ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHAN VĂN TIẾN

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
THƠNG QUA DẠY HỌC CHUN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƢ PHẠM TỐN

HÀ NỘI - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHAN VĂN TIẾN

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
THƠNG QUA DẠY HỌC CHUN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƢ PHẠM TỐN
Chun ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2012

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ………………………………………………………………. …i
Danh mục các chữ viết tắt ………………………………………………….. ii
Danh mục các bảng và hình vẽ………………………………………………iii
MỞ ĐẦU

1

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................5
1.1. Tư duy .......................................................................................................5
1.1.1. Khái niệm tư duy....................................................................................5
1.1.2. Các bước của quá trình tư duy................................................................7
1.2. Sáng tạo......................................................................................................8
1.2.1. Khái niệm về sáng tạo.............................................................................8
1.2.2. Các giai đoạn của quá trình sáng tạo.....................................................9
1.3. Tư duy sáng tạo…………………………………………………………10
1.3.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo................................................................10
1.3.2. Các thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo……………….....11
1.3.3. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh…………………………….... 15
1.4. Dạy học giảit bài tập toán ở trường Trung học phổ thơng …………….. 17
1.4.1. Nội dung phần phương trình vơ tỷ trong chương trình tốn
phổ thơng ……………………………………………………………………. 17
1.4.2. Vai trị của bài tập trong quá trình dạy học…………………………... 17
1.4.3. Phương pháp giải bải tập toán học…………………………………… 18
Kết luận chương 1…………………………………………………………... 22
Chƣơng 2: RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG

TRÌNH VƠ TỶ …………………………………………………………….23
2.1. Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ…………………….……..23
2.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả…………........23
2.1..2. Phương pháp đặt ẩn phụ……………………………………………...27


2.1.3. Phương pháp dùng các tính chất của vectơ……………………….…..38
2.1.4. Phương pháp đánh giá…………………………………………….…..42
2.1.5. Phương pháp hàm số……………………………………………….…44
2.1.6. Phương pháp lượng giác………………………………………….…...49
2.2. Rèn luyện các yếu tố của tư duy sáng tạo trong các bài tốn phương trình
vơ tỷ…….……………………………………………………………………54
2.2.1. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn…………………………………………54
2.2.2. Rèn luyện tính mềm dẻo………………………………………………58
2.2.3. Rèn luyện tính nhạy cảm……………………………………………...62
2.2.4. Rèn luyện tính độc đáo………………………………………………..68
Kết luận chương 2……………………………………………………...……72
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM………………………………....73
3.1. Nhiệm vụ, phương pháp, kế hoạch thực nghiệm……………………….73
3.1.1. Nhiệm vụ……………………………………………………………...73
3.1.2. Phương pháp…………………………………………………………..73
3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm……………………………………………...…73
3.2. Tiến trình thực nghiệm sư phạm ……………………………………….73
3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm………………………………………...74
Kết luận chương 3…………………………………………………………...88
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ…………………………………………89
TÀI LIỆU THAM KHẢO.…………………………………………………90


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho học sinh có rất nhiều cách khác
nhau như rèn luyện cách trình bày, rèn luyện tính cẩn thận, rèn luyện kỹ năng
phân tích, rèn luyện kỹ năng tổng hợp, kỹ năng đánh giá một bài toán hoặc một
vấn đề khoa học là rất quan trọng.
Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phương pháp
giảng dạy chương trình phổ thơng, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập
của học sinh, để học sinh đáp ứng được yêu cầu của xã hội và đáp ứng được xu
thế hội nhập toàn cầu hiện nay.
Rèn luyện được tư duy cho học sinh để học sinh có khả năng phân tích tình
huống hoặc vấn đề mà bài toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra bài
toán mới trên nền kiến thức đã tích lũy được lại càng khó khăn hơn, điều đó địi
hỏi người giáo viên phải có phương pháp giáo dục.
Về phương pháp giáo dục, điều 4, Luật Giáo dục 2003 quy định:
“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy
sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lịng say mê học tập và ý
chí vương lên”.
Cịn theo chương II điều 28 Luật Giáo dục 2006 thì: " Phương pháp giáo dục
phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh;
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ thông tác giả nhận thấy
việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo, mục tiêu giáo dục học sinh của
những người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng. Điều đó được nêu cụ
thể trong Luật giáo dục, Chương I, điều 2:
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển
tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành
với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân


1


cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo vệ
Tổ quốc". Cụ thể hóa mục tiêu này, mục tiêu dạy học của mơn Tốn là:
- Trang bị kiến thức cơ bản, cần thiết nhất cho học sinh;
- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng khoa học nói chung và tốn học nói riêng vào
thực tiễn cuộc sống;
- Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh;
- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu tốn học.
Qua tìm hiểu thực tế cũng như trong quá trình nghiên cứu, giảng dạy, tác giả
thấy rằng đa phần học sinh hiện nay mới chỉ tập trung vào việc hiểu được vấn
đề, ghi nhớ và vận dụng kiến thức của mình để giải quyết một bài toán, một vấn
đề cụ thể mà chưa thể sáng tạo ra các bải toán mới, cách làm mới và việc rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học - cao đẳng thì chuyên đề Phương
trình vơ tỷ xuất hiện khá đều, mà ở đó bài tốn đưa ra rất đa dạng và giàu tính
sáng tạo cũng như phương pháp giải, cho nên để làm được những bài tốn này
học sinh phải có cái nhìn tổng qt, ngồi việc biết sử dụng kiến thức đã có yêu
câu học sinh phải biết tìm ra mối liên hệ của bài tốn và phải có tư duy sáng tạo.
Với ý tưởng rèn luyện tư duy giải quyết bài toán thơng qua giảng dạy
chun đề “ Phương trình vơ tỷ ” để nâng cao kiến thức, khâ năng tư duy cho
học sinh, từ đó hình thành tính sáng tạo cho các em trong việc nhận thức và giải
quyết câc bài tốn khác mà xa hơn là có thể tư duy sáng tạo giải quyết vấn đề
thường gặp trong cuộc sống. Thực tế đã có nhiều cơng trình, đề tài viết về
phương trình vơ tỷ, tác giả thấy rằng những đề tài đó phần nhiều mới chỉ dừng
lại ở việc phân tích bài tốn, rèn kỹ năng giải tốn mà thơi. Và tác giả cũng
muốn góp thêm vào đó một chuyên đề của mình nhằm mục tiêu rèn cho học sinh
tư duy sáng tạo trong các bài tốn về phương trình vô tỷ.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là:

“Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thơng qua dạy
học chun đề phương trình vơ tỷ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

2


Đề ra một số biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
trong dạy học chun đề phương trình vơ tỷ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về tư duy toán học, tư duy sáng tạo.
- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chun đề phương
trình vơ tỷ.
- Thiết kế các hoạt động, các ví dụ về nội dung phương trình vơ tỷ.
- Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài
trong dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học chun đề phương trình vơ tỷ ở trường Trung học phổ thông.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A2, 12A3 Trường Trung học phổ thơng Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội
năm học 2011 - 2012.
6. Vấn đề nghiên cứu
Ở trường Trung học phổ thơng dạy học chun đề phương trình vơ tỷ như
thế nào để rèn luyện được cho học sinh tư duy sáng tạo?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu giảng dạy chun đề phương trình vơ tỷ theo định hướng rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh thì có thể nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề này
ở trường Trung học phổ thông.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham

khảo, tài liệu liên quan đến đề tài của luận văn.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra chất lượng học sinh trước và sau
thực nghiệm, dự giờ, trao đồi kinh nghiệm, quan sát việc dạy của giáo viên và
việc học của học sinh.
- Thực nghiệm sư phạm.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn được trình bày trong ba chương:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận.

3


Chƣơng 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông
qua dạy học chuyên đề phương trình vơ tỷ.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm.
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Khái niệm về tư duy
Theo X L. Rubinstêin, tư duy thường bắt đầu từ một vấn đề hay một câu hỏi,
từ sự ngạc nhiên, sự thắc mắc hay từ một mâu thuẫn nào đó lơi cuốn cá nhân vào
hoạt động tư duy. Những vấn đề đó được ơng gọi là tình huống có vấn đề. Để
một vấn đề trở thành tình huống có vấn đề của tư duy, địi hỏi chủ thể phải có
nhu cầu, mong muốn giải quyết vấn đề đó. Mặt khác, chủ thể cũng phải có tri
thức cần thiết có liên quan thì việc giải quyết vấn đề mới có thể diễn ra, q
trình tư duy mới được diễn ra. Tư duy là sản phẩm cao cấp của một dạng vật
chất hữu cơ có tổ chức cao, đó là bộ não của con người. Trong quá trình phản
ánh hiện thực khách quan bằng những khái niệm, phán đoán... tư duy bao giờ
cũng có mối liên hệ nhất định với một hình thức hoạt động của vật chất, sự hoạt

động của não người. Trong khi xác đính sự giống nhau giữa tâm lý người và
động vật, các nhà tâm lý học Mác - xít cũng chỉ ra sự khác nhau căn bản giữa tư
duy của con người và hoạt động tâm lý động vật. Một trong những khác nhau ấy
là tư duy con người sử dụng khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hoá,
tư duy được ra đời do lao động và trên cơ sở của sự phát triển xã hội. Thông qua
hoạt động thực tiễn, thế giới tự nhiên tác động vào các giác quan tạo ra cảm
giác, tri giác và biểu tượng là cơ sở ban đầu của tư duy.
Tư duy khái quát những thu nhận của cảm giác bằng những khái niệm và
những phạm trù khoa học, mang lại cho chúng ta những quan điểm rộng hơn,
sâu hơn những cảm giác trực tiếp. Nhờ trừu tượng hoá mà tư duy đã chỉ ra được
những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật, hiện tượng, nêu ra được những
khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản ánh các mối liên hệ, quan hệ
nội tại của các sự vật, hiện tượng đó.

4


Như vậy, tư duy trước hết là sự phản ánh ở trình độ cao bằng con đường khái qt
hố, hướng sâu vào nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng. Phản ánh ở đây hiểu
theo quan niệm của chủ nghĩa Mác là phản ánh biện chứng, "Là một quá trình phức tạp
và mâu thuẫn của sự tác động qua lại giữa nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính,
giữa hoạt động tư duy và hoạt động thực tiễn, như là một q trình trong đó con người
khơng thích nghi một cách thụ động với thế giới bên ngoài, mà tác động tới nó, cải tạo
nó và bắt nó phải phục tùng những mục đích của mình"[17,tr.430].
Theo V.I. Lê nin, tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn,
trung thành hơn, đầy đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách
quan hơn. Tư duy của người ta - đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản
chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai... đến vơ hạn.
X.L. Rubinstêin thì cho rằng: Tư duy là sự thâm nhập vào những tầng mới của
bản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái cho đến nay vẫn giấu kín

trong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết vấn đề của thực tại và cuộc sống, tìm tịi
và giải đáp câu hỏi thực ra nó là như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết để biết
nên sống thế nào cho đúng và cần làm gì?[18,tr9 - 10]. A. Spiếckin lại cho rằng:
Tư duy của con người, phản ánh hiện thực, về bản chất là quá trình truyền đạt
gồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những nét
đặc trưng và những mối liên hệ của vật ấy với vật khác, và mặt khác con người
hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của tư duy của mình.
Cịn theo tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm: "Tư duy là một quá trình tâm trí
phức tạp, tạo ra một biểu tượng mới bằng cách làm biến đổi thơng tin có sẵn", tác
giả Mai Hữu Khuê cho rằng "Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên
hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan".
Tác giả cho rằng, tư duy khác hẳn với tri giác ở chỗ tư duy không chỉ thực hiện
được những bước như đã xảy ra ở tri giác, là tách các phần riêng lẻ của sự vật, mà
còn cố gắng hiểu các phần đó có quan hệ với nhau như thế nào. Tư duy phản ánh
bản chất của sự vật, và do đó là hình thức phản ánh hiện thực cao nhất. Với việc
xem tư duy như là quá trình phân tích, tổng hợp... Nguyễn Đình Trãi cho rằng: Tư
duy là q trình phân tích, tổng hợp, khái qt những tài liệu đã thu được qua nhận
thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái chung, cái bản chất của sự vật.
5


Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn Quang
Uẩn, Ngơ Cơng Hồn, Hoàng Mộc Lan lại coi " Tư duy là một q trình nhận thức,
phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy
luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết ”.
1.1.2. Các bước của quá trình tư duy
1.1.2.1. Tư duy tích cực
1.1.2.2. Tư duy độc lập
1.1.3. Tư duy sáng tạo
Tác giả V.A Krutexcki, nhà tâm lý học đã chỉ ra ba vòng tròn đồng tâm

phản ánh mối quan hệ của ba dạng tư duy như sau:
Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo

Hình 1.1. Mối quan hệ của ba dạng tƣ duy
1.2.

Sáng tạo

1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Tồn thì “ Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ
những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới ”
Cịn theo từ điển tiếng Việt thì “ Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết
mới, khơng bị gị bó, phụ thuộc vào cái đã có ”
Với mơ hình cấu trúc tài năng của Renzuli (Nhật, 93) dưới đây thì sáng tạo là
cơ sở của cấu trúc tài năng.
I: Intelligence (thông minh)
C: Creativity (sáng tạo)

C

M: Motivation (sự thúc đẩy)

I

G: Gift (năng khiếu, tài năng)
6

G


G
M


Hình 1.2. Mơ hình cấu trúc tài năng
Như vậy, sáng tạo liên quan đến việc khám phá về các ý tưởng hoặc khái
niệm mới. Có khả năng tạo ra hoặc nếu khơng thì mang một cái gì đó mới mẻ
vào những cái đã tồn tại, và có giá trị – như là một giải pháp mới để giải quyết
một vấn đề, một phương pháp hay một thiết bị mới, hoặc một vật thể, một hình
dáng hay một ý tưởng nghệ thuật mới. Dù bằng cách nào, kết quả cuối cùng của
tư tưởng sáng tạo đều phải độc đáo và thiết thực.
1.2.2. Các giai đoạn của quá trình sáng tạo
Các giai đoạn của quá trình sáng tạo trải qua các bước sau:
1.2.2.1. Giai đoạn chuẩn bị
1.2.2.2. Giai đoạn ấp ủ
1.2.2.3. Giai đoạn bừng sáng
1.2.2.4. Giai đoạn kiểm chứng
1.3. Tƣ duy sáng tạo
1.3.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo
Phần này trình bày dựa theo “ tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên
trung học phổ thơng chu kì III ( 2004 - 2007 ) trang 113”
Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ về sự vật mới, hiện tượng, về mối
quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị.
Lecne đã chỉ ra các thuộc tính của quá trình tư duy sáng tạo (Xem trong luận văn)
Như vây, từ các quan điểm đã chỉ ra rằng có sự đồng ý nhất định về khái
niệm sáng tạo, cái mới là thành phần cốt lõi của tư duy sáng tạo, khơng chỉ là
sản phẩm mới mà q trình tư duy cũng mới, khắc phục thói quen khơng phù
hợp trong tư duy.
1.3.2. Các thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo

Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo là:
1.3.2.1. Tính mềm dẻo
1.3.2.2. Tính nhuần nhuyễn
Ví dụ 1: Cho các phương trình sau:
7


2x2  x  6  x2  x  2  x 

4
x

(1)

2x 2  x  6  x  x 2  x  2

(2)

Nếu nhìn hai phương trình trên với điêu kiện x>0 thì khó có thể nhận ra
mối quan hệ của chúng, nhưng với phép biến đổi tương đương đơn giản thì ta sẽ
được chúng là các phương trình tương đương, thật vậy từ phương trình (1) ta có:
x2  4
2x 2  x  6  x 2  x  2



x2  4
(3)
x


Đến đây chỉ cần biến đổi chút ít là ta rất dễ nhận ra mối liên hệ giữa
phương trình (2) và phương trình (3), rõ ràng với sự biến đổi nhuần nhuyễn sẽ
giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết bài tốn.
1.3.2.3. Tính độc đáo
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
x  x2  x  1  x  1  x2  x  1  1

* Điều kiện: x  R
Phương trình đã cho có dạng:
x  x 2  x  1  x  x  1  ( x  1) 2  ( x  1)  1  x  1

Xét hàm số: f (t )  t  t 2  t  1  t
f '(t ) 



2 t 2  t  1  2t  1
4 t  t2  t 1 t2  t 1

(2t  1)2  3  2t  1
4 t  t  t  1. t  t  1
2

0

t

2


Hàm số f(t) đồng biến trên R.
f(x) = f(x + 1)  x + 1 = x, phương trình vơ nghiệm.
Kết luận: Phương trình đã cho vơ nghiệm.
1.3.2.4. Tính hồn thiện
1.3.2.5. Tính nhạy cảm vấn đề
1.3.3. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
8


(Phần này trình bày dựa theo “ Tài liệu bồi dưỡng thường xun giáo viên trung
học phổ thơng chu kì III ( 2004 - 2007 ) ” trang 115
1.4. Dạy học giải bài tập Toán học ở trƣờng Trung học phổ thơng
1.4.1. Nội dung phần phương trình vơ tỷ trong chương trình tốn phổ thơng
1.4.2.Vai trị của bài tập trong q trình dạy học
1.4.3. Phương pháp giải bài tập Tốn học
Theo Polya(1975), phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải một bài
tốn bao gồm 4 bước sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải.

9


CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
THƠNG QUA DẠY HỌC CHUN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ
2.1. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ

2.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả
Lý thuyết:
1.

g  x  0

f  x  g  x  
 f  x  g  x


2.

g  x  0

f  x  g  x  
2
 f  x  g  x


Các ví dụ: (Được trình bày chi tiết trong luận văn)
2.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Để giải một phương trình vô tỷ nếu cứ biến đổi tương đương ta sẽ ra một
phương trình phức tạp, như là bậc quá cao. Khi đó, ta có thể sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về một phương trình đơn giản và dễ
dàng giải quyết hơn. Các bước trong phương pháp này:
Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện đối với ẩn phụ.
Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải
phương trình vừa biến đổi ra ( phương trình ẩn mới ), đối chiếu điều kiện để
chọn nghiệm thích hợp.
Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm.

Phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng:
2.1.3. Phương pháp dùng các tính chất của vectơ







Lý thuyết: Cho các vectơ u   x1 ; y1  , v   x2 ; y2  , w   x3 ; y3  thỏa mãn:

   
  

u  v  w  0 hoặc u  v  w . Khi đó





2
2
2
2
u  x12  y12 , v  x2  y2 , w  x3  y3
   
2
2
2
2

u  v  u  v  x3  y3  x12  y12  x2  y2 .
1.


Dấu bằng xảy ra  u  v .
10


  
2
2
2. u.v  u . v  x1 x2  y1 y2  x12  y12 x2  y2 .
Dấu bằng xảy ra

 
 u || v .

 
2
3. u  0 . Dấu bằng xảy ra khi u  0 .
Từ các kết quả trên cho ta thiết lập mối quan hệ giữa biểu thức đại số và độ dài
vectơ trong mặt phẳng.
2.1.4. Phương pháp đánh giá
Ví dụ 1: Giải phương trình:

32 x 4  80 x 3  50 x 2  4 x  3  4 x  1  0 (1)
Giải:
* Điều kiện:

x 1


4
3
2
Khi đó: pt (1)  4( x  x  1)  32 x  80 x  50 x  3

(2)

Với x  1 , ta có :

1
4( x  x  1)  4( x  1  x  1  1)  4( x  1  ) 2  3  3
2

x 1 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

1
1
5
 x 1   x 
2
4
4

+) Lại có:

5
25 


 32 x 4  80 x 3  50 x 2  3  32 x 2  x 2  x    3
2
16 

2

5

 32x  x    3  3
4

2

5
5

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x x    0  x  0 hoặc x 
4
4


Từ đó (2) có nghiệm x 

5
(TM)
4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 
2.1.5. Phương pháp hàm số

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
11

5
4


x x  x  12  m





5  x  4  x (1) có nghiệm.

Giải:
* Điều kiện: 0  x  4

pt (1)  ( x x  x  12)





5 x  4 x  m

xét hs y  f  x   ( x x  x  12)






5 x  4 x .

Miền xác định: D   0; 4
Nhận xét:

Hàm số h  x   x x 

x  12 đồng biến trên D.

Hàm số g  x   5  x  4  x đồng biến trên D.
Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phương trình có
nghiệm khi và chỉ khi: f  0   m  f  4   2 3(2  5)  m  16
Vậy pt(1) có nghiệm khi: 2 3(2  5)  m  16
2.1.6. Phương pháp lượng giác
2.2. Rèn luyện các yếu tố của tƣ duy sáng tạo trong các bài tốn phƣơng
trình vơ tỷ
2.2.1. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn
* Dự kiến tình huống xảy ra:
+ Hướng 1 : Sắp xếp lại các biểu thức trong pt được pt

5 x  8 x 8

 5  x 8  x 

là một pt chứa căn thức có các vế đều

khơng âm nên có thể biến đổi tương đương.
+ Hướng 2 : Nhận xét rằng : Biểu thức dưới dấu căn là 5  x  8  x  13 ,

không phụ thuộc vào x nên có thể đặt u  3  x , v  6  x thì ta được hệ
hai pt hai ẩn u và v. Đây là một hệ pt khá cơ bản nên học sinh có thể đặt ẩn phụ
và giải
+ Hướng 3: Đây là một pt vơ tỷ khá quen thuộc, nó có dạng :

12


f  x  , g  x  , f  x . g  x  , f  x   g  x  là hằng số nên ta có thể đặt

f  x   g  x  và tính được

t

f  x  . g  x  theo t . Từ đó học sinh có thể

giải bài tốn trên bằng cách đặt ẩn phụ và đưa về pt hữu tỷ một ẩn.
Bài toán tổng quát:
Học sinh nêu lên dạng tổng quát của bài toán:

xa  bx 

 x  a  b  x   c

Sau đó giáo viên cho trình bày các cách giải trên vào vở ghi.
Như vậy, qua hoạt động trên, học sinh đã được rèn luyện việc giải một bài
toán cụ thể bằng nhiều phương pháp khác nhau như: Biến đổi tương đương, đặt
ẩn phụ để đưa về hệ, đặt ẩn phụ để đưa về pt hữu tỷ. Bằng các phương pháp giải
khác nhau, học sinh sẽ biết nhìn một đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau,
giúp cho học sinh thấy được cái hay, cái mới, cái lạ mà mình chưa biết trong mỗi

bài cụ thể. Qua đó lảm tăng cảm hứng học tập cho học sinh.
2.2.2. Rèn luyện tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo được bộc lộ ở các kỹ năng như:
+ Kỹ năng biến thiên cách giải quyết vấn đề phù hợp với biến thiên của điều
kiện.
+ Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa những kiến thức đã có (dấu hiệu, thuộc
tính, quan hệ của một loại sự vật hay hiện tượng nào đó) sang một trật tự khác
ngược với hướng và trật tự đã tiếp thu.
+ Kỹ năng đề cập một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau, có sự
chuyển hóa trong tư duy như chuyển từ cách nhìn này sang cách nhìn khác, từ
giải pháp này sang giải pháp khác, kịp thời điều chỉnh hướng tư duy khi gặp trở
ngại, khi mà tư duy theo hướng đã biết không giải quyết được, hay giải quyết
không triệt để.
2.2.3. Rèn luyện tính nhạy cảm
Tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo là khả năng nhanh chóng phát hiện ra
vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu. Từ đó đề xuất hướng giải
quyết, tạo ra cái mới. Cụ thể với việc gải bài toán phương trình vơ tỷ thì u cầu
học sinh phải nắm vững các định lý, các tính chất và hệ quả của nó, các kỹ năng
13


biến đổi và hiểu rõ đâu là biến đổi tương đương, đâu là biến đổi hệ quả, điều
kiện của phương trình đề từ đó tìm được nghiệm chính xác của phương trình.
Nhận xét:
Qua các hoạt động trên ta nhận thấy ở mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh
phải nắm vững kiến thức, có tư duy nhạy cảm , biết phân tích và xử lý bài tốn
một cách lơgic, hồn chỉnh các kỹ năng biến đổi để tránh các lỗi thường mắc
phải, nhất là biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả. Mỗi bài tốn cụ thể có thể
giải theo các cách khác nhau, nhưng phải có cùng một đáp số, giáo viên không
chỉ dạy cho các em biết tìm ra đáp án của bài tốn mà phải biết định hướng tư

duy cho các em, để các em thể hiện được tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo. Từ
đó sẽ giúp các em làm tốt các bước của quá trình giải bài và các em sẽ say mê
hơn trong giờ học tốn.
2.2.4. Rèn luyện tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy sáng tạo được đặc trưng sau bởi các khả năng:
+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
+ Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng
như khơn có liên hệ với nhau.
+ Khả năng tìm ra các giải pháp lạ tuy đã biết những phương pháp khác.
Dưới đây là một số hoạt động để rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo
cho học sinh.

14


CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, phƣơng pháp, kế hoạch thực nghiệm
3.1.1. Mục đích
Kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học: Nếu giảng dạy chuyên đề
phương trình vơ tỷ theo định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì có thể
nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề này ở trường Trung học phổ thông.
3.1.2. Nhiệm vụ
1. Thiết kế bài giảng theo hướng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
2. Tiến hành thực nghiệm: Thu thập, phân tích kết quả ở lớp thực nghiệm và lớp
đối chứng, so sánh kết quả để đánh giá hiệu quả của luận văn.
3. Đánh giá tính khả thi, điều chỉnh bổ sung, hồn thiện việc thiết kế bài giảng
trong quá trình dạy học chun đề phương trình vơ tỷ .
3.1.3. Phương pháp
Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

3.1.4. Kế hoạch thực nghiệm
- Đề tài được tiến hành thực nghiệm tại trường Trung học phổ thơng Bất Bạt Ba Vì - Hà Nội năm học 2011- 2012.
- Đối tượng thực nghiệm:
+ Học sinh lớp 12A2, 12A3 là hai lớp học sách giáo khoa cơ bản của trường
Trung học phổ thơng Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội năm học 2011-2012.
- Thời gian thực nghiệm sư phạm: Từ ngày 24/02/2012 đến ngày 24/03/2012.
3.2. Tiến trình thực nghiệm sƣ phạm
- Thăm dị trình độ học sinh mơn Tốn.
- Triển khai thực nghiệm.
- Kiểm tra đánh giá.
- Chuẩn bị phương tiện dạy học.
- Trao đổi với giáo viên về, mục đích, nội dung và cách thức tiến hành bài dạy.
Tác giả dạy thử nghiệm.
- Rút kinh nghiệm sau buổi dạy.
- Cho học sinh làm các bài kiểm tra để đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.3. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm
3.3.1. Bài giảng số 1: Giải và khai thác bài tốn phương trình vơ tỷ.
15


Mục đích: Luyện tập giải phương trình vơ tỷ bằng nhiều cách. Khai thác các bài
toán mới từ bài toán đã cho. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thơng qua
việc giải phương trình vơ tỷ.
Bài tốn 1: Cho pt sau:

x  1  3  x  2 (1). Hãy giải phương trình sau bằng nhiều cách.
Cách giải 1:
Biến đổi tương đương:
Phương trình (1)
1  x  3

1  x  3




 x  1  3  x  2 ( x  1)(3  x)  4
 ( x  1)(3  x)  1



1  x  3
1  x  3

 2
x2
( x  1)(3  x)  1  x  4 x  4  0

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
Biến đổi tương đương là một phương pháp chủ đạo trong việc giải phương trình
vơ tỷ. Ưu điểm nổi bật của phương pháp biến đổi tương đương là không làm
thừa nghiệm hay thiếu nghiệm của phương trình gốc .
Cách giải 2:
Phương trình (1) là phương trình vơ tỷ nhưng lại chỉ có một nghiệm duy nhất,
Điều đó có gợi cho chúng ta các cách giải khác hay khơng? Ta có thể thử đi
chứng minh vế trái của phương trình nhỏ hơn hoặc bằng 2 hay không? Hãy áp
dụng bất đẳng thức xem thế nào?
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (1, 1) và ( x  1, 3  x ) Ta
2
2
2

có: ( x  1  3  x )  (1  1 )( x  1  3  x)



khi:

( x 1  3  x )2  4 

x  1  3  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

x 1  3  x  x  2.

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
Cách giải 3:
Ta có thể áp dụng bất đẳng thức cô si để giải phương trình hay khơng? Câu trả lời
nằm ở chỗ nghiệm của phương trình là x = 2. Ta có cách giải như sau:

16


1( x  1) 

1 x 1
2

và

1(3  x) 

1 3  x

. Cộng vế với vế ta có:
2
1  x  1
x2
1 3 x


x  1  3  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
Cách giải 4:

Áp dụng bất đẳng thức tích vơ hướng để giải phương trình:
Chọn a  (1,1) , b  ( x  1, 3  x )  a  2 và b  2 . Áp dụng bất
đẳng thức :
 
 
a.b  a b Ta có:

x  1  3  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

x 1  3  x  x  2.
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
Cách giải 5:

u  x  1

Đặt : 
Ta có hệ phương trình:
v  3  x



u  v  2
 2
u  1
2
u  v  2  
 x  2 . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
u , v  0
v  1

Cách giải 6:
Đặt x = 2 + a. Phương trình (1) trở thành:
 1  a  1
 1  a  1

1 a  1 a  2  

 a  0  x  2.
a0
2  2 1  a 2  4



Vậy

phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
Cách giải 7:
Đặt f(x) =

x 1  3  x


Điều kiện: 1  x  3 , f’(x) =
f(1) = 2 , f(3) =

2,

1
2 x 1



1
2 3 x

, f’(x) = 0  x  2 . Ta có:

f(2) = 2  f ( x)  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x  2 . Vậy phương trình (1) có nghiêm duy nhất: x  2 .
17


Cách giải 8: Nhìn nhận theo hình học giải tích lớp 10.

u  v  2( )
 2
u  x  1
2

u  v  2(c)


Đặt :
Ta có hệ phương trình:
v  3  x
u , v  0


Phưng trình (C) với điều kiện u, v  0 là một phần tư đường trịn tâm O(0, 0) bán
kính R = 2 . Đường thẳng (  ) tiếp xúc với (C) tai điểm M(1,1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2 . Cách giải này có thể khai
thác cho các bài tốn phưng trình vơ tỷ chứa tham số.
Cách giải 9:
Phương trình (1) tương đương với phương trình:

4  2 x 1  2 3  x  0  x 1 2 x 1 1 3  x  2 3  x 1  0
 x 1 1  0

 ( x  1  1) 2  ( 3  x  1) 2  0  
 x2.
 3  x 1  0


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2 .
Cách giải 10:
Đặt t 

x  1  x  t 2  1 ( 0  t  2 ). Phương trình (1) trở thành:

2  t 2  2  t  2t 2  4t  2  0  t  1  x  2 .
Vậy phương trình (1) có một nghiệm: x  2 .

Kết luận:
Một bài tốn giải phương trình vơ tỷ có thể có nhiều phương án để tìm được
đáp số. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh bằng bài tốn nhiều cách giải là
một biện pháp có tính thực thi cao. Qua việc giải phương trình trên học sinh huy
động nhiều kiến thức toán học ở các phân mơn khác nhau từ đó có cái nhìn tồn
diện hơn về bộ mơn tốn và qua đó cũng lựa chọn được cách giải tối ưu, phát huy
tính độc đáo trong tư duy sáng tạo.
3.3.2. Bài giảng số 2: Giải phương trình vơ tỷ bằng phương pháp đưa về hệ
phương trình.
Mục đích bài soạn: Rèn luyện kĩ năng giải phưng trình vô tỷ bằng phưng
pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
Nội dung bài giảng:
Bài tốn 1: Giải phương trình:
18


4

57  x  4 x  40  5(1)

Với phương trình này nếu làm theo cách biến đổi tương đương thì gặp trở
ngại gì? Câu trả lời sẽ rõ khi học sinh thực hiện thao tác lũy thừa 4 hai vế. Sau
khi lũy thừa 4 hai vế học sinh sẽ khơng muốn làm tiếp nữa vì nó q dài dịng.
Học sinh có tâm lý ngại biến đổi. Để khắc phục điều đó các em cần tìm ra một
con đường khác để giải được bài. Làm thế nào để không còn các biểu thức chứa
căn bậc bốn nữa? Các biểu thức trong căn bậc bốn có tổng bằng bao nhiêu? Từ
đây ta sẽ giải phương trình này bằng cách đưa về hệ phương trình.
Bài giải:
Điều kiện: 40  x  57 .
Đặt u  4 57  x , u  0 ; v  4 x  40 , v  0 . Ta có u 4  v 4  97

u  v  5(2)

Khi đó phương trình (1) ta được hệ phương trình (I): u 4  v 4  97(3)
u  0, v  0(4)

2
2
2 2
Biến đổi (3) có: u 4  v 4  97   u  v   2u v  97
2

2

 (u  v) 2  2uv   2u 2v 2  97 (5)



uv  6
Thay (2) vào (5) có: (uv)2  50(uv)  264  0  
uv  44
 u  3
u  v  5

v  2


+ Khi uv  6 hệ (I)  uv  6
 u  2
u  0, v  0



 v  3


u  3
- Với 
v  2

57  x  81
 x  24
ta có 
x  40  16


u  2
- Với 
v  3

57  x  16
 x  41
ta có 
 x  40  81

u  v  5

+ Khi uv  44 , hệ (I)  uv  44 (hệ phương trình này vơ nghiệm do phương
u  0, v  0


trình t 2  5t  44  0 vô nghiệm)

Kết hợp với điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm: x  24 và x  41
19


3.3.3. Thực nghiệm sư phạm
Nhằm đánh giá kết quả thực nghiệm, tác giả đã soạn một đề kiểm tra với
thời gian làm bài 60 phút, sau đó cho hai lớp cùng làm trong cùng một điều kiện
tổ chức lớp như nhau và đánh giá kết quả của ca hai lớp.
̉
3.3.3.1. Đề kiểm tra và kết quả bài làm của học sinh
Trương THPT Bất Bạt
̀

Bài kiểm tra: Giải phương trình

Họ tên:

Thời gian: 60 phút

Lớp:
Đê bai
̀ ̀
Bài 1: Giải phương trình:

x  3  5  x  2 bằng ít nhất là 3 cách.

Bài 2: Giải phương trình:

x  3 x  7  3 bằng ít nhất hai cách.


Bài 3: Cho phương trình: 1  x  8  x  (1  x)(8  x)  m
a) Giải pt với m = 3.
b) Tìm m để pt có nghiệm.
Kết quả bài kiểm tra:
Tính theo số học sinh làm bài đúng ở từng bài:
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra làm đúng
của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
Bài

1

Lớp
12A2
Lớp thực nghiệm
12A3
Lớp đối chứng

2

3

45/45
100%
35/45
77.78%

42/45
93.33%
25/45
55,56%


40/45
88.89%
11/45
24.44%

Thơng qua quan sát q trình làm bài kiểm tra của học sinh và qua việc
chấm bài, tác giả có nhận xét:
Ở bài 1: Giải pt

x  3  5  x  2 bằng nhiều cách

+ Lớp thực nghiệm: Các em đều nhanh chóng tìm ra các cách làm khác nhau, có
em cịn tìm ra hơn ba cách.
* Cách giải 1: Biến đổi tương đương, các em đều tìm ra nghiệm x  4
* Cách giải 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (1, 1) và
20


2
2
2
( x  3 , 5  x ) Ta có: ( x  3  5  x )  (1  1 )( x  3  5  x)



( x  3  5  x )2  4 

x  3  5  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi


x3  5 x  x  4.

và chỉ khi:

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
*Cách giải 3: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi để giải phương trình . Ta có cách
giải như sau:

1( x  3) 

1 x  3
và
2

1(5  x) 

1 5  x
. Cộng vế với vế ta có:
2

x3  5 x  2.
1  x  3
x4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
1 5 x

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
*Cách giải 4:
Áp dụng bất đẳng thức tích vơ hướng để giải phương trình:
Chọn a  (1,1) , b  ( x  3, 5  x )  a  2 và b  2 . Áp dụng bất

đẳng thức :
 
 
a.b  a b Ta có:
chỉ khi:

x  3  5  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và

x3  5 x  x  4.

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
*Cách giải 5:

u  x  3

Đặt : 
Ta có hệ phương trình:
v  5  x


u  v  2
 2
u  1
2
u  v  2  
 x  4.
v 1
u , v  0



Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
+ Lớp đối chứng: các em chỉ tìm ra ba cách giải là cách 1, cách 2 và cách 3
như ở trên.
Ở bài 2: Giải phương trình: x  3 x  7  3 (a) bằng ít nhất hai cách.
+ Lớp thực nghiệm: Các em dễ dàng tìm được hai cách giải khác nhau
21