các bài toán về tiếp tuyến.pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (264.96 KB, 27 trang )
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Các bài toán về tiếp tuyến
ý nghĩa bài toán tiếp tuyến:
- Bi vit đề cập đến các bài toán về tiếp tuyến của đờng cong
( )
y f x
=
. Và lời
giải cho các bài toán này đợc dựa trên ý nghĩa hình học của đạo hàm là:
- Đờng cong
( ) : ( )
C y f x
=
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
khi và chỉ
khi hàm số
( )
y f x
=
khả vi tại
0
x
. Trong trờng hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có
hành độ x
0
thì tiếp tuyến đó có hệ số góc
0
'( )
f x
.
I. cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ:
Khi nói tới các bài toán về tiếp tuyến, tôi đa ra cho các bạn 3 bài toán cơ bản về
tiếp tuyến nh sau:
I/ a. Bài toán 1: Giả sử đờng cong
( ) : ( )
C y f x
=
có tiếp tuyến tại điểm M
với hoành độ x
0
. Hãy lập phơng trình tiếp tuyến đó.
Giải:
- Tiếp tuyến tại M có hoành độ x
0
có tiếp tuyến có hệ số góc là
0
'( )
f x
, đồng
thời qua
0 0
( , ( ))
M x f x
Phơng trình tiếp tuyến tại M:
0 0 0
'( )( - ) ( )
y f x x x f x
= +
Từ đó có:
* Hệ quả 1: Đờng cong y f(x) tiếp xúc với trục hoành tại x
0
khi và chỉ khi
0 0
( ) '( ) 0
f x f x
= =
* Chứng minh:
Trục hoành (y = 0) là đờng thẳng có hệ số góc bằng 0
0
'( ) 0
f x
=
. Mặt
khác, điểm trên trục hoành (tiếp điểm) có tung độ bằng 0
0
( ) 0
f x
=
0 0
( ) '( ) 0
f x f x
= =
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
* Nhận xét:
1. Từ hệ quả thấy: đờng cong
0
( ) 0
f x
=
tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi
hệ sau có nghiệm.
( )
'( )
f x
f x
=
=
0
0
0
(*)
2. Từ hệ (*) các bạn nghĩ tới điều gì??
(Các bạn hãy thử liên hệ với nghiệm kép xem sao)?
x
0
đợc gọi là nghiệm bội d của đa thức P(x) nếu:
( ) ( ) ( )
( )
=
0
0
d nguyên dơng
0
d
P x x x g x
g x
- Nếu d = 1 x
0
: nghiệm đơn
- Nếu d = 2 x
0
: nghiệm kép
Nh vậy, đa thức P(x) nhận a làm nghiệm bội k nếu và chỉ nếu
( - )
( )
( ) '( ) ( )
( )
k
k
P a P a P a
P a
= = =
1
0
0
Khi đó có mối liên hệ giữa nghiệm bội và tiếp xúc với trục hoành của một
hàm đa thức đợc thể hiện qua mệnh đề sau:
* H qu 2: Với P(x) là một đa thức bậc dơng thì đờng cong y = P(x) tiếp
xúc với trục hoành tại điểm x
0
khi và chỉ khi xảy ra nghiệm lớn hơn hoặc
bằng 2 của đa thức P(x).
Chứng minh: Từ hệ quả 1 thì đờng cong
( )
y P x
=
tiếp xúc với trục hoành
tại
( ) '( )
x P x P x
= =
0 0 0
0
. Điều đó tơng đơng
x
0
là nghiệm bội lớn
hơn hoặc bằng 2 của đa thức
( )
P x
.
- Nh vậy chúng ta lập tức có hệ quả sau:
* Hệ quả 3: Với
( )
P x
là một đa thức bậc dơng thì đờng cong
y ( )
P x
=
0
tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi
( )
P x
có nghiệm bội lớn hơn hoặc
bằng 2.
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
b. Ví dụ:
1. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
- ( ) -
y x m x mx= + +
3 2
2 3 3 18 8
(m là tham số)
tiếp xúc với trục hoành.
Giải
Để trục hoành
y
=
0
trở thành tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã cho thì
hoành độ tiếp điểm phải là nghiệm của hệ phơng trình:
3 2
2
2 3( 3) 18 8 0
6 6 ( 3) 18 0
{
x m x mx
x m x mx
+ + =
+ + =
(*)
Từ(*)
3
[
x
x m
=
=
Thay x = 3 vào (1) m =
35
27
Thay x = m vào (1)
, - ,
m m m = = = +
1 4 2 6 4 2 6
Vậy các giá trị cần tìm của m là
; ; - ;
m
+
35
1 4 2 6 4 2 6
27
2. Ví dụ 2:
Với những giá trị nào của m thì đờng cong
- - ( - ) - - ( )
y mx x m x mx C
= =
4 3 2
2 7 1 6 9 0
Tiếp xúc với trục hoành.
Giải
Ta có:
- - ( - ) - - ( )( - )[( ( - ) ]
mx x m x mx x x mx m x
= + + +
4 3 2 2
2 7 1 6 9 1 3 2 1 3
Nh vậy
( )( - )( ( - ) )
y x x mx m x
= + + +
2
1 3 2 1 3
Đặt
( ) ( - )
f x mx m x
= + +
2
2 1 3
Đờng cong (C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phơng trình
y
=
0
có nghiệm
bội 2
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Điều này xảy ra
( )
f x
nhận -1 hoặc 3 làm nghiệm hoặc
( )
f x
có dạng tam thức
bậc hai và có nghiệp kép.
Từc là:
(- )
( )
' ( - ) -
f
f
m m
m
=
=
= =
2
1 0
3 0
1 3 0
0
-
-
m
m
m
m
+ =
=
=
+
=
5 0
15 3 0
5 21
2
5 21
2
m
=
5
hoặc m
=
1
5
hoặc
5 21
2
m
=
hoặc
5 21
2
m
+
=
Vậy các giá trị cần tìm là:
; ; ;m
+
1 5 21 5 21
5
5 2 2
3. Ví dụ 3:
Cho hàm số:
(
)
+ +
=
+
2
3 1
m x m m
y
x m
(C), m là tham số lấy mọi giá trị thực 0.
Với những giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp
tuyến của đồ thị sẽ song song với đờng thẳng
10
y x
+ =
. Viết phơng trình
tiếp tuyến đó.
Giải
TXĐ: R-{-m}
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phơng trình:
2
(3 1)
0
m x m m
x m
+ +
=
+
(m 0)
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
2
2
3 1
0,
1
0,
3
(3 1) 0
m m
x
m
m x m
m m
m x m m
x m
=
+
+ = + =
(*)
Giải điều kiện x m có:
2
2 2
3 1
3
0
m m
m
m
m m m m
m
+
(luôn đúng)
( )
*
m m
x
m
m
m
=
+
2
3 1
0
1
3
Mặt khác,
2 2 2
2
2
2
4 4
' '
( ) 3 1
3 1
m m m m
y y
x m m
m m
m
m
= =
+
+
Do tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox sẽ song song với
10
y x
+ =
nên có:
2
2
2
2
1
4
1 5 6 1 0
1
5
3 1
m
m
m m
m
m m
m
m
=
= + + =
=
+
Hai giao điểm của (C) với trục hoành:
( , ); ( , )
A B
3
1 0 0
5
Phơng trình tiếp tuyến là:
y x
= +
1
(qua A)
3
5
y x
=
(qua B)
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
4. Ví dụ 4:
Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ > 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm dó
tạo với 2 đờng tiệm cận một có chu vi nhỏ nhất.
Với hàm số = + +
1
1
1
y x
x
(C)
(ĐHQG-A.2000)
Giải
* TXĐ:
{
}
\
R
1
*
2
1
' 1
( 1)
y
x
=
- Tiệm cận đứng x = 1 vì
1
lim
x
=
- Tiệm cận xiên
y x
= +
1
vì
lim( 1) 0
x
y x
=
- Toạ độ giao điểm hai đờng tiệm cận: I (1,2)
Xét
(
)
(
)
(
)
,
M a y a C với a>1. Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng.
( ) : - ( ) '( )( - )
d y y a y a x a
=
hay
( )
2 2
2
2
: ( )
( 1) 1
a a a
d y x a
a a
= +
Toạ độ giao điểm A của (d) và tiệm cận đứng là nghiệm hệ:
( )
( )
,
x
x
a a a
a
y x a
y
a
a
a
a
A
a
=
=
= +
=
2 2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
Toạ độ giao điểm B của (d) và tiệm cận xiên là nghiệm hệ.
( )
( )
y x
x a
a a a
y y x a
y a
a
a
= +
=
= = +
=
2 2
2
1
2 1
2
2
1
1
(
)
,
B a a
2 1 2
2 2
2
1 1
A I
a
AI x x
a a
= = =
2 2 2 2
( ) ( ) (2 2) (2 2) 2 2 1
B I B I
BI x x y y a a a
= + = + =
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
2 2 2 2 2
2 . cos - 2AI.BI
4
AB AI BI AI BI AI BI
= + = +
Chu vi ABI:
( )
2
2 2
2 2 . 2 . 2 . 2 .
P AI BI AB AI BI AB
AI BI AI BI AI BI AI BI AI BI AI BI cauchy
= + + = + +
= + + + +
=
4
4 2 2 2( 2 1)
+
4
min 4 2 2 2( 2 1)
ABI
P
= +
đạt khi
2 1
2 2 1 1
1
4 2
1 1
(1 ,2 4 2 )
4 2 4 2
AI BI a a
a
M
= = = +
+ + +
Chú ý:
1. Mở rộng khái niệm nghiệm bội của đa thức, ngời ta đa ra khái niệm nghiệm
bội k của hàm f(x) nh sau:
Hàm f(x) nhận a làm nghiệm bội k nếu nh
(
)
( 1)
( ) '( ) 0
k
f a f a f a
= = = =
và
( )
( ) 0
k
f a
Với khái niệm này chúng ta có hệ quả: Đờng cong
( )
y f x
=
tiếp xúc với trục
hoành khi và chỉ khi phơng trình có nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2.
Chú ý: Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép nh nhiều
ngời vẫn sai.
2. Biến đổi tơng đơng của phơng trình nói chung không bảo toàn số bội của
nghiệm.
Ví dụ: (x-1)
3
=0 nhận 1 là nghiệm bội 3 nhng phơng trình tơng đơng x=1
lại nhận 1 làm nghiệm đơn.
y=x+1
0
x
y
B
I
A
d
2
1
2
3
4
x=1
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Hay đờng cong y =
x
không tiếp xúc với trục hoành tại 0 tức phơng trình
x
= 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2, tuy nhiên phơng
trình tơng đơng của nó:
3
0
x
=
lại nhận 0 làm nghiệm bội 3.
Vì vậy, chúng ta nên nhớ rằng, biến đổi tơng đơng phơng trình chỉ bảo
toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai
lầm mà nhiều ngời mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến qua ngôn ngữ
phơng trình.
II/a. Bài toán 2: Cho đờng cong
( ): ( )
C y f x
=
và điểm M(a,b). Hãy tìm tất cả
các tiếp tuyến của (C) qua M.
Giải
Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t, khi đó phơng trình
của (D) là
'( )( - ) ( )
y f t x t f t
= +
.
(D) qua M(a, b)
'( )( - ) ( )
f t a t f t b
+ =
(*)
Giải (*) tìm các nghiệm
j
t
,
1,
j n
=
Các tiếp tuyến cần tìm:
'( )( - ) ( )
j j j j
D f t x t f t
= +
;
1,
j n
=
b. Ví dụ:
1. Ví dụ1: Hãy tìm các tiếp tuyến của đờng cong
2
3 1
5
x x
y
x
+
=
(C)
đi qua điểm I(1,1).
Giải:
TXĐ: R-{5};
Có
2
2
10 14
'
( 5)
x x
y
x
+
=
Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ t thuộc (C) là:
2 2
2
10 14 3 1
( )
( 5)
( 5)
t t t t
y x t
t
t
+ +
= +
Tiếp tuyến này qua I (1, 1) nên:
2 2
2
10 14 3 1
(1 ) 1
( 5)
( 5)
t t t t
t
t
t
+ +
+ =
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
2
1 33
8 0
2
5
1 33
2
t
t t
t
t
+
=
+ =
=
Khi đó có hai tiếp tuyến của (C) qua I là:
2
44 1 33 3 33 22
1
2 2
( 11 33) 11 33
y x
+ +
= + +
+ +
2
44 1 33 3 33 22
1
2 2
( 11 33) 11 33
y x
= + +
2. Ví dụ 2: Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2 1
y x x x
= +
qua điểm M(2,m).
Giải:
Số các tiếp tuyến qua M(2,m) chính là số nghiệm của phơng trình
2 3 2
3 2
2
'( )(2 ) ( )
(3 4 1)(2 ) 2 1
( ) 2 8 8 1
'( ) 6 16 8 0
2
2
3
y t t y t m
t t t t t t m
f t t t t m
f t t t
t
t
+ =
+ + =
= + =
= + =
=
=
T
2
3
2 +
'( )
f t
- 0 + 0 -
( )
f t
+
-1
91
27
-
Số nghiệm của phơng trình f(t) = m chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số
y =f(t) và y = m
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Nh vậy:
1
*
91
27
m
m
>
<
có duy nhất 1 tiếp tuyến qua M
1
*
91
27
m
m
=
=
có hai tiếp tuyến qua M.
*
91
1
27
m
< <
có 3 tiếp tuyến qua M.
3. Ví dụ 3: Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+
=
Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ A(3,0)
(Đề tuyển sinh năm 1996)
Giải
* TXĐ:
{
}
\ 1; 1
R
* Đờng thẳng x = 3 qua A không là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phơng trình tiếp tuyến qua A(3,0) có dạng
( ) : ( -3)
d y k x
=
(d) tiếp xúc với đồ thị hàm số
hệ phơng trình sau có nghiệm.
2
2
2 2
( 3)
1
'
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x
+ +
=
+ +
=
TH1: x 0, hệ có dạng :
2
2
2 2
( 3)
1
'
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x
+
=
+
=
TH2: x < 0, hệ có dạng:
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
2
2
2 2
( 3)
1
'
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x
+ +
=
+ +
=
Với k =
1 17
8
(d
2
) y =
1 17
8
(x-3)
k =
1 17
8
+
(d
3
) y =
1 17
8
+
(x-3)
Vậy có 3 tiép tuyến với đồ thị A(3,0) là (d
1
), (d
2
), (d
3
)
4. Ví dụ 4: Cho hàm số
2
4 2 1
y x x x
= + + +
Xác định tất cả các điểm trên Oy
sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đợc ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị .
Giải
* TXĐ: R vì
2
4 2 1
x x
+ +
> 0 x R.
2
4 1
' 1
4 2 1
x
y
x x
+
= +
+ +
. Giả sử tiếp điểm là M (x
0
, y
0
). Khi đó phơng trình
tiếp tuyến có dạng
0 0 0
( ) : ( ) '( )( )
d y y x y x x x
=
(d):
2
0
0 0 0 0
2
0 0
4 1
1 ( ) 4 2 1
4 2 1
x
y x x x x x
x x
+
= + + + + +
+ +
Tiếp tuyến (d) qua A(0, b) Oy khi:
2
0 0
0 0 0 0
2
0 0
0 0
4 1 1
1 ( ) 4 2 1
4 2 1
4 2 1
x x
B x x x x b
x x
x x
+ +
= + + + + + =
+ +
+ +
+ Tìm
điều kiện b ta tìm miền giá trị y =
2
1
4 2 1
x
x x
+
+ +
* Miền xác định: R
* y =
2 3
3
( 4 2 1)
x
x x
+ +
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
x
0 +
y' + 0 -
y
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
y
b
<
<
Những điểm thuộc Oy là A(0, b) với
1
2
< b 1 luôn có thể kẻ đợc ít nhất 1
tiếp tuyến đến đồ thị.
III) a. Bài toán 3:
Cho hai đờng cong (C): y = f(x) và (D): y = g(x)
Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến chung của (C) và (D).
Giải
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (C) và (D)
(T) tiếp xúc với (C) và (D) lần lợt tại các điểm có hoành độ u và v. Khi đó:
( ) : '( )( - ) ( )
T y f u x u f u
= +
Và
( ) : '( )( - ) ( )
T y g v x v g v
= +
Hệ
'( ) '( )
( ) '( ) ( ) - '( )
f u g v
f u uf u g v vg v
=
=
Giả sử
(
)
,
j j
u v
là nghiệm của hệ với
1,2, ,
j n
=
thì các tiếp tuyến cần
tìm là :
(
)
(
)
(
)
(
)
: '
j j j j
T y f u x u f u
= +
với
1,2, ,
j n
=
b. Ví dụ 1: Tìm các tiếp tuyến chung cả 2 đờng cong
(
)
( )
3
2
1 1
2
y x x
y x
= + +
=
Giải:
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của hai đờng cong trên.
(T) Tiếp xúc với (1) tại điểm có hoành độ u
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
(T) Tiếp xúc với (2) tại điểm có hoành độ v
Khi đó:
3
2
( ) : '( )( - ) ( ) ( ) 1
( ) : '( )( - ) ( ) ( )
T y f u x u f u với f x x x
T y g v x v g v với g x x
= + = + +
= + =
Có hệ :
'( ) '( )
( ) . '( ) ( ) . '( )
f u g v
f u u f u g v v g v
=
=
2
3 2 2
3 1 2
1- (3 1) .(2 )
u v
u u u u v v v
+ =
+ + + =
2
3 2
3 1 2 (3)
2 1 (4)
u v
u v
+ =
+ =
Thế v =
2
3 1
2
u
+
từ (3) vào (4):
2
2
3
3 1
-2u +1=
2
u
+
4 3 2
9 - 8 6 5 0 (*)
u u u
+ + =
Đặt
u
0 +
h'(u) + 0 -
h(u) +
5 +
h(u) 5 u R (*) vô nghiệm Hệ trên vô nghiệm
(1) và (2) không có tiếp tuyến chung.
2. Ví dụ 2:
Tuỳ thuộc vào m hãy biện luận số lợng tiếp tuyến chung của hai đờng cong.
2 2
( ) ` ( )
A y x x va y mx x m B
= + = +
Giải
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (A) và (B)
(T) tiếp xúc với (A), (B) lần lợt tại các điểm có hoành độ u và v.
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
( ) : '( )( - ) ( )
( ) : '( )( - )+ ( )
T y f u x u f u
T y g v x v g v
= +
=
Nh vậy
'( ) '( )
( ) . ( ) ( ) . '( )
f u g v
f u u f u g v v g u
=
=
2 2
2 1 2 1
(2 1) (2 1)
u mv
u u u u mv v m v mv
+ = +
+ + = + +
(*)
2 2
(1)
(2)
u mv
u mv m
=
=
Số tiếp tuyến chung của (A) và (B) chính là số cặp nghiệm (u,v) phân biệt của hệ
(*) với m 0 vì m = 0
(B): y = x không có tiếp tuyến.
Thế u = mv từ (1) vào (2):
2 2 2
2 2
( ) 0 (3)
m v mv m
m m v m
= +
=
Số nghiệm của hệ (*) cũng là số nghiệm của (3), với m 0
(B): y = x (loại)
- m = 1 (3) vô nghiệm (A) và (B) không có tiếp tuyến chung
m 0
m 1 (3) có hai nghiệm phân biệt
(A), (B) có hai tiếp tuyến chung.
Kết luận:
m = 0
m = 1 Không có tiếp tuyến chung của (A) và (B)
m 0
m 1 Có 2 tiếp tuyến chung của (A) và (B)
Nhận xét:
Đối với dạng toán thứ 3 này, đôi khi hệ phơng trình cần giải khá phức tạp thậm
chí không giải đợc. Có lẽ đó là nguyên nhân khiến chúng ta ít gặp trong toán sơ cấp.
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
II. Các bài toán áp dụng:
Bài 1: Xác định a để đồ thị hàm số:
3 2 2
(2 7 7) 2( -1)(2 - 3) ( )
y x ax a a x a a C
= + +
Tiếp xúc với trục hoành.
Giải
Đặt
3 2 2
2
( ) (2 7 7) 2( -1)(2 - 3)
( ) ( 2)( ( - 2) ( 1)(2 3)) ( 2) ( )
f x x ax a a x a a
f x x x a x a a x g x
= + +
= =
Để (C) tiếp xúc với trục hoành thì phơng trình f(x) = 0 có nghiệm bội 2. Điều
này
2
2
2
2
(2) 0
( - 2) 4( -1)(2 - 3) 0
4 2( - 2) ( 1)(2 3) 0
9 24 16 0
2 3 5 0
(3 4) 0
-1
5
2
4
3
g
g a a a
a a a
a a
a a
a
a
a
a
=
= + =
=
+ =
=
=
=
=
=
Vậy với a = -1 hoặc a =
5
2
hoặc a =
4
3
thì (C) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
1 ( )
y x mx Cm
= + +
Xác định m để (Cm) cắt đờng thẳng
1 ( )
y x d
=
tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,
C sao cho các tiếp tuyến (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Giải
Đặt
3 2
( ) 1
f x x mx
= + +
Rõ ràng
( )
( )
A Cm
A d
( ) ( )
A Cm d
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là nghiệm phơng trình
3 2
3 2
2
2
1 1
0
( 1) 0
0
1 0
x mx x
x mx x
x x mx
x
x mx
+ + =
+ + =
+ + =
=
+ + =
Hoành độ của B và C chính là nghiệm của phơng trình
( )
2
2
1 0
4 0
2
1
2
x mx
m
m
m
+ + =
= =
>
<
Khi đó theo định lý viet
( )
*
. 1
B C
B C
x x m
x x
+ =
=
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C có hệ số góc lần lợt là:
f(x
B
) và f(x
C
)
Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau thì cần và đủ:
2 2
2
'( ). '( ) 1
(3 2 )(3 +2 ) 1
(3 2 )(3 2 ) 1
(9 6 ( ) 4 ) 1
B C
B B C C
B C B C
B C B C B C
f x f x
x mx x mx
x x x m x m
x x x x m x x m
=
+ =
+ + =
+ + + =
Do (*) nên:
2 2
2
1.(9.1 6 4 ) 1
2 9 1 5
m m
m m
+ =
= =
thoả mãn (1)
Vậy với m =
5
hoặc m =
5
thì yêu cầu bài toán thoả mãn.
Bi 3: Cho hàm số y =
2
4
4
mx mx
x m
+
=
Với những giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0
vuông góc với tiệm cận.
Giải- TXĐ: R \
4
m
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
y' =
2 2 2
2 2
(4 )( 6 ) 4( 3 4) 12 6 16
(4 ) (4 )
x m x m x mx x mx m
x m x m
+ + + + +
=
+ +
y(0) =
2
2
16
( 0)
m
m
m
x =
4
m
là tiệm cận đứng đồ thị hàm số.
y =
3 7
4 16
x m
+
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng thì
y(0) = 0 m
2
16 = 0 m = 4 (thoả mãn m 0)
- Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận xiên thì
k.y(0) = -1 (k: là hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0)
k.
2
2
16
1
m
m
=
2
2
3 16
. 1 48 0
4
m
m
m
2
= + =
(vô nghiệm m)
Vậy tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc với tiệm cận đứng khi
m = 4.
Bi 4: Cho hàm số y =
2
2 1
1
x x
x
+
(C)
a. Có nhận xét gì về ác tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đờng thẳng
y = 7
b. Chứng tỏ trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kể
đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45
0
.
Giải
* TXĐ: R\
{
}
1
y =
2
2
2 1
1
2 1
1
x
x
x x
x
= + +
+
xác định trên R\ 1
y = 2 -
2 2
0
2
2 2 ( 2)
0
( 1) ( 1)
x
x
x x
x x
=
=
= =
Tiệm cận đứng: x = 1
Tiệm cận xiên: y = 2x + 1
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Bảng biến thiên
x
0 1
2 +
y' 0 - - 0 +
y -
-1 -
+
7 +
a. Đờng thẳng y = 7 tiếp xúc với (C)
tại điểm (2, 7), nên nó là một tiếp tuyến
của đồ thị. Do đó trong các tiếp tuyến
kẻ đến đồ thị các điểm trên đờng y = y
thì đờng thẳng này là một tiếp tuyến
cố định.
b. Giả sử A(x,7) là một điểm trên
đờng thẳng y =7, từ đó có thể kẻ
đến đồ thị 2 tiếp tuyến lập với nhau
góc 45
0
.
Vì y = 7 đã là 1 tiếp tiếp tuyến và là
đờng thẳng nằm ngang nên tiếp tuyến kia phải có hệ số góc = 1
(vì
0
( 45 ) 1
tg
=
)
Gọi M (x
0
, y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 này với đồ thị. Ta có:
1 = y(x
0
) =
2
0
2
2
( 1)
x
0
0
1 2
2
1
3
x
x
=
=
Nh vậy trên đồ thị có 4 điểm, tại đó tiếp tuyến có hệ số góc = 1. Bốn tiếp
tuyến này cắt đờng thẳng y = 7 tại 4 điểm phải tìm là (1 +
2
, 7); (1-
2
,7) ;
(1+
2
3
, 7); (1-
2
3
, 7).
Bi 5: Cho hàm số y =
2
1
x
x
+
(C)
0
-
1
1
2
1
3
7
y
y=2x+1
x=1
x
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Cho A(0, a). Xác định a để từ A kể đợc 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm
tơng ứng nằm về 2 phía i với 0x.
Giải
TXĐ : R-{1}
- Dễ thấy đờng thẳng có dạng x = không là tiếp tuyến (C) với R.
- Đờng thẳng qua A(0, a) có dạng y = k(x) + a là tiếp tuyến của (C)
hệ sau có
nghiệm:
Thay (2) vào (1) có:
2
2 3
1
( 1)
x x
a
x
x
+
= +
Rõ ràng x = 1 không phải là nghiệm của (3) nên (*)
2
( 1) 2( 2) 2 0
a x a x a
+ + + =
Để A qua có 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì cần và đủ là phơng trình (3) có 2
nghiệm phân biệt.
( )
1
' 0 2
' 3 2 0
1 1
a
a
a
a a
> >
= + >
Gọi x
1
, x
2
là hoành độ điểm tiếp xúc
4
1
a
+
2 điểm tiếp xúc nằm về hai phía Ox y(x
1
).y(x
2
) < 0
1 2
1 2
2 2
.
1 1
x x
x x
+ +
< 0
2
x+2
=kx+a (1)
x-1
3
(2)
( 1)
k
x
=
( )
2
2
( 2)( 1) 3 ( 1)
1
( 1) 2( 2) 2 0 (3)
*
1
x x x a x
x
a x a x a
x
+ = +
+ + + =
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4
( ) 1
x x x x
x x x x
+ + +
+ +
< 0 (5)
Đặt t =
2
1
a
a
+
1 2
1 2
2
x x t
x x t
+ =
=
Thay vào (5)
5 4
1
t
t
+
+
< 0
4
5
1
t
t
<
>
* t <
4
5
2
1
a
a
+
<
4
5
9 6
1
a
a
+
< 0
2
3
< a < 1
(Thoả mãn a > - 2 và a 1)
* t > 1
2
1
a
a
+
> 1
3
1
a
> 0 a > 1 (Thoả mãn a > -2 và a 1)
Vậy với
4
5
1
t
t
<
>
thì bài toán thoả mãn
Bi 6: : Trong không gian cho đờng thẳng (m)
2mx + (1 m
2
)y (1 + m
2
) = 0
z 0
Chứng minh rằng khi m thay đổi (m) luôn tiếp xúc với đờng tròn ( C ) c định
trong (Oxy).
Giải
Trong (Oxy), (m) có dạng:
2 2
2 (1 ) ( 1) 0
mx m y m
+ + =
M
0
(x
0
, y
0,
0) (Oxy)
d(M
0
, m) =
2 2
0 0
2
2 (1 ) ( 1)
1
mx m y m
m
+ +
+
với x
0
= 0; y
0
= 0; z
0
= 0
d(M
0
, m) = 1 m
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
m luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định (0; 1) trong Oxy vì M
0
luôn cách m
một khoảng không đổi là 1.
Bi 7: Cho hàm số y
2
2
1
x x
x
+
+
. Tìm những điểm trên đờng thẳng y= 1 mà từ
mỗi điểm ấy chỉ kẻ đợc đúng một tiếp tuyên đến đồ thị hàm số.
Giải
* TXĐ:
{
}
\ 1
R
- Các điểm thuộc đờng y = 1 có dạng A (a, 1). Phơng trình đờng thẳng qua A
(a, 1) có dạng:
(
) : ( ) 1
d y k x a
= +
(d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:
2
1
2 1 ( ) 1
1
1
2
( 1)
x k x a
x
k
x
+ = +
+
=
+
2
1
2 1 ( 1) 1
1
1
2
( 1)
x k x k ka
x
x k
+ = + +
+
+ =
( ) ( )
2
2
1 4 ( 1)
1 1
2 1 1 1 1
1 2
1 1
1
4 ( 1)
2
2 ( )
( 1)
2
2
a k
x x a k
x
x x
a k
k
k
x
+
=
+ = + + +
+
+ +
+
=
=
+
(*)
2 2
( ) ( 1) 4(2 1) 8 0
f k a k a k
= + + + =
(1)
+ a = - 1 k = - 2 thoả mãn A
1
(-1, 1)
+ a - 1. Từ A kẻ dc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm s khi (1) có nghiệm kép
khác
4
1
a
+
hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là
4
1
a
+
và một
nghiệm
4
1
a
+
Vởy tồn tại 4 điểm A(-1,1); B
2
(1,1); A
3
(
1
2
,1); A
4
(
1
2
,1)
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
3 2 3 2
1 1 1 2 2 2
2 2
1 2
(2 1) 1 (2 1) 1
( )( 2 1) 0 ( 1) 0 (1)
x m x m x m x m x m x m
m m x x x
+ + + = + + +
+ = =
III. mở rộng vấn đề:
- ở những phần trên chúng ta chỉ xét tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng một
đờng thẳng. Nếu bây giờ thay đờng thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số cho trớc
là một đờng cong, thì bài toán về các đờng cong tiếp xúc nhau liệu có gì khác
những bài toán mà ta đang xét ở trên hay không?
- Cho 2 hàm số:
y = f(x
1
) có đồ thị (C
1
)
Và y = g(x) có đồ thị (C
2
)
Phơng trình hoành độ giao điểm
(C
1
) và (C
2
):
f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0 (*)
Số giao điểm (C
1
) và (C
2
) chính là số nghiệm phơng trình trên.
Vậy để (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau thì phơng trình (*) phải có nghiệm bội x
0
tức:
(C
1
) tiếp xúc (C
2
) hệ
'( ) '( ) 0
( ) ( ) 0
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm
'( ) '( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm
* Dễ dàng thấy nếu (C
1
) tiếp xúc với (C
2
) thì chúng sẽ có tiếp tuyến chung
tại điểm tiếp xúc đó.
- Để thấy đợc ý nghĩa của bài toán tiếp xúc của 2 đờng cong chúng ta sẽ
có những bài toán nh: chứng minh họ đờng cong tiếp xúc nhau, chứng minh
một họ đờng cong cho trớc luôn có một đờng không đổi tiếp xúc với nó.
Dạng 1: Chứng minh (tìm) đờng thẳng, đờng cong luôn tiếp xúc với đồ
thị cho trớc với điều kiện ta đã biết dạng đờng cần tìm.
Bài 1: Chứng minh rằng họ đờng cong (Cm) của hàm số
(
)
3 2
(2 1) 1
y x mx m x m f x
= + + + = luôn tiếp xúc lẫn nhau
Giải
Lấy m
1
m
2
thì phơng trình hoành độ giao điểm của (Cm
1
) và (Cm
2
) là:
0
y
x
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Xét hệ:
2 2
1 1 2 2
2
3 2 (2 1) 3 2 (2 1)
( - 1) 0
x m x m x m x m
x
+ + = + +
=
1 2 1 2
2
2( ) 2( ) 0
1
( 1) 0
m m x m m
x
x
=
=
=
Hệ phơng trình
1 2
1 2
'( ) '( )
( ) ( )
m m
m m
f x f x
f x f x
=
=
có nghiệm x=1
Họ đờng cong (Cm) luôn tiếp xúc lẫn nhau tại A (1;-1) và tại đó họ (cm) có 1
tiếp tuyến chung.
Bài 2: Cho hàm số y=
2
2 (1 ) 1
(1)
x m x m
x m
+ + +
Chứng minh rằng
m
- 1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng
cố định tại 1 điểm cố định.
Giải: Trớc hết ta phải tìm điểm cố định A (x
0
, y
0
) sao cho (1) qua A với
m
- 1. Khi đó:
2
0 0
0
0
2 (1 ) 1
1
x m x m
y m
x m
+ + +
=
2
0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0
0 0
0
2
0 0 0 0
0
0
( ) 2 (1- ) 1 ( ) ( )
( 1) 2 1 0 ( ) ( )
1
1
2 1 0
2
y x m x m x m m x m
x y m y x x x m x m
x y
x
y x x x
y
x m
= + + +
+ =
=
=
=
=
Dễ thấy với
m
-1 thì (1) luôn qua (-1, -2).
Mặt khác:
2 2
2
2 4 2 1
'( )
( )
x mx m m
y x
x m
+
=
2
2
( 1)
'( 1) 1 1
( 1)
m
y m
m
+
= =
+
Từ đó ta thấy các đờng cong (1) đều tiếp xúc với đờng thẳng y =x 1 cố định
tại điểm (-1,-2) cố định.
Bài 3: Cho hàm số
( 1)
( )
m x m
y Cm
x m
+ +
=
+
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Chứng minh rằng
m
0, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố
định.
Giải:
- Rõ ràng đờng thẳng x =
luôn không tiếp xúc với đồ thị hàm số.
- Giả sử y = ax + b là đờng tiếp xúc với (cm)
m
0.
Khi đó hệ
2
( 1)
( )
( 1)
m m m
a
x m
m x m
ax b
x m
+
=
+
+ +
= +
+
có nghiệm
[ ]
( )
2
2
2
( )
*
( ) + ( 1) ( 1) ( 1) 0
m
x m
a
f x ax a m b x m b
+ =
= + + =
Hệ trên có nghiệm
(*) có nghiệm bội x
0
- m
( )
2 2 2
2 2
0
( 1) 2( 1)( 1) ( 1) 0 m
( 1) ( 1) ( 1) 0
a
a m a b m b
am a m b m m b
= + + =
+
2
2
2 2
0
( 1) 0
a=1
2( 1)( 1) 0
b=1
( 1) 0
2 0
a
a
a b m
b
am m
=
+ =
=
Vậy đờng thẳng là: y = x +1
Khi a = b = 1
nghiệm kép (*) là x = 0. Với x + m
0
m
0.
Vậy
m
0 đồ thị luôn tiếp xúc với đờng thẳng y = x + 1 cố định
Bài 4: Cho đồ thị (Cm) của hàm số,
2
( 2) ( 2 4)
m x m m
y
x m
+
=
(m: tham số).
Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn tiếp xúc với 2 đờng thẳng cố định.
Giải:
TXĐ: R\ m
I HC S PHM H NI
Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Trớc hết là ta có nhận xét không có đờng thẳng nào song song với 2 trục là tiếp
tuyến của đồ thị (Cm)
Vì thế ta xét tiếp tuyến (Cm) có dạng: y = kx + b (k
0) (d)
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (Cm) cần và đủ là hệ
2
2
( 2) ( 2 4)
( )
m m m m
k
x m
+ +
=
có nghiệm
2
( 2) ( 2 4)m x m m
kx b
x m
+
= +
(*)
Điều đó cũng nghĩa là phơng trình (*) có nghiệm bội x
0
.
(*) có nghiệm kép x
0
+m
(*) x
m
2 2
+
( 2) ( 1) ( 2) 4 0
x m
kx b m k x m b m
+ + + + + =
có nghiệm kép.
kx
2
+
2
( 2) ( 1) ( 2) 4 0
b m k x m b m
+ + + + + =
có nghiệm kép.
Vì km
2
+
2
( 2) ( 1) ( 2) 4 4 0
b m k m m b m m
+ + + + + =
( ) ( )( ) ( )
2 2
2
0
0
0
1 2 1 2 2 16 0
k
k
m
k m k b m b k
=
+ + + + =
( )( )
( )
( )( )
2
0
1 0
1
1; 6
2 1 2 0
6 2 0
1; 2
2 16 0
k
k
k
k b
k b
b b
k b
b k
=
=
= =
+ =
+ =
= =
+ =
Vì vậy đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đờng thẳng cố định có phơng trình là y = x + 2
và y = x 6.
Bài 5: cho hàm số
2 2
sin sin
: tham số
k , k Z
x cos x cos
y
x cos
+ + +
=
+
