Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với
ba vectơ đơn vị
, ,i j k
r ur ur

( )
1i j k
= = =
r r ur
.
B.
( )
1 2 3 1 2 3
; ;
a
a a a a a i a j a k
=
⇔ + +
uur
uur ur ur uur
; M(x;y;z)⇔
OM xi y j zk
= + +
uur
uuuuur
ur uur

C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z
r r
1.
'; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = =
r r
2.
( )
'; '; 'u v x x y y z z± = ± ± ±
r r
3.
( ; ; )ku kx ky kz=
r
4.
. ' ' 'u v xx yy zz
= + +
ur r
5.
' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + =
r r
6.
2 2 2
u x y z
= + +
r
7.
( )
' ' ; ' ' ; ' '; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y

y z z x x y
u v
y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
∧ =
r r
8.
,u v
ur r
cùng phương⇔
[ , ] 0=
r r
r
u v
9.
( )
cos ,
.
.
u v
u v
u v
=
ur r
r r
r r

.
D. Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
( ; ; )= − − −
uuur
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )= − + − + −
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C

x x x+ +
;y
G
=
3
A B C
y y y+ +
; z
G
=
3
A B C
z z z+ +
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z

x zy
+ + +
= = =
5. ABC là một tam giác⇔
AB AC∧
uuur uuur
≠
0
r
khi đó S=
1
2
AB AC∧
uuur uuur
6. ABCD là một tứ diện⇔
AB AC∧
uuur uuur
.
AD
uuur
≠0, V
ABCD
=
( )
1
,
6
AB AC AD∧
uuur uuur uuur
, V

ABCD
=
1
.
3
BCD
S h
(h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
1
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k
r
O
z
x
y
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng
α
được xác định bởi: {M(x
0
;y

0
;z
0
),
( ; ; )n A B C=
r
}. Phương trình
tổng quát của mặt phẳng
α
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
 một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
( )
[ , ]
ABC
n AB AC=

r uuur uuur
c/
α
//
β
⇒
n n
α β
=
uur uur
d/
α
⊥
β
⇒
n u
α β
=
uur uur
và ngược lại e/
α
//d⇒
d
u u
α
=
uur uur
f/
α
⊥d⇒

d
n u
α
=
uur uur
.
II. Đường thẳngIV.Đường cong
Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),
u
∆
uur
=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +



= +

;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

trong đó
1 1 1 1
( ; ; )n A B C=
uur
,
2 2 2 2
( ; ; )n A B C=

uur
là hai VTPT và VTCP
1 2
[ ]u n n
∆
=
uur uuruur
.
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0
0
y
z
=


=

; Oy:
0
0
x
z
=
=



; Oz:
0

0
x
y
=


=


b/ (AB):
AB
u AB=
r uuur
; c/ ∆
1
//∆
2
⇒
1 2
u u
∆ ∆
=
uur uur
; d/ ∆
1
⊥∆
2
⇒
1 2
u n

∆ ∆
=
uur uur
.
III. Góc- Kh/C
Góc giữa hai đường
thẳng
*cos(∆,∆’)=cos
ϕ
=
. '
. '
u u
u u
ur uur
r uur
;
Góc giữa hai mp
*cos(
α
,
α
’)=cosϕ=
. '
. '
n n
n n
ur uur
r uur
;

Góc giữa đường thẳng
và mp *sin(∆,
α
)=sinψ=
.
.
n u
n u
ur r
r r
.
KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),
α
:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
u

∆
r
},
∆’ {M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'),
'u
∆
uur
}
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,
α
)=
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
+ + +
+ +
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=
1
[ , ]MM u
u
uuuuur r

r
2
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur
uur uur
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=
2 2 2

a b c d
+ + −
1. d(I,
α
)>R:
α
∩
(S)=∅
2. d(I,
α
)=R:
α
∩
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng
α
là tiếp
diện của mặt cầu (S) tại M khi đó
n
α
uur
=
IM
uuur
)
3. Nếu d(I,
α
)<R thì

α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là
giao của
α
và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
2 2
- ( , )R d I
α
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với
α
+H=∆
∩
α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và
mặt phẳng (P):x+y+z−20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho
đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
22
:
1 1 1
yx z−+
∆ = =

−
vặt phẳng
(P):x+2y−3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng ∆.
3
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: Chuẩn
5 1
; ; 1
2 2
D
 
−
 ÷
 
, Nâng cao
3
1 2
1
x t
d y t
z t
= − +


= −


= −


2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3),
D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
4
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: a. x
2
+y
2
+z
2
−3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường
thẳng
21
:
1 1 2
yx z+−
∆ = =
−
.
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+MB
2

nhỏ nhất.
5
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: a.
2 2
:
2 1 1
yx z
d
− −
= =
−
, b. M(−1;0;4).
4. (Khối D_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
1
22 3
:
2 1 1
yx z
d
+− −
= =
−
,
1
11 1
:
1 2 1
yx z

d
−− +
= =
−
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d
1
.
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
ĐS:
a. A’(−1;−4;1), b.
21 3
:
1 3 5
yx z−− −
∆ = =
− −
.
5. (Khối D_2005)
6
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
21 1
:
3 1 2

yx z
d
+− +
= =
−
và
2
12 3
:
10 2
x t
d y t
z t
= −


=


= −

.
a. Chứng minh d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa cả hai đường thẳng d
1
và d

2
.
b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B.
Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b.
5
OAB
S
∆
=
.
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và
mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có
tâm thuộc mặt phẳng (P).
7
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS:
( ) ( )
2 2
2
1 1 1x y z− + + − =
.
7. (Khối D_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d
k

là giao tuyến của hai
mặt phẳng (
α
): x+3ky−z+2=0, (
β
): kx−y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d
k
Vuông góc
với mặt phẳng (P):x−y−2z+5=0.
ĐS: k=1.
8. (Khối D_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x−y+2=0 và đường
thẳng d
m
là giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, (
β
):
mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
ĐS:
1
2
m = −
.
8
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
9. (Khối B_2009)

Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1),
B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Nâng cao
9
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai điểm
A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết
phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao
3 1
:
26 11 2
yx z+ −
∆ = =
−
.
10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC.
10
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS:
a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
11. (Khối B_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y

2
+z
2
−2x+4y+2z−3=0 và
mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn
có bán kính bằng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt
phẳng (P) lớn nhất.
11
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3).
12. (Khối B_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
1
1 1
:
2 1 1
yx z
d
− +
= =
−
,
2
1
: 1 2
2
x t
d y t

z t
= +


= − −


= +

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
, d
2
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.
ĐS: a. (P): x+3y+5z−13=0, b. M(0;1;−1), N(0;1;1).
13. (Khối B_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với
A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4).

a. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCB
1
C
1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A
,
M và song song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm
N. Tính độ dài đoạn MN.
12
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS:
17
2

MN =
14. (Khối B_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(−4;−2;4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với
đường thẳng d.
ĐS:
24 4
:
3 2 1
yx z++ −
∆ = =
−

15. (Khối B_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao
cho

( )
0;6;0AC =
uuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
ĐS: Khoảng cách bằng 5
16. (Khối A_2009)
Chuẩn
13
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x−2y−z−4=0 và mặt cầu
(S): x
2
+y
2
+z
2
−2x−4y−6z−11=0. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường
tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−1=0 và hai
đường thẳng
1
1 9
:
1 1 6
yx z+ +
∆ = =
,
2
31 1

:
2 1 2
yx z−− +
∆ = =
−
. Xác định tọa độ điểm M thuộc
đường thẳng ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆
2
và khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M
1
(0;1;−3),
2
18 53 3
; ;
35 35 35
M
 
 ÷
 
.
17. (Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z

d
− −
= =
.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (
α
) lớn
nhất.
14
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: a. H(3;1;4), (
α
): x−4y+z−3=0.
18. (Khối A_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
yx z
d
− +
= =
−
và
2
1 2

: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=

.
a. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0 và
cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
.
ĐS:
2 1
:
7 1 4
yx z

d
− +
= =
−
15
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
19. (Khối A_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
CD.
a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α

biết
1
cos
6
α
=
ĐS: a.
( )
1
' ,
2 2
d A C MN =
, (Q
1
): 2x−y+z−1=0, (Q
2

): x−2y−z+1=0.
20. (Khối A_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt
phẳng (P): 2x+y−2z+9=0.
16
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương
trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và
vuông góc với d.
ĐS: a. I
1
(−3;5;7), I
2
(3;−7;1)
21. (Khối A_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),
( )
0;0;2 2S
. Gọi M là trung
điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối

chóp S.ABMN.
17
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: a.
( )
2 6
,
3
d SA BM =
, b.
.
2
S AMN
V =
.
22. (Khối A_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
2
:
2 3 4
yx z+
∆ = =
và
2
1
: 2
1 2
x t
y t

z t
= +


∆ = +


= +

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song với
đường thẳng ∆
2
.
b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn
thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
18
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
ĐS: a. 2x−z=0, b. H(2;3;4)
23. (CĐ_Khối A_2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P
1
): x+2y+3z+4=0 và (P
2
):
3x+2y−z+1−0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với
hai mặt phẳng (P

1
) và (P
2
).
ĐS: (P): 4x−5y+2z−1−0
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có
phương trình
1
1 1 2
yx z −
= =
−
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
19
Chuyªn ®Ò H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian ¤n thi §H
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh
O.
ĐS: a. x−y+2z−6=0
b.
( )
1 2
5 5 7
1; 1;3 , ; ;
3 3 3
M M
 
− − −
 ÷

 
20