ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN HỮU CHỈNH
GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC
QUÁ TRÌNH CÓ BƯỚC NHẢY
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN HỮU CHỈNH
GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC
QUÁ TRÌNH CÓ BƯỚC NHẢY
Chuyên ngành: LÍ THUYẾT XÁC SUẤT-THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.Trần Hùng Thao
Hà Nội - 2013
Lời nói đầu
Giải tích ngẫu nhiên truyền thống nghiên cứu về vi phân ngẫu nhiên, tích phân
ngẫu nhiên Itô và ứng dụng đối với các hệ động lực chi phối bởi chuyển động
Brown.
Cùng sự phát triển nghiên cứu ứng dụng, người ta nhận thấy giải tích ngẫu
nhiên Itô không đủ nghiên cứu các hệ động lực mô tả và chi phối bởi các quá trình
có bước nhảy. Nhiều quá trình trong thực tế không liên tục theo thời gian mà có
biến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ như giá bất động sản hoặc giá của các tài sản cơ
sở nào đó. Quá trình Poisson và Poisson phức hợp là các ví dụ rất phổ biến dùng
trong kỹ thuật và trong kinh tế tài chính, đó là những quá trình có bước nhảy. Do
đó hình thành nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước

nhảy. Trên thế giới, giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy đã
được nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối thế kỷ 20, với các tác giả như R.S.Bass,
R.Cont và P.Tankov với nhiều ứng dụng trong kinh tế, tài chính và trong kỹ thuật.
Chính khả năng ứng dụng thực tế to lớn của lý thuyết này là lý do tôi chọn đó là
nội dung nghiên cứu của luận văn này.
Luận văn này đề cập các vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với các
quá trình có bước nhảy, như tích phân ngẫu nhiên, công thức đổi biến Itô, định lý
Girsanov, cùng các quá trình có bước nhảy quan trọng là quá trình Poisson, quá
trình Lévy, Các tài liệu cơ bản để chuẩn bị cho luận văn này là ba tài liệu quan
trọng của Bass, Cont và cuốn sách về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi
ii
phân ngẫu nhiên của tác giả Philip Protter.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy
Chương 3: Các vấn đề liên quan
iii
Mục lục
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.Quá trình đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.Quá trình thích nghi với bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2. Nội dung trực quan của khái niệm "Thời điểm dừng" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.Phân tích Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7.Quá trình khả đoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8.Thời điểm dừng khả đoán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9.Semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy. . . . . . . . . 11
2.1.Biến phân bậc hai của một quá trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iv
2.1.2. Tính chất của biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Biến phân bậc hai của một số quá trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.Biến phân bậc hai và martingale 13
2.3.Biến phân bậc hai và semimartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . 16
2.5.Công thức Itô đối với quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1. Công thức Itô cho các quá trình có bước nhảy hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2. Công thức Itô cho quá trình khuếch tán có bước nhảy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.3. Hệ quả của công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. Các vấn đề liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.Công thức Itô đối với các quá trình semimartingale và semimartingale
mũ có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1. Công thức Itô đối với quá trình semimartingale có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2. Công thức Itô đối với quá trình semimartingale mũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. P-mar tingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3. Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. Định nghĩa quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2. Quá trình Poisson đối trọng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3. Độ đo ngẫu nhiên và các quá trình điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.4. Độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.5. Độ đo ngẫu nhiên Poisson đối trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.6. Tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.Quá trình Lévy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2. Các bước nhảy của quá trình Lévy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
v
3.4.3. Quá trình Lévy là một semimartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4. Biểu thức phân tích một quá trình Lévy và công thức Lévy-Khintchin . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
vi
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho Luận văn, bao gồm các định
nghĩa về các quá trình: đo được, thích nghi, quá trình ngẫu nhiên, quá trình khả
đoán, quá trình semimartingale, quá trình bước nhảy; thời điểm dừng khả đoán,
martingale, martingale trên, martingale dưới và phân tích Doob-Meyer.
Cho (Ω,F ,P) là một không gian xác suất.
1.1. Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag
Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc tham số t ∈ T nào đó.
Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , X
t
là biến ngẫu nhiên thì ta
kí hiệu X =
{
X
t
,t ∈ T
}

là hàm ngẫu nhiên với tham biến t ∈T .
• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X =
{
X
t
,t ∈ T
}
là quá trình ngẫu nhiên với
tham số rời rạc.
• Nếu T = N thì ta gọi X =
{
X
n
,n ∈ T
}
là dãy biến ngẫu nhiên.
1
• Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−∞,+∞),[a;+∞),(−∞,b],(a,b],[a,b],
(a,b],(a,b) thì ta gọi X =
{
X
t
,t ∈ T
}
là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên
tục.
• Nếu T ⊂ R
d
thì ta gọi X =
{

X
t
,t ∈ T
}
là trường ngẫu nhiên.
Ta sẽ xét các hàm cadlag f (t) được định nghĩa như sau.
Với mỗi ω, ta xét một quỹ đạo f (t) = X
ω
(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t).
Định nghĩa 1.1. Hàm cadlag
Hàm f : [0,T ] → R
d
được gọi là cadlag nếu nó liên tục phải có giới hạn trái,
nghĩa là với mỗi t ∈ [0,T ] các giới hạn
f (t−) = lim
s→t,s<t
f (s); f (t+) = lim
s→t,s>t
f (s) (1.1)
tồn tại và f (t) = f (t+).
Hiển nhiên, mọi hàm liên tục là cadlag song điều ngược lại không đúng. Nếu t
là điểm không liên tục, ta ký hiệu
f (t) = f (t) − f (t−) (1.2)
là "cỡ bước nhảy" của f ở t.
Ví dụ hàm cadlag là hàm có bước nhảy ở thời điểm T
0
, giá trị của nó ở thời điểm
T
0
được định nghĩa là giá trị sau bước nhảy f = 1

[T
0
,T )
(t). Trong trường hợp này
f (T
−
0
) = 0, f (T
+
0
) = 1 và f (T
0
) = 1. Tổng quát hơn, cho hàm liên tục g : [0,T ] →
R và các hằng số f
i
, i = 0,1, ,n −1; t
0
= 0 ≤t
1
≤ ≤t
n
= T , thì hàm dưới đây
là hàm cadlag
f (t) = g(t) +
n−1
∑
i=0
f
i
1

[t
i
,t
i+1
]
. (1.3)
Hàm g được giải thích như là thành phần liên tục của f , các bước nhảy của f xuất
hiện ở t
i
, i ≥ 1 với ∆ f (t
i
) = f
i
− f
i−1
. Không phải mọi hàm cadlag đều có khai
triển thành thành phần liên tục và thành phần bước nhảy.
2
1.2. Quá trình đo được
1.2.1. Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X : (X
t
,t ≥0) được gọi là đo được nếu nó đo được đối
với σ-trường tích B
R
+
⊗F . Điều đó có nghĩa là, với mọi tập B ∈ B
R
+
⊗F , tập

hợp:
{
(t,ω) : X(t,ω) ∈ B
}
thuộc về σ-trường tích B
R
+
⊗F . Đó là σ-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
[0,t] ×A với t ∈R
+
,A ∈ F .
1.2.2. Chú ý
a) Mọi quá trình liên tục là đo được.
b) Nếu X là một quá trình đo được thì mọi quỹ đạo của nó X
ω
(t) đều là những
hàm thực Borel trên R
+
.
1.3. Quá trình thích nghi với bộ lọc
a) Một họ các σ-trường con F
t
⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều
kiện thông thường nếu:
i) Đó là một họ tăng, tức là F
s
⊂ F
t
nếu s < t.
ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F

t
=

ε>0
F
t+ε
.
iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈ F đều chứa trong F
0
(do đó nằm trong mọi
F
t
).
3
b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X : (X
t
,t ≥ 0). Xét họ σ-trường F
X
t
sinh bởi
biến ngẫu nhiên X
t
(ω), tức là F
X
t
= σ(X
s
,0 ≤ s ≤t). Khi đó họ (F
X
t

,t ≥0)
được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X.
c) Cho một bộ lọc bất kỳ (F
t
,t ∈ R
+
) trên (Ω,F ). Một quá trình Y được gọi là
thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi t, Y
t
là đo được với σ-trường F
t
.
Mọi quá trình X = (X
t
,t ∈ R
+
) là thích nghi với lịch sử của nó (F
X
t
,t ∈ R
+
).
d) Cho một quá trình X với lịch sử của nó là (F
X
t
,t ∈R
+
). Một quá trình Y bất
kỳ là thích nghi với lịch sử (F
X

t
) của quá trình X nếu và chỉ nếu Y
t
(ω) có thể
biểu diễn được dưới dạng
Y
t
(ω) = f
t
(X
s
1
(ω), X
s
2
(ω), ),
trong đó s
1
,s
2
, là một dãy các phần tử trên đoạn [0,t] (phụ thuộc vào t) và f
t
là một hàm Borel thực trên R
N

(cũng phụ thuộc vào t). Đó là theo tiêu chuẩn
cổ điển của Doob về tính đo được.
Như vậy, nếu quá trình Y thích nghi với lịch sử (F
X
t

) của X thì khi đó với mọi
t và với mọi ω, muốn biết giá trị của Y
t
tại điểm ω, chỉ cần biết quỹ đạo tương
ứng
s −→ X(s,ω)
và thực ra, chỉ cần biết các hạn chế của quỹ đạo này trên đoạn [0,t].
1.4. Thời điểm dừng
1.4.1. Mở đầu
Ta vẫn luôn xét một không gian xác suất (Ω,F ,P), trên đó ta cố định một bộ
lọc (F
t
)
t∈R
+
. Khi ta nói một quá trình là thích nghi, ta luôn hiểu rằng quá trình đó
thích nghi với bộ lọc (F
t
) đã cho.
4
a) Cho T là một ánh xạ Ω −→[0,∞]. Muốn cho T là một biến ngẫu nhiên (lấy giá
trị số), điều kiện cần và đủ là: với mọi số thực t ≥ 0, ta phải có
{
T < t
}
∈ F .
b) Trong trường hợp T còn thỏa mãn điều kiện chặt hơn sau đây
{
T < t
}

∈ F
t
với mọi t ≥0
thì ta nói rằng T là một thời điểm dừng.
1.4.2. Nội dung trực quan của khái niệm "Thời điểm dừng"
a) Ta chọn bộ lọc (F
t
) là bộ lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên X. Khi đó
thời điểm dừng T có nghĩa là, với mọi t ≥0, tập hợp
{
T ≤t
}
có thể biểu diễn
dưới dạng
{
T ≤t
}
=
{
ω : (X
s
1
(ω), X
s
2
(ω), ) ∈B
}
,
trong đó s
1

,s
2
, là một dãy các phần tử trên đoạn [0,t] và B là một tập Borel
của R
N

. Như vậy, muốn biết một phần tử ω là thỏa mãn hệ thức T (ω) ≤t hay
là nó thỏa mãn hệ thức đối lập t < T (ω), ta chỉ cần biết quỹ đạo s −→X(s,ω)
của quá trình X, mà thực ra chỉ cần biết hạn chế của quỹ đạo này trên đoạn
[0,t].
b) Trở lại trường hợp chung với F
t
là một bộ lọc tùy ý, giả thiết rằng T là một
thời điểm dừng và Y là một quá trình liên tục thích nghi cho trước. Khi đó ta
có thể định nghĩa một quá trình mới Z bằng cách
Z(t,ω) =



Y (t,ω) nếu t < T (ω)
Y (T (ω),ω) nếu t > T(ω).
hay viết cách khác Z(t,ω) = Y (T (ω)∧t,ω).
Có thể chứng minh rằng quá trình Z vẫn còn là liên tục và thích nghi. Ta nói
rằng, ta nhận được Z bằng cách dừng quá trình Y tại thời điểm ngẫu nhiên T
và ký hiệu là Y
|T
: Z = Y
|T
.
5

c) Với mọi t ∈[0,∞] thì hằng số t (xem như một ánh xạ Ω −→[0,∞] là một thời
điểm dừng.
d) Thời điểm đầu tiên đi vào một tập hợp.
Cho (F
t
)
t∈R
+
là một bộ lọc liên tục phải và cho X là một quá tr ình ngẫu nhiên
liên tục phải. Cho một tập mở U của R và đặt
T (ω) = inf

t ∈R
+
: X(t,ω) ∈U

trong đó qui ước inf∅ = ∞.
Ta chú ý rằng
{
T < t
}
=

s<t
s∈Q
+
{
X
s
∈U

}
∈ F
t
.
Do đó T là một thời điểm dừng. Thực ra có thể lấy U là một tập Borel bất kì
của R.
1.5. Martingale
Định nghĩa 1.2. Quá trình cadlag (X
t
)
t∈[0,T ]
được gọi là martingale nếu:
i) X
t
là thích nghi với F
t
.
ii) E [| X
t
|] < ∞, ∀t ∈[0,T ].
iii) E [X
s
| F
t
] = X
t
, ∀s > t.
Nếu (M
t
)

t∈[0,T ]
là martingale và T
1
,T
2
là các thời điểm dừng thích nghi, với
T ≥T
2
≥ T
1
≥ 0 h.c.c thì
E [M
T
2
| F
T
1
] = M
T
1
. (1.4)
Định nghĩa 1.3. Quá trình (X
t
)
t∈[0,T ]
được gọi là mar tingale địa phương nếu tồn
tại dãy các thời điểm dừng (T
n
) với T
n

→ ∞ (h.c.c) sao cho (X
t∧T
n
)
t∈[0,T ]
là mar-
tingale.
6
1.6. Phân tích Doob-Meyer
Định nghĩa 1.4. Quá trình cadlag (X
t
)
t∈[0,T ]
được gọi là martingale trên nếu:
i) X
t
là thích nghi với F
t
.
ii) E [| X
t
|] < ∞, ∀t ∈[0,T ].
iii) E [X
s
| F
t
] ≤ X
t
, ∀s > t.
Định nghĩa 1.5. Quá trình cadlag (X

t
)
t∈[0,T ]
được gọi là martingale dưới nếu:
i) X
t
là thích nghi với F
t
.
ii) E [| X
t
|] < ∞, ∀t ∈[0,T ].
iii) E [X
s
| F
t
] ≥ X
t
, ∀s > t.
Ta nhắc lại kết quả sau đây được gọi là phân tích Doob-Meyer:
Giả sử X
t
là martingale trên với các quỹ đạo liên tục phải có giới hạn trái và
tập hợp các biến ngẫu nhiên {X
T
: T là thời điểm dừng} là khả tích đều. Tồn tại
martingale M
t
và quá trình tăng khả đoán A
t

sao cho X
t
= M
t
−A
t
. Khai triển này
là duy nhất.
1.7. Quá trình khả đoán
Định nghĩa 1.6.
1) σ-đại số các tập hoàn toàn đo được trên [0,T ]×Ω.
Đó là σ-đại số O các tập con nhỏ nhất của [0,T ]×Ω mà đối với nó, mọi quá
trình liên tục phải và có giới hạn trái là đo được.
2) Nếu X = (X
t
(ω))
t∈[0,T ]
là ánh xạ đo được từ [0,T ] ×Ω vào (R, B
R
) thì ta nói
X là quá trình hoàn toàn đo được.
7
3) σ-đại số khả đoán trên [0,T ] ×Ω.
Đó là σ-đại số P các tập con của [0,T ] ×Ω sinh bởi các quá trình liên tục
trái thích nghi trên [0,T ] ×Ω.
4) Ánh xạ X : [0,T ]×Ω →R
d
đo được đối với P được gọi là quá trình khả đoán
Từ định nghĩa ta thấy tất cả các quá trình khả đoán được "sinh" từ các quá trình
liên tục trái, tuy nhiên có quá trình khả đoán không liên tục trái. Ta có chú ý sau:

Cadlag (liên tục phải)+ tương thích =⇒ Hoàn toàn đo đươc
Caglad (liên tục trái)+ tương thích =⇒ Khả đoán.
Định nghĩa 1.7. (σ-trường khả đoán)
Cho (F
t
) là bộ lọc đầy đủ liên tục phải. Chúng ta định nghĩa σ-trường khả đoán
P là σ-trường trên Ω ×[0,∞) được sinh ra bởi tất cả các quá trình có dạng
H(ω,s) =
n
∑
i=1
K
i
(ω)1
(a
i
,b
i
]
(s), (1.5)
ở đó K
i
là F
a
i
-đo được và bị chặn. Quá trình đo được đối với P được gọi là khả
đoán. Một điều có thể thấy rằng các quá trình liên tục trái (là các quá trình mà
quỹ đạo của chúng liên tục trái), là đo được đối với P.
Nếu X
t

là quá trình liên tục phải có giới hạn trái, chúng ta đặt
X
t−
= lim
s→t
s<t
X
s
, X
t
= X
t
−X
t−
.
Bởi vậy X
t
là cỡ bước nhảy của X
t
tại thời điểm t.
1.8. Thời điểm dừng khả đoán
Chúng ta gọi thời điểm dừng T là khả đoán nếu tồn tại dãy thời điểm dừng T
n
tăng tới T với T
n
< T trên tập (T < ∞). Một ví dụ là T = inf{t : B
t
= 1}, ở đó B
t
8

là chuyển động Brown, trong trường hợp này chúng ta có thể lấy T
n
= inf{t : B
t
=
1 −
1
n
}.
Thời điểm dừng T là hoàn toàn không đạt được nếu với mọi thời điểm dừng khả
đoán S, ta có P(T = S) = 0. Một ví dụ là T = inf{t : P
t
= 1}, ở đây P
t
là quá trình
Poisson. Để thấy điều này, giả sử S là khả đoán. Cho M là số tự nhiên lớn tùy ý. Dễ
thấy rằng S ∧M là khả đoán. Nếu chúng ta chứng minh được P(T = S ∧M) = 0
với mọi M thì P(S = T ) = 0. Bởi vậy ta có thể giả sử S bị chặn. Lấy S
n
tăng tới S .
Chú ý rằng
P
t
=



0 nếu t < T
1 nếu t = T
Quá trình P

t
−t là martingale, bởi vậy bằng cách chọn thời điểm dừng
E(P
S
n
∧T
) = E(S
n
∧T ) ↑E(S ∧T) = E(P
S∧T
) = P(S ≥T ).
Mặt khác E(P
S
n
∧T
) = P(S
n
≥T ) −→P(S > T ). Bởi vậy P(S > T ) = P(S ≥T ) và
do đó P(S = T ) = 0.
Chú ý rằng nếu T là khả đoán thì 1
[0,T (ω))
= lim1
[0,T
n
(ω)]
. Nhưng 1
[0,T
n
(ω)]
là quá

trình liên tục trái, do đó P đo được.
1.9. Semimartingales
Ta định nghĩa một semimartingale là một quá trình có dạng X
t
= X
0
+ M
t
+ A
t
,
ở đó X
0
là hữu hạn, M
t
là một martingale địa phương và A
t
là một quá trình mà
quỹ đạo của nó có biến phân giới nội trên [0,t] với mỗi t.
Người ta đã chứng minh được rằng
a) Mọi quá trình biến phân hữu hạn là semimartingale.
b) Mọi martingale bình phương khả tích là semimartingale.
9
Nhận xét: mọi tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các semimartingale là semimartin-
gale. Từ nhận xét này và 2 ví dụ trên cho phép ta kết luận các quá trình dưới đây là
semimartingale:
+) Quá trình Wiener (vì quá trình này bản thân đã là martingale. Hơn nữa nó
cũng là martingale bình phương khả tích).
+) Quá trình Poisson (vì nó là quá trình biến phân hữu hạn).
+) Quá trình Lévy (vì quá trình Lévy có thể phân tích thành tổng của martingale

bình phương khả tích và quá trình biến phân hữu hạn).
10
Chương 2
Tích phân ngẫu nhiên đối với
quá trình có bước nhảy
Chương này nhằm xây dựng tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước
nhảy và các công thức đổi biến kiểu Itô cho quá trình có bước nhảy hữu hạn và
quá trình khuếch tán có bước nhảy.
Trước hết quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy là quá trình X(t, ω) mà các quỹ đạo
của nó là các hàm số của t có gián đoạn loại 1, với các bước nhảy có cỡ là
∆X
t
= X
t
−X
t−
.
Ta cần nghiên cứu quá trình này bởi vì
• Nhiều quá trình trong thực tế không liên tục theo thời gian mà có biến đổi
theo kiểu nhảy bậc, thí dụ như giá bất động sản hoặc giá của các tài sản cơ
sở nào đó. Quá trình Poisson và Poisson phức hợp là các ví dụ rất phổ biến
dùng trong kỹ thuật và trong kinh tế tài chính, đó là những quá trình có bước
nhảy.
• Ta chú ý rằng trong mô hình Black-Scholes với giá chứng khoán S
t
thỏa mãn
11
hệ thức
dS
t

=S
t
(µdt + σdW
t
)
hoặc S
t
=S
0
e

µ−
σ
2
2

t+σW
t
.
thì quá trình S
t
này là liên tục và không phản ánh được mọi tính chất của thị
trường, vì thị trường có thể có những biến động đột ngột (có bước nhảy).
Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả về biến phân bậc hai.
2.1. Biến phân bậc hai của một quá trình
2.1.1. Định nghĩa
a) Cho X
t
,t ∈ [0,T ] là một quá trình liên tục. Biến phân bậc hai [X]
t

,t ∈ [0,T ] là
một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi
[X]
0
= 0
[X]
t
−[X]
s
= lim
||→0
n−1
∑
k=0

X
t
k+1
−X
t
k

2
(2.1)
nếu như giới hạn ở vế phải tồn tại hầu chắc chắn, với mọi phân hoạch
D : s = t
0
< t
1
< ··· < t

n
= t,
khi bán kính |  |= max |t
k+1
−t
k
| dần tới 0.
b) Biến phân bậc hai của hai quá trình X
t
và Y
t
được định nghĩa tương tự
[X,Y ]
0
= 0
[X,Y ]
t
−[X,Y ]
s
= lim
||→0
n−1
∑
k=0

X
t
k+1
−X
t

k

Y
t
k+1
−Y
t
k

(2.2)
nếu giới hạn phải tồn tại hầu chắc chắn.
12
2.1.2. Tính chất của biến phân bậc hai
i) [X, X]
t
= [X]
t
≥ 0.
ii) Tính đối xứng: [X,Y ] = [Y,X].
iii) Song tuyến tính: [a
1
X
1
+ a
2
X
2
,Y ] = a
1
[X

1
,Y ] + a
2
[X
2
,Y ].
2.1.3. Biến phân bậc hai của một số quá trình
a) Nếu B
t
là một chuyển động Brown thì [B]
t
−[B]
s
= t −s, nói riêng [B]
t
= t.
b) Nếu B
t
và B

t
là các chuyển động Brown độc lập thì [B,B

]
t
= 0 với mọi t.
c) Nếu X
t
=
t


0
f (r)dB
r
vàY
t
=
t

0
g(r)dB
r
với s cố định thì [X,Y ]
t
=
t

0
f (r).g(r)dr.
d) Nếu X
t
=
t

0
f (r)dB
r
và Y
t
=

t

0
g(r)dB

r
, trong đó B và B

là hai chuyển động
Brown độc lập thì [X,Y ]
t
= 0.
e) Nếu X
t
là một semimartingale liên tục, tức là X
t
= M
t
+A
t
với M
t
là martingale
liên tục, A
t
là quá trình thích nghi có biến phân bị chặn thì [X]
t
tồn tại và
[X]
t

= [M]
t
.
2.2. Biến phân bậc hai và martingale
Nếu a(t) là hàm tất định có biến phân bị chặn và
{
0 = s
0
≤ s
1
≤ ··· ≤s
n
= t
}
là một phân hoạch của [0,t], ta kí hiệu
a(t)
2
=
n
∑
i=1

a(s
i
)
2
−a(s
i−1
)
2


=
n
∑
i=1
(a(s
i
) + a(s
i−1
))(a(s
i
) −a(s
i−1
))
=
n
∑
i=1
(2a(s
i−1
) + a(s
i
) −a(s
i−1
))(a(s
i
) −a(s
i−1
))
13

Cho qua giới hạn ta được
a(t)
2
=
t

0
(2a(s−) + a(s))da(s) = 2
t

0
a(s−)da(s) +
∑
s
(a(s))
2
. (2.3)
Nếu M
t
là martingale bình phương khả tích thì theo bất đẳng thức Jensen M
2
t
là
martingale dưới. Theo phân tích Doob-Meyer, tồn tại quá trình tăng khả đoán, kí
hiệu

M

t
, sao cho M

2
t
−

M

t
là martingale. Nó cho phép ta định nghĩa
[M]
t
=

M
c

t
+
∑
s≤t
| M
s
|
2
.
Ở đây M
c
là thành phần liên tục của martingale M
t
.
Mệnh đề 2.1. M

2
t
−[M
t
] là martingale.
Chứng minh. Do tính trực giao nên

M

t
=

M
c

t
+
∑
i

M
i

t
. Do M
2
t
−

M


t
là
martingale, ta chỉ cần chứng minh rằng [M]
t
−

M

t
là martingale, hoặc
∑
i

M
i

t
−
∑
i
∑
s<t
| M
i
(s) |
2
là martingale.
Từ (2.3), ta có
M

i
(t)
2
= 2
t

0
M
i
(s−)dM
s
+
∑
s≤t
| M
i
(s) |
2
. (2.4)
Bằng cách xấp xỉ bởi tổng Riemann và thực tế M
i
là martingale nên ta dễ dàng
kiểm tra được tích phân trong vế phải của (2.4) là mar tingale.
Bởi vậy M
2
i
(t)−
∑
s≤t
|M

i
(s) |
2
là martingale. Do đó M
2
i
(t)−

M
i

t
là martingale.
2.3. Biến phân bậc hai và semimartingale
Cho (X
t
)
t∈[0,T ]
là quá trình được quan sát trên mạng lưới thời gian
Π =
{
t
0
= 0 < t
1
< < t
n+1
= T
}
, biến phân bậc 2 của X được định nghĩa như

14
sau:
V
X
(Π) =
∑
t
i
∈Π

X
t
i+1
−X
t
i

2
. (2.5)
Ta có

X
t
i+1
−X
t
i

2
= X

2
t
i+1
−X
2
t
i
−2X
t
i

X
t
i+1
−X
t
i

. Do đó
V
X
(Π) = X
2
T
−X
2
0
−2
∑
t

i
∈Π
X
t
i

X
t
i+1
−X
t
i

. (2.6)
Bây giờ ta xét X là semimartingale với X
0
= 0. Do (X
t
)
t∈[0,T ]
là quá trình liên
tục phải có giới hạn trái và là quá trình thích nghi nên có thể định nghĩa quá trình
X
−
= (X
t−
)
t∈[0,T ]
(liên tục trái có giới hạn phải). Người ta chứng minh được các
tổng Riemann trong (2.6) hội tụ đều theo xác suất đến biến ngẫu nhiên

[X,X]
t
:=| X
T
|
2
−2
T

0
X
u−
dX
u
, (2.7)
gọi là biến phân bậc 2 của X trên [0,T ]. Chú ý rằng biến phân bậc 2 là biến ngẫu
nhiên, không là số. Từ đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa 2.2. Quá trình biến phân bậc 2 của semimartingale X là quá trình
cadlag thích nghi định nghĩa bởi
[X,X]
t
:=| X
T
|
2
−2
T

0
X

u−
dX
u
(2.8)
Nếu Π
n
=

t
n
0
= 0 < t
n
1
< < t
n
n+1
= T

là dãy các phân hoạch của [0,T ] sao
cho |Π
n
|= sup
k
|t
n
k
−t
n
k−1

|−→ 0 khi n →∞ thì
0≤t
i
≤t
∑
t
i
∈π
n

X
t
i+1
−X
t
i

2
P
→
n→∞
[X,X]
t
,
ở đây sự hội tụ là đều theo t.
Do [X,X] được định nghĩa như giới hạn của các tổng dương, [X,X]
t
≥ 0, và với
15
t > s, do [X,x]

t
−[X,x]
s
lại là giới hạn của các tổng dương, [X,X]
t
≥ [X,X]
s
, và
do đó [X,X] là quá trình tăng. Điều này cho phép chúng ta định nghĩa tích phân
t

0
φd [X,X].
Nếu X là liên tục và có quỹ đạo với biến phân hữu hạn thì ta có:
∑
t
i
∈Π
n

X
t
i+1
−X
t
i

2
≥ sup
i

| X
t
i+1
−X
t
i
|
∑
t
i
∈Π
| X
t
i+1
−X
t
i
|
≥ sup
i
| X
t
i+1
−X
t
i
| .TV(X)
→
|Π|→0
0

ở đây TV (X) là biến phân toàn phần của X trên [0,T ]. Do đó [X,X] = 0. Trong
trường hợp riêng, với các hàm trơn (C
1
), [ f , f ] = 0. Từ đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.3. Các tính chất của biến phân bậc 2:
• ([X,X]
t
)
t∈[0,T ]
là quá trình tăng.
• Các bước nhảy của [X, X] và các bước nhảy của X liên hệ bởi:
∆ [X,X]
t
=| ∆X
t
|
2
. Trong trường hợp riêng, [X,X] có các quỹ đạo mẫu liên
tục nếu và chỉ nếu X có các quỹ đạo mẫu liên tục.
• Nếu X liên tục và có các quỹ đạo mẫu với biến phân hữu hạn thì [X,X] = 0.
• Nếu X là martingale và [X,X] = 0 thì X = X
0
.
Chú ý là biến phân bậc hai trái ngược với phương sai, nó không được định
nghĩa bởi việc lấy các kỳ vọng mà nó là tính chất "quỹ đạo mẫu".
2.4. Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước
nhảy
Định nghĩa 2.4.
16
a) Đầu tiên ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên đối với hàm ngẫu nhiên bậc thang

φ(ω,s) khả đoán có dạng
φ(ω,s) =
n
∑
i=1
φ
i
(ω)1
(a
i
,b
i
]
(s)
ở đó φ
i
là F
a
i
đo được và bị chặn. M là martingale bình phương khả tích. Khi
đó tích phân ngẫu nhiên được định nghĩa như sau
G
t
=
t

0
φ
s
dM

s
=
n
∑
i=1
φ
i
[M
b
i
∧t
−M
a
i
∧t
].
b) Nếu φ là quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy khả đoán (tức P đo được), ta
xấp xỉ φ bởi các hàm bậc thang khả đoán φ
n
s
có dạng như trên, tức là
sup
(s,ω)∈[0,t]×Ω
| φ
n
s
(ω) −φ
s
(ω) |−→0, n →∞.
Chú ý: Nếu M là martingale bình phương khả tích và φ là hàm ngẫu nhiên

bậc thang khả đoán có dạng
φ = φ
0
1
t=0
+
n
∑
i=0
φ
i
.1
(T
i
;T
i+1
]
,
sử dụng bất đẳng thức Doob ta có:
E



t
0
φdM

2

= E




φ
0
M
0
+
n
∑
i=0
φ
i

M
T
i+1
∧t
−M
T
i
∧t


2


= E

φ

2
0
M
2
0
+
n
∑
i=0
φ
2
i

M
T
i+1
∧t
−M
T
i
∧t

2

≤ sup
(s,ω)
| φ
s
(ω) |.E


M
2
0
+
n
∑
i=0

M
T
i+1
∧t
−M
T
i
∧t

2

≤ sup
(s,ω)
| φ
s
(ω) |.E

M
2
0
+
n

∑
i=0

M
2
T
i+1
∧t
−M
2
T
i
∧t


≤ sup
(s,ω)
| φ
s
(ω) |.sup
S
E

M
2
s

.
17
Bất đẳng thức trên chỉ ra tích phân ngẫu nhiên hội tụ trong L

2
, đều theo t.
Từ chú ý trên ta có G
n
t
=
t

0
φ
n
s
dM
s
hội tụ đều theo t trong L
2
đến G
t
=
t

0
φ
s
dM
s
.
Sau đây ta chứng minh rằng tích phân ngẫu nhiên G
t
cũng là martingale.

Mệnh đề 2.5. (Tính bảo toàn martingale)
Nếu (S
t
)
t∈[0,T ]
là martingale thì với mỗi quá trình khả đoán đơn giản φ, tích phân
ngẫu nhiên G
t
=
t

0
φdS cũng là martingale.
Chứng minh. Xét quá trình khả đoán đơn giản (φ
t
)
t∈[0,t]
. Do cấu trúc của tích phân
ngẫu nhiên nên G
t
là quá trình thích nghi cadlag. Do φ
i
bị chặn và E |S
T
i
|< ∞ nên
E | G
t
|< ∞. Ta sẽ chứng minh: E [G
T

| F
s
] = G
t
.
Ta có:
E

φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F
t

= E

1
t>T
i+1
(t)φ
i
(S
T
i+1
−S

T
i
) | F
t

+ E

1
(T
i
,T
i+1
]
(t)φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F
t

+ E

1
t≤T
i
(t)φ

i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F
t

.
Do T
i
,T
i+1
là các thời điểm dừng, 1
t>T
i+1
,1
t≤T
i
,1
(T
i
,T
i+1
]
là F
t
-đo được và có thể

đưa ra ngoài kì vọng điều kiện nên
E

1
t>T
i+1
(t)φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F
t

= 1
t>T
i+1
(t)φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
)
E


1
(T
i
,T
i+1
]
(t)φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F
t

= 1
(T
i
,T
i+1
]
(t)φ
i
E

S
T

i+1
−S
T
i
| F
t

= 1
(T
i
,T
i+1
]
(t)φ
i
(S
t
−S
T
i
)
Với số hạng cuối chúng ta sử dụng tính chất của kì vọng lặp và do φ
i
là F
T
i
-đo
được nên ta có
E


1
t≤T
i
(t)φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F
t

= 1
t≤T
i
(t)E

E

φ
i
(S
T
i+1
−S
T
i
) | F

T
i

| F
t

= 1
t≤T
i
(t)E

φ
i
E

S
T
i+1
−S
T
i
| F
T
i

| F
t

= 0.
18