Phần I
Khoảng cách
1. Ph ơng pháp chung :
Phơng pháp:
Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b.
C1: Xác định (P) chứa đờng thẳng a và vuông góc với b. Tại giao điểm (P) và b kẻ
đờng thẳng c vuông góc với a. Xác định giao điểm của c với a và b

khoảng cách
giữa hai đờng thẳng.
C2: Xác định (P) chứa a và song song với b

d(a;b) = d(b; (P)).
C3: Xác định (P) chứa a và (Q) chứa b sao cho (P) // (Q)

d(a;b) = d((P);(Q)).
2. Nội dung :
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

(ABCD) và SA = a.
a) Tính khoảng cách từ S đến (A
1
CD) trong đó A
1
là trung điểm của SA.
b) Khoảng cách giữa AC và SD.
L u ý :
để tính khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P) ta có thể xác
định mặt phẳng (Q) chứa điểm A và vuông góc với (P) sau đó đi xác định giao
tuyến của (P) và (Q) rồi trong (Q) dựng đờng thẳng đi qua A và vuông góc với giao

tuyến cắt giao tuyến tại H.
Khi đó, khoảng cách từ A đến (P) chính là đoạn AH.
Để thực hiện bài toán xác định khoảng cách giữa một điểm với một mặt phẳng:\
B1: Xác định (Q) và Chứng minh (Q)

(P).
B2: Xác định giao tuyến của (P) và (Q).
B3: Trong (Q) hạ đờng vuông góc với giao tuyến.
Giải
a) Tính
))(,(
1
CDASd
:
Ta có, CD

AD và CD

SA nên CD

(SAD)
Hay (A
1
CD)

(SAD) vì CD

(A
1
CD).

Có A
1
D = (A
1
CD)

(SAD). Trong (SAD) kể SH

A
1
D.
Suy ra, SH

(A
1
CD) hay
))(,(
1
CDASd
= SH.
Xét

SA
1
D có
ADSASDASHS
SADDSA
.
2
1

.
2
1
2
1
.
2
1
1
1
===
DA
ADSA
SH
1
2
.
=
Có SA = a, AD = a,
2
5
4
2
2
22
11
a
a
a
ADAADA =+=+=

Suy ra,
5
5
2
5
.2
.
2
.
1
a
a
aa
DA
ADSA
SH ===
b) Tính
),( SDACd
:
Trong (ABCD) kẻ d đi qua D và song song với AC cắt AB tại B.
Khi đó, AC // = DB = a
2
, AB // = CD = a.

AC // (SBD) mà SD

(SBD)
Suy ra,
))'(,())'(,(),( DSBAdDSBA CdSDACd ==
Gọi I là trung điểm của SB.

Xét

SAB cân tại A (vì SA = AB = a) nên AI

SB


SBD đều (SD = SB = DB = a
2
) nên DI

SB

SB

(ADI) hay (SBD)

(ADI)
Có DI = (SBD)

(ADI). Trong (ADI) kẻ AK

DI

AK

(SBD)
Suy ra,
AKDSBAdDSBA CdSDACd === ))'(,())'(,(),(
Xét


ADI vuông tại A vì AD

(SAB), AI

(SAB) nên AD

AI
DI
ADAI
AKDIAKADAIS
ADI
.
.
2
1
.
2
1
===
Có AD = a, AI =
2
6
2
2
222
aa
aSISA =+=+
,
2

6a
DI =
(trung tuyến của tam giác đều).
Suy ra,
a
a
a
a
DI
ADAI
AK ===
2
6
.
2
6
.
Vậy
),( SDACd
= a.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABC bằng 60
0
.
SO

(ABCD) và SO =
a
4
3

a) Tính
))(,( SCDOd
.
b) Tính
),( ABSOd
.
Giải
a)
))(,( SCDOd
:
Trong (ABCD) kẻ d qua O vuông góc với AD và BC tại E và F.
Khi đó, EF

CD và SO

CD mà EF

SO trong (SEF)
⇒
CD
⊥
(SEF) cã CD
∈
(SCD)
⇒
(SEF)
⊥
(SCD)
Mµ SF = ((SEF)
∩

(SCD). Trong (SEF) kÎ OH
⊥
SF
Suy ra, OH
⊥
(SCD) hay
OHSCDOd =))(,(
XÐt
∆
SOF cã
SF
OFSO
OHOFSOSFOHS
SOF
.
.
2
1
.
2
1
=⇒==
Cã SO =
a
4
3

Trong
∆
OCD cã

222
111
ODOCOF
+=
Cã
2
3
,
2
a
OD
a
OC ==
(v× ABCD lµ h×nh thoi cã
)60
ˆ
0
=CBA
Nªn
4
3
3
16
4
3
1
4
11
2222
a

OF
a
aa
OF
=⇒=+=
Trong
∆
SOF cã
2
3
16
3
16
9
22
22
aaa
OFSOSF =+=+=
Suy ra,
8
3
2
3
4
3
.
4
3
. a
a

aa
SF
OFSO
OH ===
VËy
8
3
))(,(
a
OHSCDOd ==
b) TÝnh
),( ABSOd
:
Trong (ABCD) kÎ d’ qua O song song víi AB vµ CD c¾t BC vµ AD lÇn lît t¹i M vµ
N.
V× AB // MN nªn AB // (SMN). Khi ®ã,
))(,())(,(),( SMNEdSMNABdABSOd ==
V× AB
⊥
SO, AB
⊥
EF nªn AB
⊥
(SEF) mµ MN // AB
⇒
MN
⊥
(SEF) hay
(SEF)
⊥

(SMN)
Cã SO = (SEF)
∩
(SMN). L¹i cã, EO
⊥
SO nªn EO
⊥
(SMN) hay
EOABSOd =),(
Mµ EO = OF. Khi ®ã,
4
3
),(
a
OFEOABSOd ===
PhÇn II
Bài toán về hai đờng thẳng chéo nhau
1. Ph ơng pháp chung :
Dạng 1: a và b là hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Ph ơng pháp : Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b.
B 1: Xác định (P) chứa đờng thẳng a và vuông góc với đờng thẳng b.
B 2: Xác định giao điểm I của (P) và b.
B 3: Trong (P) kẻ IH

a.
B 4: Vì b

(P) nên b

IH. Suy ra IH là đoạn vuông góc chung của a và b.

Dạng 2: a và b là hai đờng thẳng chéo nhau không có quan hệ vuông góc.
Ph ơng pháp : Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b.
B 1: Xác định (P) chứa đờng thẳng b và song song với đờng thẳng a.
B 2: Trên a lấy M. Hạ MH

(P).
B 3: Trong (P) tại H kẻ đờng thẳng a song song với a cắt b tại A.
B 4: Từ A kẻ đờng thẳng c song song với MH cắt a tại B.
B 5: Vì MH

(P) nên MH

b hay AB

b = A.
a // (P) nên MH

a hay AB

a = B
B 6: Suy ra AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
2. Nội dung :
Các ví dụ minh hoạ cho phơng pháp: Để có cách giảI hợp lý cho mỗi bài toán
tìm đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau trớc tiên phải xét xem chúng
có quan hệ vuông góc hay không.
Khi giảI quyết bài tập dựng và tính đoạn vuông góc chung gồm 3 công đoạn:
CĐ 1: Dựng hình.
CĐ 2: Chứng minh.
CĐ 3: Tính độ dài.
Ví dụ 1:

Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a và AD = a, AD

BC.
Khoảng cách từ A đến BC là a. Gọi M là trung điểm của BC.
Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và BC.
Giải
Gọi M là trung điểm của BC.
Có DM

BC ( trung tuyến của tam giác BCD đều)
AD

BC (gt)

BC

(ADM) có M = BC

(ADM).
Trong (ADM) kẻ MN

AD. Vì BC

(ADM) nên BC

MN.
Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC.
Xét

AMD có

MDAHADMNS
AMD
.
2
1
.
2
1
==

(1)
Với H là trung điểm của MD

AH

MD (

AMD cân tại A)
Có AD = a, MD =
2
3
a
,
4
13
16
3
2222
a
aaDHADAH ==+=

Từ (1) suy ra
8
39
2
3
.
4
13
. a
a
aa
AD
MDAH
MN ===
.
Ví dụ 2:
Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a.
Dựng và tính đoạn vuông góc chung của BD và CB .
Giải
Gọi H = BC

BC.
Ta có, BC

BC ( đờng chéo của hình vuông)
AB

BC ( vì AB

(BCCB), BC


(BCCB))

BC

(ABC)

(ABCD) có H = BC

(ABCD).
Trong (ABCD) kẻ MK

BD. Vì BC

(ABCD) nên BC

MK
Suy ra, MK là đoạn vuông góc chung của BC và BD
Xét
''CBDBHK
vì
B

chung,
0
90'


== CK



'
'.'
''' BD
BHCD
HK
BD
BH
CD
HK
==
(1)
Có DC = a, BH =
2
2a
, BD =
3a
( đờng chéo của hình lập phơng)
Tõ (1) suy ra
6
6
3
2
2
.
'
'.' a
a
a
a

BD
BHCD
HK ===
.
VÝ dô 3:
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a t©m O vµ SA
⊥
(ABCD)
SA =
6a
.
a) Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c ®êng th¼ng SC vµ BD.
b) Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña SC vµ AD.
Gi¶i
a) Ta cã BD
⊥
AC ( ®êng chÐo cña h×nh vu«ng).
SA
⊥
BD ( SA
⊥
(ABCD))
⇒
BD
⊥
(SAC) mµ SC
∈
(SAC) vµ O
)(SACBD ∩=
Trong (SAC) kÎ OI

⊥
SC. V× BD
⊥
(SAC) nªn BD
⊥
OI.
Suy ra, OH lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña BD vµ SC.
XÐt
CSACOI
∆≅∆
v×
C
ˆ
chung,
0
90
ˆ
ˆ
== AI
⇒

SC
SACO
OI
SC
CO
SA
OI .
=⇒=
(1)

Cã OC =
2
2
a
, SA =
6a
aaaACSASC 2226
2222
=+=+=
(
∆
SAC vu«ng t¹i A)
Tõ (1) suy ra
4
6
22
6.
2
2
. a
a
a
a
SC
SACO
OI ===
.
b) Ta cã AD // BC
⇒
AD // (SBC) mµ SC

∈
(SBC).
Cã BC
⊥
AB vµ BC
⊥
SA
⇒
BC
⊥
(SAB) mµ BC
∈
(SBC)
⇒
(SAB)
⊥
(SBC) cã SB = (SAB)
∩
(SBC)
Trong (SAB) kÎ AH
⊥
SB
⇒
AH
⊥
(SBC).
Trong (SBC) kÎ HM // BC c¾t SC = M.
Tõ M kÎ MN // = AH c¾t AD t¹i N.
V× AH
⊥

(SBC) nªn AH
⊥
SC hay MN
⊥
SC = M.
AD // (SBC) nªn AH
⊥
AD hay MN
⊥
AD = N
Suy ra, MN lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña SC vµ AD.
XÐt
∆
SAB cã
SB
ABSA
AHABSASBAHS
SAB
.
.
2
1
.
2
1
=⇒==
∆
(2)
Cã SA =
6a

, AB = a,
76
2222
aaaABSASB =+=+=
Tõ (2) suy ra
7
42
7
.6. a
a
aa
SB
ABSA
AH ===
.
VÝ dô 4:
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thoi c¹nh a t©m O vµ
0
60
ˆ
=DAB
. Cã SA =
SC, SB = SD =
3a
.
a) Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung gi÷a AD vµ SB.
b) Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung gi÷a hai ®êng th¼ng BD vµ SC.
Gi¶i
a) §o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ SB.
Ta cã, AD // BC

⇒
AD // (SBC) mµ SB
∈
(SBC)
Trong (ABCD) qua O kÎ IJ
⊥
BC, AD.
Khi ®ã, BC
⊥
IJ, BC
⊥
SO nªn BC
⊥
(SIJ)
Hay (SBC)
⊥
(SIJ) mµ SI = (SIJ)
∩
(SBC).
Trong (SIJ) kÎ JF
⊥
SI
⇒
JF
⊥
(SBC).
Trong (SBC) kÎ FM // BC c¾t SB t¹i M
Tõ M dùng MN // = JF c¾t AD t¹i N.
V× JF
⊥

(SBC) nªn JF
⊥
SB hay MN
⊥
SB = M
AD // (SBC) nªn JF
⊥
AD hay MN
⊥
AD = N
Suy ra, MN lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ SB.
XÐt
∆
SIJ cã
SI
IJSO
JFIJSOSIJFS
SIJ
.
.
2
1
.
2
1
=⇒==
V× ABCD lµ h×nh thoi cã
0
60
ˆ

=DAB
nªn BD = a, AC =
3a
Trong
∆
OAB cã
4
3
3
16
3
44111
222222
a
OI
aaaOCOBOI
=⇒=+=+=
Trong
∆
SOB cã
2
13
4
3
2
222
aa
aOBSBSO =+=+=
.
Trong

∆
SOI cã
4
55
16
55
16
3
4
13
222
22
aaaa
OISOSI ==+=+=
Suy ra
55
39
4
55
4
3
2.
2
13
. a
a
aa
SI
IJSO
JF ===

.
VËy ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ SB lµ MN =
55
39a
JF =
.
b) §o¹n vu«ng gãc chung cña BD vµ SC.
Ta cã, BD
⊥
AC vµ BD
⊥
SO nªn BD
⊥
(SAC)
Trong (SAC) kÎ OE
⊥
SC
V× OE
∈
(SAC) nªn BD
⊥
OE
Suy ra OE lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña BD vµ SC.
XÐt
∆
SOC cã
8
39
39
64

3
4
13
4111
222222
a
OE
aaaOCSOOE
=⇒=+=+=
.
VËy ®o¹n vu«ngg gãc chung cña BD vµ SC lµ OE =
8
9a
L u ý :
Khi đi tính độ dài của đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo
nhau. Trong bớc dựng thông thờng mặt phẳng (P) là một tam giác vuông. Khi
đó, để tính độ dài đoạn vuông góc chung ta có thể gán đoạn vuông góc chung
đó vào quan hệ với tam giác vuông đó. Có ba cách để gán đoạn vuông góc
chung vào quan hệ với tam giác để tính.
TH 1: Nếu đoạn vuông góc chung là một đờng cao của tam giác:
Cách 1: Tính diện tích tam giác đó theo 2 cách.
Cách 2: Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông( công thức đờng cao).
TH 2: Nếu đoạn vuông góc chung không phải là đờng cao của tam giác:
Cách 3: Sử dụng tam giác đồng dạng.
3. Bài tập :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáylà hình vuông cạnh a.
SA = SB = SC = SD =
2
3a
. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

a) CMR: (SAC)

(ABCD), (SDB)

(ABCD), (SAB)

(SIJ).
b) CMR: (SAB)

(SCD).
c) Từ tâm O của hình vuông ABCD kẻ OH

SI. CMR: OH

(SAB) và tính độ dài
OH.
Bài 2: Cho hình tứ diện ABCD có (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(DBC). Vẽ các đờng cao BE và DF của tam giác BCD và đờng cao DK của tam giác
ACD.
b) CMR: AB

(BCD).
c) CMR: (ABE)

(ADC) và (DFK)

(ADC).
d) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của

BCD và


ACD. CMR: OH

(ACD). Tính
khoảng cách từ O đên (ACD).
Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các tia Bx và Cy
vuông góc với (P)và nằm về một phía đối với (P) theo thứ tự lấy D, E sao cho
2,
2
2
aCE
a
BD ==
.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DE, EA theo a.
b) ED và BC cắt nhau tại M. CMR: AM

AE.
c) Tính góc hợp bởi (ABC) và (ADE).
d) H là trung điểm của BC, N là giao của EC và DH. CMR: DH

DE và MN

AE.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Qua hai đỉnh B và D kẻ tia Bx và Dy
cùng chiều và cùng vuông góc với (ABCD). Lấy M thuộc Bx, N thuộc Dy sao cho
2
.
2
a

DNBM =
.
Đặt
NODMOB

,

==

.
a) CMR:
1tan.tan =

.
b) CMR: MN

AC.
c) CMR: (ACM)

(CAN).
d) CMR: (AMN)

(CMN).
e) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn MN. CMR: AH
⊥
HC.