cho X
2,3
= X
2,1
∩ imA thì X
2,2

là một đa tạp
tuyến tính và X
2,2
được chứa trong không gian hữu hạn chiều X
2,1
nên
X
2,2
là một không gian con hữu hạn chiều và X
2,2

im(AB
2
) ∩imA Hơn
nữa, mọi véctơ y ∈ imA có thể biểu diễn dưới dạng y = y
1
+ y
2
trong đó
y
1
∈ im(AB
2
) và y
2
∈ X
2,1
. Vì y
1
∈ imA và imA là tuyến tính, nên ta có

y
2
= y − y
1
∈ imA và suy ra y ∈ X
2,2
. Hơn nữa, y ∈ X
2,2

im(AB
2
) và
chúng ta được
imA = X
2,2

im(AB
2
).
Suy ra, imA là một không gian con của X
2
.
Định lý 1.3. (Atkinson 2) Nếu toán tử tuyến tính bị chặn B : X
1
→ X
2
và A : X
2
→ X
3

là toán tử Noether, thì toán tử tích AB : X
1
→ X
3
cũng
là toán tử Noether và indAB = indA + indB.
Chứng minh. Do các toán tử A và B có chính quy R
A
và R
B
tương ứng.
Dễ thấy R
B
R
A
là một chính quy của tích AB. Hơn nữa, AB là toán tử
Noether, không gian X
1
, X
2
, X
3
có các biểu diễn sau:
X
1
= X
1,1

KerB,
X

2
= X
2,1

imB = X
2,2

KerA,
X
3
= X
3,1

imA = X
3,2

im(AB)
= X
3,1

AX
2,1

im(AB).
x ∈ Ker(AB) ⇔ Bx ∈ KerA.
12
Hơn nữa
dim Ker(AB) = dim KerB + dim(KerA ∩ imB).
Mặt khác, ta thấy rằng
X

3,2
= X
3,1

AX
2,1
.
Do đó
dim Coker(AB) = dim X
3,2
= dim KerA + dim AX
2,1
Chúng ta có:
dim AX
2,1
= dim X
2,1
−dim(X
2,1
∩KerA) = dim CokerB−dim(X
2,1
∩KerA).
Suy ra,
indAB = dim Ker(AB) − dim Coker(AB)
= indB − dim CokerA + dim(KerA ∩ imB) + dim(KerA ∩ X
2,1
).
Nhưng,
dim(KerA ∩ imB) + dim(KerA ∩ X
2,1

) = dim KerA.
Vậy
ind(AB) = indA + indB.
Hệ quả 1.1. Chỉ số của một chính quy hóa của một toán tử Noether A
là số đối với chỉ số của toán tử A.
Định lý 1.4. (Dieudonne) Cho một toán tử Noether A tồn tại một số
dương (A) sao cho mọi toán tử tuyến tính B thỏa mãn bất đẳng thức:
||B|| < (A), toán tử A+B cũng là toán tử Noether và ind(A+B) = indA.
13
Chứng minh. Vì A là một toán tử Noether có một chính quy R, nghĩa là:
RA = I + D
1
, AR = I + D
2
. (1.4)
trong đó D
1
, D
2
là các toán tử compact. Thì:
R(A+B) = RA+RB = I+D
1
+RB(A+B)R = AR+BR = I+D
2
+BR.
(1.5)
(A) = ||R||
−1
, Nếu ||B|| < ||R||
−1

chúng ta có: ||RB|| = ||BR|| < 1. Suy
ra, I + RB và I + BR có toán tử nghịch đảo liên tục.
Theo Định lý Nikolskii, I + BR + D
1
và I + BR + D
2
là các toán tử
Noether. Thật vậy, indR + indA = indRA = 0 ta lại có: indR + ind(A +
B) = indR(A + B) = 0. Do đó chúng ta được: indA = ind(A + B) =
−indR.
Định lý 1.5. (Mikhlin và Atkinson) Nếu A là một toán tử Noether và D
là một toán tử compact thì A + D là một toán tử Noether và:
ind(A + D) = indA.
Chứng minh. Toán tử Noether A có một chính quy R nghĩa là tồn tại R
RA = I + D
1
,
AR = I + D
2
,
trong đó D
1
và D
2
là các toán tử compact. Ta có:
R(A + D) = I + D
1
+ RD,
(A + D)R = I + D
2

+ DR.
trong đó DR và RD cũng là các toán tử compact bởi vì chúng là tích của
một toán tử bị chặn và một toán tử compact. Suy ra, toán tử R là một
14
chính quy của toán tử A + D. Nghĩa là A + D là một toán tử Noether. Do
đó tồn tại số ind(A + D). Chúng ta chú ý rằng:
ind(RA) = ind(I + D
1
) = 0,
ind(R(A + D)) = ind(I + D
1
+ RD) = 0,
Mặt khác, ta có:
indR + indA = 0,
indR + ind(A + D) = 0.
Suy ra,
indA = ind(A + D).
Định nghĩa 1.9. Toán tử Noether A và B là đồng luân nếu tồn tại ánh
xạ liên tục Φ : [0, 1] → Θ(X
1
, X
2
) sao cho: Φ(0) = A và Φ(1) = B.
Θ(X
1
, X
2
) là tập con của tập các toán tử Noether L(X
1
, X

2
)
Định lý 1.6. Nếu toán tử Noether A : X
1
→ X
2
và toán tử B : X
1
→ X
2
là đồng luân thì: indA = indB.
Chứng minh. Xét ánh xạ liên tục Φ : [0; 1] → Θ(X
1
, X
2
) sao cho Φ (0) = A
và Φ (1) = B. từ định lý Dieudonne và tính liên tục của ánh xạ Φ với mọi
t
0
∈ [0; 1] tồn tại một số ε > 0 sao cho indΦ (t) = indΦ (t
0
) trong đó
|t − t
0
| < ε. Theo định lý Heine - Borel, chúng ta có thể bao phủ đoạn
[0; 1] thành hữu hạn những khoảng có độ dài nhỏ hơn ε.
So sánh chỉ số của toán tử Φ (t) với t thuộc các khoảng kể trên ta
thấy chỉ số của Φ (t) bằng nhau trong mỗi khoảng. Bắt đầu với khoảng
chứa Φ (0) = A kết thúc bởi Φ (1) = B. Suy ra, indA = indB.
Chúng ta kí hiệu hai toán tử đồng luân A và B là A  B. Đặc biệt từ

định lý Mikhlin-Atkinson ta có A  B nếu A −B là toán tử compact.
15
1.2 Toán tử tích phân kỳ dị
1.2.1 Toán tử tích phân kỳ dị
Một đường cong định hướng Γ (đóng hoặc mở) được gọi là đường cong
Lyapunop nếu các điều kiện sau thỏa mãn: tiếp tuyến tại mọi điểm t của
Γ tồn tại và tiếp tuyến đó tạo với trục thực một góc Φ (t) và thỏa mãn
điều kiện Holder:
|Φ (t
1
) − Φ (t
2
)| < A|t
1
− t
2
|
µ
, A > 0, 0 < µ ≤ 1.
Một đường cong Lyapunop là biên của một miền liên thông bị chặn
D
+
trên mặt phẳng phức. Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng: z = 0 ∈ D
+
,
ta kí hiệu D
−
= C(D
+
∪ Γ). Đường cong Γ được định hướng sao cho

khi di chuyển trên đường cong Γ thì miền D
+
luôn thuộc bên tay trái của
chuyển động.
Chúng ta kí hiệu (r; t), ([r; t]) là một cung mở (đóng) trên Γ với các
điểm biên là r và t. Các toán tử được xét trong luận văn tác động trong
không gian Banach L
p
(Γ), (1 < p < ∞), L
p
(Γ), (1 < p < ∞) là tập các
hàm khả đo được trên Γ, khả tích Lebesgue bậc p với chuẩn là
||ϕ||
L
p
= (

Γ
|ϕ(t)|
p
dt)
1
p
,
và H
µ
(Γ), µ ∈ (0; 1] là không gian các hàm xác định trên Γ và thỏa mãn
điều kiện Holder với số mũ µ. Không gian H
µ
(Γ) là không gian Banach

với chuẩn
||ϕ||
H
µ
= max
t∈Γ
|ϕ(t)| + sup
t,r∈Γ
|ϕ(r) − ϕ(t)|
|r − t|
µ
.
16
C(Γ) là không gian các hàm liên tục trên Γ với chuẩn:
||ϕ||
C
= max
t∈Γ
|ϕ(t)|.
R(Γ) là hàm phân tuyến tính không có cực điểm trên Γ, rõ ràng R(Γ) ∈
C(Γ). R
±
là tập tất cả những hàm phân tuyến tính r
±
với cực điểm
trong D
∓
, tập con của những hàm r
−
(t) ∈ R

−
(Γ) triệt tiêu tại vô cực kí
hiệu là R
0
−
(Γ). Ta được, mỗi hàm r ∈ R(Γ) có thể biểu diễn dưới dạng:
r = r
+
+ r
−
. Trong đó r
+
∈ R
+
(Γ) và r
−
∈ R
0
−
(Γ).
Định nghĩa 1.10. Chọn điểm t ∈ Γ làm tâm đường tròn bán kính  đủ
nhỏ, giả sử t
1
và t
2
là giao điểm của đường tròn này với Γ. Do bán kính
đủ nhỏ nên đường tròn không có điểm chung nào khác với Γ khác t
1
và t
2

.
Gọi Γ

là phần của chu tuyến Γ đã loại bỏ đi phần thuộc đường tròn và lấy
tích phân trên cung còn lại

Γ

ϕ(τ)
τ −t
dτ. Giới hạn của tích phân

Γ

ϕ(τ)
τ −t
dτ
khi  → 0 được gọi là giá trị chính Cauchy của tích phân kỳ dị.
Định nghĩa 1.11. (Toán tử tích phân kỳ dị) Toán tử:
(Sϕ)(t) =
1
πi

Γ
ϕ(τ)
τ −t
dτ, t ∈ Γ,
trong đó tích phân được hiểu là lấy theo giá trị chính Cauchy. Hàm ϕ(t)
được hiểu là hàm mật độ của tích phân kỳ dị trong không gian L
p

(Γ), 1 <
p < ∞. Toán tử S được gọi là toán tử của tích phân kỳ dị trên Γ.
1.2.2 Một số tính chất của SIFO
Bổ đề 1.1. Cho Γ là một chu tuyến đóng, r
+
∈ R
+
(Γ), r
−
∈ R
0
(Γ). Thì
ta có đẳng thức (Sr
+
)(t) = r
+
(t) và (Sr
−
)(t) = −r
−
(t).
Hệ quả 1.2. Cho Γ là một chu tuyến đóng Lyapunov và r ∈ R(Γ) thì ta
được đẳng thức (S
2
r)(t) = r(t).
17
Hệ quả 1.3. Cho T là một đường tròn đơn vị {t ∈ C : |t| = 1} thì
span{t
k
}

+∞
−∞
(|t| = 1) trù mật trong L
p
(T).
Bổ đề 1.2. (Riesz) Toán tử S
0
bị chặn trong L
p
(T), 1 < p < ∞.
Chứng minh. Cho ϕ(t) = t
m
, t ∈ T, m = 0, ±1, . . . , theo bổ đề trên
(S
0
ϕ)(t) =









ϕ(t) khi m ≥ 0
−ϕ(t) khi m < 0.
Vì hệ:
{t
m

}
+∞
−∞
bị chặn trong L
2
(T) và ||S
0
||
L
2
= 1. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng
toán tử S
0
bị chặn trong không gian L
p
(T)với p ∈ [2; ∞).
Cho ϕ(t) =
n

k=−n
a
k
t
k
, ϕ
+
(t) =
n

k=0

a
k
t
k
, ϕ
−
(t) =
−1

k=−n
a
k
t
k
. Vì ϕ =
ϕ
+
+ ϕ
−
S
0
ϕ = ϕ
+
− ϕ
−
, theo bổ đề trên, ta có
ϕ
2
+ (S
0

ϕ)
2
= 2(ϕ
2
+
+ ϕ
2
−
) = 2S
0
(ϕ
2
+
− ϕ
2
−
) = 2S
0
(ϕS
0
ϕ)
Suy ra
||(S
0
ϕ)
2
||
L
p
≤ ||2S

0
(ϕS
0
ϕ)||
L
p
+ ||ϕ
2
||
L
p
Sử dụng bất đẳng thức Holder, chúng ta có
||ϕ
2
||
L
p
= ||ϕ||
2
L
p
, ||ϕ.ψ||
L
p
≤ ||ϕ||
L
2p
||ψ||
L
2p

Suy ra
||S
0
ϕ||
2
L
2p
≤ 2||S
0
||
L
p
||ϕ||
L
2p
||S
0
ϕ||
L
2p
+ ||ϕ||
2
L
2p
tương đương với
y
2
− 2||S
0
||

L
p
y −1 ≤ 0, với y =
||S
0
ϕ||
L2p
||ϕ||
L
2p
18
Vì vậy, nếu toán tử S
0
bị chặn trên không gian L
p
(T) thì nó bị chặn
trên không gian L
2p
T và thỏa mãn:
||S
0
||
L
2p
≤ ||S
0
||
L
p
+


1 + ||S
0
||
2
L
2p
S
0
bị chặn trên không gian L
p
(T), ∀t ∈ [2; ∞)
Cuối cùng chứng minh tính bị chặn của toán tử S
0
trên L
p
(T) với
p ∈ (1; 2), cho q =
p
p − 1
Với cặp đa thức lượng giác
ϕ(t) =
n

k=−n
ξ
k
t
k
, ψ(t) =

n

k=−n
η
k
t
k
.
Chúng ta có đẳng thức:

T
ϕ(t)(S
0
ψ)(t)|dt| =
n

k=−n
ε
k
ξ
k
η
k
=

T
(S
0
ϕ)(t)ψ(t)|dt|,
trong đó ε

k
= 1 nếu k ≥ 0 và ε
k
= −1 nếu k < 0. Suy ra, trên R(T)
toán tử S
∗
0
là toán tử liên hợp của toán tử S
0
tác động lên không gian
L
q
(T), q ∈ [2; ∞).
Vì vậy, ta có toán tử S
0
bị chặn trên L
p
(T), p ∈ (1; 2]
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.7. (Mikhlin và khvedelidze) Toán tử của tích phân kỳ dị S trên
một chu tuyến đóng đơn Lyapunov Γ bị chặn trên không gian L
p
(Γ) với
mỗi p ∈ (1; ∞).
Hệ quả 1.4. Cho Γ là một cung Lyapunov không đóng đơn thì toán tử S
của tích phân kỳ dị trên chu tuyến Γ bị chặn trên không gian L
p
(Γ) với
mỗi p ∈ (1; ∞).
Định lý 1.8. Toán tử tích phân kỳ dị trên chu tuyến đóng đơn Γ định

nghĩa trên không gian L
p
(Γ), (p ∈ (1; ∞)) là đối hợp trên không gian
L
p
(Γ), nghĩa là S
2
= I.
19
Định lý 1.9. Khi hàm a(t) liên tục a(t) ∈ C(Γ) thì toán tử D = [aI, S] =
aS − SaI tác động lên không gian L
p
(Γ), p ∈ (1; ∞) là compact.
Định lý 1.10. Cho Γ là một chu tuyến Lyapunov đóng hoặc không đóng,
và cho S là SIFO trong không gian L
p
(Γ), p ∈ (1; ∞). cho γ ∈ Γ và cho χ
γ
là kí hiệu của hàm đặc trưng của cung γ. Hạn chế P |
L
p
(γ)
= P χ
γ
I không
là toán tử compact.
Hệ quả 1.5. Toán tử S ∈ L(L
2
(Γ)) được gọi là tự liên hợp (S = S
∗

) nếu:
a, Γ là một đoạn [a, b] của trục thực.
b, Γ là đường tròn đơn vị T.
Định lý 1.11. Với mọi cung Lyapunov Γ, toán tử
T = S
∗
− S : L
2
(Γ) → L
2
(Γ)
là toán tử compact.
Chú ý: Cùng với không gian L
p
(Γ), p ∈ (1, ∞), chúng ta sẽ xét không
gian tuyến tính L
n
p
(Γ) bao gồm các véc tơ n chiều u = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
trong đó u
k
∈ L
p
(Γ), k = 1, 2, . . . , n. Chuẩn trong L

p
(Γ) có thể được định
nghĩa bởi công thức
|u|
L
n
p
= max
1≤k≤n
|u
k
|
L
p
Các tính chất trên của toán tử S cũng đúng cho không gian Banach
L
n
p
(Γ).
20
1.3 Hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển
1.3.1 Hàm dịch chuyển và hàm dịch chuyển Carle-
man
Trong mục này, trình bày một số định nghĩa hàm dịch chuyển và hàm
dịch chuyển Carleman cùng một số tính chất.
Định nghĩa 1.12. (Hàm dịch chuyển) Cho Γ là một đường cong đóng
hoặc không đóng đơn và α(t) là một đồng phôi Γ vào chính nó. Một đồng
phôi α(t) : Γ → Γ được gọi là một hàm dịch chuyển.
Nếu không có giả thiết trước, chúng ta sẽ luôn giả sử rằng dịch chuyển
α(t) có đạo hàm α


(t) luôn khác không và thỏa mãn điều kiện Holder tại
mọi điểm trên Γ.
Phân loại hàm dịch chuyển có thể thực hiện theo các cách sau:
1, Hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ hoặc thay đổi hướng
(theo hướng ngược lại) trên Γ.
2, Hàm dịch chuyển α(t) có hoặc không có điểm tuần hoàn trên Γ.
3, Nếu tồn tại những điểm tuần hoàn thì hoặc là tất cả những điểm
trên đường cong Γ là tuần hoàn hoặc những điểm tuần hoàn trên Γ là một
tập đóng.
Sau đây là định nghĩa điểm tuần hoàn, điểm bất động và tập điểm tuần
hoàn.
Định nghĩa 1.13. Một điểm r ∈ Γ được gọi là một điểm tuần hoàn
của hàm dịch chuyển α(t) cấp k ≥ 1 nếu α
k
(r) = r và ( cho k>1),
α
j
(r) = r, ∀j = 1, 2, . . . , k −1, trong đó α
j
(t) = α(α
j−1
(t)), và ta quy ước
α
0
(t) ≡ t.
21
Một điểm tuần hoàn bậc một được gọi là điểm bất động hàm dịch
chuyển.
M(α, k) là kí hiệu của tập các điểm tuần hoàn của dịch chuyển α(t)

bậc k. Dãy α
n
(t), n = 1, 2, . . . được gọi là dãy lặp của dịch chuyển α(t)
tại điểm t ∈ Γ.
Bổ đề 1.3. Nếu hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ và M(α, k) =
∅ với mỗi k ≥ 1 thì M(α, l) = ∅, ∀l = k.
Chứng minh. Chúng ta xét trường hợp k = 1. Cho M(α, 1) = ∅. Nếu
M(α, 1) = Γ tức là α(t) ≡ t, bổ đề trở nên tầm thường.
Cho M(α, k) = Γ thì mỗi điểm t ∈ Γ sao cho t ∈ M(α, 1) có thể tìm
thấy. Tập M(α, 1) là đóng, suy ra phần bù của nó đối với đường cong là
tập mở, do đó nó có thể biểu diễn dưới dạng hợp của các cung mở.
Vì vậy, chúng ta luôn có thể chọn r
1
, r
2
∈ M(α, 1) sao cho t ∈ (r
1
; r
2
)
và
(r
1
; r
2
) ∩ M(α; 1) = ∅. (1.6)
Chú ý rằng, trong trường hợp đặc biệt, nếu tập M(α, 1) chỉ có một
điểm đơn, khi đó hai điểm r
1
, r

2
trùng nhau và: (r
1
; r
2
) = Γ{r
1
}. Khi
r
1
, r
2
∈ M(α, 1) và α(t) bảo toàn hướng (α(t) là đồng phôi từ Γ vào chính
nó). Điểm α(t) ∈ (r
1
; r
2
) nghĩa là α(t) ánh xạ cung (r
1
; r
2
) lên chính nó.
Thật vậy, cung (r
1
; α(t)) và (α(t); r
2
) được ánh xạ bởi hàm α(t) lên các
cung (r
1
; α(t)) và (α(t); r

2
), giả sử α(t) ∈ (r
1
; r
2
) mâu thuẫn với ánh xạ
α(t) : Γ → Γ bảo toàn hướng trên Γ. Tương tự như vậy, chúng ta được:
α
n
(t) ∈ (r
1
; r
2
)với mọi n = 1, 2, . . . . (1.7)
Vì t ∈ M(α, 1), hoặc α(t) ∈ (t; r
2
) (khi đó ta nói r
1
là một điểm "đẩy”,
r
2
là một điểm "hút") hoặc là α(t) ∈ (r
1
; t) (khi đó ta nói r
1
là một điểm
22
"hút" và r
2
là một điểm "đẩy"). Chẳng hạn cho α(t) ∈ (t; r

2
). Vì α(t) bảo
toàn hướng trên Γ, chúng ta được
α
n
(t) ∈ (α
n−1
(t); r
2
), n = 1, 2, . . . . (1.8)
Như vậy ta có: α
n
(t) = t với mọi n = 1, 2, . . . Suy ra, nếu t ∈ M (α, 1)
thì t ∈ M(α, k) với mọi k = 2, 3, . . . khi t là một điểm bất kỳ của tập
ΓM(α, 1), chúng ta có: M(α; k) = ∅, k = 2, 3, . . .
Khi k > 1 và M(α, k) = ∅. Đặt m là số dương nhỏ nhất sao cho
M(α, m) = 0. Nói cách khác, M(α, m) = ∅ và M(α, j) = ∅ với j =
1, 2, . . . , m − 1. Cho β(t) = α
m
(t), ta được β(t) bảo toàn hướng trên Γ.
Chúng ta có: M(β, 1) = ∅ và nếu α(t) có điểm tuần hoàn cấp k > m thì
β(t) sẽ có điểm tuần hoàn cấp lớn hơn đơn vị (Nhưng điều này không thể
xảy ra theo điều kiện trên). Do đó, M(α, l) = ∅ nếu l = k
Bổ đề 1.4. Nếu một hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ, và
nếu các điểm r
1
, r
2
∈ M(α, 1) sao cho: (r
1

, r
2
) ∩ M (α, 1) = ∅, thì tồn tại
t ∈ (r
1
, r
2
), dãy lặp α
n
(t)(α
−n
(t)) hội tụ về một điểm bất động hoặc là
r
1
(r
2
) hoặc là r
2
(r
1
).
Định lý 1.12. Tập M
+
của các đồng phôi bảo toàn hướng của một chu
tuyến đóng đơn vào chính nó có thể được phân chia thành các lớp sau:
1, tồn tại một số nguyên dương k ≥ 2 (nhỏ nhât) sao cho α
k
(t) =
t, ∀t ∈ Γ, nghĩa là tất cả các điểm của chu tuyến Γ là những điểm tuần
hoàn của α(t) cấp k (lớp M

+
1
).
2, Tập những điểm tuần hoàn của α(t) là khác rỗng và không trùng
với chu tuyến Γ. Hơn nữa, tất cả các điểm tuần hoàn của α(t) có cùng cấp
k ≥ 1 (lớp M
+
2
).
3, Tập những điểm tuần hoàn của α(t) là rỗng (lớp M
+
3
).
23