ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN
NGUYỄN THỊ THU HẰNG
VỀ CÁC QUỸ ĐẠO ĐẲNG NGHIÊNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN
Hà Nội - Năm 2013
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Tập hyperbolic cho vi phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Đa tạp ổn định và bất ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Tính vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Tính bóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Tính co giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Bất đẳng thức kiểu Gronwall cho hệ nhị phân . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành của vi phôi 8
2.1 Giới thiệu về động lực ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Tập móng ngựa và ánh xạ móng ngựa của Smale . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Tập hyperbolic kết hợp với quỹ đạo đẳng nghiêng . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Xây dựng vi phôi có điểm đẳng nghiêng hoành . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo 41
i

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời
gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ qúy báu của gia đình, thầy cô và
bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi người.
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy đã rất
nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin
gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, những người đã trực tiếp
truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao học.
Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học trường
Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục
bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng hộ tôi
vô điều kiện.
ii
Lời nói đầu
Mỗi vi phôi f trên không gian Euclide R
n
xác định động lực của phương trình sai
phân x
n+1
= f(x
n
), x
n
∈ R
n
. Qua điểm bất động hyperbolic x
0
của vi phôi f, ta có
các đa tạp ổn định W

s
(x
0
) và đa tạp bất ổn định W
u
(x
0
). Nói chung hai đa tạp này
không giao nhau, động lực quanh lân cận điểm x
0
trong trường hợp này khá đơn giản,
bức tranh pha có dạng hyperbolic.
Nếu đa tạp ổn định W
s
(x
0
) và đa tạp bất ổn định W
u
(x
0
) giao nhau tại điểm y
0
thì điểm này được gọi là điểm đẳng nghiêng. Điểm đẳng nghiêng này gọi là hoành hay
không hoành tùy theo hướng các tiếp tuyến tại y
0
. Động lực xung quanh các điểm đẳng
nghiêng là rất phức tạp. Bước tiến khởi đầu là của Smale khi ông ta chứng minh rằng
động lực của ánh xạ móng ngựa chính là động lực của ánh xạ dịch chuyển trái trên
không gian tích của hai ký hiệu. Kết quả của Smale cho phép hiểu rõ ràng về mặt giải
tích của ánh xạ móng ngựa vốn được xây dựng bằng hình học.

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu động lực xung quanh các điểm đẳng
nghiêng hoành dùng động lực ký hiệu dựa trên cuốn sách ” Shadowing in Dynamical
Systems Theory and Applications ” của Palmer Ken năm 2000.
Luận văn được cấu trúc như sau:
Chương 1 trình bày các khái niệm điểm bất động hyperbolic, tập hyperbolic cho vi
phôi, nhị phân mũ, đa tạp ổn định và bất ổn định. Ngoài ra chúng tôi phát biểu tính
bóng, tính co giãn của tập hyperbolic cũng như bổ đề kiểu Gronwall cho hệ nhị phân.
Chương 2 giới thiệu về động lực ký hiệu, minh họa bằng tập móng ngựa và ánh xạ
móng ngựa của Smale, định nghĩa điểm đẳng nghiêng, điểm đẳng nghiêng hoành của
vi phôi, xây dựng vi phôi có điểm đẳng nghiêng hoành và động lực ký hiệu gần điểm
đẳng nghiêng hoành. Các định lý chính nằm trong phần tập hyperbolic kết hợp với
quỹ đạo đẳng nghiêng và phần động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành. Định
lý chính thứ nhất (Định lý 2.3.2) có thể coi là ví dụ về tập bất biến hyperbolic không
tầm thường. Định lý chính thứ hai (Định lý 2.5.1) phát biểu rằng động lực xung quanh
điểm đẳng nghiêng hoành thực chất là một loại động lực ký hiệu trên một tập con của
không gian ký hiệu.
Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót. Tác giả
mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Nguyễn Thị Thu Hằng
iii
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Tập hyperbolic cho vi phôi
Giả sử U ⊂ R
n
là một tập mở và f : U −→ R
n
là C
1

vi phôi. Một điểm x
0
∈ U
được gọi là điểm bất động hyperbolic của f nếu f(x
0
) = x
0
và tất cả các giá trị riêng
của Df(x
0
) nằm ngoài đường tròn đơn vị. Tập các điểm bất động hyperbolic của vi
phôi f ký hiệu là Fix
h
(f). Tổng của tất cả các không gian con riêng suy rộng sinh bởi
giá trị riêng nhỏ hơn 1 gọi là đa tạp ổn định hay không gian con ổn định ký hiệu là
E
s
(f). Tổng của tất cả các không gian con riêng suy rộng sinh bởi giá trị riêng lớn hơn
1 gọi là đa tạp bất ổn định hay không gian con bất ổn định ký hiệu là E
u
(f).
Một điểm x
0
∈ U được gọi là điểm tuần hoàn chu kỳ m ≥ 1 nếu các điểm
x
0
, f(x
0
), f
2

(x
0
), , f
m−1
(x
0
) là khác nhau nhưng f
m
(x
0
) = x
0
. Nếu x
0
là một điểm
tuần hoàn chu kỳ m, thì tập
{x
0
, f(x
0
), f
2
(x
0
), , f
m−1
(x
0
)}
được gọi là quỹ đạo của x

0
, ký hiệu là Orb(f, x
0
).
Điểm tuần hoàn x
0
được gọi là hyperbolic nếu x
0
là điểm bất động hyperbolic của
f
m
, tức là mọi giá trị riêng của Df
m
(x
0
) đều nằm ngoài đường tròn đơn vị. Tập tất
cả các điểm tuần hoàn hyperbolic ký hiệu là Per
h
(f).
Định nghĩa 1.1.1. Một tập compact S ⊂ U được gọi là hyperbolic nếu
(i) S là bất biến, tức là, f(S) = S;
(ii) có phép phân tích
R
n
= E
s
(x) ⊕ E
u
(x), x ∈ S
trong đó các không gian con E

s
(x) và E
u
(x) có số chiều không đổi; hơn nữa, các không
gian con này có các tính chất bất biến
Df(x)(E
s
(x)) = E
s
(f(x)),
1
Df(x)(E
u
(x)) = E
u
(f(x))
và có các hằng số dương K
1
, K
2
, λ
1
< 1, λ
2
< 1 sao cho với k ≥ 0 và x ∈ S
||Df
k
(x)ξ|| ≤ K
1
λ

k
1
||ξ|| với ξ ∈ E
s
(x)
và
||Df
−k
(x)ξ|| ≤ K
2
λ
k
2
||ξ|| với ξ ∈ E
u
(x)
K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
lần lượt được gọi là các hằng số và các số mũ của tập hyperbolic S.
Hai ví dụ đơn giản về các tập bất biến hyperbolic là tập gồm một điểm bất động
hyperbolic và tập gồm một quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic, gọi là hai tập hyperbolic tầm
thường. Trong chương 2, chúng ta sẽ xét tập bất biến hyperbolic không tầm thường
gồm điểm bất động x
0

và quỹ đạo của điểm đẳng nghiêng hoành y
0
tương ứng với x
0
.
1.2. Nhị phân mũ
Cho x
0
là điểm bất động hyperbolic của C
1
vi phôi f : U −→ R
n
. Chú ý rằng các
không gian con ổn định và bất ổn định tương ứng E
s
và E
u
là phép chiếu bất biến
trong Df(x
0
)). Hơn nữa, nếu cho λ
1
và λ
2
là các hằng số dương sao cho
|λ| < λ
1
< 1
với mọi giá trị riêng λ của Df(x
0

) với |λ| < 1 và
1 < λ
−1
2
< |λ|
với mọi giá trị riêng λ với |λ| > 1, khi đó tồn tại các hằng số dương K
1
và K
2
sao cho
với k ≥ 0
||[Df(x
0
)]
k
ξ|| ≤ K
1
λ
k
1
||ξ|| với ξ ∈ E
s
(1.2.1)
||[Df(x
0
)]
−k
ξ|| ≤ K
2
λ

k
2
||ξ|| với ξ ∈ E
u
. (1.2.2)
Trong đó
[Df(x
0
)]
k
ξ −→ 0 khi k −→ ∞ nếu và chỉ nếu ξ ∈ E
s
và
[Df(x
0
)]
k
ξ −→ 0 khi k −→ −∞ nếu và chỉ nếu ξ ∈ E
u
.
2
Định nghĩa 1.2.1 (Nhị phân mũ cho phương trình sai phân). Với k ∈ J là một khoảng
trong Z, cho A
k
là một ma trận khả nghịch cỡ n × n. Phương trình sai phân
u
k+1
= A
k
u

k
(1.2.3)
được gọi là có một nhị phân mũ trên J nếu tồn tại các phép chiếu P
k
và các hằng số
K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
với λ
1
< 1, λ
2
< 1 sao cho với k, m ∈ J các phép chiếu thỏa mãn điều
kiện bất biến
Φ(k, m)P
m
= P
k
Φ(k, m),
và các bất đẳng thức
||Φ(k, m)P
m
|| ≤ K
1
λ

k−m
1
, k ≥ m
và
||Φ(k, m)(I − P
m
)|| ≤ K
2
λ
m−k
2
, k ≤ m
được thỏa mãn. Ở đây Φ(k, m) là ma trận tiến hóa của phương trình (1.2.3) được xác
định bởi
Φ(k, m) =





A
k−1
A
m
với k > m,
I với k = m,
Φ(m, k)
−1
với k < m
thỏa mãn tính chất

Φ(k, p)Φ(p, m) = Φ(k, m).
K
1
, K
2
được gọi là các hằng số nhị phân và λ
1
, λ
2
là các số mũ.
1.3. Đa tạp ổn định và bất ổn định
Các đa tạp ổn định và bất ổn định của điểm bất động hyperbolic đóng vai trò phân
chia dáng điệu nghiệm trong lân cận của điểm hyperbolic đó.
Định nghĩa 1.3.1. Cho x
0
là một điểm bất động hyperbolic của C
1
vi phôi f : U −→
R
n
. Khi đó tập
W
s
(x
0
) = {x ∈ U : f
k
(x) −→ x
0
khi k −→ ∞}

được gọi là đa tạp ổn định của x
0
và tập
W
u
(x
0
) = {x ∈ U : f
k
(x) −→ x
0
khi k −→ −∞}
được gọi là đa tạp bất ổn định của x
0
.
3
Định nghĩa 1.3.2. Cho U ⊂ R
n
là một tập mở, lồi và f : U −→ R
n
là C
1
vi phôi với
điểm bất động hyperbolic x
0
. Với ε > 0 ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương
W
s,ε
(x
0

) = {x ∈ U : f
k
(x) −→ x
0
khi k −→ ∞ và ||f
k
(x) − x
0
|| < ε với k ≥ 0}
và đa tạp bất ổn định địa phương
W
u,ε
(x
0
) = {x ∈ U : f
k
(x) −→ x
0
khi k −→ −∞ và ||f
k
(x) − x
0
|| < ε với k ≤ 0}.
Dễ dàng thấy rằng với mọi ε > 0,
W
s
(x
0
) =


k≥0
f
−k
(W
s,ε
(x
0
)).
Chú ý ta có tính chất bất biến
f(W
s
(x
0
)) = W
s
(x
0
) và f(W
s,ε
(x
0
)) ⊂ W
s,ε
(x
0
).
1.4. Tính vững
Tính vững của phương trình sai phân nói rằng khi ta thêm nhiễu nhỏ vào một hệ
nhị phân mũ thì ta vẫn thu được hệ nhị phân mũ.
Định lý 1.4.1 (Định lý về tính vững). Cho phương trình sai phân u

k+1
= A
k
u
k
có một
nhị phân mũ trên khoảng J = [a, b] (và sẽ được coi là khoảng [a, ∞) khi b = ∞, v.v.)
với các hằng số K
1
, K
2
, các số mũ λ
1
, λ
2
và các phép chiếu P
k
. Giả sử β
1
, β
2
là các số
thỏa mãn
λ
1
< β
1
< 1, λ
2
< β

2
< 1.
Khi đó tồn tại một số dương δ
0
= δ
0
(K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
, β
1
, β
2
) sao cho nếu
||B
k
|| ≤ δ ≤ δ
0
và A
k
+ B
k
là khả nghịch với k ∈ J, thì các phương trình sai phân có nhiễu
u
k+1

= (A
k
+ B
k
)u
k
có một nhị phân mũ trên J với các hằng số L
1
, L
2
, các số mũ β
1
, β
2
và các phép chiếu
Q
k
thỏa mãn
||Q
k
− P
k
|| ≤ Nδ,
trong đó L
1
, L
2
và N là các hằng số chỉ phụ thuộc vào K
1
, K

2
, λ
1
, λ
2
.
4
Chứng minh Xem [5, tr 33-41] ✷
Tập bất biến hyperbolic của một vi phôi cũng có tính vững: khi ta nhiễu một vi
phôi cho trước thì tập bất biến hyperbolic của vi phôi mới cũng nằm trong lân cận
nhỏ của tập bất biến hyperbolic của vi phôi ban đầu.
Định lý 1.4.2. Cho U là một tập lồi, S là một tập hyperbolic compact đối với C
1
vi
phôi f : U −→ R
n
như trong Định nghĩa 1.1.1. Chọn các số β
1
, β
2
sao cho
λ
1
< β
1
< 1 và λ
2
< β
2
< 1.

Khi đó tồn tại các số dương σ
0
và d
0
chỉ phụ thuộc vào S, β
1
và β
2
sao cho nếu O là
một lân cận mở của S với d = max
t∈
¯
O
dist(x, S) thỏa mãn d ≤ d
0
và g : U −→ R
n
là C
1
vi phôi thỏa mãn
sup
x∈U
||g(x) − f(x)|| + sup
x∈U
||Dg(x) − Df(x)|| ≤ σ với σ ≤ σ
0
,
S
O
= {x ∈

¯
O : g
k
(x) ∈
¯
O với mọi k ∈ Z} là một tập hyperbolic compact của g với các
số mũ β
1
và β
2
. Ngoài ra chiều của tập ổn định này là chiều của f và S, và các hằng
số liên hợp với tính hyperbolic và chặn trên các chuẩn của các phép chiếu có thể chọn
để chỉ phụ thuộc vào f, S, β
1
và β
2
.
Chứng minh Xem [5, tr 47-48] ✷
1.5. Tính bóng
Tính bóng là một hệ quả quan trọng của tính hyperbolic. Sau này chúng ta dùng
tính bóng để nghiên cứu động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng hoành.
Định nghĩa 1.5.1. Một dãy {y
k
}
∞
k=−∞
của các điểm trong U được gọi là một δ giả
quỹ đạo của f nếu
||y
k+1

− f(y
k
)|| ≤ δ với k ∈ Z.
Một quỹ đạo {x
k
}
∞
k=−∞
của f, tức là, x
k+1
= f(x
k
) với mọi k, được gọi là ε bóng δ giả
quỹ đạo {y
k
}
∞
k=−∞
nếu
||x
k
− y
k
|| ≤ ε với k ∈ Z.
5
Định lý 1.5.2 (Định lý bóng cho tập hyperbolic compact). Cho S là tập hyperbolic
compact của C
1
vi phôi f : U −→ R
n

. Khi đó tồn tại các hằng số dương δ
0
, σ
0
và M
chỉ phụ thuộc vào f và S sao cho nếu g : U −→ R
n
là C
1
vi phôi thỏa mãn
||f(x) − g(x)|| + ||Df(x) − Dg(x)|| ≤ σ với x ∈ U
ở đây σ ≤ σ
0
, δ giả quỹ đạo của f trong S với δ ≤ δ
0
là ε bóng bởi một quỹ đạo thật
duy nhất của g (gọi là quỹ đạo bóng) với ε = M(δ + σ).
Chứng minh Xem [5, tr 77-83] ✷
1.6. Tính co giãn
Tính co giãn cũng là một hệ quả của tính hyperbolic. Người ta thường dùng tính
co giãn để chỉ ra sự duy nhất của quỹ đạo bóng.
Mệnh đề 1.6.1. Cho S là một tập hyperbolic compact đối với C
1
vi phôi f : U −→ R
n
như trong Định nghĩa 1.1.1 với M
s
, M
u
là các hằng số. Chọn các số β

1
và β
2
thỏa mãn
λ
1
< β
1
< 1, λ
2
< β
2
< 1.
Khi đó, nếu d đủ nhỏ chỉ phụ thuộc vào K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
, M
s
, M
u
, β
1
, β
2
và module liên

tục
ω(δ) = sup{||Df(y) − Df(x)|| : x ∈ S, ||y − x|| ≤ δ},
thì tồn tại các hằng số L
1
, L
2
chỉ phụ thuộc vào K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
, M
s
, M
u
sao cho nếu
{x
k
}
b
k=a
và {y
k
}
b
k=a
là các quỹ đạo của f với x

k
∈ S, a ≤ k ≤ b và thỏa mãn
||x
k
− y
k
|| ≤ d với a ≤ k ≤ b,
thì bất đẳng thức
||x
k
− y
k
|| ≤ L
1
β
k−a
1
||x
a
− y
a
|| + L
2
β
b−k
2
||x
b
− y
b

||
đúng với a ≤ k ≤ b.
Chứng minh Xem [5, tr 42-43] ✷
6
1.7. Bất đẳng thức kiểu Gronwall cho hệ nhị phân
Kết quả kỹ thuật sau đây là một biến thể của bất đẳng thức Gronwall cho hệ nhị
phân.
Mệnh đề 1.7.1. (i) Cho a, b là các số nguyên với −∞ < a ≤ b ≤ ∞. Giả sử {µ
k
}
b
k=a
là dãy các số âm, bị chặn bởi b = ∞, tồn tại các hằng số dương K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
, α
1
, α
2
với λ
1
< 1, λ
2
< 1 sao cho với a ≤ k < b + 1
µ

k
≤ K
1
λ
k−a
1
µ
a
+
k−1

m=a
α
1
λ
k−m−1
1
µ
m
+
b−1

m=k
α
2
λ
m−k+1
2
µ
m

.
Khi đó nếu
σ = α
1
(1 − λ
1
)
−1
+ α
2
λ
2
(1 − λ
2
)
−1
< 1,
thì ta có bất đẳng thức
µ
k
≤ K
1
(1 − σ)
−1

λ
1
+ α
1
(1 − σ)

−1

k−a
µ
a
với a ≤ k < b + 1.
(ii) Cho a, b là các số nguyên với −∞ < a ≤ b ≤ ∞. Giả sử {µ
k
}
b
k=a
là dãy các số âm,
bị chặn bởi a = −∞, tồn tại các hằng số dương K
1
, K
2
, λ
1
, λ
2
, α
1
, α
2
với λ
1
< 1, λ
2
< 1
sao cho với a − 1 < k ≤ b

µ
k
≤ K
2
λ
b−k
2
µ
b
+
k−1

m=a
α
1
λ
k−m−1
1
µ
m
+
b−1

m=k
α
2
λ
m−k+1
2
µ

m
.
Khi đó nếu
σ = α
1
(1 − λ
1
)
−1
+ α
2
λ
2
(1 − λ
2
)
−1
< 1, và α
2
λ
2
< 1 − σ,
thì ta có bất đẳng thức
µ
k
≤ K
2
(1 − σ)
−1


(1 − σ − α
2
λ
2
)
−1
(1 − σ)λ
2

b−k
µ
b
với a − 1 < k ≤ b.
Chứng minh Xem [5, tr 9-12] ✷
7
Chương 2
Động lực ký hiệu gần điểm đẳng
nghiêng hoành của vi phôi
2.1. Giới thiệu về động lực ký hiệu
Cho một tập hữu hạn gồm N phần tử {0, 1, , N − 1}. Tập A
N
= {0, 1, , N − 1}
được gọi là tập các ký hiệu. Không gian

N
=
∞

n=−∞
A

n
= {( a
−1
a
0
a
1
) : a
k
∈ A
N
}
được gọi là không gian ký hiệu.
Ta sẽ nhắc lại khái niệm về tập Cantor.
Điểm a ∈ A được gọi là điểm cô lập nếu tồn tại ε > 0 sao cho

B(a, ε) \ {a}

∩ A
là rỗng. Tập A được gọi là tập hoàn chỉnh nếu A là tập đóng và không có điểm cô lập.
Tập A được gọi là tập hoàn toàn không liên thông nếu mọi thành phần liên thông của
A chỉ là các điểm. Không gian topo X được gọi là không gian không liên thông nếu
X = A ∪ B mà A ∩ B là rỗng, trong đó A, B là các tập mở. Không gian topo X gọi là
không gian liên thông nếu X không là không gian không liên thông.
Định nghĩa 2.1.1. Tập Cantor là tập compact, hoàn chỉnh và hoàn toàn không liên
thông.
Trên không gian

N
, ta trang bị khoảng cách

d(a, b) =
∞

n=−∞
|a
n
− b
n
|
2
|n|
.
Định lý 2.1.2.

N
là tập Cantor.
Chứng minh Theo định lý Tychonoff,

N
là tập compact. Với ống trụ
C
j
(a) = {b ∈

N
| b
n
= a
n
, ∀ − j ≤ n ≤ j, j ≥ 0}

8
rõ ràng b ∈ C
j
(a) và b = a. Như vậy

N
là tập hoàn chỉnh.
Ta chứng minh

N
là tập hoàn toàn không liên thông. Lấy bất kỳ a = b trong

N
.
Tồn tại m ∈ Z sao cho a
m
= b
m
. Giả sử
V (a) = {c ∈

N
| c
m
= a
m
}
là hợp các ống trụ, cả V (a) và

N

−V (a) đều là tập mở. Như vậy a và b không cùng
nằm trong các thành phần liên thông. Điều đó có nghĩa là

N
hoàn toàn không liên
thông.
Vậy

N
là tập Cantor.
✷
Định nghĩa 2.1.3. Ánh xạ dịch chuyển (trái)
σ :

N
−→

N
(σ(a))
n
= a
n+1
, ∀n ∈ Z.
Như vậy σ dịch chuyển mọi dãy hai phía sang bên trái một đơn vị. Rõ ràng σ là
liên tục và có nghịch đảo là ánh xạ dịch chuyển phải. Ánh xạ này cũng liên tục. Nói
cách khác, σ là một đồng phôi. Bộ (

N
, σ) được gọi là một hệ động lực ký hiệu.
Ta đưa ra một số tính chất cơ bản của động lực ký hiệu. Lưu ý rằng một điểm

bất động của σ là dãy hai phía của các phần tử hằng số, tức là σ(a) = a với a ∈
{(0)
∞
−∞
, (1)
∞
−∞
, , (N − 1)
∞
−∞
}. Một điểm tuần hoàn với chu kỳ k là một dãy hai phía
với bộ lặp k. Dễ dàng tính được chính xác số các điểm tuần hoàn của σ với chu kỳ cho
trước. Chẳng hạn, ta có thể liệt kê ra bốn điểm tuần hoàn của σ với chu kỳ hai trên
không gian ký hiệu

2
= {0, 1} là
00 00
11 11
01 01
10 10
Tổng quát, số các điểm tuần hoàn của σ với chu kỳ hai trên không gian ký hiệu

N
= {0, 1, , N − 1} là N
2
.
Định nghĩa 2.1.4. Đồng phôi f : U ⊂ R
n
→ R

n
được gọi là truyền ứng nếu
Orb(f, x
0
) = R
n
.
9
Định lý 2.1.5. Tập các điểm tuần hoàn của σ trù mật trong

N
và σ là truyền ứng
trên

N
.
Chứng minh Lấy a ∈

N
. Xét
C
j
(a) = {b ∈

N
| b
n
= a
n
, ∀ − j ≤ n ≤ j, j ≥ 0}

Giả sử b ∈ C
j
(a) là dãy hai phía. Khi đó b tuần hoàn và b ∈ C
j
(a). Điều này chứng
minh rằng các điểm tuần hoàn là trù mật.
Để chứng minh σ là truyền ứng trên

N
, ta chỉ cần xây dựng một dãy hai phía c ∈

N
mà quỹ đạo dương của nó trù mật trong

N
. Để đơn giản ta xét trường hợp N = 2.
Trường hợp N > 2 tương tự. Cho c
n
= 0 với mọi n ≤ −1. Bắt đầu với n = 0 , đặt tất
cả các bộ hữu hạn có thể của 0, 1. Chính xác hơn, ta bắt đầu với n = 0, trước tiên
đặt hai bộ đơn 0, 1. Sau đó, đặt lần lượt tất cả các bốn bộ đôi 00, 01, 10, 11, sau đến
tất cả 8 bộ ba và tiếp tục như vậy. Việc này sẽ xác định một điểm c ∈

2
mà quỹ
đạo dương của nó trù mật trong

2
. Thật vậy, với mọi e ∈


2
, (e
i
)
∞
−∞
, theo cách xây
dựng c = (c
i
)
∞
−∞
tồn tại k > 0 sao cho σ
k
(e) và c trùng nhau trên ống trụ C
j
(e) với j
đủ lớn. Suy ra d(σ
k
(e), c) < ε với ε đủ bé cho trước.
Định lý 2.1.5 được chứng minh.
✷
Hai tính chất được nêu trong Định lý 2.1.5 có vẻ như trái ngược nhau. Mỗi quỹ
đạo tuần hoàn là một hệ con riêng. Mặt khác, một hệ truyền ứng thực chất gần như
chỉ gồm một quỹ đạo. Trong trường hợp cả hai tính chất này đều có cùng một lúc thì
hệ có thể được coi là hỗn độn.
Một hệ động lực topo f : X −→ X được gọi là phụ thuộc mạnh vào các điều kiện
ban đầu nếu tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ X và mọi δ > 0, tồn tại y ∈ B(x, δ) và
m ≥ 1 sao cho d(f
m

(x), f
m
(y)) ≥ r.
Định lý 2.1.6. Cho X là một không gian metric compact, và f : X −→ X có các
điểm tuần hoàn trù mật trong X và truyền ứng trên X. Nếu X không phải là một quỹ
đạo tuần hoàn thì f phụ thuộc mạnh vào các điều kiện ban đầu.
Chứng minh Do các điểm tuần hoàn trù mật trong X, và X không thu gọn về chỉ
một quỹ đạo tuần hoàn đơn lẻ, khi đó tồn tại ít nhất hai điểm tuần hoàn p, q ∈ X với
các quỹ đạo khác nhau. Cho
a = d(Orb(p), Orb(q)) > 0,
10
và
r = a/8.
Ta chứng minh rằng đối với mọi x ∈ X và mọi δ > 0, tồn tại y ∈ B(x, δ) và m ≥ 1 sao
cho d(f
m
(x), f
m
(y)) ≥ r. Cho x ∈ X và δ > 0. Ta có thể giả thiết δ < a/8. Do x cách
cả hai quỹ đạo Orb(p) và Orb(q) một khoảng a/2 nên để cụ thể ta giả thiết
d(x, Orb(p)) ≥ a/2.
Do các điểm tuần hoàn là trù mật nên tồn tại một điểm tuần hoàn y ∈ B(x, δ). Giả
sử y tuần hoàn chu kỳ k ≥ 1. Cho η > 0 đủ lớn sao cho với mọi u ∈ B(p, η) và mọi
0 ≤ i ≤ k,
d(f
i
(p), f
i
(u)) < a/8.
Do f là truyền ứng được nên tồn tại z ∈ B(x, δ) và n ≥ 1 sao cho f

n
(z) ∈ B(p, η). Khi
đó
{f
n
(z), f
n+1
(z), , f
n+k
(z)} ⊂ B(Orb(p), a/8).
Tuy nhiên một trong các giá trị {f
n
(y), f
n+1
(y), , f
n+k
(y)}, chẳng hạn f
m
(y) (tất
nhiên là m ≥ 1), chính là y. Khi đó
d(f
m
(y), f
m
(z)) ≥ a/4.
Khi đó, hoặc y, hoặc z, chẳng hạn y sẽ thỏa mãn
d(f
m
(y), f
m

(x)) ≥ a/8 = r.
Định lý 2.1.6 được chứng minh.
✷
2.2. Tập móng ngựa và ánh xạ móng ngựa của Smale
Tập móng ngựa của Smale là ví dụ kinh điển về tập bất biến hyperbolic compact.
Smale đã ứng dụng động lực ký hiệu để khảo sát động lực của ánh xạ móng ngựa trên
tập móng ngựa.
Ta sơ lược cách xây dựng tập móng ngựa trong không gian R
2
.
Bước 1: Lấy một hình vuông Q kích thước bằng 1.
Bước 2: Chia hình vuông đó thành 5 phần theo chiều dọc rồi nén vào 5 lần theo chiều
ngang.
11
Bước 3: Kéo giãn dài ra gấp 5 lần theo chiều dọc.
Bước 4: Bẻ cong như hình vẽ.
Hình 2.1: Ánh xạ móng ngựa
Hình 2.2: Ánh xạ móng ngựa (toàn cục)
Do f(Q) vượt quá Q, nên một số điểm của f(Q) vượt ra ngoài Q và ngược lại. Để
khắc phục điều này ta mở rộng sang một vi phôi toàn cục f : S
2
−→ S
2
sao cho cực
nam của bán cầu dưới là một điểm nguồn và bán cầu sẽ ánh xạ vào chính nó (S
2
là
mặt cầu đơn vị trong không gian 3 chiều).
Ta xét hai dải ngang H
0

, H
1
và hai dải thẳng đứng V
0
, V
1
sao cho
f(H
0
) = V
0
, f(H
1
) = V
1
.
Để đơn giản ta giả thiết f là affine trong H
i
với độ nén là 1/5 và độ giãn là 5. Ta gọi
hình chữ nhật cắt theo chiều ngang toàn bộ H
0
hoặc H
1
là một dải H, và một hình
chữ nhật cắt theo chiều thẳng đứng toàn bộ V
0
hoặc V
1
là một dải V .
Bổ đề 2.2.1. Đối với mọi dải V , f(V ) ∩ V

i
là một dải V với chiều rộng nén lại 1/5.
Đối với mọi dải H, f
−1
(H) ∩ H
i
là một dải H với chiều dài co lại 1/5.
Chứng minh Trường hợp dải V là rõ ràng, đối với dải H,

f
−1
(H)

∩ H
i
= f
−1

H ∩ f(H
i
)

= f
−1

H ∩ V
i

.
12

Hình 2.3: Dải H và dải V
Do rằng H ∩ V
i
là hình chữ nhật cắt theo chiều ngang toàn bộ V
i
, nên ảnh f
−1
của
nó chính là dải của H. Bổ đề được chứng minh. ✷
Ta ký hiệu
Λ =
∞

n=−∞
f
n
(Q).
Nói cách khác, Λ là tập bất biến lớn nhất chứa trong Q. Lưu ý rằng nếu x /∈ H
0
∪ H
1
,
thì f(x) không thuộc Q. Như vậy
Λ =
∞

n=−∞
f
n
(H

0
).
Định lý 2.2.2. (Smale). f : Λ −→ Λ là liên hợp topo với σ :

2
−→

2
, tức là tồn
tại đồng phôi h : Λ −→

2
sao cho h ◦ f = σ ◦ h.
Chứng minh Ta thấy Λ là bất biến vì
Λ =
∞

n=−∞
f
n
(Q) nên
f(Λ) = f

∞

n=−∞
f
n
(Q)


=
∞

n=−∞
f
n+1
(Q)
= Λ.
Do Λ là bất biến và H
0
∩ H
1
= ∅, với mọi x ∈ Λ, nên tồn tại duy nhất a ∈

2
,
a = ( a
−1
a
0
a
1
) là dãy vô hạn hai phía của x sao cho
f
n
(x) ∈ H
a
n
với mọi n ∈ Z. Ta định nghĩa ánh xạ
h : Λ −→


2
x −→ h(x) = a.
13
Do
h ◦ f = σ ◦ h.
Ta chứng minh h là 1-1 và lên, tức là, chứng minh rằng với mọi a ∈

2
, tồn tại duy
nhất x ∈ Λ sao cho với mọi n ∈ Z, f
n
(x) ∈ H
a
n
hoặc tương tự x ∈ f
−n
(H
a
n
). Nói cách
khác, điều này chứng minh đối với mọi a ∈

2
,
∞

n=−∞
f
−n

(H
a
n
)
là một điểm đơn. Xét giao vô hạn hai phía
∩ f
3
(H
a
−3
) ∩ f
2
(H
a
−2
) ∩ f(H
a
−1
) ∩ H
a
0
∩ f
−1
(H
a
1
) ∩ f
−2
(H
a

2
) ∩ ,
hoặc
∩ f
2
(V
a
−3
) ∩ f(V
a
−2
) ∩ V
a
−1
∩ H
a
0
∩ f
−1
(H
a
1
) ∩ f
−2
(H
a
2
) ∩
Rõ ràng
I

n+1
⊂ I
n
, J
n+1
⊂ J
n
.
Trong đó I
n
, J
n
được xác định như trong bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.3. Mọi I
n
là một dải H với chiều cao ≤ 1/5
n
, và mọi J
n
là một dải V với
chiều rộng ≤ 1/5
n
.
Chứng minh Do rằng J
0
là một dải V, theo Bổ đề 2.2.1,
J
1
= f(V
a

2
) ∩ V
a
−1
là một dải V. Khi đó
J
2
= f

f(V
a
−3
) ∩ V
a
−2

∩ V
a
−1
là một dải V. Việc chứng minh đối với I
n
là tương tự.
Bổ đề 2.2.3 được chứng minh.
✷
Như vậy
∞

n=−∞
f
−n

(H
a
n
)
thực tế là một điểm đơn, điều này chứng minh h là 1-1 và lên. Dễ dàng thấy rằng h
là liên tục. Thực vậy, nếu x, y ∈ Λ là đủ gần, f
n
(x) và f
n
(y) sẽ cùng nằm trong 1/10
14
của nhau trên một khoảng dài tùy ý −j ≤ n ≤ j; khi đó f
n
(x) và f
n
(y) sẽ cùng nằm
trong H
0
hoặc H
1
, với mọi −j ≤ n ≤ j; hai dãy vô hạn hai phía h(x) và h(y) sẽ cùng
thỏa mãn trên [−j, j]. Như vậy h là liên tục. Do Λ là compact nên h là đồng phôi.
Định lý 2.2.2 được chứng minh.
✷
Hệ quả trực tiếp của sự liên hợp giữa ánh xạ móng ngựa và ánh xạ dịch chuyển
như sau.
Hệ quả 2.2.4. Tập móng ngựa Λ là tập Cantor. Ánh xạ móng ngựa f : Λ −→ Λ là
truyền ứng và tập các điểm tuần hoàn trù mật trong Λ.
2.3. Tập hyperbolic kết hợp với quỹ đạo đẳng nghiêng
Giả sử U là tập mở và f −→ R

n
là C
1
vi phôi, x
0
là điểm bất động hyperbolic của
f với đa tạp ổn định và bất ổn định W
s
(x
0
) và W
u
(x
0
).
Định nghĩa 2.3.1. Một điểm y
0
được gọi là điểm đẳng nghiêng tương ứng với điểm
bất động x
0
nếu

y
0
= x
0
y
0
∈ W
s

(x
0
) ∩ W
u
(x
0
)
·
Hơn nữa, nếu
R
n
= T
y
0
W
s
(x
0
) ⊕ T
y
0
W
u
(x
0
)
thì điểm đẳng nghiêng đó gọi là điểm đẳng nghiêng hoành.
Ở đây
W
s

(x
0
) =
∞

k=0
f
−k

W
s,ε
(x
0
)

,
trong đó W
s,ε
(x
0
) là một đa tạp với ε > 0 đủ nhỏ. Khi đó, nếu x ∈ W
s
(x
0
), thì tồn tại
N ≥ 0 sao cho f
N
(x) ∈ W
s,ε
(x

0
), và do đó ta có định nghĩa
T
x
W
s,ε
(x
0
) = T
x

f
−N
(W
s,ε
(x
0
))

= Df
−N

f
N
(x)

T
f
N
(x)

W
s,ε
(x
0
)

.
Dễ thấy, định nghĩa này không phụ thuộc vào N và ε, ta có tính chất bất biến
Df(x)

T
x
W
s
(x
0
)

= T
f(x)
W
s
(x
0
),
T
x
W
u
(x

0
) được định nghĩa tương tự.
15
Hình 2.4: Quỹ đạo đẳng nghiêng hoành và không hoành
Định lý 2.3.2. Giả sử f : U −→ R
n
là C
1
vi phôi với điểm bất động hyperbolic x
0
và
y
0
là điểm đẳng nghiêng hoành tương ứng của x
0
. Khi đó, tập
S = {x
0
} ∪ {f
k
(y
0
) : k ∈ Z}
là hyperbolic với phép phân tích R
n
= T
x
W
s
(x

0
) ⊕ T
x
W
u
(x
0
), x ∈ S với số mũ gần tùy
ý với số mũ của điểm bất động hyperbolic x
0
.
Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.1 về tập hyperbolic, để chứng minh S là tập
hyperbolic ta phải chứng minh:
• f(S) = S;
• Df(x)

T
x
W
s
(x
0
)

= T
x
W
s
(x
0

)

f(x)

,
Df(x)

T
x
W
u
(x
0
)

= T
x
W
u
(x
0
)

f(x)

;
• ||Df
k
(x)ξ|| ≤ K
1

λ
k
1
||ξ||, ξ ∈ T
x
W
s
(x
0
),
||Df
k
(x)ξ|| ≤ K
2
λ
k
2
||ξ||, ξ ∈ T
x
W
u
(x
0
).
Rõ ràng S là tập bất biến compact, phép phân tích ở trên là bất biến và số chiều của
các không gian con là hằng số. Khi đó, do tính liên tục của phép phân tích được suy
ra từ các tính chất khác trong Định nghĩa 1.1.1, nên chúng ta chỉ cần kiểm tra đánh
giá các nhị phân mũ dọc theo quỹ đạo của y
0
. Với mục đích đó, chúng ta chứng minh

mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3.1. Giả sử x
0
là một điểm bất động hyperbolic của C
1
vi phôi f : U −→ R
n
16
sao cho
||

Df(x
0
)

k
ξ|| ≤ K
1
λ
k
1
||ξ||, ξ ∈ E
s
||

Df(x
0
)

−k

ξ|| ≤ K
2
λ
k
2
||ξ||, ξ ∈ E
u
.
Chọn các số β
1
, β
2
sao cho λ
1
< β
1
< 1, λ
2
< β
2
< 1. Khi đó, nếu với mọi ε > 0, với
mọi x ∈ W
s,ε
(x
0
) và với mọi không gian con V sao cho
T
x
W
s,

(x
0
) ⊕ V = R
n
, (2.3.1)
thì tồn tại các hằng số K
3
, K
4
sao cho với k ≥ m ≥ 0
||Df
k
(x)ξ|| ≤ K
3
β
k−m
1
||Df
m
(x)ξ|| với ξ ∈ T
x
W
s,
(x
0
) (2.3.2)
và
||Df
m
(x)ξ|| ≤ K

4
β
k−m
2
||Df
k
(x)ξ|| với ξ ∈ V. (2.3.3)
Chứng minh
Trong chứng minh định lý đa tạp ổn định, ta đã xây dựng U
0
là một lân cận mở của
0 trong không gian con ổn định E
s
và hàm khả vi liên tục φ
s
: U
0
−→ R
n
sao cho với
mọi ε > 0 tồn tại lân cận mở U
ε
của O với U
ε
⊂ U
0
sao cho
W
s,ε
(x

0
) = {x
0
+ φ
s
(u) : u ∈ U
ε
}
Ngoài ra, φ
s
có tính chất Pφ
s
(u) = u (do xây dựng) với phép chiếu
P : R
n
= E
s
⊕ E
u
−→ E
s
z = u + v −→ P (z) = u
φ
s
(O) = O và P φ
s
(O) là ánh xạ bao hàm của E
s
trong R
n

.
Ánh xạ
H : U
ε
−→ W
s,ε
(x
0
)
u −→ H(u) = x
0
+ φ
s
(u) là C
1
vi phôi liên hợp
f : W
s,ε
(x
0
) −→ W
s,ε
(x
0
) với g : U
ε
−→ U
ε
, trong đó g được định nghĩa bởi
g = H

−1
◦ f ◦ H (2.3.4)
17
H ◦ g = f ◦ H
(H ◦ g)(u) = (f ◦ H)(u)
H(g(u)) = f (H(u))
x
0
+ φ
s
(g(u)) = f(x
0
+ φ
s
(u)), với u ∈ U
ε
φ
s
(g(u)) = f(x
0
+ φ
s
(u)) − x
0
g(u) = φ
−s
(f(x
0
+ φ
s

(u)) − x
0
) vì u ∈ U
ε
nên u = P φ
s
(u)
P
−1
(u) = φ
s
(u)
P = φ
−s
g(u) = P [f(x
0
+ φ
s
(u)) − x
0
].
Lưu ý rằng nếu u ∈ U
ε
thì u = P φ
s
(u) và ||u|| ≤ ||P ||ε.
Thiết lập (2.3.2):
Giả sử x ∈ W
s,ε
(x

0
) = x
0
+ φ
s
(u) với u ∈ U
ε
và ξ ∈ T
x
W
s,ε
(x
0
) thì
x = H(u), ξ = DH(u)ζ (2.3.5)
ở đây u ∈ U
ε
và ζ ∈ E
s
. Lại có H ◦ g
k
= f
k
◦ H,
Df
k
(x)ξ = DH(g
k
(u))Dg
k

(u)ζ với k ≥ 0 (2.3.6)
vì Hg
k
(u) = f
k
H(u) và H(u) = x nên f
k
(x) = Hg
k
(u)
nên ta có
Df
k
(x)ξ = DH(g
k
(u))ξ
= DH(g
k
(u))(DH(u)ζ)
= DH(g
k
(u))Dg
k
(u)ξ.
Ta xét dãy
ζ
k
= Dg
k
(u)ζ với k ≥ 0.

Theo quy tắc xích,
ζ
k+1
= Dg
k+1
(u)ζ (2.3.7)
mà
Dg
k+1
(u)ζ = D(g(g
k
(u)))ζ
= Dg(g
k
(u)).Dg
k
(u)ζ
= Dg(g
k
(u))ζ
k
18
suy ra
ζ
k+1
= Dg(g
k
(u))ζ
k
với k ≥ 0.

Tiếp theo
Dg(0) = Df (x
0
)|E
s
,
ta viết lại phương trình (2.3.7) dưới dạng
ζ
k+1
= Df(x
0
)ζ
k
+ [Dg(g
k
(u)) − Dg(0))]ζ
k
với k ≥ 0.
Tương tự, ta có
ζ
k
= Df(x
0
)ζ
k−1
+ [Dg(g
k−1
(u)) − Dg(0)]ζ
k−1
ζ

k−1
= Df(x
0
)ζ
k−2
+ [Dg(g
k−1
(u)) − Dg(0)]ζ
k−2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ζ
1
= Df(x
0
)ζ
0
+ [Dg(g
0
(u)) − Dg(0)]ζ
0
.
Thay từ dưới lên trên ta được
ζ
k
= [Df(x
0
)]
k
ζ +
k−1


m=0
[Df(x
0
)]
k−m−1
[Dg(g
m
(u)) − Dg(0)]ζ
m
với k ≥ 0,
ở đây ta thấy rằng ζ và [Dg(g
m
(u)) − Dg(0)]ζ
m
nằm trong E
s
và g
m
(u) nằm trong U
ε
.
Khi đó nếu ta định nghĩa
ω
g
(ε) = sup{Dg(u) − Dg(0) : u ∈ U
ε
},
thì suy ra từ ước lượng thứ nhất của nhị phân mũ rằng với k ≥ 0
ζ

k
 ≤ [Df(x
0
)]
k
ζ +
k−1

m=0
[Df(x
0
)]
k−m−1
.Dg(g
m
(u)) − Dg(0).ζ
m
.
Vì
sup{Dg(g
m
(u)) − Dg(0)} = sup{Dg(g
m
(P φ
s
(u))) − Dg(φ
s
(0))}
= ω
g

(P ε).
Nên
||ζ
k
|| ≤ K
1
λ
k
1
||ζ|| +
k−1

m=0
K
1
λ
k−m−1
1
ω
g
(||P ||ε)||ζ
m
||. (2.3.8)
19
Đặt
µ
k
= λ
−k
1

ζ
k

với k ≥ 0, nhân hai vế của (2.3.8) với λ
−k
1
và chú ý µ
m
= λ
−m
1
ζ
m
 phương trình (2.3.8)
trở thành
µ
k
≤ K
1
ζ + K
1
λ
−1
1
ω
g
(P ε)
k−1

m=0

µ
m
,
và từ Mệnh đề 1.7.1 suy ra rằng với k ≥ 0
µ
k
≤ K
1
ζ[1 + K
1
λ
−1
1
ω
g
(P ε)]
k
.
Điều đó có nghĩa là
λ
−k
1
ζ
k
 ≤ K
1
ζ[1 + K
1
λ
−1

1
ω
g
(P ε)]
k
ζ
ζ
k
 ≤ K
1
λ
k
1
|[1 + K
1
λ
−1
1
ω
g
(P ε)]
k
ζ
ζ
k
 ≤ K
1
[λ
1
+ K

1
ω
g
(P ε)]
k
ζ (2.3.9)
với k ≥ 0.
Bây giờ ta giả sử rằng ε nhỏ đến mức với u ∈ U
ε
và ν ∈ E
s
Dφ
s
(u)ν − ν ≤
1
2
ν. (2.3.10)
Khi đó, với DH(u) : E
s
−→ T
x
W
s,ε
(x
0
) với x = H(u), suy ra rằng với u ∈ U
ε
DH(u) ≤
3
2

, DH(u)
−1
 ≤ 2 (2.3.11)
bởi vì theo (2.3.10) ta có
DH(u)ν − ν ≤
1
2
ν
DH(u)ν − ν ≤ DH(u)ν − ν ≤
1
2
ν
DH(u)ν ≤ ν +
1
2
ν =
3
2
ν
suy ra
DH(u) ≤
3
2
.
Tương tự
DH(u)
−1
 ≤ 2.
20
Như vậy, nếu x = H(u) ∈ W

s,ε
(x
0
) và ξ = DH(u)ζ ∈ T
x
W
s,ε
(x
0
), suy ra từ (2.3.5),
(2.3.6), (2.3.9) và (2.3.11) rằng
Df
k
(x)ξ ≤ 3K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(P ε)]
k
ξ] với k ≥ 0.
Thật vậy,
Df
k
(x)ξ = DH(g
k
(u)).Dg

k
(u)ζ ( theo (2.3.6))
= DH(g
k
(u)).Dg
k
(u)ζ
lại có

ζ
k
= Dg
k
(u)ζ
ζ
k
 ≤ K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(P ε)]
k
ζ
·
suy ra
Dg

k
(u)ζ ≤ K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(P ε)]
k
ζ
theo (2.3.11) ta có
DH(g
k
(u)) ≤
3
2
và ξ = DH(u)ζ suy ra
ζ = (DH(u))
−1
ξ
||ζ = (DH(u))
−1
||.ξ.
Khi đó,
||Dg
k
(u)ζ|| ≤ K
1

[λ
1
+ K
1
ω
g
(||P ||ε)]
k
||(DH(u))
−1
||.||ξ||
≤ 2K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(P ε)]
k
ξ
≤
3
2
.2K
1
[λ
1
+ K

1
ω
g
(||P ||ε)]
k
||ξ||
Vậy
||Df
k
(x)ξ|| ≤
3
2
.2K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(||P ||ε)]
k
||ξ||
||Df
k
(x)ξ|| ≤ 3K
1
[λ
1
+ K

1
ω
g
(||P ||ε)]
k
||ξ||
||Df
k
(x)ξ|| ≤
3
2
.2K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(||P ||ε)]
k
||ξ||
||Df
k
(x)ξ|| ≤ 3K
1
[λ
1
+ K
1

ω
g
(||P ||ε)]
k
||ξ||
||Df
k
(x)ξ|| ≤ 3K
1
[λ
1
+ K
1
ω
g
(||P ||ε)]
k
||ξ|| với k ≥ 0. (2.3.12)
21