Chương 0 - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC



1. Định nghĩa giá trị lượng giác
OP cos
OQ sin
AT tan
BT ' cot
 
 
 
 

Nhận xét :

a , 1 sin a 1 ; 1 cos a 1
      


tan a
xác định khi và chỉ khi
cos a 0 a k
2

    


cota
xác định khi và chỉ khi
sin a 0 a k

   

Chú ý . Từ ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác ta có :
a)


sin a k2 sin a
  
và


cos a k2 cos a
  
( với
k Z

) ;



tan a k tan a
  
và


cot a k cota
  
( với
k Z


)
b)
   
sin a khi k 2l
sin a k k,l Z
sin a khi k 2l 1




   


  


và

   
cosa khi k 2l
cos a k k,l Z
cos a khi k 2l 1




   


  




2. Dấu của giá trị lượng giác

Cung phần tư

Giá trị lượng giác

I

II

III

IV
sin a
+ + - -
cos a

+ - - +
tan a

+ - + -
cot a

+ - + -

3.Các hằng đẳng thức cơ bản


2 2 2
2
2
2
1
sin a cos a 1 ; 1 tan a
cos a
1
1 cot a ; tan a .cota 1
sin a
   
  






4. Cung liên kết

I - HỆ THỨC CƠ BẢN
cosin

O
cotang

sin

tang


p
A
M

Q

B T'



T


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 2 -
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau


cos a cos a
 



sin a sin a
  

sin a cos a
2
 





 





 



sin a sin a
  



cos a cos a
   

cos a sin a
2
 




 






 



tan a tan a
  



tan a tan a
   

tan a cota
2
 




 





 




cot a cota
  



cot a cota
   

cot a tan a
2
 




 





 


Cung hơn kém nhau


Cung hơn kém nhau

2




sin a sin a
   

sin a cosa
2
 




 





 



cos a cosa
   

cos a sin a
2

 




  





 



tan a tan a
  

tan a cota
2
 




 






 



cot a cota
  

cot a tan a
2
 




 





 




Công thức cộng :




 
1) sin a b sin a.cos b cos a.sin b
2) sin(a b) sin a.cos b cos a.sin b
3) cos a b cos a.cos b sin a.sin b
4) cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b
  
  
  
  

 
 
tan a tan b
5) tan a b
1 tan a.tan b
tan a tan b
6) tan a b
1 tan a.tan b

 


 


Chú ý :
1 tan x 1 tan x
tan x , tan x
4 1 tan x 4 1 tan x
   

   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   




1.Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
2
sin 2a 2.sin a.cos a
cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a
2 tan a cot a 1
tan 2a ; cot2a
2 cot a
1 tan a

     

 




2. Công thức hạ bậc : 3 . Công thức nhân ba :
II . CÔNG THỨC CỘNG
III . CÔNG THỨC NHÂN

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 3 -
2
2
2
1 cos 2a
sin a
2
1 cos 2a
cos a
2
1 cos 2a
tan a
1 cos 2a








3
3

3
2
sin 3a 3 sin a 4 sin a
cos 3a 4 cos a 3 cos a
3 tan a tan a
tan 3a
1 3 tan a
 
 





4 . Công thức biểu diễn sin2a , cos2a , tan2a theo
tan a
:


2
2 2 2
2 tan a 1 tan a 2 tan a
sin 2a ; cos2a ; tan 2a
1 tan a 1 tan a 1 tan a

  
  






1.Công thức biến đổi tổng thành tích :
a b a b
sin a sin b 2.sin .cos
2 2
a b a b
sin a sin b 2.cos .sin
2 2
a b a b
cos a cos b 2.cos .cos
2 2
a b a b
cos a cos b 2.sin .sin
2 2
 
 
 
 
 
 
 
  

sin(a b)
tan a tan b
cos a.cos b
sin(a b)
tan a tan b
cosa.cos b

sin(a b)
cota cot b
sin a.sin b
sin(a b)
cota cot b
sin a.sin b

 

 

 

 

Chú ý : sin x cos x 2.sin x sin x cos x 2.sin x
4 4
   
 
 
 
 
       
 
 
 
 
 
   


2.Công thức biến đổi tích thành tổng
1 1
1)cos a .cos b . cos(a b) cos(a b) 2)sin a .sin b . co
s(a b) cos(a b)
2 2
1 1
3) sin a .cos b . sin(a b) sin(a b) 4)cos a.sin b .[s
in(a b) sin(a b)]
2 2
   
       
   
   
 
       
 
 

V. Phải ghi nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Đơn vị độ

0
0
30
0
45
0
60
0
90

0
120
0
135
0
150
0
180
0

Đơn vị
Rađian
0
6


4


3


2


2
3


3

4


5
6




sin


0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

1

2

0
cos


1
3
2

2
2

1
2

0
1
2


2
2


3
2


-1

tan


0
1
3

1
3

Kxđ
3


-1
1
3


0
cot


Kxđ
3

1
1
3


0
1
3


-1
3


Kxđ
IV . CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 4 -


Chương 2 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Kiến thức cần nhớ
1. Hàm số y = sinx
 Hàm số y = sinx có tập xác định R và -1≤ sinx ≤ 1 ,
x R
 

 Hàm số y = sinx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ
2


 Hàm số ĐB trên mỗi khoảng

( k2 ; k2 )
2 2
 
    
và NB trên mỗi khoảng
3
( k2 ; k 2 )
2 2
 
   

 Đồ thị là một đường hình sin
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:
1, 1 .
 

 
 

– Chu kỳ: T =
2


– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 

 

 







– Tịnh tiến theo véctơ
v 2k .i
 
 
ta được đồ thị y = sinx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số đồng biến trên khoảng
0,
2
 









 
và nghịch biến trên

, .
2
 










 

2. Hàm số y = cosx
 Hàm số y = cosx có tập xác định R và -1≤ cosx ≤ 1 ,
x R
 

 Hàm số y = cosx là hàm số chẵn và hàm số tuần hoàn với chu kỳ
2


 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( k2 ;k2 )
   
và NB trên mỗikhoảng
(k2 ; k2 )
   


 Đồ thị là một đường hình sin
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:
1, 1 .
 

 
 

– Chu kỳ:
T 2
 



x 0
2




3
2


2



y


1
0


–1



0

0

1
3
2



2


0

2

3
2







5
2

y = sinx

–1
y

x

1

3
2





2



0


2


3
2






5
2


y = cosx

–
1

y

x


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 5 -
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 


 
 







– Tịnh tiến theo véctơ
v 2k .i
 
 
ta được đồ thị y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghịch biến trên khoảng
0,
2
 










 
và nghịch biến trên khoảng
3
, .
2
 










 

3 . Hàm số y = tanx
 Hàm số y = tanx có tập xác định
1
D R \ { k , k Z }
2

    và có tập giá trị là R
 Hàm số y = tanx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ


 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( k ; k )

2 2
 
    

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.
– Tập xác định: D = R
\ k , k Z
2
 
 

 
  
 
 
 
 

– Tập giá trị: R.
– Giới hạn:
x
2
lim y


  


x :
2


   là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T =

.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
 









 
:



– Tịnh tiến theo véctơ
v k .i
 
 
ta được đồ thị y = tanx.
Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D.
4. Hàm số y = cotx
 Hàm số y = cotx có tập xác định
2
D R \ { k , k Z }
  
và có tập giá trị là R
 Hàm số y = cotx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ


 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(k ; k )
   

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.


x 0
2




3
2


2



y



0


–1

0



1

1



x
2



0
2


y




0




–


+


x









y

3
2






2



O

2




3
2


2


5
2


y = tanx


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 6 -
– Tập xác định: D = R



\ k , k Z
 

– Tập giá trị: R.
– Giới hạn:

x 0 x
lim y , lim y
 
     

tiệm cận đứng: x = 0, x =

.
– Chu kỳ: T =


– Bảng biến thiên trên đoạn
0,
 

 
 
:







– Tịnh tiến theo véctơ
v k .i
 
 
ta được đồ thị y = cotx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D.

II. HỆ THỐNG PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP





A. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng các mệnh đề tương đương đương sau :


f(x)
y
g(x)

xác định
g(x) 0
 



y f(x)
 xác định
f(x) 0
 


y sin u(x)
 

 
 
xác định
u(x)

xác định

y cos u(x)
 

 
 
xác định
u(x)

xác định

y tan u(x)
 

 

 
xác định
u(x) k ( k Z )
2

    

y cot u(x)
 

 
 
xác định
u(x) k ( k Z )
   

B. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 . Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a)
sin x
y
cos x 1


b)
1 sin x
y
1 cos x




c)
y tan(4x )
6

 
V
ấn
đ
ề 1 : Tìm tập xác
đ
ịnh (TX
Đ) c
ủa một hàm số chứa hàm số
lượng giác


x 0
2




y



0





+


–


x









y

2
 

3
2



O


2



2




3
2


y = cotx



2



" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 7 -
d)
1 sin x
y
cos x


e) y = tanx + cotx f)

sin 3x
y
sin x cos x



g)
y tan(x )
6

  h)
2
y cot(2x )
3

  i)
2
y tan(3x )
3

 
Câu 2 . Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a)
2
y cos
x
 b)
y sin x

c)

1 x
y sin
1 x




d)
cot x
y
cos x 1


e)
2 sin x
y
1 cos x



f)
2 2
3
y
cos x sin x








A . PHƯƠNG PHÁP : Cho hàm số
y f(x)

xác định trên D
1. Hàm số
y f(x)

gọi là chẵn trên D nếu :
x D ; x D
f( x) f(x)


   



 



2. Hàm số
y f(x)

gọi là lẻ trên D nếu :
x D ; x D
f( x) f(x)



   



  



Chú ý
1. Nếu hàm số
y f(x)

có tập xác định là D mà tập D không phải là tập đối xứng thì hàm số
f(x) không chẳn cũng không lẻ .
2 . Nếu hàm số
y f(x)

có tập xác định D thỏa mãn :
0 0
x D ; x D
   
nhưng

0 0
f(x ) f(x )
 
thì hàm số f(x) không chẵn cũng không lẻ .
3 . Sử dụng cung đối nhau để xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác
B. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 . Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

a)
y x.cos 3x

b)
1 cos x
y
1 cos x



c)
3
y x .sin 2x


d)
3
x sin x
y
cos2x

 e)
y 1 cos x 1 cos x
   
f)
y x sin x
 

Câu 2 . Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :
a)

y sin2x

b)
y sin x cos x
 
c)
y sin x.cos x


Câu 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :
a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sin2x + cos2x
d) y = tanx + cotx e) y = sin
4
x f) y = sinx.cosx
g) y =
sin x tan x
sin x cot x


h) y =
3
3
cos x 1
sin x

i) y =
tan x







Vấn đề 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Vấn đề 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm
s
ố l
ư
ợng giác trên tập D


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 8 -
A.PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng miềm giá trị của hàm số lượng giác trên một đoạn :

1 sin x 1 ; 1 cos x 1
     


2 2
0 sin x 1 ; 0 cos x 1
   

 Sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số lượng giác
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a)
y 3 cos x

b)

2
y 5 sin x
 
c)
2
y 7 cos x
 

d)
y tan x

trên đoạn
;
3 6
 
 
 

 
 
e )
y sin x cos x
 
f)
y 3 sin 2x cos 2x
 

Câu 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y 2 sin 3x
5

 




 





 
b)
2 2
y 5 cos x sin x
  
c)
2
y 7 cos x
 

d)
2
1
y
3 sin x


e )
y sin 3x 3 cos 3x

 
f)
y 9 4co2x
 


Chú ý . Các em cần ghi nhớ một số công thức :
a)
2 2
2 2 2 2
a b
a sin x b cos x a b .sin x .cos x
a b a b
 



   





 
 
.
Đặt
2 2 2 2
a b
cos ; sin

a b a b
   
 
thì :


2 2
a sin x b cos x a b . sin x
    

b)
4 4 2 6 6 2
1 3
sin x cos x 1 sin 2x ; sin x cos x 1 sin 2x
2 4
     
Câu 3 .Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :
a) y = 3sin3x + 5 b) y= sin3x + cos3x c)
y 2 2(4 3 sin x)
  

d) y = sin
4
x + cos
4
x e) y = sin
6
x + cos
6
x f)

2 2
1
y 4 (cos x sin x)
3
  
g)
2
y cos x 5 cos2x
 
h)
y 3 sin 4x cos 4x 6
  
i)
sin 3x 2 cos 3x 1
y
sin 3x cos 3x 2
 

 

k)
sin x cos x 1
y
sin x cos x 3
 

 
l)
2 sin x cos x 3
y

2 cos x sin x 4
 

 
m)
2
y 2sin x 4sin xcosx 5
  

n)
y 5sin(3x ) 6
3

  
p)
y 2 cos(3x ) 3
6

  
q)
y 5cos(2x ) 1
4

  







A. PHƯƠNG PHÁP
Giả sử hàm số
y f(x)

có đồ thị là (C) .
1. Đồ thị (C’) của hàm số
y f(x b)
 
với b > 0 , được suy từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến đồ
thị (C) sang trái b đơn vị theo phương song song với trục hoành
V
ấn
đ
ề 4 :
Suy ra đ
ồ thị hàm số l
ư
ợng giác t
ừ
đ
ồ thị một hàm số
lượng giác cho trước

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 9 -
2. Đồ thị (C’) của hàm số
y f(x b)
 
với b > 0 ,được suy từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến đồ
thị (C) sang phải b đơn vị theo phương song song với trục hoành
3. Đồ thị (C’) của hàm số

y f(x) c
 
được suy từ đồ thị (C ) bằng cách :
 Tịnh tiến theo phương của trục tung lên trên c đơn vị nếu c > 0
 Tịnh tiến xuống dưới theo phương của trục tung c đơn vị nếu c < 0
4. Đồ thị (C’) của hàm số
y k.f(x) ( k 0)
 
, được suy từ đồ thị (C) bằng cách :
 Nếu k > 1 thì giản (C) dọc theo trục Oy k đơn vị .
 Nếu 0 < k < 1 thì co (C) dọc theo trục Oy k đơn vị .
5. Đồ thị (C’) của hàm số
y f(k x) ( k 0)
 
, được suy từ đồ thị (C) bằng cách :
 Nếu k > 1 thì co (C) dọc theo trục Ox với tỷ
1
k

 Nếu 0 < k < 1 thì giản (C ) dọc theo trục Ox với tỷ
1
k

6 . Đồ thị ( C’) của hàm số
y f(x)

, được suy từ đồ thị (C) bằng cách :
 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành
 Lấy phần đồ thị của (C) nằm phía dưới trục hoành đối xứng qua trục hoành .
7. Đồ thị ( C’) của hàm số



y f x
 , được suy từ đồ thị (C) bằng cách :
 Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm phía bên phải trục tung
 Lấy phần đồ thị của (C) nằm phía bên phải trục tung đối xứng qua trục tung .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 . Từ đồ thị của hàm số y = sinx , hãy suy ra cách vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a) y sin x
4
 




 





 
b) y sin x
3
 




 






 
c)
y sin x 2
 

d)
y sin x 3
 
e)
y sin x

f)
y sin x


Câu 2 . Từ đồ thị của hàm số y = cosx , hãy suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số sau :
a)
y cos x

b)
y cos x 1
 
c)
y 2 cos x




Bài 2- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình
sin x a (1)


A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

a 1

: Phương trình (1) vô nghiệm

a 1

, đặt
sin a
 
, khi đó :
 
x k2
sin x a sin x sin k Z
x k2

   

     

     




Chú ý :

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 10 -
 Nếu có số thực

thỏa điều kiện :


2 2
sin a , a 1


 

   





  



thì ta viết
arcsin a
 

, khi
đó nghiệm của phương trình (1) là :
x arcsin a k2 ; x arcsin a k2
       

 Phương trình :
0 0
0
0 0 0
x k360
sin x sin
x 180 k360

  

  

   



 Phương trình :
sin f(x) sin g(x) sin f(x) sin g(x)
 
    
 
 

 Phương trình :
sin f(x) cos g(x) sin f(x) sin g(x)

2
 

 
   
 
 

 Phương trình : sin f(x) cos g(x) sin f(x) sin g(x)
2
 

 
    
 
 

 Các trường hợp đặc biệt :
sin x 0 x k
sin x 1 x k2 ; sin x 1 x k2
2 2
sin x 1 cos x 0 x k
2
   
 
           

       

B. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG :

Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
1
sin x
2
 
b)
3
sin 2x
2
 c)
sin x 1
6
 




 





 

d)
3
sin 3x
2


e)
1
sin 4x
3
 
f)
sin 3x 0
4
 




 





 

g)
2 sin x 3 0
6
 





  





 
h)
2 sin x 2 0
4
 




  





 
i)
2
sin x 1
4
 





 





 

Ví dụ 2 .Giải các phương trình sau :
a)




sin 2x 1 sin x 3
  
b)




sin 3x cos x 3
 
c)
sin 5x sin 2x 0
 

d)
sin 3x cos x 0

 
e)
sin 5x cos x 0
 
f)


sin 2x 1 sin x 0
  

Ví dụ 3 . Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
a)
sin 3x 2m 1
 
b)
2
sin 2x 2m m
4
 




  





 


c)
sin x m 1 m.sin x
  
d)
m.cos x 2m 1 0
  

Đáp số : a)
1 m 0
  
b)
1
1 m
2
   
c)
m 0

d)
1
m 1 , m 0
3
  

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1 . Giải các phương trình sau :
a)
1
sin x

6 2
 




  





 
b)
2
sin x
4 2
 




  





 



" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 11 -
c)
 
0
3
sin 2x 30
2
  d)
2
3
sin x
6 4
 




 





 

Bài 2.Giải các phương trình sau :
a)
sin 3x sin x 0
 

b)
sin 5x sin2x 0
 

c)
sin 3x cos x 0
 
d)
sin x cos x 0
 

e)
 
0
sin 9x 30 cos x 0
4
 




   





 
f)
4 4

sin 2x cos 2x 0
 

………………………………………………………………………………………………
2 . Phương trình
cos x a (2)


A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

a 1

: Phương trình (2) vô nghiệm

a 1

, đặt
cos a
 
, khi đó :
 
x k2
cos x a cos x cos k Z
x k2

   

     

   




Chú ý :
 Nếu có số thực

thỏa điều kiện :


0
cos a , a 1


   




  



thì ta viết
arc cos a
 
, khi
đó nghiệm của phương trình (2) là :
x arccosa k2 ; x arccos a k2
      


 Phương trình :
0 0
0
0 0
x k360
cos x cos
x k360

  

  

  



 Phương trình :
cos f(x) cos g(x) cos f(x) cos g(x)
 
     
 
 

 Phương trình :
cos f(x) sin g(x) cos f(x) cos g(x)
2
 

 
   

 
 

 Phương trình :
cos f(x) sin g(x) cos f(x) cos g(x)
2
 

 
    
 
 

 Các trường hợp đặc biệt :
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2 ; cos x 1 x k2
cos x 1 sin x 0 x k

    
          
      

B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
1
cos x
2
 

b)
1
cos x
3

c)
cos 3x 2


d)
 
0
3
cos x 45
2
  e)
2
cos 3x
3 2
 




  






 
f)
 
2
cos x 2
5
 

g)
cos 3x 1
3
 




 





 
h)
cos x 1
6
 





  





 
i)
3
cos 3x
3 2
 




 





 

Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a)





2 2 cos x 4 cos x 0
  
b)




2 cos x 1 2 cos x 0
  


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 12 -
c)




3 4 cos x 1 cos2x 0
  
d)




1 2cos x 2 sin 2x 3 0
  

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1 . Giải các phương trình sau :

a)
2
cos 2x
4 2
 




  





 
b)
cos x cos2x 0
3
 




  






 

c)
cos 3x cos 3x 1
3 3
   
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
   
d)
2
1
cos 4x
4


e)




6 6 4 4 2

4 sin x cos x 2 sin x cos x 8 4 cos 2x
    

f)
2 2 2 2
sin x cos x cos x cos 3x
  
g)
16 sin x.cos x.cos2x.cos 4x 3



Bài 2 . Giải các phương trình sau :
a)
cos 2x cos x
6 3
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
b)
cos 5x sin x 0

 

c)
cos 2x sin x
3 6
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
. d)
cos2x 3
cos x
sin x cos x 2
 


Bài 3 . Giải các phương trình:
1)
cos 2x 0
6
 





 





 
2)
cos 4x 1
3
 




 





 
3)
cos x 1
5
 





  





 

4)
sin 3x 0
3
 




 





 
5)
x
sin 1
2 4

 




 





 
6)
sin 2x 1
6
 




  





 

7)
 

1
sin 3x 1
2
 
8)
 
0
2
cos x 15
2
  9)
x 3
sin
2 3 2
 




  





 

………………………………………………………………………………………………
3.Phương trình
tan x tan

 

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a.
tan x tan x k ( k Z)
       

b.
tan x a x arctan a k ( k Z)
     

c.
tan f(x) tan g(x) tan f(x) tan g(x)
 
    
 
 

d.
tan f(x) cot g(x) tan f(x) tan g(x)
2
 

 
   
 
 

e.
tan f(x) cot g(x) tan f(x) tan g(x)

2
 

 
    
 
 

Chú ý . Các trường hợp đặc biệt :
tan x 0 x k (k Z) ; tan x 1 x k ;tan x 1 x k
4 4
 
                

B.VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 13 -
a)
3
tan x
6 3
 




 






 
b)
tan 4x 1

c)
tan x 5
3
 




 





 

Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a)
tan 3x 1
6
 





  





 
b)


tan 3x 1 3
  c)
3 tan x 1 0
4
 




  





 

…………………………………………………………………………………………………

5.Phương trình
cot x cot
 

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a.
cot x cot x k ( k Z)
       

b.
cot x a x arc cot a k ( k Z)
     

Chú ý . Các trường hợp đặc biệt :

cot x 0 x k ; cot x 1 x k
2 4
 
           

B. VÍ DỤ ÁP DỤNG :
Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
cot4x 0

b)
cot 3x 1
4
 





 





 
c)
cot 2x 1
3
 




  





 

d)


cot 2x 1 3

  
e)
3
cot 4x
3 3
 




 





 
f)
2x 1 1
cot tan
6 3
 











 

Ví dụ 2.Giải các phương trình sau :
a)
2 cos2x
0
1 sin 2x


b)
sin 3x
0
cos 3x 1


c)
cos x
0
1 sin x


d)
sin x 1
0
cos x




BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a)


tan 2x 1 3
 
b)
 
0
3
tan 3x 10
3
  c)
tan 3x 1
6
 




  





 

d)

cot 2x 1
3
 




 





 
e)
tan 2x 3
4
 




  





 
f)

2
tan 4x 3


Bài 2 . Giải các phương trình:
a)
2 2 2
sin x sin x.tan x 3
 
b)


an2
sin x.t x 3 sin x 3 tan 2x 3 3
  
c)
8
cotx tanx 2tan2x 4tan4x
3
    d)
tan x 1 tan x
4
 




  






 

e)
2
2
1
3 cot x 5
sin x
 
f)
1 1
1 tan x 1 tan x 2 3
cos x cos x
  
 
 
 
    
 
 
 
 
 
  

g)
2

2
2
1 sin x
tan x 4
1 sin x

 

h)
2 2 4
2 2 4
sin x cos x cos x
9
cos x sin x sin x
 

 

Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a)
sin 2x 2 cos x 0
 
b)
8 cos2x.sin2x.cos 4x 2


c)
tan 2x 2 tan x 0
 
d)

2
2 cos x cos 2x 2
 


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 14 -
Đáp số : a)
x k
2

  
b)
k 3 k
x ; x
32 4 32 4
   
   

c)
x k
 
d)
x k
6

   


Bài 3 - MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG
GẶP






Dạng Đặt Điều kiện


2
a sin x b sin x c 0 a 0
   

t sin x


1 t 1
  



2
a cos x b cos x c 0 a 0
   

t cos x


1 t 1
  




2
a tan x b tan x c 0 a 0
   

t tan x


x k
2

  



2
a cot x b cot x c 0 a 0
   

t cot x


x k
 

Chú ý :
* Nếu đặt
2
t sin x


hoặc
t sin x

, điều kiện
0 t 1
 

* Nếu đặt
2
t cos x

hoặc
t cos x

, điều kiện
0 t 1
 

Các công thức thường dùng khi giải các loại phương trình này :
























I - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC

1.Hằng đẳng thức cơ bản :
2 2 2
2
2
2
1
sin a cos a 1 ; 1 tan a
cos a
1
1 cot a ; tan a .cota 1
sin a
   
  



2. Các công thức nhân đôi :
2 2 2 2
2
2
sin 2a 2.sin a.cos a
cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a
2 tan a cot a 1
tan 2a ; cot2a
2 cot a
1 tan a

     

 



3. Các công thức hạ bậc :
2
2
2
1 cos2a
sin a
2
1 cos 2a
cos a
2
1 cos2a
tan a

1 cos 2a








4. Ghi nhớ :
4 4 2 6 6 2
1 3
sin a cos a 1 sin 2a ; sin a cos a 1 sin 2a
2 4
     


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 15 -


Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
2
3 sin x 4 sin x 1 0
  
b)


2
2 cos x 2 1 cos x 1 0

   

c)


2
3 tan x 3 1 tan x 1 0
   
d)
2
cot x 4 cot x 3 0
  

Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a)
2
3 cos x 2 sin x 2 0
  
b)
2
5 sin x 3 cos x 3 0
  

c)
2
3 cos 6x 8 sin 3x.cos 3x 4 0
  
d)
2
3

2 3 tan x 6 0
cos x
  

e)
cos2x 7 cos x 8 0
  
f)
2 cos2x sin x 3 0
  

g)
2
1
3 tan x 5 0
cos x
  
h) 3tanx +
3
cotx - 3 -
3
= 0
i)
2
cos 2x sin x sin x 1 0
   
k)
2
3
3 cot x 3

sin x
 
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau :
a)
2
2 cos x 5 sin x 4 0
  
b)
5
cos2x 4 cos x 0
2
  

c)
2
2 sin x 4 5 cos x
 
d)
2 cos x.cos2x 1 cos 2x cos 3x
  

e)
4 4
1
sin x cos x sin2x
2
  
f)
 
4 4

2 sin x cos x cos 2x 0
2
 




   





 

g)
4 4
x x
sin cos 1 2 sin x
2 2
   h)
4 4
sin x cos x sin x cos x 0
  

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1 . Giải các phương trình sau :
a)
2 2
2 cos 2x 3 sin x 2

 
b)
2
x
cos2x 2 cos x 2sin
2
 
c)
4 4
1
sin x cos x sin 2x
2
  d)
2 4
1
sin x cos x
4
  
Bài 2 . Giải các phương trình sau :
a)
2 2
cos 3x.cos 2x cos x 0
 
b)
4 4
3
sin x cos x sin 3x cos x 0
4 4 2
   
 

 
 
 
     
 
 
 
 
 
   

c)


2
5 sin x 2 3 1 sin x .tan x
  
d)
6 6
2(sin x cos x) sin x cos x
0
2 2 sin x
 



e)
2 2
4 sin 2x 6 sin x 3 cos 2x 9
0

cos x
  

f)
4 4
sin x cos x 1 1
cot2x
5 sin 2x 2 8 sin 2x

 
Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a)
5 7
sin(2x ) 3 cos(x ) 1 2 sin x
2 2
 
     b)
2
cot x tan x 4 sin 2x
sin2x
  
c)
2 2 2
2 cos 2x cos 2x 4 sin 2x.cos x
 
d)
tan x 2cot2x sin 2x
 

Bài 4 . Giải các phương trình sau :


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 16 -
a)
2
cos 2x 1
cot x 1 sin x sin 2x
1 tan x 2
   

b)
sin 2x 2 tan x 3
 

c)




1 tan x 1 sin 2x 1 tan x
   
d)
x
cos x tan 1
2
 

e)
5 5 2
4 cos x.sin x 4 sin x.cos x sin 4x
 

f)
3
4 cos x 3 2 sin 2x 8 cos x
 
g)
sin 2x cos2x tan x 2
  
h)
2 2
3
cos x cos x cos 3x cos 3x
4
  

Bài 5 . Cho phương trình :
cos 4x 6 sin x cos x m (1)
 

a) Giải phương trình ( 1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm
x 0;
4
 

 

 
 

Đáp số : a)

k
x
2

 b)
17
1 m
8
 
Bài 6 . Xác định m để phương trình


4 4
2 sin x cos x cos 4x 2 sin 2x m 0
    
có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn
0 ;
2
 

 
 
 
. Đáp số :
10
m 2
3
   


Bài 7. Cho phương trình


6 6
sin x cos x m sin 2x ( 1)
 

a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình ( 1) có nghiệm ( Đáp số :
1
m
4

)

Bài 8 . Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)



2
tan x 1 3 tan x 3 0
   

5)


2
4 sin x 2 3 1 sin x 3 0
   
6)
3
4 cos x 3 2 sin2x 8 cos x
 

7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 9 .Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +


2 3 1 cos 3x 3
 

= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)


2
1
3 3 tan x 3 3 0
cos x
    

5)
3
cos x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan x

= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)

2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
x
4 cos
2
10) 2cos2x + tanx =
4
5

Bài 10 . Cho phương trình
sin 3x cos 3x
5 sin x cos2x 3
1 2 sin 2x
 




  




 


. Tìm các nghiệm của phương
trình thuộc


0 ; 2

.

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 17 -
Bài 11 . Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương
trình thuộc


;
 
.
Bài 12. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin x sin x sin x
4 4 4
   
 
 
 
 
    
 
 

 
   
.





A. Định nghĩa . Phương trình có dạng :
a sin u b cos u c
 
( trong đó a
2
+ b
2
≠ 0)
B . Cách giải . Chia cả hai vế của phương trình cho
2 2
a b

ta được :

2 2 2 2 2 2
a b c
sin u cos u
a b a b a b
 
  

Đặt :

2 2
a
cos
a b
 

,
2 2
b
sin
a b
 

. Ta được phương trình :

2 2 2 2
c c
sin u cos cos u sin sin(u )
a b a b
       
 

Chú ý :


Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi : a
2
+ b
2
≥ c

2


Khi a ≠ 0 và b ≠ 0 còn c = 0 thì PT tương đương :
b
tan u
a
 



Phương trình trên được mở rộng cho dạng :
a sin u b cos u c sin v dcos v
  


( trong đó
2 2 2 2
a b c d
  
) . Để giải phương trình này ta chia cả hai vế của phương
trình cho
2 2
a b

rồi đưa phương trình về một trong các dạng :

sin(u ) sin(v )
    
( hay :

cos(u ) cos(v )
    
) .
C. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG :
Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
sin x 3 cos x 2
  
b)
cos2x sin 2x 1
 

c)
3 sin 3x cos 3x 2
 
d)
3 cos2x sin 2x 1
 

e) 4( sin
4
x + cos
4
x ) +
3
sin4x = 2 f)
3
3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3x
  


g) cos8x .cos3x -
3
sin5x = 1 – sin8x.sin3x h)
4 4
1
cos x sin (x )
4 4

  

i) 4sin
3
x .cos3x + 4cos
3
x.sin3x + 3
3
cos4x = 3 k) tanx – 3.cotx = 4( sinx +
3
cosx)
Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a)
2
(sin 2x 3 cos 2x) 5 cos(2x )
6

    b)
3 1
8 sin x
cos x sin x
 

c)
3 sin 3x cos 3x 2 sin 4x
 
d)
3cos5x 2sin3x.cos2x sinx 0
  

e)


3
sin x cos x.sin 2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x
   
f)
(1 2 sin x)cos x
3
(1 2 sin x)(1 sin x)


 

II - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sinu và Cosu

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 18 -
g)
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
 




  





 
h)
sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2
   

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1 . Giải các phương trình sau :
a) 2sin2x – cos2x = 7 sinx + 2cosx – 4 b)
9 sin x 6 cos x 3 sin 2x cos2x 8
   

c)
sin 2x 2 cos2x 1 sin x 4 cos x
   
d)
sin 2x cos2x 3 sin x cos x 2
   

e) sinx + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0 f) sin2x – cos2x + 3sinx - cosx -1 = 0
g)
2 2

2 3 sin x cos x 2 cos x 3 4 sin x cos x .cos x
8 8 8 3 3
 
         
    
    
    
 
    
        
    
    
 
    
    
    
         
 

Bài 2 . Cho phương trình :
2 sin x cos x 1
a
sin x 2 cos x 3
 

 
( trong đó a là tham số )
a) Giải phương trình khi
1
a

3

( Đs :
x k
4

   
)
b) Tìm a để phương trình đã chó có nghiệm ( Đáp số :
1
2

≤ a ≤ 2 )
Bài 3 . Định m để phương trình sau có nghiệm :
a)


2m 1 sin 3x m cos 3x 3m 1
   
b)




2
2 sin x cos x m sin 2x cos2x
  

Đáp số : a)
1

0 m
2
 
b)
7
m m 0
2
   


Bài 4 . Giải các phương trình sau:
1)
cos x 3 sin x 2
 
2)
6
sin x cos x
2
 
3)
3 cos 3x sin 3x 2
 
4)
sin x cos x 2 sin 5x
 

5)
3 sin 2x sin 2x 1
2
 





  



 

6) 8 sin x tan x cot x 4 cot2x
6
 




   





 

Bài 5 . Giải các phương trình sau:
1)
2
2 sin x 3 sin2x 3
 

2)


sin 8x cos 6x 3 sin6x cos 8x
  

3)
3 1
8 cos x
sin x cos x
  4) cosx –
3 sin x 2 cos x
3
 




 



 

5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 6 . Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 7 . Giải các phương trình sau:
1) 2sin x
4
 








 
+ sin x
4
 









 
=
3 2
2
2)
3 cos2x sin 2x 2 sin 2x 2 2
6
 




   



 





III. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI
Sinx và Cosx

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 19 -
A . Định nghĩa . Phương trình có dạng :
2 2
a sin x b sin x cos x c cos x d
  

(1)
B.Cách giải :
 Kiểm tra
cos x 0 x k
2

    
có phải là nghiệm của phương trình (1) hay không
 Chia cả hai vế của phương trình (1) cho
2
cos x 0

ta được :




2
a d tan x b tan x c d 0
    

Chú ý :
2
cos x 0 sin x 1 sin x 1
     

B. Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
2 2

4 cos x 3 sin x cos x sin x 3
  
b)
2 2
2 sin x sin x cos x cos x 2
  

c)
2 2
4 sin x 4 sin x cos x 3 cos x 1
  
d)
2 2
2 cos x 3 sin 2x sin x 1
  

Hướng dẫn
a)


2 2 2 2 2 2
4 cos x 3 sin x cos x sin x 3 4 cos x 3 sin x cos x sin x 3 si
n x cos x
       


2 2
4 sin x 3 sin x cos x cos x 0
   


 Với cosx = 0 thì vế trái bằng 4 vế phải bằng 0 nên cosx = 0 không thỏa mãn phương trình
 Chia hai vế của phương trình cho
2
cos x 0

, ta được :
2
x k
tan x 1
4
4 tan x 3 tan x 1 0 (k Z)
1
1
tan x
x arctan k
4
4




  




      
 





 

   








 



Vậy phương trình có nghiệm là :
x k
4

  
,
1
x arctan k
4
 




   





 

b)


2 2 2 2 2 2
2 sin x sin x cos x cos x 2 2 sin x sin x cos x cos x 2 sin x
cos x
       


 
2
cos x 0
x k
sin x cos x 3cos x 0 cos x sin x 3cos x 0
2
sin x 3 cos x
tan x 3






  


        


 

 







x k
2
x arctan 3 k



  



   




Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
x k
2

  
,


x arctan 3 k
   

c) Làm tương tự , ta có phương trình đã cho vô nghiệm
d)


2 2 2 2 2 2
2 cos x 3 sin 2x sin x 1 2 cos x 3 sin 2x sin x 1 sin x cos x
       


2 2
cos x 3 sin 2x 0 cos x 6 sin x cos x 0 cos x(cos x 6 sin x)
0
        


cos x 0
x k
2
1

1
sin x cos x
tan x
6
6





  



 









x k
2
1
x arctan k
6




  

 
 




  






 




" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 20 -
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
x k
2

  
,
1

x arctan k
6
 



  





 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1 . Giải các phương trình sau :
a) sin
2
x – sin2x -3 cos
2
x = 0 b) 6sin
2
x + sinxcosx – cos
2
x = 2
c) 2sin
2
2x -
3
2

sin4x + cos
2
2x = 2 d) 2 sin
2
x + 5sinx.cosx - 3cos
2
x – 2 = 0
e) -8sin
3
x + 3cosx + 2cos
3
x = 0 f) cos
3
x - 4 sin
3
x - 3 cosx .sin
2
x + sinx = 0

g) sin
4
x – 4sin
2
x cos
2
x + 3 cos
4
x = 0 h) sin2x + 2 tanx = 3

i) sinx .sin2x + sin3x = 6 cos

3
x k) sinx - 4 sin
3
x + cosx = 0
l)
3
sin (x ) 2 sin x
4

  m)
3
sin (x ) 2 sin x
4

 
n)
3 3 2 2
sin x 3cos x sinxcos x 3sin xcosx
  
p)
3
8 cos x cos 3x
3
 




 






 

Bài 2 .Giải các phương trình sau:
1)




2 2
2 sin x 1 3 sin x.cos x 1 3 cos x 1
    

2)


2 2
3 sin x 8 sin x.cos x 8 3 9 cos x 0
   

3)
2 2
4 sin x 3 3 sin x.cos x 2 cos x 4
  

4)
2 2

1
sin x sin 2x 2 cos x
2
  

5)




2 2
2 sin x 3 3 sin x.cos x 3 1 cos x 1
    

6)
2 2
5 sin x 2 3 sin x.cos x 3 cos x 2
  

7)
2 2
3 sin x 8 sin x.cos x 4 cos x 0
  

8)




2 2

2 1 sin x sin 2x 2 1 cos x 2
    

9)




2 2
3 1 sin x 2 3 sin x.cos x 3 1 cos x 0
    

10)
4 2 2 4
3 cos x 4 sin x cos x sin x 0
  

11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0 12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Bài 3 .Giải các phương trình sau:
1) x

3 2 3
sin x 2 sin x.cos – 3cos x 0
 
2)
2
2 1
3 sin x.cos x sin x
2

 
3)
3 2 2 3
sin x 5 sin x.cos x 3 sin x.cos x 3 cos x 0
   


Bài 4 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC





A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 . Công thức biến đổi tổng thành tích :
I - Một số phương trình lượng giác giải được bằng cách sử dụng công thức biến đổi :
Tổng thành tích và tích thành tổng và sử dụng công thức hạ bậc

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 21 -
a b a b
sin a sin b 2.sin .cos

2 2
a b a b
sin a sin b 2.cos .sin
2 2
a b a b
cos a cos b 2.cos .cos
2 2
a b a b
cos a cos b 2.sin .sin
2 2
 
 
 
 
 
 
 
  

sin(a b)
tan a tan b
cosa.cos b
sin(a b)
tan a tan b
cos a.cos b
sin(a b)
cota cot b
sin a.sin b
sin(a b)
cota cot b

sin a.sin b

 

 

 

 

2.Công thức biến đổi tích thành tổng : 3. Công thức hạ bậc :
1
cos a .cos b . cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a .sin b . cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a .cos b . sin(a b) sin(a b)
2
1
cos a.sin b .[sin(a b) sin(a b)]
2
 
   
 
 
 
   
 

 
 
   
 
 
   

2
2
2
1 cos 2a
sin a
2
1 cos 2a
cos a
2
1 cos 2a
tan a
1 cos 2a








B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)

sin x.sin 7x sin 3x.sin 5x

b)
sin 5x.cos 3x sin 9x.cos 7x


c)
cos x.cos 3x sin 2x.sin 6x sin 4x.sin 6x 0
  

d)
sin 4x.sin 5x sin 4x.sin 3x sin 2x.sin x 0
  

e)
sin 4x.sin 7x cos 3x.cos 6x

f)
cos 5x.cos x cos 4x


Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a) sin x + sin2x + sin 3x + sin4x = 0 b) sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2

4x
c)
2 2 2 2
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2
   
d)
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
  

e) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x f) (2cosx -1 )( 2sinx + cosx ) = sin2x – sinx
g) sin
6
x + cos
6
x = 2 ( sin
8
x + cos
8
x ) h) sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x )





A.LỜI CHỈ DẪN
Để giải một phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng về các dạng : Cơ bản ; bậc nhất đối với
sinu và cosu ; bậc hai đối với một hàm số lượng giác ; thuần nhất ; đối xứng …
Để đưa được về các dạng trên ta thường biến đổi phương trình về dạng tích
A.B.C 0

trong đó các
phương trình A = 0 , B = 0 , C = 0 là các phương trình đã nói ở trên . Để biến đổi phương trình về
dạng tích ta cần nắm vững các công thức lượng giác , các hằng đẳng thức , các phương pháp đặt nhân
tử chung …
Dưới đây là một vài kĩ thuật giúp các em phát hiện nhân tử chung một cách nhanh chóng :
Nếu trong phương trình chứa các hàm số :
 sin2x , sin3x , tanx , tan2x , tan3x thì ta có thể đặt nhân tử chung là :
sin x

 sin2x , cos3x , tan2x , cot3x , cotx thì ta có thể đặt nhân tử chung là :
cos x


2 2 2 2
x x
cos , cot , sin x , tan x
2 2
thì có thể đặt nhân tử chung là :
1 cos x




2 2 2 2
x x
sin , tan ,sin x, tan x
2 2
thì có thể đặt nhân tử chung là :
1 cos x


II -Phương trình lượng giác tích số

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 22 -

2 2 2 2
x x
cos x , cot x, cos ,sin
4 2 4 2
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
thì có thể đặt nhân tử chung là :
1 sin x




2 2 2 2
x x
cos x , cot x,cos , sin
4 2 4 2
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
thì có thể đặt nhân tử chung là :
1 sin x



cos2x , cot2x ,1 sin 2x , 1 tan x ,1 cot x , tan x cotx
   
thì có thể đặt nhân tử chung
là :
sin x cos x




cos 2x ,cot2x ,1 sin 2x , 1 tan x ,1 cot x , tan x cot x
   
thì có thể đặt nhân tử chung
là :
sin x cos x


B.CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1 . Giải các phương trình sau :
a)
3 3 2
4sin x 3cos x 3sinx sin x.cosx 0
   
b)
2 2 2
x x
sin ( ). tan x cos
2 4 2

  = 0
c)




2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3

    
d)


2
1 2sinx .cosx 1 sinx cosx
   


e)
1 1 7
4 sin( x)
sin x 3 4
sin(x )
2

  


f)




2 2
1 sin x cos x 1 cos x sinx 1 sin2x
    

Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a)

2
2sin 2x sin7x 1 sinx
  
b)


sin2x cos2x cosx 2cos2x sinx 0
   

c)
(1 sin x cos2x)sin(x )
1
4
cos x
1 tan x
2

  


d)
2
1 sin 2x cos2x
2 sin x.sin 2x
1 cot x
 



Ví dụ 3 . Giải các phương trình sau :

a)
tanx 1 cos2x
 
b)




2
2sinx cosx 1 cosx sin x
  

c)
1 sinx.cos2x sinx cos2x
  
d)
2 2
sin x.tanx cos x.cotx sin2x 1 tanx cot x
    
e)
x
tan cos x sin 2x 0
2
 
f)
3 3
2
sin x cos x sin x.cos x
8
 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1 . Giải các phương trình sau :
a)
2sinx cotx 2sin2x 1
  
b)
2
1 cos 2x
1 cot2x
sin 2x

 
c)
2 2 3
tanx tan x cotx cot x cot x 6
    
d)
tanx cotx 4
 

Bài 2 . Giải các phương trình sau :
a)
 
4
4 cos x cos 2x 1 sin 2x
4
 





  





 

b)
8 sin x sin x sin x 3 sin 4x cos 4x
3 3
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   


" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 23 -
c)
2
2

x
sin x 2 sin x 1 2 sin
2 2
3
2 cos x sin x 1
   

 
 
 
  
 
 
 
 
 
   

 

d)
2 2 2 2
x 3 x x x x x x x
3 sin cos 3 sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
   
 
 
 
 

    
 
 
 
 
 
   

e)
8 8 2
1 1
sin x cos x cos 2x cos 2x
2 2
  
f)
   
3 3
3
sin x sin x cos x cos x cos x sin x
4
   

g)
2
3 cos x 3 sin x tan x sin x sin x.tan x 0
   

h)
2
2 sin x sin 2x sin x cos x 1 0

    


Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a)
 
5x 3x
4 cos cos 2 8 sin x 1 cos x 5
2 2
  
b)
3 3 2
cos x 4 sin x 3 cos x sin x sin x 0
   

c)
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
 



  





 

d)
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
  
e)


3 sin x tan x
2 cos x 2
tan x sin x

 

f)
1
2 tan x cot2x 2 sin 2x
sin 2x
  
g)
3
2 sin x cos2x cos x 0
  
h)
2 2 2
2 cos 2x cos 2x 4 sin 2x cos x
 

i)

8 cos x.cos x .cos x 1 0
3 3
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
k)
cos2x cos 5x sin 3x cos 8x sin10x
   

l)
8 8 2
1 1
sin x cos x cos 2x cos 2x
2 2
   m)
4 3 2
3 x
2 cos x sin x sin
4 2
 





  





 

n)
2
3
cos 2x 2 cos x sin 3x 2
4 4
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
p)
  

3
2cos x 2cosx sin2x
2 1 cosx 1 sinx
cosx 1
 
  


q)
2 2
2 sin x 2 sin x tan x
4
 




  





 
r)
 
4
4 cos x cos 2x 1 sin 2x
4
 





  





 







A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 . Dạng :


a sin x cos x b.sin x cos x c 0 (1)
   

Cách giải : Đặt
2
t 2
t sin x cos x 2 sin x
t 1

4
sin x.cos x
2




 






    








 







Khi đó phương trình (1) trở thành :
2
bt 2at 2c b 0 (2)
   
. Giải phương trình (2) ta tìm
II
I
-
Phương tr
ình
đ
ối xứng
đ
ối với sinx và cosx

( tham khảo thêm )

" Cần cù bù thông minh…………" Lê Xuân Trường Page - 24 -
được t . Thay vào chổ đặt t ta tìm được x
2 . Dạng :


a sin x cos x b.sin x cos x c 0 (1')
   

Cách giải : Đặt
2
t 2
t sin x cos x 2 sin x
1 t

4
sin x.cos x
2




 






    








 







Khi đó phương trình (1’) trở thành :
2
bt 2at 2c b 0 (2')
   
. Giải phương trình (2’) ta tìm
được t . Thay vào chổ đặt t ta tìm được x
B . CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1 . Giải các phương trình :
a)


3 sin x cos x 2 sin 2x 3 0
   
b)
sin x cos x 4 sin x cos x 1 0
   

c)


sin 2x 12 sin x cos x 12 0
   
d)
3 3
sin x cos x 1
 

e)
sin x cos x 4 sin 2x 1
  

f)
1 1 10
sin x cos x
sin x cos x 3
   
Ví dụ 2 . Giải các phương trình sau :
a)
sin 2x 2 sin x 1
4
 




  





 
b)
3 3
2 sin x sin x 2 cos x cos x cos2x
   


c)
3 3
sin x cos x cos2x

 
d)
2 2
sin x.cos x cos2x sin x cos x.sin x cos x
   




…… Hết…….