Đề thi và đáp án hs giỏi huyện Quỳnh Lưu năm học 2012-2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (875.39 KB, 4 trang )
PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 Năm học 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho biểu thức:
x 3 x 4 5
A
x 2 x 3 x x 6
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2: ( 2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng:
3 2
a 6a 11a 6
luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên a.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
P 5x 9y 12xy 24x 48y 82
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:
x
2
2 y y 2x 1
b) Giải phương trình:
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0
.
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z x y z
y z z x x y 2
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB, Kẻ tia Ax vuông góc với AB ( tia
Ax và nữa đường tròn thuộc cùng một nữa mặt phẳng bờ AB). Lấy một điểm C bất kì
thuộc nữa đường tròn ( C khác A và B). Qua O kẻ một đường thẳng song song với BC
cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F.
a) Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nữa đường tròn tâm O.
b) BM cắt nữa đường tròn tại D. Chứng minh tam giác MDF đồng dạng với tam
giác MOB.
Câu 6: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có
0
A 90
, có
0
B 20
, đường phân giác BI. Vẽ góc
0
ACH 30
( H thuộc cạnh AB). Tính số đo góc
CHI
Hết
ĐÁP ÁN
Câu 1: ( 2,0 điểm)
a) ĐKXĐ:
x 0
x 0
x 4
x 2 0
x 3 x 4 5 ( x 3)( x 3) ( x 4)( x 2) 5
A
x 2 x 3 x x 6 ( x 3)( x 2)
x 9 x 6 x 8 5 2x 6 x 4 (2 x 2)( x 2) 2 x 2
( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) x 3
b)
2 x 2 2( x 3) 8 8
A 2
x 3 x 3 x 3
Để A có giá trị là một số nguyên thì
x 3
Ư(8) và
x 3 3
Ta có bảng giá trị
x 3
4 8
x 1 25
Kết hợp với ĐKXĐ ta có
x 1;25
Câu 2: ( 2,0 điểm)
a) Ta có
3 2 3 2 2
a 6a 11a 6 a a 6a 12a 6 (a 1)a(a 1) 6(a 2a 1)
chia hết cho 6 ( vì
(a 1)a(a 1)
tích của ba số nguyeen liên tiếp nên chia hết cho 6 )
b)
2 2 2 2 2 2
P 5x 9y 12xy 24x 48y 82 9y 6y(2x 8) (2x 8) (2x 8) 5x 24
x 82
2 2 2 2 2
(3y 2x 8) 4x 32x 64 5x 24x 82 (3y 2x 8) x 8x 18
2 2 2 2
(3y 2x 8) x 8x 18 (3y 2x 8) (x 4) 2 2
Dấu “=” xảy ra
x 4
3y 2x 8 0
16
x 4 0
y
3
Vậy GTNN của P=2 khi
16
x 4;y
3
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Vì
2
y y y(y 1)
tích hai số nguyên liên tiếp nên
2
y y
số chẵn, 2x+1 số lẻ
Do đó từ đẳng thức
x
2
2 y y 2x 1
suy ra
x
2
số lẻ nên x=0
Với x=0 thay vào đẳng thức ta có
y 0
y(y 1) 0
y 1
Vậy
(x; y) (0;0),(0; 1)
b)
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0 (x 1)(x 4) (x 2)(x 3) 24 0
2 2
x 5x 4 x 5x 6 24 0
. Đặt
2
x 5x 5 t
Ta có phương trình
2 2
(t 1)(t 1) 24 0 t 1 24 0 t 25 t 5; t 5
Với t=5 ta có phương trình
2 2
x 5x 5 5 x 5x 0 x(x 5) 0 x 0; x 5
Với t=-5 ta có phương trình
2 2 2
25 25 5 16
x 5x 5 5 x 5x 10 (x )
4 4 2 4
( vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm x=0; x=-5.
Câu 4: (1,0 điểm)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
2 2 2
x y z x y z x y z
2 . x x
y z 4 y z 4 y z 4
Chứng minh tương tự ta có :
2 2
y z x z x y
y ; z
z x 4 x y 4
Cộng vế theo theo vế ta được:
2 2 2
x y z x y z
y z z x x y 2
Câu 5: ( 2,0 điểm)
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của nữa đường tròn (O).
Do OM//BC suy ra
MOC OCB
( So le trong) mà
OCB OBC
(
OCB
cân) (1)
Ta lại có
AOM CBO
( đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AOM MOC
Xét
AOC
cân tại O có OM phân giác nên OM cũng là trung trực suy ra MC=MA.
Ta có
AMO
=
CMO
(c.c.c) suy ra
0
MCO MAO 90
hay
MC OC
Do đó MC là tiếp tuyến của nữa đường tròn (O)
b) Ta có
2
MD MA
MDA MAB (g.g) MD.MB MA (1)
MA MB
Xét
MAO
vuông tại A, đường cao AF nên
2
AM MF.MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra
MD MO
MD.MB MF.MO
MF MB
Xét
MDF
và
MOB
có
M
chung,
MD MO
MF MB
Do đó
MDF
MOB
(c.g.c)
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra
0
HCB 40
. Kẻ đường phân giác CK thì
0
HCK BCK 20
.
Trong tam giác vuông AHC có
0
ACH 30
nên
CH
AH
2
Ta có
AH 1 CH 1 BC
HK 2 HK 2 BK
( Vì CK là phân giác
HCB
) (1)
x
O
F
D
M
C
BA
Kẻ
KM BC
tại M.
BMK BAC
(g.g) suy ra
BM AB
BK AC
hay
BC AB AH
2BK AC HK
(2)
Do BI là phân giác
ABC
nên
AI AB
IC BC
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
AI AH
CK / /IH
IC HK
. Do đó
0
CHI HCK 20
.
Hết
( Nếu ai có cách giải khác hay thì đưa lên để tham khảo)
M
K
I
H
C
B
A
