nghiên cứu BĐT Cauchy-Schwarz và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (958.16 KB, 109 trang )
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
1
A. LI M U
Kớnh tha cỏc thy cụ v cỏc bn! Nh chỳng ta ó bit, bt ng thc l
mt vn khỏ phc tp v cú ng dng phong phỳ trong toỏn hc. Nú liờn
quan n nhiu lnh vc khỏc nh: Gii tớch, lng giỏc, hỡnh hc . Do ú,
õy l lý thuyt rt quan trng, trong ú c bit l BT Cauchy-Schwarz. õy
l mt bt ng thc c ng dng rng rói trong gii toỏn cao cp v toỏn s
cp, c vn dng vo gii cỏc bi toỏn hay v khú trong cỏc k thi quan trng
nh: thi chn hc sinh gii, thi quc gia hay thi Olympic quc t
Hn na, i vi hc sinh ph thụng, bt ng thc l chuyờn phc
tp v khụng d. Phn ụng hc sinh u khụng gii c bi toỏn bt ng
thc v cỏc bi toỏn cú liờn quan. Mt phn do cỏc bn cha bit cỏch vn dng
bt ng thc c bn, mt phn cỏc bn cha nm c bt ng thc ny.
Vỡ vy, vic nghiờn cu ng thc Cauchy-Schwarz cú ý ngha c
bit quan trng. Nú khụng nhng cú ý ngha ln trong vic kho cu cỏc bt
ng thc c bn m cũn cú tỏc dng ln trong vic hc tp sau ny.
Do t lý do trờn õy nờn chỳng em ó tp trung nghiờn cu BT Cauchy-
Schwarz v ng dng ca nú vit nờn chuyờn Mt s k thut s dng bt
ng thc Cauchy-Schwarz, nhm thc hin hai nhim v: lm rừ cỏc dng ca
hai bt ng thc trờn; vn dng chỳng vo bi toỏn ph thụng. lm c
iu ny, tp th lp 11 Toỏn ó tin hnh c mt s ti liu cú nhc n cỏc
ni dung trờn, t ú phõn tớch, tng hp li, h thng nhng gỡ lm c mt
cỏch hp lý.
Ni dung nghiờn cu c trỡnh by theo cỏc phn:
Phn I. Nhc li mt s kin thc c bn
Phn II. Cỏc phng phỏp v k thut ỏp dng BT Cauchy-Schwarz:
Đ1. Mt s bi toỏn m u
Đ2. K thut thờm bt mt lng
Đ3. K thut i bin
Đ4. Cõn bng h s trong bt ng thc Cauchy-Schwarz
Đ5. Phộp bin i Thun-Nghch trong Cauchy-Schwarz
Đ6. BT Cauchy-Schwarz vi du bng khi a=b=c=1
Đ7. BT Cauchy-Schwarz trong hỡnh hc v lng giỏc
BI TP TNG HP
Phn III. Ph lc :
Ph lc 1: p dng BT Holder trong vic chng minh BT
Ph lc 2: Nhng bi toỏn hay
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
2
Vi vic trỡnh by cỏc ni dung theo mt h thng chuyờn trong ti
Mt s k thut s dng BT Cauchy-Schwarz nh trờn, hy vng s giỳp mi
ngi hiu rừ v cú thờm mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hiu
qu hn.
ng Hi, ngy thỏng nm
Tp th lp 11 Toỏn
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
3
B. NI DUNG
I. NHC LI MT S KIN THC C BN:
Bt ng thc Cauchy-Schwarz:
Vi 2 dóy s thc tựy ý
n
aaa , ,
21
v
n
bbb , ,
21
, ta luụn cú bt ng thc:
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
) () )( (
nnnn
babababbbaaa +++++++++
ng thc xy ra khi v ch khi
), ,(
21 n
aaa
v
), ,(
21 n
bbb
l 2 b t l, tc
l tn ti s thc k a
i
=kb
i,
ni ,1=
CHNG MINH: Cú th chng minh BT trờn bng 3 cỏch n gin sau:
Cỏch 1: Chng minh bng phng phỏp tam thc bc 2. õy l phng thc
rt quen thuc:
Xột tam thc sau:
22
22
2
11
)( )()()(
nn
bxabxabxaxf +++=
Khai trin ra ta cú:
)()(2)()(
1
2
1
2
1
2
===
+=
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
bbaxaxf
Mt khỏc vỡ
Rxxf 0)(
nờn theo nh lớ v du ca tam thc bc 2:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
0 ( )( ) ( )
n n n n
f a a a b b b a b a b a b + + + + + + + + +
ng thc xy ra khi phng trỡnh f(x)=0 cú nghim, núi cỏch khỏc
), ,(
21 n
aaa
v
), ,(
21 n
bbb
l 2 b t l.
Cỏch 2: Phng phỏp s dng ng thc. Ta cú hng ng thc sau:
2
1,
2
11
2
1
2
)()())((
====
=
n
ji
ijji
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
babababa
V do ú, hin nhiờn cú:
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
) () )( (
nnnn
babababbbaaa +++++++++
Cỏch 3: S dng trc tip BT AM-GM vi 2 s.
Ta cú:
))((
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
==
==
+
n
j
j
n
j
j
ii
n
j
j
i
n
j
j
i
ba
ba
b
b
a
a
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
4
Cho i chy t 1 n n ri cng c n v BT li ta cú kt qu. õy cng l
mt chng minh rt ngn gn.
Khi ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, chỳng ta cn chỳ ý thờm cỏc h
qu quan trng ca nú ỏp trong vic gii toỏn.
H qu 1: (BT Schwarz) õy l h qu trc tip ca BT Cauchy-
Schwarz
Vi 2 dóy s
), ,(
21 n
aaa
v
), ,(
21 n
bbb
,
nib
i
,10 =
, ta luụn cú:
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
+++
+++
+++
) (
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
H qu 2: Vi 2 dóy s thc a
1
, a
2
, ,a
n
v b
1
, b
2
, ,b
m
, ta cú
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + + + + + +
CHNG MINH: Ta ch cn chng minh trong trng hp n=2. Sau ú dựng
quy np chng minh cỏc trng hp khỏc.
Vi n=2, ta cú:
2
2211
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
)())((
)()(
bababbaa
bbaababa
+++
++++++
ng thc cng xy ra khi
), ,(
21 n
aaa
v
), ,(
21 n
bbb
l 2 b t l.
H qu 3: Vi mi dóy s thc a
1
, a
2
, ,a
n
ta cú:
2
21
22
2
2
1
) () (
nn
aaaaaan ++++++
Dựng trc tip BT Cauchy-Schwarz vi 2 b s
), ,(
21 n
aaa
v (1, 1, 1),
trong ú b s th 2 cú n s 1, ta cú pcm.
Chỳng ta cũn cú th s dng mt m rng ca BT Cauchy-Schwarz l 1
cụng c mnh hn trong vic gii toỏn:
M rng ca BT Cauchy-Schwarz:
Vi m dóy s dng
), ,,(), ,, ,,(),, ,,(
,2,1,,22,21,2,12,11,1 nmmmnn
aaaaaaaaa
,
ta cú:
m
m
i
n
j
m
m
i
ji
n
j
ji
aa
=
=
=
=
1
1
1
,
1
,
ng thc xy ra khi m dóy ú tng ng t l.
õy chớnh l BT Holder, mt bt ng thc mnh, cú nhiu ng dng. Tuy
khụng c s dng ph bin trong chng trỡnh ph thụng hin nay, nhng li
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
5
rt hu ớch i vi vic chng minh cỏc bi toỏn HSG, Olympic. BT Cauchy-
Schwarz l h qu trc tip ca BT Holder vi m=2.
CHNG MINH: S dng trc tip BT AM-GM cho m s dng:
m
m
i
n
j
ji
m
m
j
j
n
i
im
m
n
i
i
n
i
i
a
a
m
a
a
a
a
a
a
=
=
=
===
+++
1
1
,
1
,1
1
,
1,
1
,2
1,2
1
,1
1,1
Xõy dng n-1 bt ng thc tng t na:
m
m
i
n
j
ji
m
m
j
j
n
i
im
m
n
i
i
n
i
i
a
a
m
a
a
a
a
a
a
=
=
=
===
+++
1
1
,
1
,1
1
,
2,
1
,2
2,2
1
,1
2,1
1,
1
1, 2, ,
1, 2, ,
,
1 1 1
1
1
m
m
j
j
n n m n
n n n
m
n
m
i i m i
i j
i i i
j
i
a
a a a
m
a a a
a
=
= = =
=
=
+ + +
Sau ú cng theo tng v ca n bt ng thc ta suy ra c pcm.
Ta cú 2 h qu trc tip ca BT Cauchy-Schwarz suy rng l:
H qu 4: Vi dóy s dng a
1
, a
2
, a
n
ta cú:
n
n
nn
aaaaaa ) 1()1) (1)(1(
2121
++++
H qu 5: Vi dóy s dng a
1
, a
2
, a
n
ta cú:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
( )( )( ) ( )a b c x y z m n p axm byn czp+ + + + + + + +
Trờn õy l 1 s lớ thuyt c bn v BT Cauchy-Schwarz. Sau õy chỳng ta
s tỡm hiu v cỏc phng phỏp v k thut ỏp dng BT Cauchy-Schwarz vo
gii toỏn.
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
6
II. CC PHNG PHP V K THUT P DNG BT
CAUCHY-SCHWARZ:
Đ1. Mt s bi toỏn m u:
M u l mt bt ng thc rt quen thuc, bt ng thc Nesbit
Bi toỏn 1: Cho a, b, c >0. CMR :
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
Li gii cho bi toỏn :
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú :
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b a b c
b c c a a b
+ + + + + + + + +
+ + +
Ta s chng minh:
2
( ) 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c
a b c b c a c a b
+ +
+ + + + +
2 2 2
2( 2 2 2 ) 6( )a b c ab bc ca ab bc ca + + + + + + +
2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) 0
2
a b c ab bc ca a b b c c a
+ + + + + +
iu ny hin nhiờn ỳng, vy BT (2.1) c chng minh.
Du bng xy ra khi a=b=c
Ta tip tc vi bi toỏn sau:
Bi toỏn 2:(Mathscope.org)Cho a, b, c l cỏc s thc dng. CMR :
2 2 2
1
2 4 3 2 4 3 2 4 3
a b b c c a
a b c b c a c a b
+ + +
+ +
+ + + + + +
Hng gii :
Bt ng thc cn chng minh tng ng vi:
1
2 4 3 2 4 3 2 4 3 3
c a b
a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + +
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz v h qu 1, ta cú :
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
7
2 4 3 2 4 3 2 4 3
c a b
a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + +
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 1
2 4 3 2 4 3 2 4 3 3( ) 3
c a b a b c
ac bc c ba ca a cb ab b a b c
+ +
= + + =
+ + + + + + + +
T ú ta cú iu phi chng minh.
Bi toỏn 3: (THTT-1/2011)Cho a,b,c>0 v tha món
1abc =
. CMR:
5 2 5 2 5 2
1 1 1
1
3 6 3 6 3 6a a ab b b bc c c ca
+ +
+ + + + + +
Li gii bi toỏn:
Ký hiu A l v trỏi ca bt ng thc cn chng minh
p dng bt ng thc Cauchy, ta cú:
5 2
5 2
2
1 3
6 3 3
2( 1) 4
a a a
a a a
a a
+ +
+ +
+
5 2
5 2
1 1
3 6 3( 1)
3( 1)
3 6
a a ab ab a
ab a
a a ab
+ + + +
+ +
+ +
Tng t, ta cú :
5 2
1 1
3( 1)
3 6
bc b
b b bc
+ +
+ +
5 2
1 1
3( 1)
3 6
ca c
c c ca
+ +
+ +
Vy,
1 1 1
3( 1) 3( 1) 3( 1)
A
ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
2
2
1 1 1
3( 1) 3( 1) 3( 1)
A
ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1
3 3 3 1 1 1ab a bc c ca c
+ + + +
+ + + + + +
Ta li cú:
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
8
2
1 1 1
1 1 1
1 1
1
1 1
ab a bc c ca c
a ab ab a
ab a abc ab a a bc abc ab ab a
+ + =
+ + + + + +
+ +
= + + = =
+ + + + + + + +
Nờn
2
1 1 1
( ) 1
1 1 1
A
ab a bc c ca c
+ + =
+ + + + + +
1A
T ú ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi a=b=c=1
2
1 1 1
( ) 1 1
1 1 1
A A
ab a bc c ca c
+ + =
+ + + + + +
Bi toỏn 4: Cho cỏc s thc dng
1 2 3
; ; ; ;
n
x x x x
cú tng bng 1. Tỡm giỏ
tr nh nht ca biu thc:
2 2
2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
x x x x
x x x x
+ + + + + + + +
Li gii:
p dng h qu 3, ta cú:
2
2 2 2
2 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1
n n
n n
n x x x x x x x x
x x x x x x x
+ + + + + + + + + + + + + + +
v
2
2
1 2 1 2 3
1 1 1
n n
n
n
x x x x x x x
+ + + =
+ + +
T ú suy ra
2 2
2 2
2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1 (1 )
n
n
n
x x x x
x x x x n
+
+ + + + + + + +
Du bng xy ra khi:
1 2 3
n
x x x x= = = =
1
n
=
Bi toỏn 5: (IranMO1998) Gi s
, , 1x y z
v
1 1 1
2
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1x y z x y z+ + + +
Li gii:
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
9
Vỡ
1 1 1
2
x y z
+ + =
nờn
1 1 1
1
x y z
x y z
+ + =
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú :
2
1 1 1
( )( ) ( 1 1 1)
x y z
x y z x y z x y z
x y z
+ + = + + + + + +
1 1 1x y z x y z + + + +
T ú ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi
3
2
x y z= = =
.
Bi toỏn 6: Chng minh rng: vi mi a, b, c, d, p, q > 0 ta cú:
qapc
qp
qcpb
qp
qbpa
qp
cba +
+
+
+
+
+
+
+
++
'111
Theo bt ng thc Cauchy-Schwarz:
( ) ( )
qbpa
b
q
a
p
qb
b
q
pa
a
p
qp +
+
+=+
2
2
Tng t:
( )
2
( )
p q
p q pb qc
b c
+ + +
( ) ( )
2
p q
p q pc qa
c a
+ + +
Do ú
( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1
p q p q
pa qb pb qc pc qa a b c
+ + + + + +
+ + +
1 1 1 p q p q p q
a b c pa qb pb qc pc qa
+ + +
=> + + + +
+ + +
Bi toỏn 7: Cho
, , 0a b c >
v.
1a b c+ + =
Chng minh rng:
3
2
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +
+ + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
( )
2
1 1 1ab bc ca
ab bc ca
c ab a bc b ca c ab b ca c ab
+ + + + + +
+ + + + + +
2
1
( )
( )
cyc cyc
ab
ab bc ca
c ab c a b c ab
+ +
+ + + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
10
2
1 1 1
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
cyc
ab
ab bc ca
c ab a b b c c a a b c a b c
+ + + +
+ + + + + + +
2
2( )
( )
( )( )( )
ab bc ca ab bc ca
c ab a bc b ca a b b c c a
+ +
+ +
+ + + + + +
Gi ta s chng minh:
2( ) 9
( )( )( ) 4
ab bc ca
a b b c c a
+ +
+ + +
(*)
Tht vy:
( ) 9 9 9
(*)
( )( )( ) 8 (1 )(1 )(1 ) 8 8
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b b c c a a b c ab bc ca abc
+ + + + + +
+ + + + +
9 ( )( )abc a b c ab bc ca + + + +
Ta d dng chng minh bt ng thc cui cựng bng bt ng thc Cauchy
Suy ra (*) ỳng. Vy ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi
1
3
a b c= = =
Bi toỏn 8: Vi a, b, c, x, y, z
, chng minh rng:
ax + by + cz +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a b c x y z+ + + +
( )( )
2
3
a b c x y x + + + +
Li gii:
Ta cú:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2c x y z a y z x b x z y+ + + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3c x y z z a y z x x b x z y y= + + + + + + + +
=
( )( ) ( )
2 3 axa b c x y z by cz+ + + + + +
M ta li cú:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 9x y z y z x x z y x y z+ + + + + = + +
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2c x y z a z y x b x z y+ + + + +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2x y z y z x x z y a b c
+ + + + + + +
=
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
9 x y z a b c+ + + +
hay
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2x y z y z x x z y a b c
+ + + + + + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
11
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
9 x y z a b c+ + + +
( )( ) ( )
2 3 axa b c x y z by cz+ + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 a b c x y z + + + +
( )( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2
a ax
3
b c x y z a b c x y z by cz + + + + + + + + + + +
(pcm)
Bi toỏn 9: Vi a , b, c, d, x, y, z, t
, chng minh rng:
( )
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2
ax by cz dt a b c d x y z t
a b c d x y z t
+ + + + + + + + + +
+ + + + + +
Bi gii
Ta cú:
( ) ( ) ( ) ( )
d x y z t a y z t x b x z t y c x y t z+ + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
d x y z t t a y z t x x b x z t y y
c x y t z z
= + + + + + + + + + + +
+ + + +
( )( ) ( )
2 axa b c d x y z t by cz dt= + + + + + + + + +
mt khỏc d dng chng minh c hng ng thc:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
4
x y z t y z t x x z t y x y t z
x y z t
+ + + + + + + + + + +
= + + +
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú:
( ) ( ) ( ) ( )
2
d x y z t a y z t x b x z t y c x y t z+ + + + + + + + + + +
( )
( )
2
2 2 2 2
cyc
a b c d x y z t
+ + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 x y z t a b c d= + + + + + +
Hay:
( ) ( ) ( ) ( )
2
d x y z t a y z t x b x z t y c x y t z+ + + + + + + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 x y z t a b c d + + + + + +
( )( ) ( )
2 axa b c d x y z t by cz dt+ + + + + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 a b c d x y z t+ + + + + +
( )
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2
ax by cz dt a b c d x y z t
a b c d x y z t
+ + + + + + + + + +
+ + + + + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
12
(pcm).
Bi toỏn 7: Cho
, , 0a b c >
.Chng minh rng:
2 2 2
2
2( )
a b c ab bc ca
b c c a a b a b c
+ +
+ +
+ + + + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú :
( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b a b c
b c c a a b
+ + + + + + + + +
+ + +
2
( )
2( )
a b c a b c
b c c a a b ab bc ca
+ +
+ +
+ + + + +
Ta thy :
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
1 1
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( )
a b c a b c a b c ab bc ca ab bc ca
ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c
+ + + + + + + + + +
= + = + +
+ + + + + + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2( ) 2( ) 2( ) 2( )
a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
b c c a a b ab bc ca a b c a b c a b c
+ + + + + + + +
+ + + +
+ + + + + + + + + + +
Vy ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi
a b c= =
Bi toỏn 8: Cho
, , 0a b c >
tha món :
2 2 2
1a b c+ + =
. Chng minh rng:
1 1 1 9
1 1 1 2ab bc ca
+ +
Li gii:
Do
1 1 1
3
1 1 1
ab bc ca
ab bc ca
+ + =
1 1 1 9 3
1 1 1 2 1 1 1 2
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
+ + + +
Nờn ta cú:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 1
( )
1 1
1 2
(1 ) ( )
2 2
ab ab ab a b
ab a b c a c b c
c a b
= +
+ + + +
+ +
Tng t:
2 2
2 2 2 2
1
1 2
bc b c
bc a b a c
+
+ +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
13
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ca c a
ca c b a b
+
+ +
Cng v theo v bt ng thc, ta thu c iu phi chng minh. Du bng
xy ra khi v ch khi
a b c= =
Bi toỏn 9: Cho 4 s thc khụng õm l
, , ,a b c d
tha món iu kin:
2 2 2 2
1a b c d+ + + =
. Chng minh rng:
1 1 1 1 1 1
8
1 1 1 1 1 1ab bc cd da db ac
+ + + + +
Gi ý:
Li gii bi toỏn ny hon ton tng t bi toỏn trờn, ta ch cn chỳ ý l:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 2( ) 2 2( )
1
( )
2
ab ab ab
ab a b c d ab a b c d
a b
a c d b c d
=
+ + + + + +
+
+ + + +
Lm tng t vi cỏc b s khỏc ri cng li ta thu c iu phi chng
minh.
Bi toỏn 10: Cho ba s thc dng
, ,x y z
tha món iu kin:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3
2 2 2
x y y z z x
x y z y z x z x y
+ + +
+ +
+ + + + + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú :
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( )
2
x y x y
x z y z x y z
+
+
+ + + +
Tng t, ta cú:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( )
2
( )
2
x z x z
x y z y x y z
y z y z
y x z x x y z
+
+
+ + + +
+
+
+ + + +
Cng ln lt cỏc bt ng thc li ta cú iu phi chng minh. Du bng
xy ra khi
x y z= =
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
14
Bi toỏn 11: Gi s
, ,a b c
l cỏc s thc dng.Chng minh rng :
2 2 2
9
( ) ( ) ( ) 4( )
a b c
b c c a a b a b c
+ +
+ + + + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú :
2
2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
a b c a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + +
+ + + + + +
Li theo bt ng thc Cauchy-Schwarz:
2 2 2 2
( ) 3
2( ) 2
a b c a b c a b c
b c c a a b ab ac ba bc ca cb ab bc ca
+ +
+ + = + +
+ + + + + + + +
T ú ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi
a b c= =
Bi toỏn 12: Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha món
1ab bc ca+ + =
. CM:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
+ + + +
+ + +
+ + +
Li gii:
Ta cú :
2 2
1 ( )( )a ab bc ca a a b a c+ = + + + = + +
Tng t:
2
2
1 ( )( )
1 ( )( )
b b a b c
c c a c b
+ = + +
+ = + +
Vy bt ng thc cn chng minh tng ng:
2 1
( )( )
( )( )
cyc cyc
a
a b a c
a b a c
+ +
+ +
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
( )( )( )
( )( )( )
a b c b c a c a b a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
+ + + + + + + + + +
+ + +
+ + +
4 ( ) ( )( )( )a b b c c a a b b c c a + + + + + + + +
2 2 2
4 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1a b c b c a c a b + + + + + + + +
(*)
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
15
2
2 2 2
2 2
1 1 ( 3)
(1 )(1 ) (1 ) 1
3 4
3
3 3
1 ( ) 1 ( )
2 2
c
c c c
c c
c a b c a b
+
+ + + +
+ +
+ + + +
Tng t ta cng cú:
2
2
3
( ) 1 ( ) ;
2
3
( ) 1 ( )
2
a
b c a b c
b
c a b c a
+
+ + +
+
+ + +
2 2 2
2 2 3( )
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1
2
a b c
a b c b c a c a b
+ + +
+ + + + + + + +
Li cú
2
( ) 3( ) 3 3a b c ab bc ca a b c+ + + + = + +
2 2 2
2 2 3( ) 2 6
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 4
2 2
a b c
a b c b c a c a b
+ + + +
+ + + + + + + + =
BT (*) c chng minh xong. T ú ta cú iu phi chng minh. Du
bng xy ra khi
1
3
a b c= = =
Bi toỏn 13: Cho a;b;c >0. Chng minh:
( )( ) ( )( ) ( )( )
1
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
+ +
+ + + + + + + + +
Hng dn gii
p dng BT Cauchy-Schwarz cho 2 b s:
( ) ( )
; ; ;a b c a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
ac ab a b c a ac ab a b c a
a ac ab a a b c a
a a a
a ac ab a b c
a a b c a
+ + + + + +
+ + + + +
=
+ + + +
+ + +
Ta cú:
( )
( ) ( ) ( )( )
2
ab ac a b a c ac ab a b c a+ + + + + +
( )( )
a ac ab a a b a c + + + + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
16
( ) ( )
a a a
a ab ac a b c
a a b a c
=
+ + + +
+ + +
(1)
Tng t:
( )( )
b b
a b c
b b c b a
+ +
+ + +
(2)
( )( )
c c
a b c
c c a c b
+ +
+ + +
(3)
Cng (1), (2) v (3) theo v ta c:
( )( ) ( )( ) ( )( )
1
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
+ +
+ + + + + + + + +
ng thc xy ra khi a=b=c
Bi toỏn 14: Cho x;y;z >0 v
1x y z+ +
. Chng minh:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + +
Hng dn gii
t
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S x y z
x y z
= + + + + +
p dng BT Cauchy-Schwarz cho 2 b s: (1;9);
1
;x
x
Ta cú:
2 2
2 2
9 1 1
1 81 82x x x
x x x
+ + + = +
(1)
Tng t:
2
2
9 1
82y y
y y
+ +
(2)
2
2
9 1
82z z
z z
+ +
(3)
Cng (1), (2), (3) theo v ta cú:
1 1 1
82 9S x y z
x y z
+ + + + +
Hay
( ) ( )
1 1 1
82 81 9 80S x y z x y z
x y z
+ + + + + + +
1 1 1
2.9.3. ( )( ) 80 162 80 82x y z
x y z
+ + + + =
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
17
Vy
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + +
Bi toỏn 15: Cho
,a b o>
v tha
2 2
9.a b+ =
Chng minh:
3
2 3
3 2
ab
a b
+ +
Li gii:
Ta cú:
2 2
9a b+ =
( )
( )( )
2
2 9
2 3 3
2
3
3
3
3 2 2
ab a b
ab a b a b
ab
a b
a b
ab a b
a b
= +
= + + +
= +
+ +
+
=
+ +
M theo BDT Cauchy-Schwarz thi
2 2
2. 3 2a b a b+ + =
Nờn
3 2 3
3 2
ab
a b
+ +
ng thc xy ra khi
2 2
; 0
3
9
2
a b
a b a b
a b
>
+ = = =
=
Bi toỏn 16: Cho cỏc s dng a;b;c tha a+b+c=1. Chng minh :
1
1 1 1
a b c
b a c b a c
+ +
+ + +
Hng dn gii
t
1 1 1 2 2 2
a b c a b c
A
b a c b a c b c c a a b
= + + = + +
+ + + + + +
p dng BT Cauchy-Schwarz ta cú:
( ) ( )
2
2
2
2
cyc
a
a b c a b c
b c
+ + = +
+
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c b c a c a b
b c c a a b
+ + + + + + +
+ + +
2
( )
3( )
a b c
A
ab bc ca
+ +
+ +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
18
Ta li cú:
2
3( )
( ) 3( ) 1
3( )
ab bc ca
a b c ab bc ca A
ab bc ca
+ +
+ + + + =
+ +
Vy
1
1 1 1
a b c
b a c b a c
+ +
+ + +
Du ng thc khi:
2 2 2
1
3
1
b c c a a b
a b c a b c
a b c
+ = + = +
= = = = =
+ + =
Trờn õy l mt s bi BT c bn v thụng dng trong chng trỡnh toỏn
THPT, c bit l cỏc bi toỏn bi dng hc sinh gii v luyn thi i hc.
Bng cỏch s dng BT Cauchy-Schwarz, ta cú th chng minh cỏc bi toỏn
trờn mt cỏch thun tỳy i s. Vi mi kiu bi ta u cú th s dng cỏc cỏch
ỏp dng BT Cauchy-Schwarz chng minh mt cỏch nhanh chúng v phự
hp. Cỏc bi toỏn nờu ra Đ1 nhm giỳp cỏc bn lm quen vi BT Cauchy-
Schwarz v cú mt cỏi nhỡn khỏi quỏt v nú. Sau õy l mt s k thut ỏp dng
BT Cauchy-Schwarz thng dựng.
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
19
Đ2. K thut thờm bt mt lng
Thng thỡ k thut ny dựng ỏp dng vi cỏc bi toỏn cú cha phõn s,
ta bt u ngay vi 1 vớ d quen thuc
Vớ d: (BT Nesbit ) .Cho a,b,c>0. Chng minh rng :
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
2 2 2 2
( ) 3
2( ) 2
a b c a b c a b c
b c c a a b ab ac ba bc ca cb ab bc ca
+ +
+ + = + +
+ + + + + + + +
Vy ta cú iu phi chng minh.
Qua VD trờn cỏc bn cú th hỡnh dung ra c rng k thut ta ang ỏp dng
l thờm bt 1 lng c t v mu nờn bt ng thc ó cho l tng ng ,
th nhng vic chng minh li d dng hn hn. Ta bt u ỏp dng cỏch gii
trờn bng cỏc bi toỏn sau :
Cỏc bi toỏn:
Bi toỏn 1: (Mathscope.org) Cho
, ,a b c
l 3 s thc dng tha món
3a b c+ + =
Chng minh rng :
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b a c a
+ +
+ + +
Nhn xột: ta thy rng nu nhõn vi lng l
2 2 2
2 2 2a b c a b c+ + + + +
thỡ
s gp ngay vng mc ú l
2 2 2 2
3( ) ( )a b c a b c+ + + +
v nh vy bt ng
thc s ngc du
Vn s c gii quyt nu ta nhõn vi mt lng c t v mu cỏc
phõn s ln lt l
2 2 2
; ;a b c
:
Li gii:
Ta cú : bt ng thc tng ng vi :
4 4 4
3 2 2 3 2 2 3 2 2
1
2 2 2
a b c
a b a b b c c c a
+ +
+ + +
Gi ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú :
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
20
2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
( )
2( )
a b c
VT
a b c a b b c c a
+ +
+ + + + +
Ta s cm
2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
( )
1
2( )
a b c
a b c a b b c c a
+ +
+ + + + +
Tht vt , bt ng thc tng ng vi :
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Li ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
4 4 4 2 2 2 3 3 3 2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2
( )( ) ( )
3( ) ( )
( )( ) ( )
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c a b c
+ + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
Nhõn v theo v ca cỏc bt ng thc ta cú c
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Vy t ú ta cú c iu phi chng minh
Ta tip tc vi 1 bi toỏn dựng k thut tng t :
Bi toỏn 2: Cho a,b,c l 3 s thc dng tha món :
3a b c+ + =
. CMR:
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b a c a
+ +
+ + +
Nhn xột: Ta thy rng nu nhõn vi lng l
2 2 2
2 2 2a b c a b c+ + + + +
thỡ s gp ngay vng mc ú l
2 2 2 2
3( ) ( )a b c a b c+ + + +
v nh vy bt
ng thc s ngc du
Vn s c gii quyt nu ta nhõn vi mt lng c t v mu cỏc
phõn s ln lt l
2 2 2
; ;a b c
:
Li gii:
Ta cú : bt ng thc tng ng vi :
4 4 4
3 2 2 3 2 2 3 2 2
1
2 2 2
a b c
a b a b b c c c a
+ +
+ + +
Gi ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú :
4 4 4 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
( )
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
a b a b b c c c a a b c a b b c c a
+ +
+ +
+ + + + + + + +
Ta s chng minh
2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
( )
1
2 2 2
a b c
a b c a b b c c a
+ +
+ + + + +
Tht vy bt ng thc tng ng vi :
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
21
Ti õy ta cú th dựng bt ng thc Chebyshev hoc n thun l Cauchy-
Schwarz nh sau:
2 2 2 2 2 2 2
3( ) ( ) 9 3a b c a b c a b c+ + + + = + +
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2
3( ) ( ) 3( )a b c a b c a b c a b c a b c+ + + + + + + + + +
4 4 4 2 4 4 4 2 2 2 3 3 3 2
4 4 4 3 3 3
( ) ( )( ) ( )a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
+ + + + + + + +
+ + + +
T ú ta cú iu phi chng minh
Du bng xy ra khi
1a b c= = =
Bi toỏn 3: Cho
, ,a b c
l cỏc s thc khụng õm tha món khụng cú 2 s u
bng 0 .Chng minh rng :
2 2 2 2 2 2
4a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + + + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-schwarz, ta cú:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cyc
a a b c a b c
b c ab c b a c c a b ab c b a c c a b
+ +
= + +
+ + + + + + + + +
Gi ta chng minh:
2
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3
( ) 4
( ) ( ) ( )
( ) 4( ( ) ( ) ( ))
6 ( ) ( ) ( )
4 ( ) ( ) ( ) 2
4 ( )( )( )
a b c
a b c b c a c a b a b c
a b c a b c b c a c a b
a b c abc a b c b c a c a b
abc a b c b c a c a b a b c abc
abc a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + +
+ + +
Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s rng nu
a
l s ln nht trong 3 s
, ,a b c
thỡ
0; 0a b c a c b+ > + >
.Nu
0b c a+ <
thỡ ta cú
0; 0VT VP
vy ta cú iu phi chng minh.
Nu
0b c a+ >
thỡ ỏp dng bt ng thc Cauchy, ta cú:
( )( )
2
( )( )
2
b c a c a b
b c a c a b c
c a b a b c
c a b a b c a
+ + +
+ + =
+ + +
+ + =
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
22
( )( )
2
a b c b c a
a b c b c a b
+ + +
+ + =
Nhõn v theo v bt ng thc ta cú c:
( )( )( ) 4a b c b c a c a b abc abc+ + +
Vy ta cú c iu phi chng minh.Du bng xy ra khi
0; 0a b c= =
v cỏc hoỏn v.
Bi toỏn 4: Cho
, ,a b c
l cỏc s thc dng .Chng minh rng :
2
27
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c
bc c a ca a b ab b c a b c
+ +
+ + + + +
Li gii: ỏp dng bt ng thc Cauchy-schwarz, ta cú:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c
bc c a ca a b ab b c abc a c abc a b abc b c
+ + = + +
+ + + + + +
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) 2 ( )
a b c a b c
abc a c abc a b abc b c abc a b c
+ +
+ +
+ + + + +
Li cú:
3
( )
27
a b c
abc
+ +
Nờn
2
2
( ) 27
2 ( ) 2( )
a b c
abc a b c a b c
+ +
+ + + +
Vy ta cú iu phi chng minh. Du bng xy ra khi
a b c= =
Bi toỏn 5: (IMO 2001.Pro A2) Chng minh rng nu
, , 0a b c >
thỡ:
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
+ +
+ + +
Li gii:
Ta cú:
2 2 2
2 2 2 2
8 8 8 8
cyc
a a b c
a bc a a bc b b ca c c ab
= + +
+ + + +
2 2 2
3 3 3
8 8 8
a b c
a a abc b b abc c c abc
= + +
+ + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
23
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz,ta cú:
2 2
3 3 3 3
( )
8 8 8 8
cyc
a a b c
a a abc a a abc b b abc c c abc
+ +
+ + + + + +
Tip tc ỏp dng bt ng thc Cauchy-Schwarz,ta cú:
(
)
2
3 3 3 3 3 3
8 8 8 ( )( 24 )a a abc b b abc c c abc a b c a b c abc+ + + + + + + + + +
Li cú: p dng bt ng thc Cauchy:
3 3 3 3 2 2 2
3 3 3 3
24 3( ( ) ( ) ( )) 6
24 ( )
a b c abc a a b c b c a c a b abc
a b c abc a b c
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
Do ú:
3 3 3 2
8 8 8 ( )a a abc b b abc c c abc a b c+ + + + + + +
Thay vo trờn, ta cú bt ng thc c chng minh xong. Du bng xy ra
khi
a b c= =
Bi toỏn 6: Cho cỏc s dng
, , ,a b c d
.Chng minh rng:
2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + +
+ + + + + + + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
2 2 2 2
2
2 3 2 3 2 3 2 3
( )
4( )
a b c d
VT
ab ac ad bc bd ab cd ac bc ad bd cd
a b c d
ab bc cd da ac bd
= + + +
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + +
Mt khỏc:
2 2 2 2 2
( ) 2( )a b c d ab bd cd da ac bd a b c d+ + + = + + + + + + + + +
8
( )
3
ab bd cd da ac bd + + + + +
T ú ta thu c iu phi chng minh. Du bng xy ra khi
a b c d= = =
.
Bi toỏn 7: Cho cỏc s thc dng
, ,a b c
cú tng bng 1.Chng minh rng:
2
2 2 2
( )
4 1 4 1 4 1
a b c
a a b b c c
b c a
+ + + +
+ + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
24
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
4 1 4 4( )
cyc cyc
a a a a b b c c
b a b b a b b c c a a b c
+ +
=
+ + + + + + +
Gi ta s chng minh:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4( ) 1 ( )a b b c c a a b c a b c+ + + + + = + +
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 0ab ab bc bc ca ca + +
Bt ng thc hin nhiờn ỳng vỡ do
1
1 , ,
4
a b c ab bc ca+ + =
Bt ng thc c chng minh. ng thc xy ra khi cú 1 s bng 1 v 2
s bng 0 .
Bi toỏn 8: Cho a, b, c>0
9
1
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2( )( )
ab bc ca abc
a c b c b a c a c b a b a b c ab bc ca
+ + +
+ + + + + + + + + +
Li gii:
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
cyc cyc
ab a c b c
ab ab c
VT
a c b c a c b c
+ +
+
=
+ + + +
( )( ) ( )( )
cyc cyc
ab c
abc
a c b c a c b c
= +
+ + + +
2
1
( )( ) ( )( )( )
cyc
c abc
abc
a c b c a b b c c a
= +
+ + + + +
Do ú,ta s chng minh l :
2 9
1 1
( )( ) ( )( )( ) 2( )( )
cyc
c abc abc
abc
a c b c a b b c c a a b c ab bc ca
+ +
+ + + + + + + + +
2 9
( )( ) ( )( )( ) 2( )( )
cyc
c abc abc
abc
a c b c a b b c c a a b c ab bc ca
+ + + + + + + + +
Li cú mt s nhn xột sau:
2
( ) 6 ( )
cyc cyc
c a b abc c a b+ =
2
( )
9 ( )( )( )
4
2( )( ) 2( )( )
cyc
abc c a b
abc a b b c c a
abc
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
+ + +
=
+ + + + + + + +
Đề tài nghiên cứu khoa học Một số kĩ thuật sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz
Lớp 11 Toán Năm học 2010-2011
25
Vy nờn bt ng thc cn chng minh ta quy v chng minh bt ng thc
sau:
2
2
( )
( )
2( )( )
c abc a b
c a b
a b c ab bc ca
+ + + +
Tng t, thay i v trớ cỏc s
, ,a b c
Vy ta chng minh:
2
2( )( ) ( )a b c ab bc ca c ab a b+ + + + +
p dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú:
2
2( ) 2( ) ( )a b c a b a b+ + + +
V bt ng thc Cauchy:
2ab bc ca bc ca c ab+ + +
Nhõn 2 bt ng thc trờn v theo v ta cú iu phi chng minh.Du bng
xy ra khi:
a b c= =
hay
; 0a b c= =
v cỏc hoỏn v
Bi toỏn 9: Cho a,b,c l di 3 cnh ca mt tam giỏc. Chng minh rng
1
3 3 3
a b c
a b c a b c a b c
+ +
+ + + +
Li gii:
C t s v mu s cỏc phõn thc ca bt ng thc u dng. Cú v nh
nu ỏp dng trc tip bt ng thc Cauchy-Schwarz s c. Tuy nhiờn nu
th trc tip thỡ s thy bt ng thc i chiu. Bõy gi ta s lm gim i t s
mt lng nhng vn m bo t s vn cũn dng (ngha l dng cng nh
cng tt). Vi chỳ ý rng 4a-(3a-b+c)=a+b-c>0. T ú ta thy bt i 1 lng ẳ
l thớch hp. Vit bt ng thc ó cho di dng tng ng.
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
3 4 3 4 3 4 4
1
3 3 3
a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
+ +
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + + +
n õy s dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cn chng minh
2
( ) ( )(3 )a b c a b c a b c+ + + +
Nhng bt ng thc ny chớnh l hng ng thc. Ta cú iu phi chng
minh.
Bi toỏn 10: Cho
, , 0a b c >
. Chng minh rng :
2 2 2
1
2 2 2
b c c a a b
a bc b ca c ab a b c
+ + +
+ + >
+ + + + +
Li gii:
