Vài bài toán hay về giới hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (52.34 KB, 3 trang )
Huỳnh Văn Quy
Vài bài Toán hay với định lí về giới hạn
Trong đại số và giải tích ta đã biết định lí nổi tiếng về giới hạn
là định lí Weierstrass (Vây-ơ-stra-xơ): "Nếu một dãy số đơn điệu và
bị chặn th ì nó có giới hạn". Sau đây là một vài ứng dụng của định
lý về giới hạn của một dãy số.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (a
n
) trong đó
a
n
=
a +
a + ··· +
√
a với a > 0
là hội tụ và tính giới hạn của nó.
Giải:
Ta biết rằng
√
a <
a +
√
a <
a +
a +
√
a < . . ., tức là dãy số (a
n
)
tăng. Ta tìm: a
2
n
= a +
a + ··· +
√
a = a + a
n−1
< a + a
n
Từ bất đẳng thức a
2
n
− a
n
− a < 0 (với a > 0 và a
n
> 0) ta có
a
n
<
1 +
√
1 + 4a
2
, tức là dãy số (a
n
) bị chặn. Như vậy dãy số (a
n
)
hội tụ.
Dùng một lần nữa đẳng thức a
n
= a + a
n−1
(1)
Nếu lim
n→∞
a
n
= x thì lim
n→∞
a
n−1
= x. Chuyển (1) sang giới hạn và
dùng định lí về giới hạn tổ ng và tích cá c hàm số ta được:
x
2
= lim
n→∞
a
2
n
= lim
n→∞
a
n−1
= a + x
Suy ra x =
1 ±
√
1 + 4a
2
. Vì giới hạn của dãy số tăng với số hạng
dương không thể là số âm nên x = lim
n→∞
a
n
=
1 +
√
1 + 4a
2
(2)
Đặc biệt với a = 1 thì
lim
n→∞
1 +
1 + ··· +
√
1 =
1 +
√
5
2
(3)
Ví dụ 2: Số nào lớn hơn trong hai số x =
2 +
2 +
2 + ··· +
√
2
và y =
1 +
2 +
3 +
√
4 + ···
Giải:
Mới thoạt nhìn ta thấy y > x vì để có y ta phải lấy tất cả các số
tự nhiên nhưng để cho x ta chỉ lấy số 2. Nhưng nếu xem ở ví dụ 1
thì có thể tính x theo công thức (2) khi a = 2 là:
x =
1 +
√
1 + 4.2
2
= 2
Soạn bằng L
A
T
E
X 1 Toán học vui
Huỳnh Văn Quy
Ta nhận xét rằng:
y
<
1 +
2 +
2 +
2
2
+
2
4
+ ··· =
1 +
√
2 ·
1 +
√
5
2
< 2
Vậy y < x
Ví dụ 3: Giải phương t rình
x +
x +
√
x + ··· = 7
Giải: Theo ví dụ 1, phương trình đã cho có thể viết:
1 +
√
1 + 4x
2
= 7. Từ đó
√
1 + 4x = 13, x = 42.
Có thể giải theo cách khác bằng cách bình phương hai vế ta được:
x +
x +
√
x + ··· = 49
Do số hạng thứ hai trùng với vế trái của phương trình đã cho
nên ta có ngay x + 7 = 49, x = 42.
Ví dụ 4: Giải phương t rình
1 +
x +
1 +
x +
1 +
√
x + ··· = 3
Giải: Ta hãy bình phương hai vế của phương trình:
1 +
x +
1 +
√
x + ··· = 9. Từ đó
x +
1 +
√
x + ··· = 8
Lại bình phương mộ t lần nữa hai vế được:
x +
1 +
√
x + ··· = 64
Do số hạng thứ hai bằng 3 nên x + 3 = 64, từ đó x = 61.
Vậy
1 +
61 +
1 +
√
61 + ··· = 3.
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị hàm số y =
x +
x +
√
x + ··· với x ≥ 0
Giải:
Nếu x = 0 thì y = 0, nếu x > 0 thì
y =
1 +
√
1 + 4x
2
.
Do đó với x → 0 thì y → 1. Ta có
đồ thị
1
2
1 2 3
x
y
O
f
Ví dụ 6: Giải các phương trình:
Soạn bằng L
A
T
E
X 2 Toán học vui
Huỳnh Văn Quy
a) 2 =
3
1 +
x +
3
1 +
√
x + ···
b) 2 =
1 +
3
y +
1 +
3
√
y + ···
Giải:
Ta có:
a) 8 = 1 +
x +
3
1 +
√
x + ···, hay 49 = x +
3
1 +
√
x + ···
49 = x + 2. Vậy x = 47
b) 4 = 1+
3
y +
y +
1 +
3
√
y + ···, hay 27 = y+
1 +
3
√
y + ···;
27 = y + 2. Vậy y = 25.
Soạn bằng L
A
T
E
X 3 Toán học vui
