B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
1
H
ọ v
à tê
n :………………………………………. THPT:……………………………….
PHẦN I. KIẾN THỨC CHUNG:
* Con l
ắc đ
ơn
+ Con l
ắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không
đáng k
ể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với kh
ối l
ượng của vật
n
ặng.
+ Khi dao đ
ộng nhỏ (sin
   (rad)), con l
ắc đơn dao động điều hòa với phương trình:
s = S
o

cos(t + ) ho
ặc
 = 
o
cos(t + ); v
ới
 =
l
s
; 
o
=
l
S
o
+ Chu k
ỳ, tần số, tần số góc:
T = 2
g
l
; f =
2
1
l
g
;  =
l
g
.
+ L

ực kéo về khi bi
ên độ góc nhỏ:
F = -
s
l
mg
=-mg
+ Xác đ
ịnh gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn
: g =
2
2
4
T
l
.
+ Chu kì dao
động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, độ sâu, vĩ độ địa lí và nhiệt độ môi
trư
ờng.
* Năng lư
ợng của con lắc đơn
+ Đ
ộng năng
: W
đ
=
2
1
mv

2
+ Th
ế năng
: W
t
= mgl(1 - cos) =
2
1
mgl
2
(  1rad,  (rad)).
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
= mgl(1 - cos
0
) =
2
1
mgl
2
0
.
Cơ năng c
ủa con lắc đ
ơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
1. T
ần số góc:
g

l
 
; chu k
ỳ:
2
2
l
T
g



 
; t
ần số:
1 1
2 2
g
f
T l

 
  
Đi
ều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và

0
<< 1 rad hay S
0
<< l

2. L
ực kéo về (lực hồi phục)
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
         
Lưu
ý:
+ V
ới con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ V
ới con lắc lò xo lực hồi p
h
ục không phụ thuộc vào khối lượng.
3. Phương tr
ình dao
động:
s = S
0
cos(t + ) ho
ặc
α = α
0
cos(t + ) v
ới s =
αl, S
0
= α

0
l
 v = s’ = -S
0
sin(t + ) = -lα
0
sin(t + )
 a = v’ = -
2
S
0
cos(t + ) = -
2
lα
0
cos(t + ) = -
2
s = -
2
αl
Lưu
ý:
S
0
đóng vai trò nh
ư A còn s đóng vai trò như x
4. H
ệ thức độc lập:
* a = -
2

s = -
2
αl
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
2
*
2 2 2
0
( )
v
S s

 
Tìm chi
ều dài con lắc:
2 2
max
2
v v
g



*
2
2 2
0
v
gl
  
5. Cơ năng:
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
W
2 2 2 2
      
mg
m S S mgl m l
l
Lưu
ý:
Cơ năng c
ủa con lắc
đơn t
ỉ lệ thuận với khối l
ượng vật còn cơ năng của con lắc lò
xo không ph
ụ thuộc vào khối lượng của vật
6. T
ại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài
l

1
có chu k
ỳ T
1
, con l
ắc đơn chiều dài
l
2
có chu k
ỳ
T
2
, con l
ắc đ
ơn chiều dài
l
1
+ l
2
có chu k
ỳ T
2
,con l
ắc đ
ơn
chi
ều d
ài
l
1

- l
2
(l
1
>l
2
) có chu k
ỳ T
4
.
Thì ta có:
2 2 2
3 1 2
T T T 
và
2 2 2
4 1 2
T T T 
7. Khi con lắc đơn dao động với 
0
bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc
đơn
W = mgl(1-cos
0
); v
2
= 2gl(cosα – cosα
0
) và T
C

= mg(3cosα – 2cosα
0
)
Lưu
ý:
- Các công th
ức n
ày áp dụng đúng cho cả khi

0
có giá tr
ị lớn
- Khi con l
ắc đơn dao động điều hoà (

0
<< 1rad) thì:
2 2 2 2
0 0
1
W= ; ( )
2
mgl v gl   
(đã có ở trên)
2 2
0
(1 1,5 )
C
T mg    
2

0
max 0 min
(1 ); (1 )
2
T mg T mg

   
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
BÀITOÁN1:Đ
ẠI
CƯƠNGV
Ề
CONL
ẮC
ĐƠN
(TÌM CÁC
ĐẠI LƯỢNG THƯỜNG GẶP)
PHƯƠNG PHÁP:
Đ
ể tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc đơn ta viết biểu thức liên quan đến
các đ
ại lượng đã biết và đại lượng cần tìm
t
ừ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.
1) Năng lượng con lắc đơn:
Ch
ọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O
+ Đ
ộng năng: Wđ=
2

1
mv
2
+ Th
ế năng hấp dẫn ở ly độ

:
t
W = mg (1-cos
α)

+ Cơ năng: W= W
t
+W
đ
=
2 2
1
m A
2

Khi góc nh
ỏ:
2
t
1
W mg (1 cos ) mg
2
    
W=

2
0
1
mg
2

2) Tìm v
ận tốc của vật khi đi qua ly độ

(đi qua A):
Áp d
ụng định luật bảo to
àn cơ năng ta có:
Cơ năng t
ại biên = cơ năng tại vị trí ta
xét
α
α
O
l
T
P
F’
F
t
F
s
N
O
A

0


P

τ

B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
3
W
A
=W
N
W
tA
+W
đA
=W
tN
+W
đN

mg (1 cos )

+
2
A
1
mv
2
=
0
mg (1 cos )
+0

2
A 0
v 2g (cos cos )  

A 0
v = ± 2g (cos
α -cosα )

Chú ý:+ Khi đi qua v
ị trí cân bằng(VTCB)
0 
+ Khi
ở vị trí bi
ên
0
 
* Ví d
ụ minh họa:
VD1. T

ại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s
2
, con l
ắc đơn dao động điều hoà với chu kì
7
2
s.
Tính chi
ều dài, tần s
ố v
à tần số góc của dao động của con lắc.
HD:
Ta có: T = 2
g
l
 l =
2
2
4
gT
= 0,2 m; f =
T
1
= 1,1 Hz;  =
T
2
= 7 rad/s.
VD2. T
ại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s
2

, m
ột con lắc đơn và mộ
t con l
ắc lò xo dao
đ
ộng điều h
òa với cùng tần số. Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm, lò xo có độ cứng 10 N/m.
Tính kh
ối lượng vật nhỏ của con lắc lò xo.
HD:
Ta có:
m
k
l
g

 m =
g
kl.
= 500 g.
VD3. T
ại nơi có gia tốc trọng
trư
ờng g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
α
0
nh
ỏ (
α
0

< 10
0
). L
ấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ góc
α) mà
ở đó thế
năng bằng động năng khi:
a) Con l
ắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng.
b) Con l
ắc chuyển động chậm dần theo chiều d
ương về phía vị trí biên.
HD: Khi W
đ
= W
t
thì W = 2W
t

2
1
ml
2
0
= 2
2
1
ml
2
  = 

2
0

.
a) Con l
ắc chuyển động nhanh dần theo chiều
dương t
ừ vị trí bi
ên
 = - 
0
đ
ến vị trí cân bằng
 = 0:  = -
2
0

.
b) Con l
ắc chuyển động chậm dần theo chiều dương từ vị trí cân bằng
 = 0 đ
ến vị trí biên

= 
0
:  =
2
0

.

VD4. M
ột con lắc đ
ơn gồm một quả cầu nh
ỏ khối l
ư
ợng m = 100 g, treo vào đầu sợi dây dài
l = 50 cm,
ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. B
ỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao
đ
ộng điều h
òa với biên độ góc

0
= 10
0
= 0,1745 rad. Ch
ọn gốc thế năng tại vị trí cân
b
ằng. Tính thế năng, đ
ộng năng, vận tốc v
à sức căng của sợi dây tại:
a) V
ị trí bi
ên.
b) V
ị trí cân bằng.
HD

B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
4
a) T
ại vị trí biên: W
t
= W =
2
1
mgl
2
0

= 0,0076 J; W
đ
= 0; v = 0; T = mg(1 -
2
2
o

) = 0,985 N.
b) T
ại vị trí cân bằng:
W

t
= 0; W
đ
= W = 0,0076 J; v =
m
W
d
2
= 0,39 m/s; T = mg(1 + 
2
0
) =
1,03 N.
V
ẬN DỤNG: CÂU 1,11,12,13,14,15/ĐỀ 8
D
ẠNG
2:TÌML
ỰC
CĂNGTC
ỦA
DÂYTREO.
*PHƯƠNG PHÁP:
L
ực căng dây(phản lực của dây treo) treo khi đi qua ly độ

(đi qua A):
Theo Đ
ịnh luật II Newtơn:
P


+
τ

=m
a

chi
ếu lên
τ

ta đư
ợc
2
A
ht
v
mgcos ma m   


2
A
0
v
m mgcos m2g(cos cos ) mgcos        


0
τ = mg(3cosα -2cosα )
Khi góc nh

ỏ
0
10 
2
sin
cos 1
2
 






 


khi đó
2 2 2
A 0
2 2
0
v g ( )
1
mg(1 2 3 )
2
 
  

 



  



Chú ý: L
ực dụng lên điểm treo (là lực căng T)
V
ận dụng: câu 8,9,10,31,32,41
/đ
ề 8
*D
ẠN
G3:CONL
ẮC
ĐƠNCÓCHI
ỀU
DÀITHAYĐ
ỔI
(C
ẮT,
GHÉP)
VD1. Ở c
ùng một nơi trên Trái Đất con lắc đơn có chiều dài
l
1
dao đ
ộng với chu kỳ T
1

= 2 s,
chi
ều d
ài
l
2
dao đ
ộng với chu kỳ T
2
= 1,5 s. Tính chu k
ỳ dao động của con lắc đ
ơn có chiều
dài l
1
+ l
2
và con l
ắc đơn có chiều dài
l
1
– l
2
.
HD: Ta có: T
2

= 4
2
g
ll

21

= T
2
1
+ T
2
2
 T
+
=
2
2
2
1
TT 
= 2,5 s; T
-
=
2
2
2
1
TT 
= 1,32 s.
T
ừ (1) và (2)
 T
1
=

2
22

TT
= 2 s; T
2
=
2
22

TT
= 1,8 s; l
1
=
2
2
1
4
gT
= 1 m; l
2
=
2
2
2
4
gT
= 0,81 m.
VD2. Khi con l
ắc đ

ơn có chiều dài
l
1
, l
2
(l
1
> l
2
) có chu k
ỳ dao động t
ương ứng là T
1
, T
2
t
ại
nơi có gia t
ốc trọng trường g = 10 m/s
2
. Bi
ết tại nơ
i đó, con l
ắc đơn có chiều dài
l
1
+ l
2
có chu
k

ỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có chiều dài
l
1
- l
2
có chu k
ỳ dao động là 0,9 s. Tính T
1
, T
2
và
l
1
, l
2
.
HD:
Ta có: T
2

= 4
2
g
ll
21

= T
2
1
+ T

2
2
(1); T
2

= 4
2
g
ll
21

= T
2
1
- T
2
2
(2)
VD3. Trong cùng m
ột khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực
hi
ện được 60 dao động. Tăng chiều
dài c
ủa nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con
l
ắc thực hiện đ
ược 50 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ dao động ban đầu của con lắc.
HD:
Ta có: t = 60.2
g

l
= 50.2
g
l 44,0
 36l = 25(l + 0,44)  l = 1 m; T = 2
g
l
= 2 s.
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
5
VD4 Hai con l
ắc đ
ơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2,
t
ại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài
l1 + l2 , chu kì dao
động 1,8s và con lắc đơn c
ó chi
ều dài l1
- l2 có chu kì dao
động 0,9 (s).
Tính T1, T2, l1, l2.
HD:

+ Con l
ắc chiều dài l1 có chu kì
T1=
g
l
.2
1

 l1=
g.
4
T
2
2
1

(1)
+ Co l
ắc chiều dài l2có chu kì
T2=
g
l
.2
2

 l1=
g.
4
T
2

2
2

(2)
+ Con l
ắc chiều dài l1 + l2 có chu kì
T3= 2.
g
ll
21

 l1 + l2 =
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'




(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2.
g
ll
21


 l1 - l2 =
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'




(m) = 20,25 cm (4)
T
ừ (3) (4)
l1= 0,51 (m) = 51cm
l2 = 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T1= 2
42,1
10
51,0

(s)
T2= 2
1,1
10
3,0


(s)
VẬN DỤNG: CÂU 35/ĐỀ 8
CÂU 9,10,43/Đ
Ề 9
D
ẠNG
4:CONL
ẮC
ĐƠNB
Ị
VƯ
ỚNG
ĐINH,K
ẸP
CH
ẶT
1) Chu k
ỳ con
l
ắc:
* Chu k
ỳ cn lắc tr
ước khi vấp đinh:
1
1
T 2
g



,
1

: chi
ều d
ài con lắc trước khi vấp
đinh
* Chu k
ỳ con lắc sau khi vấp đinh:
2
2
T 2
g


,
2

: chi
ều dài
con l
ắc sau khi vấp
đinh
N
O
0

A
0


B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
6
* Chu k
ỳ của con lắc:
1 2
1
T (T T )
2
 
2) Biên đ
ộ góc sau khi vấp đinh
0
β
:
Ch
ọn mốc thế năng tại O. Ta có: W
A
=W
N

W
tA
=W

tN
2 0 1 0
mg (1 cos ) mg (1 cos )     
2 0 1 0
(1 cos ) (1 cos )     
*N
ếu góc nhỏ h
ơn 1rad ho
ặc 10
o
2 2
2 0 1 0
1 1
(1 (1 )) (1 (1 )
2 2
       

1
0 0
2
β = α


: biên đ
ộ góc sau khi vấp đinh.
Biên đ
ộ
dài sau khi v
ấp đinh:
0 2

A' =
β .

VÍ D
Ụ MINH HỌA
VD1(27/8): Kéo con l
ắc đơn có chiều dài

= 1m ra kh
ỏi
v
ị trí cân bằng một góc nhỏ so với
phương th
ẳng đứng rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng, dây treo bị v
ướng
vào một chiếc đinh đóng dưới điểm treo con lắc một đoạn 36cm. Lấy g = 10m/s
2
. Chu kì dao
đ
ộng của con lắc l
à
A. 3,6s. B. 2,2s. C. 2s. D. 1,8s.
VD2(28/8): M
ột con lắc đơn có chiều dài

. Kéo con l
ắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc
0

= 30

0
r
ồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị v
ướng vào một chiếc
đinh n
ằm
trên đư
ờng thẳng đứng cách điểm treo con lắc một đoạn
/ 2
. Tính biên đ
ộ góc
0

mà con l
ắc đạt được sau khi vướng đinh ?
A. 34
0
. B. 30
0
. C. 45
0
. D. 43
0
.
V
ẬN DỤNG CÂU 26,27,28/ ĐỀ 8
D
ẠNG
5:VI
ẾT

PHƯƠNGTRÌNHDAOĐ
ỘNG
CONL
ẮC
ĐƠN
PHƯƠNG PHÁP:
1) Phương trình dao động.
Ch
ọn: + gốc toạ độ tại vị trí cân bằng
+ chi
ều d
ương là chiều lệch vật
+ g
ốc thời gian
Phương tr
ình ly
độ dài: s=Acos(
t + ) m
v = - Asin(t + ) m/s
* Tìm >0:
+  = 2f =
2
T

, v
ới
t
T
N



, N: t
ống số dao động
+
 

g
, ( l:chi
ều dài dây treo:m, g: gia tốc trọng trường tại nơi ta xét: m/s
2
)
+
mgd
I
 
với d=OG: khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay.
I: mômen quán tính c
ủa vật rắn.
+
2 2
v
A s
 

* Tìm A>0:
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H

ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
7
+
2
2 2
2
v
A s

 
v
ới
s . 
+ khi cho chi
ều dài quỹ đạo là một cung tròn

MN
:

MN
A
2

+
0
A . 
,
0


: ly đ
ộ góc: rad.
* Tìm  (
    
)
Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ra 
Khi t=0 thì
0
0
x x
v v






0
0
x Acos
v A sin

 



 

0

0
os
sin
x
c
A
v
A














= ?
Phươg tr
ình li độ gó
c:

=
s


=
0

cos(t + ) rad. v
ới
0
A
 

rad
2) Chu k
ỳ dao động nhỏ.
+ Con lăc đơn:
2T
g


2
2
2
2
4
4
T g
g
T















+ Con lắc vật lý:
2
I
T
mgd

2
2
2
2
4
4
T mgd
I
I
g
T md













VÍ D
Ụ MINH HỌA:
VD1. M
ột con lắc đ
ơn có chiều dài
l = 16 cm. Kéo con l
ắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc
9
0
r
ồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g =
10 m/s
2
, 
2
= 10. Ch
ọn gốc thời gian lúc thả vật,
chi
ều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động
theo li đ
ộ góc tính ra rad.

HD: Ta có:  =
l
g
= 2,5 rad/s; 
0
= 9
0
= 0,157 rad; cos =
0
0
0



 

= - 1 = cos   = .
V
ậy:
 = 0,157cos(2,5 + ) (rad).
VD2. M
ột con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s
2
, 
2
= 10. Vi
ết
phương tr
ình dao
động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li

đ
ộ
góc  = 0,05 rad và v
ận tốc v =
- 15,7 cm/s.
HD:
Ta có:  =
T
2
= ; l =
2

g
= 1 m = 100 cm; S
0
=
2
2
2
)(


v
l 
= 5
2
cm;
cos =
0
S

l
=
2
1
= cos(
4

); vì v < 0 nên  =
4

. V
ậy: s = 5
2
cos(t +
4

) (cm).
VD3. M
ột con lắc đơn có chiều dài
l = 20 cm. T
ại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc
đư
ợc truyền vận t
ốc 14 cm/s theo chiều d
ương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s
2
. Vi
ết phương
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC

– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
8
trình dao
động của con lắc theo li độ dài.
HD:
Ta có:  =
l
g
= 7 rad/s; S
0
=

v
= 2 cm; cos =
0
S
s
= 0 = cos(
2

); vì v > 0 nên  = -
2

. V
ậy: s = 2cos(7t

-
2

) (cm).
VD4. M
ột con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc
v
0
= 40 cm/s theo phương ngang th
ì con
l
ắc đơn dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí có li
độ góc  = 0,1
3
rad thì nó có vận tốc v = 20 cm/s. Lấy g = 10 m/s
2
. Chọn gốc thời gian là
lúc truy
ền vận tốc cho vật, chiều d
ương cùng chiều với vận tốc ban đầu. Viết phương tr
ình
dao đ
ộng của con lắc theo li độ dài.
HD:
Ta có S
2
0
=
2
2

0

v
= s
2
+
2
2

v
= 
2
l
2
+
2
2

v
=
4
22

 g
+
2
2

v
  =

22
0
vv
g


= 5 rad/s;
S
0
=

0
v
= 8 cm; cos =
0
S
s
= 0 = cos(
2

); vì v > 0 nên  = -
2

.
V
ậy: s = 8cos(5t
-
2

) (cm).

VD5: M
ột con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =
5

s. Bi
ết rằng ở thời điểm ban đầu
con l
ắc ở vị trí bi
ên, có biên độ góc

0
v
ới cos

0
= 0,98. L
ấy g = 10 m/s
2
. Vi
ết ph
ương trình
dao đ
ộng của con lắc theo li độ góc.
HD:
Ta có:  =
T
2
= 10 rad/s; cos
0
= 0,98 = cos11,48

0
 
0
= 11,48
0
= 0,2 rad;
cos =
0


=
0
0


= 1 = cos0   = 0. V
ậy:
 = 0,2cos10t (rad).
V
ẬN DỤNG: CÂU 3,20,25/ĐỀ 8
DẠNG6:BÀITOÁNVACHẠM TRONGCONLẮCĐƠN
PHƯƠNG PHÁP
+ Trường hợp va chạm mềm: sau khi va chạm hệ chuyển động cùng vận tốc
Theo ĐLBT đ
ộng lượng:
A B AB A A B B A B
P P P m v m v (m m )V     
   
 
Chi

ếu phương trình này suy ra vận tốc sau va chạm V
+ Trư
ờng hợp va chạm đ
àn hồi: sau va chạm hai vật chuyển động với các vận tốc khác
nhau
A2
v

và
B2
v

.
Theo đ
ịnh luật bảo toàn động lượng và động năng ta có
A B A2 B2
dA dB dA2 dB2
P P P P
W W =W +W

  





   
A A B B A A2 B A2
2 2 2 2
A A B B A A2 B B2

m v m v m v m v
1 1 1 1
m v m v m v m v
2 2 2 2
  




  


   
t
ừ đây suy ra các giá trị vận tốc sau khi va chạm
A2
v
và
B2
v
.
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
9

VÍ D
Ụ MI
NH H
ỌA
VD1( Gi
ải các bài toán sơ cấp
– V
ũ Thanh Khiết)
Con l
ắc đơn gồm 1 quả cầu khối lượng m1= 100g và sợi dây không giãn chiều dài l = 1m. Con
lắc lò xo gồm 1 lò xo có khối lượng không đáng kể độ cứng k = 25 (N/m) và 1 quả cầu khối
lư
ợng m2 = m1= m = 10
0g
1. Tìm chu kì dao
đ
ộng riêng của mỗi con lắc.
2. B
ố trí hai con lắc sao cho khi hệ CB (hình vẽ) kéo m1 lệnh khỏi VTCB 1 góc
 = 0,1
(Rad) r
ồi buông tay.
a) Tìm v
ận tốc quả cầu m1 ngay trước lúc va chạm vào quả cầu (
<<).
b) Tìm v
ận tốc của quả cầu m2
sau khi va ch
ạm với m1v
à độ nén cực đại của lò xo ngay sau

khi va ch
ạm.
c) Tìm chu kì dao
động của hệ
Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm, bỏ qua ma sát.
L
ời giải
1. Tìm chu kì dao
động riêng của từng con lắc khi chưa gắn vào hệ:
+ Con l
ắc l
ò xo:
1
0,1
2. 2. 0,4
25
m
T s
k
   
(s)
+ Con l
ắc đơn
:
1
1
2. 2. 2
10
l
T s

g
   
2.
a) Vận tốc m1 ngay sau va chạm:
m
1
gh = =m
1
g.l.(1 - cos) =
2
1 o
1
m v
2
góc  nh
ỏ áp dụng công thức gần đúng
2
2
1 cos 2sin
2

   
V0= 
101,0gl 
= 0,316 (m/s)
b) Tìm v
ận tốc v
2
c
ủa m

2
ngay sau khi va ch
ạm với m
1
và đ
ộ nén cực đại của lò xo sau khi va
ch
ạm.
+ G
ọi v1, v2là vận tốc của m1, m2 ngay sau khi va chạm
áp d
ụng định luật bảo toàn động lượng
m
1
v
o
= m
1
v
1
+ m
2
v
2
(1)
định luật bảo toàn động năng:
2 2 2
1 o 1 1 2 2
1 1 1
m v m v + m v

2 2 2

(2)
theo đ
ề bài m1= m2 nên từ (1) => v
o
= v
1
+ v
2
(3)
t
ừ (2)
=> v
o
2
= v
1
2
+ v
2
2
(4)
T
ừ (3) và 4 => v
o
2
= (v1+ v2)
2
= v

1
2
+ v
2
2
=> 2v
1
. v
2
= 0
=> v1 = 0 ; v2 = v0 = 0,316 (m/s)
+ Như v
ậy, sau va chạm, quả
c
ầu m
1
đ
ứng yên, quả cầu m2 chuyển động với vận tốc bằng
v
ận tốc của quả cầu m1 trước khi va chạm.
+ Đ
ộ nén cực đại của l
ò xo
2
2 2 2
1 1
k. l m .v
2 2
 
 l = 0,02 (m) = 2 (cm)

c) Chu kì dao
đ
ộng
:
khi m1 c
ủa con lắc đơn từ vị trí biên về vtcb đập vào v
ật m2 của con lắc l
ò xo dừng lại. vật
k
m
2
m
1
l
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
10
m2 nén c
ực đại rồi quay lại vtcb đập vào m1 truyền toàn bộ năng lượng cho m1( bỏ qua mọi
hao phí do t
ỏa nhiệt) m2 lại đứng y
ên, m1 lại chuyển động ra biên như vậy chu kỳ của hệ
T = (T1 + T2) / 2 = (2 + 0,4)/2 = 1,4 (s)
V

ẬN DỤNG em h
ãy làm các câu : CÂU 29,30/ĐỀ 8
D
ẠNG
7:S
Ự
THAYĐ
ỔI
CHUK
Ỳ
CONL
ẮC
ĐƠNKHITHAYĐ
ỔI
Đ
Ộ
CAOh,Đ
Ộ
SÂUd
* Phương pháp:
Đ
ể tìm một số đại lượng liên quan đến sự phụ thuộc của chu kì dao động của con lắc đơn
vào đ
ộ cao so với mặt đất và n
hi
ệt độ của môi trường ta viết biểu thức liên quan đến các đại
lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.
Gia t
ốc trọng tr
ường ở mặt đất:

g =
2
R
GM
; R: bán kính trái Đ
ất R=6400km
1) Khi đưa con l
ắc lên
đ
ộ cao h:
Gia tốc trọng trường ở độ cao h:
h
2
2
GM g
g
h
(R h)
(1 )
R
 


.
Chu k
ỳ con lắc dao động
đúng ở mặt đất:
1
T 2
g



(1)
Chu h
ỳ con lắc dao động
sai ở độ cao h:
2
h
T 2
g


(2)

1 h
2
T g
T g

mà
h
g
1
h
g
1
R




1
2
T
1
h
T
1
R



2 1
h
T = T (1+ )
R
Khi đưa lên cao chu k
ỳ dao động tăng lên.
2) Khi đưa con l
ắc xuống độ sâu d:
*
ở độ sâu d:
d
d
g = g(1- )
R
Chúng minh: P
d
= F
hd
3

d
2
4
m( (R d) .D)
3
mg G
(R d)
 
 

D: khối lượng riêng trái Đất
3
3
3
d
2 3 2 3 2
4
( .D)(R d)
R
M(R d) GM d
3
g G G .(1 )
(R d) .R (R d) .R R R
 

    
 

d
d

g = g(1- )
R
*Chu k
ỳ
con l
ắc dao động ở độ sâu d:
2
d
T 2
g


(3)

d
1
2
g
T
T g

mà
d
g
d
1
g R
 

1

2

1
2 1
T
d
T = T (1+ )
R
d
1-
R
Khi đưa xuống độ sâu chu kỳ dao động tăng lên nhưng tăng ít hơn đưa lên độ cao
BÀI TOÁN: Xác đ
ịnh thời gian nhanh chậm của đồng hồ trong một ng
ày đêm
.
M
ột ngày
đêm: t = 24h = 24.3600 = 86400s.
Chu k
ỳ dao động
đúng là: T
1
chu k
ỳ dao động
sai là T
2
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY

ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
11
+ S
ố dao động con lắc dao động
đúng th
ực hiện trong một ngày đêm:
1
1
t
N
T

+ S
ố dao động con lắc dao động
sai th
ực hiện trong một ngày đêm:
2
2
t
N
T

+ S
ố dao đông
sai trong m
ột ng

ày đêm:
1 1
2 1
1 1
N | N N | t | |
T T
    
+ Th
ời gian chạy
sai trong m
ột ngày đêm là:
1
1
2
T
T . N t | 1|
T
    
 N
ếu chu kỳ tăng con lắc dao động chậm lại
 N
ếu chu kỳ giảm con lắc dao động nhanh l
ên
* Khi đưa lên đ
ộ
cao h con l
ắc dao động chậm trong một ngày là:
h
t.
R

 
* Khi đưa xu
ống độ sâu h con lắc dao động chậm trong một ngày là:
d
Δτ = t.
2R
VÍ D
Ụ MINH HỌA:
VD1. Trên m
ặt đất nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. M
ột con lắc
đơn dao đ
ộng với chu
k
ỳ T = 0,5 s. Tính chiều dài của con lắc. Nếu đem con lắc này lên độ cao 5 km thì nó dao
đ
ộng với chu kỳ bằng bao nhi
êu (lấy đến 5 chử số thập phân). Cho bán kính Trái Đất là R =
6400 km.
HD.
Ta có: l =
2
2
4
gT
= 0,063 m; T
h
= T

R
hR 
= 0,50039 s.
VD2. Ngư
ời ta đ
ưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h = 10 km. Phải giảm độ dài của nó
đi bao nhiêu % đ
ể chu kì dao động của nó không thay đổi. Biết bán kính Trái Đất R =
6400 km.
HD:
Ta có: T = 2
g
l
= 2
'
'
g
l
=> l’ =
g
g'
l =
)(
hR
R

2
l = 0,997l. V
ậy phải giảm độ d
ài của con lắc

0,003l, t
ức là 0,3% độ dài của nó.
VD3. M
ột con lắc đồng hồ có thể coi l
à con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng ở mực
ngang m
ặt
biển. Khi đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 4000 m thì đồng hồ chạy nhanh hay chạy chậm và
nhanh ch
ậm bao lâu trong một ng
ày đêm? Biết bán kính Trái Đất R = 6400 km. Coi nhiệt độ
không đ
ổi.
HD:
Ta có: T
h
=
R
hR 
T = 1,000625T > T nên đ
ồ
ng h
ồ chạy chậm
. Th
ời gian chậm trong
m
ột
ngày đêm: t =
h
h

T
TT )(86400 
= 54 s.
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
12
VD4: M
ột đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào
khi đưa nó vào TPHCM. Bi
ết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lượt là 9,7926 m/s
2
9,7867 m/s
2
. B
ỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ. Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì
ph
ải đ/chỉnh độ dài con lắc như thế nào?
L
ời giải
+ Chu kì c
ủa con lắc đồng hồ tại H
à Nội là
T
1

= 2
1
g
l
.
= 2 (s)
+ Chu kì dao
đ
ộng của con lắc đồ
ng h
ồ tại TPHCM l
à
T
2
= 2
1
g
l
.
0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1


T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)
+ Vì T
2
>T=1 nên t
ại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy
ch
ậm là:
t = 24.60.60.
26
T
TT
1
21


(s)
+ Đ
ể đồng
h
ồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ th
ì chiều dài con lắc phải dài là:
 T
'
2
= 2

2
'
g
l
.
= 2 (s)
VT T
1
= T
'
2

2
'
g
l
=
2
1
'
2
g
g
l
l
g
l

Thay s
ố:

 l
'
= 1,0006 l
T
ại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiề
u dài dây lên m
ột l
ượng là
l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4
T.g

nên l = 0,0006.
2
2
11
4
T.g

B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H

ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
13
Thay s
ố
l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2


(m) = 0,6 mm
V
ẬN DỤNG: CÂU 16,17,38/ĐỀ 9
D
ẠNG
8:S
Ự
THAYĐ
ỔI
CHUK
Ỳ
CONL
ẮC
ĐƠNKHITĂNGGI
ẢM
NHI
ỆT

Đ
Ộ
PHƯƠNG PHÁP:
+ dây treo làm b
ằng kim loại k
hi nhi
ệt độ thay đổi:
Chi
ều d
ài biến đổi theo nhiệt độ :

=
0

(1 +

t).

: là h
ệ số nở dài vì nhiệt của kim loại làm dây treo con lắc.
0

: chi
ều dài ở 0
0
C
Chu k
ỳ con lắc dao động
đúng ở nhiệt độ t
1

(
0
C):
1
1
T 2
g


(1)
Chu kỳ con lắc dao động sai ở nhiệt độ t
2
(
0
C):
2
2
T 2
g


(2)

1 1
2 2
T
T




Ta có:
1 0 1
1 1
2 1
2 0 2
2 2
(1 t )
1 t
1
1 (t t )
(1 t )
1 t 2





 


    

 


 

 

vì

1 

1 1
2 1 2 1 2 1
2
2 1
T T
1 1
1 (t t ) T T (1 (t t ))
1
T 2 2
1 (t t )
2
 

       
 
V
ậy
2 1 2 1
1
T = T (1+
λ(t -t ))
2
+ khi nhi
ệt độ tăng thì chu kỳ dao động tăn
g lên
+ khi nhi
ệt độ giảm th
ì chu kỳ dao động giảm xuống

Chú ý: + khi đưa lên cao mà nhi
ệt độ thay đổi thì:

1
2 1
2
T
1 h
1-
λ(t -t )-
T 2 R
+ khi đưa lên xu
ống độ sâu d mà nhiệt độ thay đổi thì:

1
2 1
2
T
1 d
1-
λ(t -t )-
T 2 2R
* Th
ời gian chạy nhanh chậm khi nhiệt
đ
ộ thay đổi trong một ng
ày đêm là:
|
2 1
1

Δτ = t λ | t -t
2
* Th
ời gian chạy nhanh chậm tổng quát:
) |
2 1
h 1
Δτ = t | λ(t -t
R 2
*VÍ D
Ụ MINH HỌA
VD1. M
ột con lắc đơn dao động tại điểm A có nhiệt độ 25
0
C và t
ại địa điểm B có nhiệt độ
10
0
C v
ới c
ùng một
chu kì. H
ỏi so với gia tốc trong tr
ường tại A thì gia tốc trọng trường tại B
tăng hay gi
ảm bao nhiêu %?
Cho h
ệ số nở dài của dây treo con lắc là
 = 4.10
-5

K
-1
.
HD:
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
14
Ta có: T
A
= 2
A
A
g
l
= 2
A
BAB
g
ttl ))(1( 
= T
B
= 2
B
B

g
l
 g
B
= g
A
(1 + (t
A
– t
B
) = 1,0006g
A
. V
ậy gia tốc trọng trường tại B tăng 0,06% so với gia tốc
tr
ọng tr
ường tại A.
VD2. Con l
ắc của một đồng hồ quả lắc đ
ược coi như một con lắc đơn. Khi ở trên mặt đất với
nhi
ệt độ t = 27
0
C thì
đồng hồ chạy đúng. H
ỏi khi đ
ưa đồng hồ này lên độ cao 1 km so với
m
ặt đất th
ì thì nhiệt độ phải là bao nhiêu để đồng hồ vẫn chạy đúng? Biết bán kính Trái đất là

R = 6400 km và h
ệ sô nở dài của thanh treo con lắc là
 = 1,5.10
-5
K
-1
.
HD:
Đ
ể đồng hồ vẫn chạy đúng thì chu kỳ c
ủa con lắc ở độ cao h v
à ở trên mặt đất phải bằng
nhau hay: 2
g
l
= 2
h
h
g
ttl ))(1(  
 t
h
= t -

g
g
h
1
= t -


2
1








hR
R
= 6,2
0
C.
VD3;. Qu
ả lắc đồng hồ có thể xem là một con lắc đơn dao động tại m
ột n
ơi có gia tốc trọng
trư
ờng g = 9,8 m/s
2
.
Ở nhiệt độ 15
0
C đ
ồng hồ chạy đúng và chu kì dao động của con lắc là T
= 2 s. Nếu nhiệt độ tăng lên đến 25
0
C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao lâu trong một

ngày đêm. Cho h
ệ số nở d
ài của thanh treo con lắc
 = 4.10
-5
K
-1
.
HD:
Ta có: T’ = T
)'(1 tt 
= 1,0002T > T nên đ
ồng hồ chạy chậm. Thời gian chậm trong một
ngày đêm là: t =
'
)'(86400
T
TT 
= 17,3 s.
VD4: T
ại một nơi nang bằng mực nước biển, ở nhiệt độ 10
0
C, m
ột đồng hồ quả lắc trong
m
ột ngà
y đêm ch
ạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ như 1 con lắc đơn thanh treo con lắc
có h
ệ số nở d

ài
 = 2.10
-5
K
-1
1. T
ại VT nói tr
ên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đưa đ
ồng hồ l
ên đỉnh núi, tại đó t
0
là 6
0
C, ta th
ấy đồng hồ chạy đúng giờ. Gi
ải thích
hi
ện t
ượng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nước biển. Coi trái đất là hình cầu có
bán kính R = 6400 km.
L
ời giải
1. Xác đ
ịnh nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ
Gi
ả sử đồng hồ chạy đúng ở t
0
C v
ới chu kì

T = 2
g
)t1(l
2
g
l
10


B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
15
Ở t
1
= 100
0
, chu kì là T
1
= 2
g
)t1(l
10




2
1
t1
t1
T
T
11





(t
1
- t
x
)
(VT t
1
<< 1; t
1
<< 1)
+ Theo biên đ
ộ: đồng hồ chạy nhanh
 T
1
<T  t
1
< t

+ Đ
ộ l
0
t chu kì theo t
0
T
1
= T
1
- T ~
)tt(
2
T
1

Th
ời gian mà đồng hồ chạy sai trong 1
ngày đêm là
t = 24.60.60.
)tt(.43200
T
TΔ
1
1

Theo biên đ
ộ
t = 6,48 (s)  t ~ 17,5
0
C

2 - Khi đ
ồng hồ ở trên đỉnh núi
Chu kì c
ủa quả lắc hoat động thay đổi do
+ Nhiệt độ giảm làm chiều dài con lắc giảm -> T giảm
+ Đ
ộ cao tăng dần tới gia tốc trọng tr
ư
ờng giảm
-> T tăng
Hai nguyên nhân đó bù tr
ừ lẫn nhau
-> đ
ồng hồ chạy đúng ở độ cao h:
g
h
=
2
)
hR
R
(g

Kí hi
ệu:
T
h
: Chu kì
ở độ cao h
t

h
: t
0
ở độ cao h
Đ
ộ biến thiên chu kì
t
h
theo đ
ộ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t = t
h
)
R
h
g
g
T
T
h
n
 1
 t
h
= t
h
- T = T
R
h
lại có T
t

=
2
T
t
h

(t
h
- t) (t
1
: độ biến thiên theo nhiệt độ)
Vì con l
ắc đồng hồ chạy đúng nên
t
t
+ t
h
= 0
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
16

0
R

h
T)tt(
2
T
h

 h =
2
R).tt(
h

Thay s
ố ta được h = 0,736 km = 736 m
D
ẠNG
9:CONL
ẮC
ĐƠNCH
ỊU
TÁCD
ỤNG
NGO
ẠI
L
ỰC
* Phương pháp:
Đ
ể tìm chu kì dao động của con lắc đơn khi con lắc đơn chịu thêm lực tác dụng ngoài trọng
l
ực ta viết biểu thức tính chu k

ì của con lắc đơn theo gia tố
c rơi t
ự do biểu kiến v
à so sánh với
chu kì c
ủa con lắc đơn khi con lắc chỉ chịu tác dụng của trọng lực để suy ra chu kì cần tìm.
* Các công th
ức:
+ N
ếu ngo
ài lực căng của sợi dây và trọng lực, quả nặng của con lắc đơn còn chịu thêm tác
d
ụng của ngoại lực

F
không đ
ổi thì ta có thể coi con lắc có trọng lực biểu kiến:

'P
=

P
+

F
và gia tốc rơi tự do biểu kiến :

'g
=


g
+
m
F

. Khi đó: T’ = 2
'g
l
.
Các trư
ờng hợp đặc biệt:
*
F

có phương ngang:
+ T
ại VTCB dây treo lệch với ph
ương thẳng đứng một góc có:
tan
F
P
 
+
2 2
' ( )
F
g g
m
 
*

F

có phương th
ẳng đứng thì
'
F
g g
m
 
+ N
ếu
F

hư
ớng xuống thì
'
F
g g
m
 
+ N
ếu
F

hư
ớng l
ên thì
'
F
g g

m
 
CÁC TRƯ
ỜNG HỢP:
1) Khi
F P
 
(cùng hư
ớng)
hd
F
g g
m
 
khi đó T
2
<T
1:
chu k
ỳ giảm
2) Khi
F P
 
(ngư
ợc hướng)
hd
F
g g
m
 

khi đó T
2
>T
1:
chu k
ỳ tăng
3) Khi
F P
 
(vuông góc)
2
2
hd
F
g g
m
 
 
 
 
khi đó T
2
<T
1:
chu k
ỳ giảm
V
ị trí cân bằng mới
0
F

tan
P
 
Chú ý: Các lo
ại lực có thể gặp:
* L
ực điện trường:
F qE
 
, đ
ộ lớn
F = qE (N
ếu q > 0

N
O
0

P

F

O
0

P

F

B

ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
17
F E
 
; còn n
ếu q < 0

F E
 
)
* L
ực đẩ
y Ácsimét: F = DgV (
F

luông th
ẳng đứng hướng lên)
Trong đó: D là kh
ối l
ượng riêng của chất lỏng hay chất khí.
g là gia tốc rơi tự do.
V là th
ể tích của phần vật ch
ìm trong chất lỏng hay chất khí đó.

* L
ực quán
tính:
F ma 
 
, đ
ộ lớn
F = ma (
F a
 
)
Lưu
ý:
+ Chuy
ển động nhanh dần đều
a v
 
(
v

có hư
ớng chuyển động)
+ Chuy
ển động chậm dần đều
a v
 
BÀI TOÁN:con l
ắc khi gắn v
ào hệ chuyển động tịnh tiến với gia tốc


a
PHƯƠNG PHÁP
- Khi con l
ắc gắn vào hệ chuyển động tính tiến với gia tốc
a

thì v
ật chịu tác dụng thêm của
l
ực quán tính
qt
F

=-m
a

(ngư
ợc chiều với
a

)
Tr
ọng lực hiệu dụng(trọng lực biểu kiến):
hd qt
P F P 
  
hd hd
mg mg ma g g a     
     
+ khi h

ệ chuyển động nhanh dần đều thì
a

cùng chi
ều với
v

(chi
ều chuyển động) khi đó
qt
F

ngư
ợc chiều chuyển động
+ khi h
ệ chuyển động chậm dần đều thì
a

ngư
ợc chiều với
v

(chi
ều chuyển động) khi đó
qt
F

cùng chiều chuyển động
1) Khi
qt

F P
 
(cùng hư
ớng) th
ì
hd
g g a 
khi đó T
2
<T
1:
chu k
ỳ giảm
2) Khi
qt
F P
 
(ngư
ợc h
ướng) thì
hd
g g a 
khi đó T
2
>T
1:
chu k
ỳ tăng
3) Khi
qt

F P
 
(vuông góc) thì
2 2
hd
g g a 
khi đó T
2
<T
1:
chu k
ỳ giảm
V
ị trí cân bằng mới
qt
0
F
tan
P
 
4) Khi
qt
F

h
ợp với
P

m
ột góc


thì:
2 2 2
hd
g g a 2ga.cos  
+ Chu kì c
ủa con lắc đ
ơn treo trong thang máy:
Thang máy đ
ứng yên hoặc chuyển động thẳng đều:
T = 2
g
l
.
Thang máy đi lên nhanh d
ần đều hoặc đi xuống chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a
(

a
hư
ớng lên):
T = 2
ag
l

.
Thang máy đi lên ch
ậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn l
à a
(


a
hư
ớng xuống):
T = 2
ag
l

.
* Chu k
ỳ con lắc lúc đầu:
1
T 2
g


(1)
* Chu k
ỳ con lắc lúc sau:
2
hd
T 2
g


(2)
Khi con l
ắc chịu tác dụng thêm của ngoại lực không đổi
F


khi đó:
Tr
ọng lực hiệu dụng(trọng lực biểu kiến):
hd
P F P 
  
hd hd
F
mg F mg g g
m
     


   
N
O
0

P

F

B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN

18
VÍ D
Ụ MINH HỌA
VD1:M
ột con lắc đơn gồm
s
ợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối lượng m = 100
(g), đư
ợc treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s2).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho qu
ả cầu mang điện tích dương q = 2,5.10
-4 t
ạo ra đường trường đều có cường độ E =
1000 (v/m).
Hãy xác
định phương của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ của con lắc trong
các trư
ờng hợp.
a) Véctơ
E
hư
ớng thẳng xuống d
ưới
b) Véctơ
E
có phương n
ằm ngang.
HD:
1 - Chu kì dao

động nhỏ
c
ủa con lắc
Lúc đ
ầu T0 = 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. 
= 2 (s)
2 - Cho con l
ắc tích điện dao động trong đtrường đều
+ Các l
ực tác dụng vào con lắc:
gmP 
: Tr
ọng lực
T: l
ực căng của dây
EqF
d

: l
ực điện trường
+ Coi con l
ắc dao động trong tr
ường trọng lực hiệu dụng g'
d

'
EPP 
= m
'
g
Khi CB dây treo con l
ắc có phương của
'
P
và chu kì dao
động nhỏ được tính theo công thức:
T' = 2
'
g
1
.
a)
E
th
ẳng đứng xuống d
ưới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hư
ớng với
E
, t
ức l
à thẳng đứng xuống.

V
ậy khi CB, dây trheo vẫn có phương thẳng đứng.
Ta có: P' = P + Fđ
 mg'= mg + qE
 g'= g +
m
qE
+ Chu kì dao
động nhỏ của con lắc
T' = 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'


Thay s
ố

P

d
F

T


g

E

VTCB
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
19
T' = 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34 

= 1,8 (s)
b) Trư
ờng hợp E nằm ngang
+)
d
E
có phương  v
ới

P
Khi CB, dây treo l
ệch góc

so v
ới phương thẳng đứng, theo chiều của lực điện trường.
tg

=
mg
qE
P
F
d

 tg

=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34




~ 140
+ Chu kì dao
độn
g c

ủa con lắc
T'= 2
'
g
l

T
ừ h
ình vẽ:
P' =
g
cos
g
g
cos
P
'




Do đó: T’ = 2


 cosT
g
cosl
.
0
 T'= T0

97,114cos2cos
0

(s)
VD2. M
ột con lắc đơn có chiều dài dây treo 50 cm và vật nhỏ có khối lượng 0,01 kg mang điệ
n
tích q
= +
5.10
-6
C, đư
ợc coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường
đ
ều m
à vectơ
cư
ờng độ điện tr
ường có độ lớn E = 10
4
V/m và hư
ớng thẳng đứng xuống d
ưới.
L
ấy g = 10 m/s
2
, π = 3,14. Xác đ
ịnh c
hu kì dao
động của con lắc.

HD:
Vật nhỏ mang điện tích d
ương nên chịu tác dụng của lực điện trường

F
hư
ớng từ trên xuống
(cùng chi
ều với véc t
ơ cường độ điện trường

E
).
Vì

F


E


P
 P’ = P + F  gia t
ốc rơi tự do biểu kiến là g’ = g +
m
Eq ||
= 15 m/s
2
.
Chu kì dao

động của con lắc đơn trong điện trường là T’ = 2

'g
l
 1,15 s.
VD3. M
ột con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng riêng D = 4.10
3
kg/m
3
. khi đ
ặt trong không
khí nó dao đ
ộng với chu kì T = 1,5 s. Lấy
g = 9,8 m/s
2
. Tính chu kì dao
động của con lắc khi nó
dao đ
ộng trong nước. Biết khối lượng riêng của nước là D
n
= 1 kg/l.
HD: Ta có: D
n
= 1 kg/l = 10
3
kg/m
3
.
Ở trong nước quả cầu chịu tác dụ

ng c
ủa một lực đẩy
Acsimet

a
F
hư
ớng l
ên có độ lớn F
a
= D
n
.V.g =
D
D
n
g nên s
ẽ có gia tốc r
ơi tự do biểu kiến g’ =
g -
D
D
n
g = 7,35 m/s
2
 T’ = T
'g
g
= 1,73 s.
+


T
d
F
'
P
P
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
20
VD4: M
ột con lắc đ
ơ
n dao đ
ộng với bi
ên độ nhhỏ, chu kì là T0, tại nơi ga = 10m/s2 . Treo
con l
ắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây
treo h
ợp với ph
ương thẳng đứng 1 góc
0 = 90
a) Hãy gi
ải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe

.
b) Cho con l
ắc dao động với bi
ên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc theo T0.
Lời giải
a) Gi
ải thích hiện tượng:
Trong HQC g
ắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3 lực tác
d
ụng.
+ Tr
ọng lực
gmP 
+ L
ực
căng dây T
+ L
ực quán tính
0
amF 
Khi con l
ắc ở VTCB
0FTP
q

q
F
ngư
ợc chiều với

0
a
nên ngư
ợc chiều với
0
v
V
ậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc  v
ề phía ngược với chiều chuyển động của xe.
tg =
g
a
mg
ma
P
F
at

<<  tg

 do đó
a

g = 10.
9.
180


~ 1,57 (m/s2)
b) Thi
ết lập hệ thức giữa T0 và T
Do có thêm l
ự
c quán tính nên coi tr
ọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP 
(Coi con l
ắc dao động trong tr
ường gia tốc ghd = g')
T
ừ h
ình vẽ
P'=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'







Chu kì dao
động của con lắc khi đó xác định theo công thức
T = 2
'
g
l
.
L
ại có
T0 = 2
g
l
.


 cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
 V
ậy T = T0
cos

VD5. M
ột con lắc đơn treo trong thang máy ở nơi có gia tốc trọng trường 10 m/s
2
. Khi thang
máy đứng yên con lắc dao động với chu kì 2 s. Tính chu kì dao động của con lắc trong các
trư
ờng hợp:
a) Thang máy đi lên nhanh d
ần đều với gia tốc 2 m/s
2
.
b) Thang máy đi lên ch
ậm dần đều với gia tốc 5 m/s
2
.
c) Thang máy đi xu
ống nhanh dần đều với gia tốc 4 m/s
2
.
+

F
'
P
P
0
a
0
v
B

ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
21
d) Thang máy đi xu
ống chậm d
ần đều với gia tốc 6 m/s
2
.
HD: Khi thang máy đ
ứng y
ên hoặc chuyển động thẳng đều: T = 2

g
l
.
a) Khi thang máy đi lên nhanh d
ần đều

a
hư
ớng lên, lực quán tính
F m a
 
 
hư

ớng xuống,
gia t
ốc rơi tự do b
i
ểu kiến g’ = g + a nên T’ = 2

ag
l

 T’ = T
ag
g

= 1,83 s.
b) Thang máy đi lên ch
ậm dần đều: T’ = T
ag
g

= 2,83 s.
c) Thang máy đi xu
ống nhanh dần đều: T’ = T
ag
g

= 2,58 s.
d) Thang máy đi xu
ốn
g ch
ậm dần đều: T’ = T

ag
g

= 1,58 s.
VD6. Treo con l
ắc đơn vào trần một ôtô tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s
2
. Khi ôtô
đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2 s. Tính chu kì dao động của con lắc
khi ôtô chuy
ển động
th
ẳng nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc 3 m/s
2
.
HD : Trọng lực biểu kiến tác dụng lên vật:

'P
=

P
+

qt
F
;

qt
F
= - m


a


'g
=

g
-

a
; vì

g


a
 g’ =
22
ag 
 10,25 m/s
2
. Khi ôtô đ
ứng y
ên: T = 2

g
l
; khi ôtô chuy
ển động có gia tốc:

T’ = 2
'g
l

T
T'
=
'g
g
 T’ = T
'g
g
= 1,956 s.
VD7. M
ột con lắc đơn có chu kì dao động T = 2 s. Nếu treo con lắc đơn vào trần một toa xe
đang chuy
ển động nhanh dần đều tr
ên mặt đường nằm ngang thì thấy
r
ằng ở vị trí cân bằng
m
ới, dây treo con lắc hợp với phương thẳng đứng một góc
 = 30
0
. Cho g = 10 m/s
2
. Tìm gia
t
ốc của toa xe v
à chu kì dao động mới của con lắc.

HD : Ta có: tan =
P
F
qt
=
g
a
 a = gtan = 5,77 m/s
2
. Vì

a


g
 g’ =
22
ga 
= 11,55 m/s
2
.
T’ = T
'g
g
= 1,86 s.
VD8: Con l
ắc đơn chiều dài dây treo l, treo vào trần thang máy, khi thang máy đứng yên chu
k
ỳ dao động đúng là T=
0,2s, khi thang máy b

ắt đầu đi nhanh dần đều với gia
T
ốc
lên đ
ộ cao 50m thì con lắc chạy sai lệch so với lúc đứng yên bằng bao
nhiêu.
A. Nhanh 0,465s B. Ch
ậm 0,465s
C.Nhanh 0,541 D. Ch
ậm 0,541
HD;
bài trên nên b
ổ sung gia tốc trọng trường không thay đổi và bằng
+ Con l
ắc đi lên nhanh dần ==> lực
quán tính ngư
ợc chiều chuyển
đ
ộng
+ Đ
ộ sai lệch trong 1 s:
(Con l
ắc chạy nhanh)
+ Thang máy bắt đầu chuyển động nhanh dần đều khi đi 50m được vận
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ

CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
22
t
ốc
==> Th
ời gian đi 50m :
+ Đ
ộ sai lệch trong thời gian 10s :
V
ẬN DỤNG: ĐỀ 10
 CON L
ẮC ĐƠN TRÊN MẶT PHẢNG NGHIÊNG CÓ HỆ SỐ MA SÁT
V
ẬN DỤNG CÂU 13,14/ĐỀ 10
D
ẠNG
10:CONL
ẮC
ĐƠNDAOĐ
ỘNG
TRÙNGPHÙNG
M
ỤC ĐÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP: xác định chu kỳ của con lắc chưa biết dựa trên
m
ột con lắc đã
bi
ết chu kỳ dđ.
Cho hai con l
ắc đơn:

Con l
ắc 1 chu kỳ
1
T
đ
ã biết
Con l
ắc 2 chu kỳ
2
T
chưa bi
ết
2 1
T T
Cho hai con l
ắc dao động trong mặt phẳng thẳng đứng song song trước mặt một người
quan sát. Ngư
ời quan sát ghi lại những lần chúng đi qua vị trí cân bằng cùng lúc cùng
chi
ều(tr
ùng phùng).
G
ọi

là th
ời gian hai lần trùng phùng liên tiếp nhau
a) N
ếu
1
T

>
2
T
: con l
ắc
2
T
th
ực hiện nhiều hơn con lắc
1
T
m
ột dao động
ta có
1 2
( 1)nT n T   

2
1
1
T
n
n
T














2
1
1
T
T





2
1
1
1 1
T
T 



2 1
1 1 1
= +
T T

θ
b) N
ếu
1
T
<
2
T
: con l
ắc
1
T
th
ực hiện nhiều h
ơn con lắc
2
T
m
ột dao động
ta có
2 1
( 1)nT n T   

2
1
1
T
n
n
T









 



2
1
1
T
T





2
1
1
1 1
T
T 




2 1
1 1 1
= -
T T
θ
V
ận dụng: câu 44/đề 9
D
ẠNG
11:CONL
ẮC
ĐƠNĐANGDAOĐ
ỘNG
Đ
ỨT
DÂY
PHƯƠNG PHÁP
1) Bài toán đ
ứt dây:
Khi con lăc đ
ứt dây vật bay theo phương tiếp tuyến với
qu
ỹ đạo tại điểm đứt.
+ Khi v
ật đi qua vị trí cân bằng
thì
đ
ứt dây lúc đó vật
chuyển động nén ngang với vận tốc đầu là vận tốc lúc

đ
ứt dây
.
V
ận tốc lúc đứt dây:
0 0
v 2g (1 cos ) 
N
O
0

0
v

X
Y
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
23
Phương tr
ình theo các trục toạ độ:
0
2
th eo o x : x v .t

1
th eo o y : y g t
2








phương tr
ình quỹ đạo:
2
2
2
0 0
1 x 1
y g x
2 v 4 (1 cos )
 

+ Khi v
ật đứt ở ly độ

thì v
ật sẽ chuyển động
ném xiên v
ới vận tốc ban đầu là v
ận tốc lúc đứt

dây.
V
ận tốc vật lúc đứt dây:
0 0
v 2g (cos cos )  
Phương tr
ình theo các trục toạ độ:
0
2
0
theo ox : x (v cos ).t
1
theo oy : y (v sin ).t gt
2






 


Khi đó phương tr
ình quỹ đạo là:
2
2
0
1 g
y (tan ).x x

2 (v .cos )


 
Hay:
2 2
2
0
1 g
y (tan ).x (1 tan )x
2 v
   
Chú ý: Khi vật đứt dây ở vị trí biên thì vật sẻ rơi tự do theo phương trình:
2
1
y gt
2

VÍ D
Ụ MINH HỌA
VD1:M
ột quả cầu A có kích th
ước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh,
không dãn, chi
ều dài l = 1m. Ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một kho
ảng
0,8m. Đưa qu
ả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với ph
ương thẳng đứng 1 góc
0 =

600 r
ồi buông cho nó chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua lực cản môi trường (g =
10m/s2).
1. Tính l
ực căng T khi A ở VTCB.
2. Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phương trình quỹ đạo
chuy
ển động của nó sau đó.
3. Xác đ
ịnh vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.
L
ời giải
1. Lực căng dây
Đ
ịnh luật bảo to
àn cơ nang mgh +
2
1
mv2 = mgh0
 v2 = 2g(h0- h) = 2gl(cos - cos0)
Đ
ịnh luật 2 N:
amTPF 
 T = mgcos  = maht
 T = m (gcos +
l
v
2
)
áp d

ụng (1) với VT quả cầu từ A đến 0
N
O
0

0
v

X
Y
l
0
v
G
m
A

0
H
y
M
x
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ
CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN

24
 v2o = 2gl(1 - cos0)   v0  =
10
m/s
 T = m g + 2g (1 - cos0) = mg (3 - 2 cos0)
Thay s
ố:
T = 0,5.10.(3 - 2cos600) = 10N
2. Chuy
ển động của quả cầu sau khi dây đứt
+ Khi đ
ến VTCB, vận tốc quả cầu là
0
v
có phương n
ắm ngang.
+ N
ếu tại VT0 dây bị đứt th
ì chuyên động của m sau khi dây đứt là chuyên động né
m ngang.
+ Ch
ọn hệ trục oxy như hình vẽ ta được: quả cầu chuyên dộng theo
phương 0x : chuy
ển động thẳng đều: x = v0t =
t10
(1)
phương oy: chuy
ển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0
 y =
2

1
gt2 = 5t2 (2)
Từ (1) t=
10
x
 thay vào (2) y =
2
1
x2 (x; y >0)
V
ậy quỹ đạo chuyển động của vật l
à 1 nhánh của parabol
3. Q
ủa cầu chạm đất ở M với yM = H = 0,8 cm
Thay vào PT qu
ỹ đạo:
x - 1,3 (cm)
Đ
ịnh luật bảo toàn cơ năng:
2
0
2
M
mv
2
1
mHmV
2
1


v2 m - v20 = 2gH
 VM  =
1,5268,0.10.210 
(m/s)
*D
ẠNG
12:CONL
ẮC
V
ẬT
LÝDĐĐH
* Phương pháp gi
ải:
Đ
ể tìm các đại lượng liên quan đến con lắc vật lí ta viết các biểu thức liên quan đến đại
lư
ợng cần t
ìm và các đại lượng đã biết
t
ừ đó suy ra v
à tính đại lượng cần tìm.
* Các công th
ức:
+ Phương tr
ình động lực học:
P
M

= I



; v
ới
  10
0
( tính ra rad), ta có: ’’ +
dmg
I
 = 0.
+ Phương tr
ình dao
động:
 = 
0
cos(t + ); v
ới
 =
dmg
I
.
+ Chu kì, t
ần số của con lắc vật lí: T = 2

d
I
mg
; f =
1
2
dmg

I
.
+ Con lắc vật lí tương đương với con lắc đơn có chiều dài l =
d
I
m
.
VÍ D
Ụ MINH HỌA:
VD1. M
ột vật rắn nhỏ có khối lượng m = 1 kg có thể dao động điều hòa với biên độ nhỏ
quanh một trục nằm ngang với tần số f = 1 Hz. Momen quán tính của vật đối với trục quay
này là 0,025 kgm
2
. Gia t
ốc trọng trường nơi đặt v
ật rắn l
à 9,8 m/s
2
. Tính kho
ảng cách từ trọng
tâm c
ủa vật rắn đến trục quay.
HD;
B
ỒI DƯỠNG KIẾN THỨC
– ÔN, LUY
ỆN THI ĐẠI
H
ỌC VẬT LÝ

CH
Ủ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
25
Ta có: f =
1
2
dmg
I
 d =
2 2
4 f I
mg

= 0,1 m = 10 cm.
VD2. M
ột con lắc vật lí có khối lượng 2 kg, khoảng cách
t
ừ trọng tâm của con lắc đến trục
quay là 100 cm, dao đ
ộng điều hòa với tần số góc bằng 2 rad/s tại nơi có gia tốc trọng trường
9,8 m/s
2
. Tính momen quán tính c
ủa con lắc n
ày đối với trục quay.
HD:
Ta có:  =
dmg
I
 I =

2
dmg

= 4,9 kgm
2
.
VD3. M
ột con lắc vật lí l
à một vật rắn có khối lượng m = 4 kg dao động điều hòa với chu kì T
= 0,5s. Kho
ảng cách từ trọng tâm của vật đến trục quay của nó là d = 20 cm. Lấy g = 10 m/s
2
và 
2
= 10. Tính momen quán tính c
ủa con lắc n
ày đối với trục quay.
HD:
Ta có: T = 2
d
I
mg
 I =
2
2
d
4
mg T

= 0,05 kgm

2
.
VD4. M
ột con lắc vật lí có khối lượng 1,2 kg, khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay là 12
cm, momen quán tính đ
ối với trục quay là 0,03 kgm
2
. L
ấy g = 10 m/s
2
. Tính chu kì dao
động
của con lắc.
HD:
Ta có: T = 2
d
I
mg
= 0,913 s.
VD5. M
ột thước dài, mãnh có chiều dài 1,5 m được treo ở một đầu, dao động như một con lắc
v
ật lí tại nơi c
ó gia t
ốc trọng trường g = 10 m/s
2
. L
ấy

2

= 10. Tính chu kì dao
động của nó.
HD:
Ta có: T = 2
d
I
mg
= 2
2
1
3
2
ml
l
mg
= 2
2
3
l
g
= 2 s.
VD6. M
ột thanh kim loại có khối lượng không đáng kể, dài 64 cm,
m
ột chất điểm có khối
lư
ợng 500 g đ
ược gắn vào một đầu thanh, thanh có thể quay quanh trục nằm ngang đi qua đầu
thanh còn l
ại. Lấy g =


2
m/s
2
. Tính chu kì dao
đ
ộng của hệ.
HD:
Ta có: T = 2
d
I
mg
= 2
2
ml
mgl
= 2
l
g
= 1,6 s.
VD7. M
ột con lắc vật lí được treo trong một thang máy. Khi thang máy đi lên nhanh dần đều
v
ới gia tốc
1
10
g thì chu kì dao
đ
ộng của con lắc thay đổi như thế nào so với lúc thang máy
đ

ứng yên?
HD:
Thang máy đi lên nhanh dần đều nên
a

hướng thẳng đứng từ dưới lên, do đó lực quán tính